teoria per il corso di Elettrotecnica

Elettrotecnica

Premessa: l'approccio circuitale

Introduzione
Il modello circuitale ruota attorno a due grandezze, la tensione e la corrente. Tutti i fenomeni studiati avvengono all'interno di una regione di spazio caratterizzata da leggi elettromagnetiche e da fenomeni elettromagnetici, dovuti al movimento delle cariche. Andiamo ora ad analizzare delle nozioni fondamentali per lo studio dei modelli circuitali. Si parla di densità di carica volumetrica, indicata con ρ(t) = Q/V, come del numero di cariche presenti all'interno di un dato volume, ovviamente in relazione al tempo trascorso. Tale densità è maggiore su spigoli e punte, dove si registra una maggiore concentrazione di cariche. Nel caso in cui ci trovassimo all'interno di un campo elettrico, E, la carica elementare, q, sarà soggetta ad una forza di Coulomb, F = qE. Si parla poi di velocità media delle cariche, v(m), un campo vettoriale, quindi una funzione che associa un punto dello spazio ad uno scalare o ad un vettore.

La corrente

La densità di corrente, J, non è altro che il prodotto fra la densità di carica e la velocità media delle cariche in un punto; essa mette in relazione la quantità di cariche in una porzione di spazio e la loro velocità. Passare dalla densità di corrente alla corrente è molto semplice. Basta considerare una superficie orientata (in cui si definisce un versore che permetta di definire un verso entrante e uscente dalla superficie) e definire la corrente come il flusso di questo vettore attraverso la superficie orientata. Altrimenti, è possibile pensare alla corrente in un altro modo, ossia come il numero di cariche che attraversano la superficie in un tempo infinitesimo.

Il potenziale

Riprendiamo ora il concetto di carica (ipotizzata pari a 1 C) all'interno di un campo elettrico E. La forza di tipo coulombiano a cui essa è soggetta è pari a F = qE. Per spostare tale carica è necessario compiere del lavoro, che può essere positivo o negativo. Calcoliamo, per prima cosa, il lavoro necessario per spostare la carica da un punto a distanza infinita. Volendo invece spostare la carica da un punto A ad un punto B, questa nuova grandezza è chiamata differenza di potenziale; con riferimento ad una geometria in ambito circuitale, si tratta della forza che genera la corrente. Nel caso in cui si tratti di un campo non conservativo, cioè composto da linee chiuse, la proprietà appena analizzata, che trasforma un integrale in una differenza di potenziali, non è più applicabile, poiché il risultato non dipenderebbe più dai soli stati iniziale e finale, ma anche dal percorso svolto per arrivare dall'uno all'altro.

La densità di corrente ed il campo elettrico sono legati tra loro attraverso la seguente relazione: nel caso in cui si vogliano tenere separati elettroni da protoni tramite sostanze chimiche, come nelle pile, può risultare necessario utilizzare la somma tra i due campi, E ed E . Infine, esistono due tipi di campo elettrico, conservativo e non conservativo.

Operatore nabla

Nel calcolo vettoriale e nell'analisi matematica il nabla, indicato con il simbolo ∇, è un operatore differenziale vettoriale (definito come una funzione dell'operatore di derivazione). Qualora lo spazio vettoriale nel quale il nabla agisce sia uni-dimensionale, la definizione del nabla corrisponde all'ordinaria derivata. Definizione: In uno spazio tridimensionale R³ generato da un sistema di coordinate cartesiane, x, y, z, il nabla è definito come un operatore che consente di scrivere con una notazione compatta ed intuitiva gli operatori differenziali del gradiente (grad f = ∇f), la divergenza (div v = ∇v) e il rotore (rot v = ∇x v); in questi esempi, f è una funzione reale di una o più variabili reali, v è un campo, cioè una funzione vettoriale di una o più variabili reali.

