Elettrotecnica

1. LEGGI DI KIRCHHOFF E COMPONENTI CIRCUITALI

1.1. GRANDEZZE ELETTRICHE, LEGGI DI KIRCHHOFF E REGIME QUASI STAZIONARIO

Un circuito elettrico è dato dall'interconnessione di un numero arbitrario di elementi.

L'elemento fondamentale della teoria delle reti è il dipolo elettrico

Il dipolo elettrico è costituito da una superficie chiusa Σ ("frontiera") dalle quale emergono due conduttori (connessioni elettriche) aventi per estremi una coppia ordinata di punti {A; B} che costituiscono una porta elettrica.

• Le grandezze descrittive del bipolo elettrico sono:
  • CORRENTE ELETTRICA
  • TENSIONE ELETTRICA O DIFFERENZA DI POTENZIALE (ddp)
  • POTENZA ELETTRICA
• La CORRENTE ELETTRICA è la quantità di carica che attraversa una superficie nell'unità di tempo

  i(t) = lim _Δt->0 Δq/Δt = dq/dt [A]

L'AMPIROMETRO (strumento ideale) misura la grandezza algebrica corrente attraverso la sezione di un circuito elettrico.

Se la corrente attraversa la sezione con verso uguale a quello di riferimento è positiva, altrimenti è negativa.

• La TENSIONE rappresenta il lavoro fatto per spostare una carica unitaria dal punto A al punto B

  V_AB = Δ_AB = V_A - V_B [V]

Il VOLTMETRO misura la grandezza algebrica tensione tra due punti A e B qualsiasi di un circuito elettrico.

La POTENZA ELETTRICA esprime la rapidità di trasferimento del lavoro ed è la capacità istantanea di assorbire o erogare lavoro

p(t) = v(t) . i(t) [W]

L’energia per unità di tempo è la potenza richiesta per portare la carica q da A a B nell’unità di tempo

Il lavoro elettrico è l’integrale rispetto al tempo della potenza elettrica

La potenza elettrica può essere misurata tramite l’utilizzo combinato di un tensiometro e di un amperometro

È possibile compensare i due strumenti in un unico strumento: il WATTEMETRO

Il senso della potenza trasmessa, scambiata alla sola porta elettrica AB, coincide con il verso della corrente ed il morsetto indicato sulla freccia della tensione

Si dice assorbita una potenza entrante positiva e ceduta una potenza uscente positiva

CONVENZIONE degli UTILIZZATORI

CONVENZIONE dei GENERATORI

Il verso di riferimento della corrente entra dal morsetto indicato dalla freccia della tensione - il verso della potenza è entrante positiva

ASSORBE POTENZA

Il verso di riferimento della corrente esce dal morsetto indicato dalla freccia della tensione - il verso della potenza è uscente positiva

CEDE POTENZA

INDUTANZA e CONDENSATORE

In termini energetici il lavoro assorbito dalla porta elettrica è momentaneamente accumulato sotto forma di energia nel campo magnetico (L) o elettrico (C) nei bipoli.

• L e C sono elementi PASSIVI
• L’energia accumulata nel condensatore è:

_Wc = 1/2 C V²

• Il CONDENSATORE in corrente continua si comporta come un circuito aperto (in RQS) → i = 0
• L’INDUTTORE in corrente continua si comporta come un corto circuito (in RQS) → V = 0

1.3 CONNESSIONI SERIE e PARALLELO e RESISTENZA EQUIVALENTE

• Due bipoli sono EQUIVALENTI se hanno la stessa relazione caratteristica v-i: due bipoli tra loro equivalenti possono essere cambiati senza produrre alcun effetto nel resto del circuito
• CONNESSIONE IN SERIE: un terminale del primo bipolo e un terminale del secondo bipolo sono uniti in un nodo a cui non sono collegati altri componenti

Hanno un morsetto in comune

Valgono in serie equilibrio alle loro somme algebriche

METODO ALGEBRICO

Le reti elettriche possono essere descritte usando le equazioni OMITTED.

