Elettrotecnica

BIPOLI RESISTIVI

Le leggi di Kirchhoff dipendono dal modo in cui gli elementi sono connessi tra loro e non dagli elementi stessi, sui quali non si è fatta alcuna ipotesi. Per questo motivo, le sole leggi di Kirchhoff non sono sufficienti per ricavare le correnti e le tensioni del circuito; dobbiamo conoscere anche il comportamento di ciascun elemento descritto da una relazione matematica detta relazione caratteristica. I circuiti costituiti dalla interconnessione di resistori e generatori di indipendenti di corrente/tensione, sono detti circuiti resistivi.

RESISTORE

Il resistore è un bipolo caratterizzato da una relazione di proporzionalità tra tensione e corrente: V = R * I La costante (R > 0) è detta resistenza e si misura in ohm. Caratteristica del resistore: I = V / R La legge di Ohm è una relazione istantanea: stabilisce un legame tra i valori della tensione e della corrente in un dato istante.

dellacorrente nello stesso istante. It IttRLa relazione può essere invertita, esprimendo la corrente in funzione della tensioneGV GI è detta conduttanzaA1Consideriamo la struttura cilindrica dove è la lunghezza, è l’area della sezione trasversaleresistivitàRep fAqRicaviamo la potenza assorbita dal resistoreFRRTIPer ISi noti che la potenza assorbita è sempre positiva, essendo ; dunque il resistore può soloR Oassorbire potenza e mai erogarla.CORTO CIRCUITO corto circuito;Un resistore di resistenza nulla ( ) viene chiamato avrà una tensioneReoper qualsiasi valore di corrente.RI O e0no iCIRCUITO APERTO circuito aperto;Un resistore di conduttanza nulla ( ) viene chiamato avrà una corrente perG Oqualsiasi valore della tensione.GV O T.tvoLa corrente in un corto circuito può essere qualsiasi, la tensione ai capi di un circuito aperto puòessere qualsiasi; i valori effettivi dipendono dal resto del

1. GENERATORI INDIPENDENTI
• Tensione: In un generatore indipendente di tensione, la tensione è indipendente dalla corrente, cioè vale qualunque sia il valore di IE.
• Corrente: In un generatore indipendente di corrente, la corrente è indipendente dalla tensione, cioè vale qualunque sia il valore di A.
2. BIPOLI IN SERIE

Ris è la somma delle resistenze dei bipoli in serie.

Vi è la tensione totale ai capi dei bipoli in serie.

Ovz è la tensione ai capi del bipolo z.

Lilt è la corrente che attraversa i bipoli in serie.

vxtvy è la tensione ai capi del bipolo x.

Ra è la resistenza del bipolo a.

Ri è la resistenza del bipolo i.

4 è la resistenza del bipolo 4.

vs è la tensione ai capi del bipolo s.

ec è la corrente che attraversa il bipolo c.

RII è la resistenza del bipolo II.

R3 è la resistenza del bipolo 3.

IRZ è la corrente che attraversa il bipolo Z.

Itvz è la corrente che attraversa il bipolo vz.

U2 è la tensione ai capi del bipolo 2.

Vi è la tensione ai capi del bipolo i.

EI è la tensione ai capi del bipolo I.

VI è la tensione ai capi del bipolo I.

I è la corrente che attraversa i bipoli in serie.

Era è la tensione ai capi del bipolo a.

Ritratto è la resistenza del bipolo ritratto.

Rs è la resistenza del bipolo s.

EI bipoli si dicono in serie se sono attraversati dalla stessa corrente.

3. Partitore di tensione

Ri è la resistenza del bipolo i.

Turri è la tensione ai capi del bipolo i.

Età è la tensione ai capi del bipolo a.

va è la tensione ai capi del bipolo a.

ee è la tensione ai capi del bipolo e.

IR2 è la corrente che attraversa il bipolo 2.

E si ripartisce proporzionalmente fra i resistori.

due è la tensione ai capi del bipolo 2.

vz è la tensione ai capi del bipolo z.

4. BIPOLI IN PARALLELO

In è la corrente totale che attraversa i bipoli in parallelo.

Ia è la corrente che attraversa il bipolo a.

Lucdi è la somma delle correnti che attraversano i bipoli in parallelo.

èllera è la tensione ai capi del bipolo a.

Era è la tensione ai capi del bipolo a.

Ra è la resistenza del bipolo a.

Ii è la corrente che attraversa il bipolo i.

