Elettrotecnica parte 2

CONDENSATORE

Caratteri̲stica del condensatore: retta passante per l'origine nel piano tensione-carica elettrica.

Analiticamente: q(t) = C v(t)dove C è il coeff. angolare della retta e prende il nome di CAPACITÀ che viene misurata in Farad (F).

Come fare a mettere in relazione v(t) e i(t)? Dalla legge di Amperè sappiamo che:

i(t) = dq(t)/dt ≠ C dv(t)/dt → i(t) = C dv(t)/dt

Anche in questo caso posso esprimere v(t) in funzione di i(t) integrando questa espressione che porta a:

v(t) = ¹/_C ∫_t₀^t i(t)dt + v(t₀)

• capacità o elastanza
• ¹/_C reciproca
• t₀ = istante iniziale

Dualmente all'induttore, la tensione è continua mentre la corrente può essere discontinua. Il condensatore è un elemento a memoria e dinamico.

I due dispositivi sono duali quando hanno espressioni con le stesse forme in cui si scambiano le componenti duali:

• induttore-duale-condensatore, capacità-duale-induttanza, resistenza-duale-conduttanza
• generatore-ind.-corrente-duale-generatore-int.-tensione

* non c'è il meno perché considero le direzioni di riferimento associato

CONDENSATORE

Caratteristica del condensatore: retta passante per l’origine nel piano tensione-carica elettrica.

Analiticamente: q(t) = C v(t)

dove C è il coeff. angolare della retta e prende il nome di CAPACITÀ che viene misurata in Farad (F).

Come fare a mettere in relazione v(t) e i(t)? Dalla legge di Ampere sappiamo che:

i(t) = dq(t) / dt ≠ C dv(t) / dt → i(t) = C dv(t) / dt

Anche in questo caso posso esprimere v(t) in funzione di i(t) integrando questa espressione che porta a:

v(t) = 1/C ∫_t0^t i(τ)dτ + v(t₀)

Dualmente all’induttore, la tensione è continua mentre la corrente può essere discontinua. Il condensatore è un elemento a memoria e dinamico.

I due dispositivi sono duali quando hanno espressioni con le stesse forme, in cui si scambiano le combinazioni duali:

• INDUTTORE DUALE CONDENSATORE, CAPACITÀ DUALE INDUTTANZA, RESISTENZA DUALE CONDUTTANZA,
• GENERATORE IND. CORRENTE DUALE GENERATORE IND. TENSIONE.

* non c’è il meno perchè considero le direzioni di riferimento associato.

26/03/2015

Il circuito ha

• 1 lato N
• 2 nodi L

in totale quattro incognite (I_R, I_L, V_R, V_L)

Vi sono N-1 L.K.C l-1 → 1 L.K.T. l.L.

Vi sono L-N+1 L.K.T l.L. → 1 L.K.T. l.L.

L.K.C. {

• I_R + I_L = 0

L.K.T. {

• V_L - V_R = 0

R {

• V_R = R I_R

L {

• V_L = L di_L/dt

Forma Canonica

• I_R + I_L = 0
• V_L = V_R
• V_R = R I_R = R ( -I_L )
• L di_L/dt = R I_L

Per risolvere l'equazione differenziale, oltre queste equazioni, ho bisogno di una condizione iniziale.

I_L(t₀) = I₀

{ di_L/dt + R/L I_L = 0

{ I_L(t₀) = I₀

Suppongo t₀ = 0 s

I_L(t) = I₀(t) + I_p(t)

Soluzione omogenea Soluzione particolare

Nel nostro caso la soluzione particolare è nulla perché è un'equazione differenziale omogenea.

I₀(t) = Ke^-R/Lt

per trovare k → I_L(0) = k e^(-R/L)0

I₀^x → k = I_o

Quindi I_L(t) = I₀ e^-R/Lt e ricavo le altre incognite del circuito andando a sostituire.

Soluzione di un circuito RL ad ingresso zero.

Si può avere una soluzione diversa da quella banale solo se la condizione iniziale è diversa da zero.

R è detto frequenza naturale (dipende solo dalla natura dei componenti del circuito)

T_z = L/R Costante di tempo (s) → I_L(t) = I₀ e^-t/T_z

Tutte le variabili di rete hanno andamento esponenziale in quanto in ognuna di esse appare T_z Costante di tempo dell'intero circuito.

Risposta completa

ingressi diversi da zero, condizioni iniziali diverse da zero. Per questo circuito sarà

I_L(t) = I_o e^-t/τ - I_o e^-t/τ + I_L e^-t/τ + I₁

I_L(t) = (I_o - I_L) e^-t/τ + I₁

transitorio regime

Il transitorio viene influenzato dalle condizioni iniziali e dagli ingressi.

Il regime dipende solo dagli ingressi e non viene mai influenzato dalle condizioni iniziali.

Pote