Gradiente

Il gradiente di una funzione a valori reali (campo scalare) è una funzione vettoriale. Spesso è definito come il vettore che ha come componenti le derivate parziali della funzione, anche se questo vale solo nel caso di coordinate ortonormali. In fisica, il gradiente di una grandezza scalare si usa per descrivere come questa vari in funzione dei suoi diversi parametri (si parla di gradiente termico per esprimere la variazione di temperatura lungo una direzione scelta). Il gradiente di f è dunque un campo vettoriale che in ogni punto dello spazio consente di calcolare la derivata direzionale di f nella direzione di un generico vettore v tramite il prodotto scalare tra v ed il gradiente della funzione in quel punto. Esso trasforma una funzione di n > 1 variabili in un campo vettoriale Rⁿ.

Divergenza

La divergenza è un campo scalare che misura la tendenza di un campo vettoriale a divergere o a convergere verso un punto dello spazio; determina la tendenza delle linee di flusso di un campo vettoriale a confluire verso una sorgente o a divergere da essa (se una piscina si sta svuotando grazie ad un pozzo, la divergenza sarà negativa verso il pozzo).

Rotore

Il rotore di un campo vettoriale è un operatore vettoriale che ne descrive la rotazione infinitesima, associando un vettore ad ogni punto dello spazio. Un campo vettoriale con rotore pari a zero si dice irrotazionale ed è di tipo conservativo (ad esempio, nel moto di un fluido, rot v = 0 implica un'assenza di vorticità).

Equazioni di Maxwell

Per comprendere le proprietà dinamiche del campo elettromagnetico occorre studiare le equazioni di Maxwell nel vuoto:

• La prima equazione rappresenta il teorema di Gauss per il campo elettrico.
• La seconda equazione rappresenta la legge di Faraday, la quale afferma che la derivata temporale del flusso magnetico attraverso una superficie aperta S delimitata da una linea chiusa L è pari alla circuitazione, cambiata di segno, di un campo elettrico indotto nel circuito.
• La terza equazione è la legge di Gauss per i campi magnetici.
• La quarta equazione è la legge di Ampere, secondo cui la circuitazione del campo magnetico attraverso un cammino chiuso è proporzionale alla corrente totale che attraversa la superficie S di cui L è il limite.

Introduciamo ora delle nozioni, alcune delle quali sono state già trattate in precedenza. Si parla di densità volumetrica di carica quando si fa riferimento al rapporto fra una carica, moltiplicata per un coefficiente n indicante il numero di coniche, ed il volume occupato dalla stessa. In altri termini, la densità di corrente è poi il vettore il cui flusso attraverso una superficie rappresenta la corrente stessa. Da notare il fatto che, lungo la direzione del vettore, il versore n è radiale alla superficie. Il termine v rappresenta infine la velocità media delle cariche nel volume; essa dipende dal fatto che le cariche sono soggette ad un campo. La corrente elettrica è lo spostamento complessivo delle cariche elettriche. Si consideri un conduttore di sezione S nel quale sia presente un numero ordinato di cariche; si definisce corrente elettrica la quantità di cariche che attraversa S in un arco di tempo Δt. La tensione è la differenza di potenziale elettrico tra due estremi. In altre parole, è la differenza tra l'energia potenziale elettrica posseduta da una carica nei due punti di interesse, dovuta alla presenza di un campo elettrico. In condizioni stazionarie è anche il lavoro, cambiato di segno, compiuto per spostare una carica unitaria attraverso un campo. Passiamo ora alla dimostrazione delle leggi di Maxwell nel vuoto.

Il modello circuitale

Per descrivere in maniera esaustiva un fenomeno naturale occorre applicare una certa dose di procedimenti generali, semplici ed accurati. Per riuscire nell'intento, nel caso di un modello circuitale, si tende a semplificare la complessità generale di tutta la struttura ad una connessione di elementi idealizzati di pochi tipi. In questo approccio sono importanti due nozioni fondamentali: la connessione, definita tramite una rappresentazione grafica (elemento fondamentale, poiché da questa, molto spesso, è possibile ricavare importanti relazioni tra le parti), e le relazioni costitutive degli elementi componenti.

I fenomeni interessati possono essere caratterizzati da grandezze di due tipi diversi. Nel primo gruppo rientrano le grandezze che richiedono una misura tra due punti, definite grandezze agli estremi; nel secondo troviamo le cosiddette grandezze attraverso, quelle cioè che richiedono una misurazione in corrispondenza di un solo punto. Nel caso di elementi costituiti da una sola coppia di grandezze, le relazioni costituite sono quattro ed implicano sia il legame diretto sia quello con i relativi integrali del tempo.