Vi è la tensione ai capi del bipolo i.

vap è la tensione ai capi del bipolo a.

EGR è la tensione ai capi del bipolo G.

Giga è la corrente che attraversa il bipolo G.

I bipoli si dicono in parallelo se hanno la stessa tensione ai nodi.

5. Partitore di corrente

EVetta è la tensione ai capi del bipolo V.

Ii è la corrente che attraversa il bipolo i.

A è la corrente totale che attraversa i bipoli in parallelo.

12 è la corrente che attraversa il bipolo 2.

IL è la corrente che attraversa il bipolo L.

4 è la corrente che attraversa il bipolo 4.

It è la corrente totale che attraversa i bipoli in parallelo.

G è la corrente che attraversa il bipolo G.

z è la corrente che attraversa il bipolo z.

Gz è la corrente che attraversa il bipolo Gz.

Ga è la corrente che attraversa il bipolo Ga.

V è la tensione ai capi del bipolo V.

R2 è la resistenza del bipolo 2.

Ri è la resistenza del bipolo i.

µ si ripartisce proporzionalmente fra i resistori.

A g è la corrente che attraversa il bipolo g.

fra i resistori.

AG è la corrente che attraversa il bipolo G.

Gz è la corrente che attraversa il bipolo Gz.

1adse è la resistenza del bipolo 1adse.

r è la resistenza del bipolo r.

Tecnica molto utile nello studio dei circuiti consiste nel sostituire una parte di circuito con un'altra più semplice, purché sia equivalente. Diremo che due bipoli sono equivalenti se hanno la stessa relazione caratteristica; allora le equazioni che descrivono i due circuiti (Kirchhoff e relazioni caratteristiche) sono identiche, e quindi hanno la stessa soluzione. Due bipoli equivalenti possono essere scambiati senza produrre effetti sul resto del circuito; questa proprietà è detta equivalenza esterna (misurando tensione e corrente ai terminali, due bipoli equivalenti sono indistinguibili).

• Resistori in serie: Vetusrt ViRsRi ReI Wmv mm nun Vtv Ritirato 1ktv va IOMMf IRitrattoIgls II tre resistori sono equivalenti ad un solo resistore di resistenza
• Resistori in parallelo: I 1 21 7312KCtraRifà g CostiGWopereE VI Gi 163162 È 1EGRGp LI Gp RirRpa RNR GpI tre resistori in parallelo sono equivalenti ad un solo resistore di conduttanza Gi

162 63GpCOMBINAZIONI DI GENERATORI

• Generatori di tensione in serie

I V è la algebricasommaVi tensioni deidelle generatoriIn IIIIUsa U2ViVs Uso VsI tre generatori di tensione in serie sono equivalenti ad un solo generatore di tensione

• Generatori di corrente in parallelo spesa

ÌÌÌTm IIItop I 13 11RC 1213Ii 7Ip IpI tre generatori di corrente in parallelo sono equivalenti ad un solo generatore di corrente

• Tensione - corrente in parallelo

I I VsVUs vIs V vsµ I daldeterminatadelresto circuito

• Tensione - corrente in serie

Is IIs Isvr V dalI determinataIs delresto circuito

TRASFORMAZIONE DEI GENERATORI INDIPENDENTI

Un generatore di tensione con un resistore in serie è equivalente ad un generatore di corrente con lostesso resistore in parallelo. I IREmp artvE ORIrt IALuc I RRAE RIRI RAE 1121 RAERIEquivalenti

• Teorema di Millman

Ri RNR2 IV Gi RienEaei G Gaarea conGei Gwent p pEIGea IeaIcq Gea ai vvp GeaEgiziIeaPRINCIPIO DI

SOSTITUZIONEA B

Consideriamo un circuito, in cui e sono le due parti, collegate tramite due conduttori ideali.

Supponiamo che la tensione fra i conduttori siaB

• Sostituendo la parte con un generatore indipendente di tensione di valore pari a ,Atutte le tensioni e le correnti in rimangono invariate (compresa ).

• Sostituendo la parte con un generatore indipendente di corrente di valore pari a ,Atutte le tensioni e le correnti in rimangono invariate (compresa ).

MULTIPOLI RESISTIVI

Un tripolo è caratterizzato da due tensioni e due correnti indipendenti, e dai seguenti vincolivia teI 111RC 1273e U2Via ViLRT VateVitaPass

GENERATORI CONTROLLATI

Per modellare il comportamento di molti dispositivi elettronici è utile introdurre alcuni elementigeneratori controllati.ideali, chiamati collettivamenteOgni generatore controllato è caratterizzato da una variabile di controllo ( ) e da un parametroViIidi controllo ( ).

