teoria per il corso di Elettrotecnica

A B C

V le tensioni dei morsetti rispetto ad un riferimento qualsiasi:

D 14

Da tenere presente che le equazioni che esprimono le leggi di Kirchhoff sono lineari ed

omogenee nelle correnti e nelle tensioni degli elementi del circuito. Esse non dipendono

dalla natura degli elementi, ma solo dal numero e dal modo in cui essi sono collegati, cioè

dalla topologia del circuito.

1.4 REGIME QUASI S TAZIONARIO

Le leggi di Kirchhoff sono valide solo per i circuiti elettrici in regime stazionario. I circuiti in

regime non stazionario sono più complessi da studiare. L'unico modo per studiare tali

circuiti è quello di ritenere le correnti di intensità costante e pari a quelle che si avrebbero in

quello stazionario. Questo significa che le correnti nel circuito variano in maniera

sufficientemente lenta così da consentire a tutto il conduttore il raggiungimento, ad ogni

istante, delle condizioni proprie del regime di funzionamento stazionario. In questa

situazione il conduttore è detto in regime quasi stazionario.

1.5 ELEMENTI A PIÙ TERMINALI. DEFINIZIONE DI

PORTA

Gli elementi che compongono un circuito possono avere più di due terminali. In questo caso

si avranno tante correnti quanti sono i terminali e tante tensioni quanti sono i morsetti. Le

leggi di Kirchhoff, tuttavia, stabiliscono dei vincoli tra queste grandezze. Considerando ad

esempio una linea chiusa attorno all’elemento e tale da interessare solo i suoi terminali, si

ha, per la prima legge di Kirchhoff, che è nulla la somma delle correnti entranti

nell’elemento: basta dunque conoscere le correnti di M - 1 terminali, se M è il numero

complessivo dei terminali, per conoscere tutte le correnti (stesso discorso per la legge delle

tensioni). 15

Tutto ciò si può riassumere, per gli elementi a più di due terminali, nel modo seguente:

1. Scegliere un morsetto come riferimento.

2. Definire le tensioni dei rimanenti morsetti rispetto a questo, localizzando su questo il

segno meno.

3. Considerare le correnti di tutti i terminali, escluso quello di riferimento.

Per comodità, conviene scegliere coordinati i

versi positivi delle correnti e delle tensioni

(si considerano positivi sia le correnti

entranti nell’elemento sia il segno meno

delle tensioni localizzato sul morsetto di

riferimento). Nell’esempio qui accanto, si

può notare come la tensione del morsetto 3

rispetto al morsetto 1 valga v - v .

3 1

In alcuni casi è utile ragionare diversamente.

Un chiaro esempio si ha quando, per il

modo particolare di accesso all’elemento,

sono presenti coppie di morsetti che costituiscono delle unità a sé stanti. È il caso in cui

nell’elemento si creano delle “porte”.

Si definisce come porta di un elemento, o, più in generale di un circuito, una coppia di

morsetti per i quali la corrente entrante nell’uno è uguale ed opposta a quella entrante

nell’altro. Risulta che per una porta sono totalmente definite corrente e tensione, situazione

simile a quella di un bipolo, il quale può infatti essere considerato come un elemento o

circuito accessibile solo da una porta. È possibile esprimere la potenza entrante

nell’elemento o circuito accessibile da N porte mediante la formula: 16

Il legame tra le tensioni e le correnti di un elemento a più terminali è rappresentato tramite

equazioni, le quali dipendono sia dalle proprietà fisiche dell’elemento sia dal morsetto scelto

come riferimento, che a sua volta va sempre specificato. 17

CAPITOLO 2

APPROSSIMAZIONE A

PARAMETRI

CONCENTRATI E BIPOLI

ELEMENTARI

Un circuito si dice “a parametri concentrati” quando presenta dimensioni spaziali

trascurabili rispetto alla lunghezza d’onda delle grandezze fisiche che lo interessano. Un

sistema elettromagnetico costituito da dispositivi, collegati tra loro, che soddisfino

ragionevolmente l'ipotesi dei parametri concentrati può essere studiato trascurando la

geometria del circuito e considerando solo la sua topologia, sostituendo le equazioni di

Maxwell con le più semplici leggi di Kirchhoff. Quindi, un circuito elettrico è detto a

parametri concentrati se è costituito da dispositivi abbastanza piccoli rispetto alla minima

lunghezza d'onda di una qualsiasi grandezza elettrica misurata su di essi. In questo caso è

possibile trascurare i tempi di propagazione dei segnali e le grandezze elettriche

fondamentali, tensione e corrente, risultano ben definite per ogni punto del circuito.

Analizziamo ora le differenti tipologie di regioni circuitali, partendo dall’equazione scritta

sotto:

2 .1 R E G I O N E D I T I P O Ø

La regione circuitale di tipo Ø, chiamata vuota, è caratterizzata da una conducibilità pari a

zero e dall’assenza di sorgenti. 18

In questo caso, nell’equazione scritta a inizio capitolo, σ = 0, E = 0 e J = 0; ciò implica che

m m

anche J, l’intensità elettrica, sia pari a zero. Il fatto che la corrente, i, sia uguale a zero

implica una situazione chiamata vuoto circuitale. Si ha, infatti, che:

Non è detto, tuttavia, che E debba essere nullo, poiché la regione potrebbe avere un campo

elettrico. Andando ad analizzare il valore della tensione relativa al campo elettrico in questo

caso, però, giungeremmo ad un risultato indefinito:

Le caratteristiche sopra elencate sono tipiche di un circuito aperto. Prende il nome di vuoto

circuitale tutto ciò che non è un componente.