Una conseguenza importante dell'approccio circuitale è la possibilità di trattare in modo unificato campi diversi della fisica e di prendere nozioni e proprietà tra di essi. Rende inoltre possibile la creazione di strutture non fisiche, come nel caso dell'elaborazione di segnali. Da tenere presente il fatto che la caratterizzazione circuitale di una struttura fisica è valida solo se sono soddisfatte condizioni particolari, quelle che rendono possibile la sostituzione dei legami differenziali esistenti tra le grandezze fisiche con legami algebrici; nel caso in cui questo non fosse possibile, occorrerebbe ricorrere all'approccio alternativo dei campi.

Capitolo 1: Introduzione ai circuiti a costanti concentrate di tipo elettrico

Grandezze fisiche considerate

Una struttura elettrica può essere caratterizzata secondo le grandezze corrente e tensione. Si tratta di variabili reali dipendenti dal tempo, la prima appartenente alle grandezze "attraverso" (per essere misurate richiedono l'inserimento di uno strumento in un punto), la seconda alla classe "agli estremi" (richiedono l'inserimento di uno strumento tra due punti della struttura).

L'unità di misura della corrente è l'ampere (A), con i relativi multipli e sottomultipli. Per quanto riguarda la rappresentazione grafica, si tende ad indicare la corrente con una freccia che precisa sia il punto della struttura in cui viene considerata sia il verso da considerare come positivo. L'unità di misura della tensione è il volt (V), con i relativi multipli e sottomultipli. Nella rappresentazione grafica, la tensione viene rappresentata con una coppia di segni +/-, i quali individuano i due punti tra cui essa viene definita, precisando anche il verso con cui considerarla.

L'ampere è definito come il valore di quella corrente che, percorrendo in modo concorde e contemporaneo due conduttori filiformi, rettilinei, paralleli ed infinitamente lunghi, posti nel vuoto a distanza di un metro, provoca una forza di attrazione tra di essi di 2 x 10^-7 Nm. Il volt è definito come il valore di tensione che si misura agli estremi di una struttura elettrica quando in essi fluisce una corrente di 1 A e la potenza assorbita è di 1 W.

Il circuito elettrico

Il modello elettrico definito come circuito a costanti concentrate è costituito dalla connessione di elementi ideali privi di dimensioni geometriche e caratterizzati da opportuni legami tra tensione (costante) e corrente ad essi applicate (non ha importanza né la lunghezza né la forma). Nella rappresentazione grafica, tutto ciò è rappresentato da un rettangolo con due fili uscenti, definiti morsetti.

L'elemento fondamentale del circuito è quello che viene definito bipolo, definito, dal punto di vista elettrico, dalla tensione tra i suoi morsetti e dalla corrente che lo attraversa (la corrente in entrata da un polo è uguale alla corrente in entrata dall'altro polo, invertita di segno). Il verso di riferimento delle misurazioni è arbitrario, anche se è preferibile che il prodotto tra corrente e tensione, che è una potenza, coincida con la potenza elettrica assorbita dal bipolo.

Nell'ambito della caratterizzazione esterna che stiamo facendo riguardo gli elementi bipolari, è possibile differenziare tali elementi anche dal punto di vista energetico. Si possono infatti avere tre comportamenti diversi, anche combinati in uno stesso bipolo:

• Trasferimento irreversibile di energia elettrica. Il bipolo assorbe energia, trasformandola in un altro tipo (come il calore). È un processo irreversibile, nel senso che l'energia esce dal circuito.
• Trasferimento reversibile vincolato di energia elettrica. Il bipolo assorbe o cede energia, accumulandola in base agli scambi energetici con il resto del circuito, partendo da un valore iniziale noto di energia. La quantità di energia contenuta nel bipolo è definita in ogni istante ed è vincolata a non scendere al di sotto del valore zero, poiché valori negativi implicherebbero cessione di energia interna, non ricevuta dal bipolo con gli scambi con il resto del circuito.
• Trasferimento reversibile di energia elettrica senza vincoli. Il bipolo assorbe o cede energia senza alcun vincolo. Internamente al bipolo si ha un accumulatore di energia di capacità infinita, energia che non è modificata dagli scambi energetici con il resto del circuito.