Br.mg• Generatore di tensione

quindi è necessario utilizzare l'analisi nodale. L'analisi nodale si basa sul fatto che la somma delle correnti in un nodo è uguale a zero. Per applicare l'analisi nodale, si seguono i seguenti passaggi: 1. Assegna un nome a ciascun nodo del circuito. 2. Seleziona un nodo di riferimento e assegna il suo potenziale a zero. 3. Scrivi l'equazione di Kirchhoff per ciascun nodo, considerando le correnti in ingresso e in uscita dal nodo. 4. Risolvi il sistema di equazioni ottenuto per determinare i potenziali dei nodi. Esempio di applicazione dell'analisi nodale: Supponiamo di avere il seguente circuito: ``` +----R1----+ | | V1 R2 | | +----R3----+ | | V2 R4 | | +----R5----+ ``` Dove V1 e V2 sono le tensioni di ingresso e R1, R2, R3, R4, R5 sono le resistenze. 1. Assegniamo i nomi ai nodi: N1, N2, N3, N4. 2. Selezioniamo il nodo N1 come nodo di riferimento e assegniamo il suo potenziale a zero. 3. Scriviamo l'equazione di Kirchhoff per ciascun nodo: - Per il nodo N2: (V1 - V2) / R1 + (V1 - 0) / R2 + (V1 - 0) / R3 = 0 - Per il nodo N3: (V2 - V1) / R3 + (V2 - 0) / R4 + (V2 - 0) / R5 = 0 - Per il nodo N4: (0 - V1) / R2 + (0 - V2) / R5 = 0 4. Risolviamo il sistema di equazioni per determinare i potenziali dei nodi. Questo è solo un esempio di come applicare l'analisi nodale. Ogni circuito può richiedere un approccio diverso, ma il concetto di base rimane lo stesso: la somma delle correnti in un nodo è uguale a zero.

Per risolvere il circuito, è necessario ricorrere a dei metodi sistematici di analisi: questi permettono di scrivere il numero minimo di equazioni indipendenti, dalla cui soluzione sia possibile calcolare tutte le variabili del circuito.

Metodo semplice (solo con generatori di corrente):

1. Scegliere un nodo di riferimento e misurare i potenziali di nodo
2. Applicare la LKC (Legge di Kirchhoff dei Circuiti) a tutti i nodi, tranne a quello di riferimento
3. Esprimere le correnti nei resistori in funzione delle tensioni
4. Esplicitare ogni tensione in funzione dei potenziali di nodo
5. Sostituire nella LKC (2) eventuali vincoli

Metodo modificato (anche con generatori di tensione):

1. Scegliere un nodo di riferimento e misurare i potenziali di nodo
2. Applicare la LKC a tutti i nodi, tranne a quello di riferimento
3. Esprimere le correnti nei resistori in funzione delle tensioni (NON nei generatori di tensione)
4. Esplicitare ogni tensione in funzione dei potenziali di nodo
5. Sostituire nella LKC (2) eventuali vincoli
6. Le correnti dei...

1. generatori di tensione sono incognite aggiuntive, scrivere i imposti dai generatori di tensione fa supermodai Itee sii IVEa IV tb.tvr ebfgraeaEgeaRIF 1I ISuper-nodo
2. La linea chiusa che racchiude un generatore di tensione e i due nodi a cui esso è connesso, è super-nodo.
3. Per ogni generatore di tensione si elimina un'equazione LKC: connesso al nodo di riferimento, Se il generatore di tensione è si elimina l'equazione LKC per il nodo collegato all'altro morsetto del generatore NON è connesso al nodo di riferimento, Se il generatore di tensione si scrive la LKC per il super-nodo anziché per i due nodi collegati al generatore.
4. LINEARITÀ E SOVRAPPOSIZIONE
5. LINEARITÀ Relazione lineare: v = RI RxY Un circuito che contiene elementi la cui relazione caratteristica è lineare, oltre ai generatori indipendenti, viene detto circuito resistivo lineare.
6. In un circuito resistivo lineare con

Qualunque tensione occorrente è proporzionale alla grandezza del generatore. E in un circuito resistivo lineare privo di energia elettrica, la tensione dipende dai generatori indipendenti. In pratica, il generatore indipendente rappresenta la sollecitazione esterna o l'ingresso.