• RETE ELETTRICA: insieme di bipoli comunque connessi.
• NODO: punto in cui sono riuniti almeno 3 differenti terminali.

LATO: percorso tra due differenti nodi (compone almeno tra due nodi).

MAGLIA: insieme di lati che costituiscono un percorso chiuso.

ANELLO: maglia che non contiene all'internoaltre maglie.

Quante equazioni sono necessarie?

• In un circuito con L lati, il numero di incognite è pari a una corrente e una tensione per ogni lato.N_incognite=2·L

Quindi occorre scrivere un numero di equazioni linearmente indipendenti pari al numero di incognite:

• L equazioni linearmente indipendenti sono rappresentate dalle equazioni di Ohm individuali per gli L lati.
• Leggi delle correnti LC (equazioni ai nodi)In un circuito con N nodi possono essere scritte N LC che però sono tra loro linearmente indipendenti.Quindi, in un circuito con N nodi, possono essere scritte N-1 LC linearmente indipendenti.
• Leggi delle tensioni LT (equazioni alle maglie)Le rimanenti L-N+1 equazioni sono le LT.Occorre scrivere LT linearmente indipendenti.

Dato che i valori delle variabili di rete sono ricavati dalla soluzione di un unico minimo di equazioni: ne segue che tutte le variabili di rete non dipendenti dalle altre e dai valori di tutti i componenti circuitali.

• megnere un generatore di tensione corrisponde a sostituire il generatore con un corto-circuito
• spegngere un generatore di corrente equivale a sostituire il generatore con un circuito aperto

Il teorema di sovrapposizione non vale per le potenze, legate da relazioni non lineari alle tensioni e alle correnti dei generatori

2.5 TEOREMI DI THEVENIN E NORTON

⊠ TEOREMA DI THEVENIN

• Ipotesi: la rete di cui pon mens. in evidenza i morsetti A e B è lineare
• Enunciato: la rete lineare può essere sostituita da una rete equivalente costituita dalla serie di un generatore ideale di tensione e da un_renmore

• la tensione del generatore è la tensione ai capi dei morsetti A e B quando lasciati aperti (tensione a vuoto)
• la resistenza del renmore è la resistenza equivalente vista dai morsetti A e B quando la rete è pon vuota

Dimostrazione

1) Il tipo generico collegato ai morsetti A e B della rete lineare di cui m oriole individuare l'equivalente può essere sostituito per il principio di costutone da un generatore ideale di corrente pari a I.

per R>>Rs si hanno elevati rendimenti e tensioni

al carico prossime alle tensioni del generatore

ideale

per R>>Rs variazioni di R influenzano solo in

modo minimo ma le valore di tensione al carico

ma non il rendimento

3 REGIME SINUSOIDALE PERMANENTE

3.1.1 FUNZIONE PERIODICA

Una funzione a(t) è detta periodica e ammette un

valore finito T (periodo) tale per cui valga la

seguente relazione:

a(t+T)=a(t) ∀t

La frequenza f ovvero il numero di cicli nell'unità

di tempo è legata al periodo dalla seguente relazione:

f=1/T [Hz]

Se valore medio di una funzione periodica è

definito come

A medio = 1/T ∫_T0 a(t)dt ∀t0

Una funzione periodica con valore medio uguale

a zero è detta funzione alternata

Oltre al valore medio per una funzione periodica

si può definire anche il valore efficace (root mean

square - rms) pari a:

A=√(1/T ∫_T0^T0+T a²(t)dt)

3.1.2 FUNZIONE SINUSOIDALE

Una SINUSOIDE è caratterizzata dalla seguente

equazione generale:

x(t)=Xm cos(wt+Φ)

=Xm sin(wt+Φ + π/2)

Le funzioni seno e coseno sono identiche e differiscono

solo per la fase

Xm è l'ampiezza della sinusoide

w è la pulsazione [1/s]

Φ è lo sfasamento o fase