Le leggi di Kirchhoff

Le tensioni e le correnti presenti in un circuito elettrico devono soddisfare due leggi fisiche, le leggi di Kirchhoff. Si tratta di approssimazioni delle leggi di Maxwell nell'ambito di circuiti a costanti concentrate; la loro validità è connessa alla validità dell'ipotesi di "costanti concentrate".

Esaminiamo un semplice caso, in cui un filo di lunghezza L è percorso da una corrente. Si dimostra che la corrente in entrata al punto A è uguale alla corrente in uscita dal punto B se e solo se la lunghezza d'onda, pari al rapporto tra la velocità della luce e la frequenza dell'onda, è molto maggiore della lunghezza del filo. In caso contrario, la corrente uscente dal lato B sarebbe molto inferiore di quella in entrata ed avremmo creato un'antenna, meccanismo che non rispetta i principi di Kirchhoff. In generale, in un circuito la lunghezza L viene misurata come diagonale della scheda stessa.

Prima legge di Kirchhoff

Questa legge è nota anche come legge delle correnti. La corrente che complessivamente esce da una superficie chiusa è uguale a quella che vi entra. Per poter applicare con successo questa legge occorre utilizzare una superficie chiusa e finita, che trascura i componenti ai terminali. Ricordiamo ancora che le dimensioni dei rettangoli all'interno del circuito sono totalmente ininfluenti allo scopo del calcolo di tensione e corrente. Inoltre, poiché rappresentiamo i circuiti su un piano, l'utilizzazione della legge viene effettuata facendo riferimento ad una linea chiusa di dimensioni finite. L'applicazione della legge delle correnti ad una superficie che racchiude un elemento mostra che la corrente che entra in un morsetto di un elemento è uguale ed opposta a quella che entra nell'altro. Ricordando poi che la carica elettrica è l'integrale della corrente, la prima legge di Kirchhoff implica che non si può accumulare carica entro una superficie chiusa di un circuito a costanti concentrate.

Seconda legge di Kirchhoff

Nota anche come legge delle tensioni, la seconda legge di Kirchhoff sostiene che è nulla la somma algebrica delle tensioni che si incontrano in un circuito spostandoci lungo una linea chiusa e finita. Le tensioni vanno considerate positive se concordi con il verso dello spostamento e negative in caso contrario. L'applicazione di tale legge implica la presenza di una linea chiusa e finita, che trascura i componenti fuori dai terminali (fuori i loro morsetti).

Applichiamo ora, a titolo esemplificativo, la seconda legge di Kirchhoff alla linea chiusa che tocca i morsetti A, B, C, D del circuito del paragrafo [1.3.1]. Si ha, indicando con V_A, V_B, V_C, V_D le tensioni dei morsetti rispetto ad un riferimento qualsiasi:

Da tenere presente che le equazioni che esprimono le leggi di Kirchhoff sono lineari ed omogenee nelle correnti e nelle tensioni degli elementi del circuito. Esse non dipendono dalla natura degli elementi, ma solo dal numero e dal modo in cui essi sono collegati, cioè dalla topologia del circuito.

Regime quasi stazionario

Le leggi di Kirchhoff sono valide solo per i circuiti elettrici in regime stazionario. I circuiti in regime non stazionario sono più complessi da studiare. L'unico modo per studiare tali circuiti è quello di ritenere le correnti di intensità costante e pari a quelle che si avrebbero in quello stazionario. Questo significa che le correnti nel circuito variano in maniera sufficientemente lenta così da consentire a tutto il conduttore il raggiungimento, ad ogni istante, delle condizioni proprie del regime di funzionamento stazionario. In questa situazione il conduttore è detto in regime quasi stazionario.

Elementi a più terminali. Definizione di port

Gli elementi che compongono un circuito possono avere più di due terminali. In questo caso si avranno tante correnti quanti sono i terminali e tante tensioni quanti sono i morsetti. Le leggi di Kirchhoff, tuttavia, stabiliscono dei vincoli tra queste grandezze. Considerando ad esempio una linea chiusa attorno all'elemento e tale da interessare solo i suoi terminali...