2.2 REGIONE EQUIPOTENZIALE (TIPO 1)

In una regione di tipo equipotenziale, E = 0, J = 0 e la conducibilità elettrica, σ, è pari a

m m

infinito; in questo caso, stiamo trattando un conduttore perfetto.

Il caso in cui il campo elettrico è pari a zero porta ad una tensione, V, nulla; infatti, ai capi di

una regione equipotenziale, la differenza di potenziale elettrico è nulla. La corrente, data dal

prodotto di conducibilità elettrica e campo elettrico, è indeterminata.

2.3 RESISTORI (TIPO 2)

Il resistore è una regione di spazio all’interno della quale viene

dissipata corrente elettrica. Al suo interno avviene un

trasferimento irreversibile di energia elettrica, nel senso che il

bipolo assorbe energia, trasformandola in energia di altro tipo, come il calore che

19

fuoriesce dal circuito.

In questo caso, la conducibilità elettrica ha un valore ben definito e non nullo; viene definita

poi la resistività, ρ, data dal reciproco della conducibilità elettrica:

Andiamo ad analizzare il comportamento di un resistore rispetto all’equazione di inizio

capitolo: ρL

Il parametro corrisponde ad un valore detto resistenza, R, un parametro concentrato

S

misurato in Ohm (Ω), il quale riassume quella che è l’interazione tra corrente e tensione.

Infine, viene definito l’inverso della resistenza, la conduttanza, G; abbiamo quindi che:

2.4 COMPORTAMENTO DEI DIPOLI

Un dipolo prevede diversi comportamenti dal punto di vista del trasferimento di energia

elettrica:

- Trasferimento irreversibile.

- Trasferimento reversibile vincolato, in cui il bipolo assorbe o cede energia, accumulandola in

base agli scambi energetici con il resto del circuito e partendo da un valore iniziale noto di

20

energia. Tale valore è vincolato a non scendere sotto lo zero, poiché valori negativi

implicherebbero una cessione di energia interna, non ricevuta dal dipolo.

- Trasferimento reversibile senza vincoli, in cui il dipolo assorbe o cede energia senza alcun

vincolo. Si ha un accumulo di energia con capacità infinita.

2.5 GENERATORI (TIPO 3)

I generatori sono dispositivi che portano energia all’interno del circuito, in quanto

trasformano l’energia chimica in energia elettrica.

2 . 5 .1 G E N E R AT O R E I N D I P E N D E N T E D I T E N S I O N E

Il primo tipo di regione ad essere analizzato è la regione fem, nella quale si ha una forza

elettromotrice in presenza di un campo elettrico non conservativo.

In questa regione la conducibilità è infinita (σ = ∞), proprio come le regioni equipotenziali,

non ci sono correnti impresse (J = 0) ed E ≠ 0. Segue che E = -E , poiché gli elementi

m m m

interni alla parentesi nella prima equazione devono essere pari a zero. Il campo E , non

m

conservativo, esiste solamente all’interno di una batteria e serve a tenere separate le cariche

positive e negative tra loro.

Le cariche in una batteria sono ferme di base; nel momento in cui vengono collegate al

circuito, la corrente inizia a scorrere, seguendo due leggi:

- Prima legge della regione. La corrente i viene stabilita senza vincoli rispetto al resto del

circuito (i indefinita).

- Seconda legge della regione. Si pone V = V , valore definito tensione del

g

generatore e rappresenta il limite imposto. Il generatore indipendente di

tensione rappresenta una buona approssimazione di una batteria. Nella

rappresentazione del generatore di tensione, i segni indicano il verso della

tensione, che va da “-” a “+”. 21

2 . 5 . 2 G E N E R AT O R E D I C O R R E N T E ( R E G I O N E I )

G

In un generatore di corrente, la tensione che si stabilisce dipende dal

circuito e la potenza istantanea erogata può assumere qualsiasi

valore e segno (V indefinita).

Nella regione I la conducibilità è nulla (σ = 0), E = 0 e J ≠ 0; ciò implica che J =

g m m

J . Il fatto che la conducibilità sia nulla implica che la corrente sia indipendente dal

m

campo elettrico e di conseguenza dalla tensione. Da notare, tuttavia, il fatto che, ai capi

dei generatori, la tensione non è nulla, ma indefinita (basta ricordare che la tensione è

l’integrale di E, che in questa equazione può assumere qualsiasi valore) e dipendente dal

circuito.

2.6 CONDENSATORI (TIPO 4)

Il condensatore è un componente elettrico che immagazzina l'energia in un campo

elettrostatico, il quale crea una differenza di potenziale.

Nel caso in cui tutte le grandezze fossero costanti, il condensatore si approssima ad un

circuito aperto. Analizziamo ora il condensatore rappresentato in figura,

composto da due armature concentriche, tra le quali

scorre un campo elettrico E.

Nell’equazione ricavata, x rappresenta la lunghezza

variabile data dalla distanza tra il centro delle due armature ed il punto medio della distanza

fra le stesse.

Proviamo ora a calcolare la differenza di potenziale dato il campo elettrico, considerando il

raggio variabile: 22

[ ]

S

2πlε F =

Il valore è una costante, c, definita capacità ed espressa in Farad .

( ) Ω

R

ln 2

R