Elettrotecnica

Elettrotecnica Enrico Rubinato 2020/2021: principi, cariche elettriche e correnti

Cariche elettriche

Le cariche elettriche consentono di descrivere le forze di interazione che si manifestano tra corpi solidi attribuendo a ciascuno di essi una carica elettrica q. Si considerano due tipi di cariche elettriche: quelle positive q⁺ e quelle negative q^-; cariche di segno uguale si respingono, cariche di segno opposto si attraggono. La forza su ciascun corpo è legata alla quantità di carica complessiva in esso contenuta: q = q⁺ + q^-.

Nel sistema internazionale le cariche elettriche hanno unità di misura di coulomb [C], pari ad ampere per secondo [As].

Densità di carica

Come la massa, la carica può essere considerata concentrata o distribuita in un volume o su una superficie. Si definisce densità volumetrica ρ_c il limite del rapporto tra la carica q e il volume τ che la contiene. Analogamente, si definisce densità superficiale di carica σ_c il rapporto tra la carica q e la superficie S che la contiene. Poiché sia ρ_c che σ_c sono funzioni di P, esse sono rappresentabili come campi scalari.

Cariche puntiformi

Se una carica elettrica è contenuta in un volume avente dimensioni lineari trascurabili rispetto alla distanza tra la carica stessa e tutte le altre cariche, è lecito considerare tale carica come carica localizzata del punto q(P,t).

Correnti elettriche

Cariche elettriche libere sono tipicamente gli elettroni liberi di muoversi all'interno del reticolo cristallino nei solidi o gli ioni che si producono nelle soluzioni elettrolitiche. Il moto di cariche elettriche dà luogo a correnti elettriche. Si possono definire vari tipi di correnti elettriche, in particolare correnti di conduzione e correnti di convenzione.

Per le correnti di conduzione si considerino i conduttori metallici, in cui, accanto a elettroni strettamente legati ai rispettivi nuclei, ci sono anche elettroni liberi. Per le correnti di convenzione si consideri il caso in cui il moto delle cariche è conseguenza del moto del mezzo in cui sono presenti le cariche: il moto di una specie ionica in soluzione trasportata dal moto del fluido o il movimento meccanico di un corpo rigido su cui sono presenti cariche. Nei gas le molecole possono essere ionizzate; questi portatori di carica si possono mettere in moto producendo una corrente di convenzione e ulteriori ionizzazioni.

Intensità di corrente elettrica

Considerata una superficie S orientata dal versore normale n, l'intensità di corrente elettrica è pari al rapporto tra la carica netta Δq = Δq⁺ + Δq^- che transita attraverso S nel verso di n e l'intervallo di tempo Δt in cui il transito è avvenuto. La corrente elettrica è una grandezza scalare con carattere integrale.

La corrente elettrica ha unità di misura di ampere [A].

Densità di corrente elettrica

La descrizione locale del moto delle cariche è fornita dal vettore densità di corrente elettrica J(P,t). Considerando che le cariche di segno opposto si muovono di moto diverso tra loro, la densità di corrente elettrica è data dalla seguente somma vettoriale: Il vettore J(P,t) costituisce un campo vettoriale detto campo di corrente. Il suo modulo ha unità di misura di ampere su metro quadro [A/m²].

Corrente nei fili conduttori filiformi

Spesso il moto delle cariche elettriche avviene in volumi conduttori filiformi, caratterizzati da una dimensione geometrica molto maggiore delle altre due. In essi il vettore densità di corrente J può essere considerato parallelo al versore t. Scegliendo una sezione di misura S in modo che il relativo versore normale n coincida con t, otteniamo che la corrente i attraverso la sezione S del conduttore, orientata da t, vale: i = JS. Il versore t che indica il verso di misura prende il nome di riferimento di corrente.

Amperometro

L'intensità di corrente elettrica nei conduttori filiformi viene misurata con lo strumento detto amperometro, che comprende due morsetti e un visualizzatore. I due morsetti sono marcati diversamente: uno col segno + e l'altro col segno -. La connessione al conduttore del quale si intende misurare la corrente elettrica viene effettuata tagliando il conduttore in una sezione S e connettendo ciascuno dei due capi così creati ad uno dei morsetti. L'amperometro si dice ideale se non modifica l'intensità di corrente relativa alla sezione in cui è inserito, cioè non ostacola minimamente il moto delle cariche elettriche. Inoltre esso indica, istante per istante, l'intensità di corrente in valore e segno, per quanto rapidamente essa vari.

Campo elettrico e tensione elettrica

Campo elettrico coulombiano

Il comportamento di un materiale inserito in n campo vettoriale viene caratterizzato dalle seguenti proprietà: il materiale è detto uniforme se è omogeneo, isotropo e lineare.

Legge di Coulomb

L'esperienza di Coulomb dimostra che, in un materiale uniforme, una carica puntiforme q posta nel punto Q esercita su una carica "di prova" Δq posta in un generico punto P posto a distanza r da Q la forza ΔF_QP esprimibile con la seguente relazione, nota come legge di Coulomb.

Campo elettrostatico di una carica puntiforme

Piuttosto che la forza ΔF, conviene considerare la forza elettrica specifica coulombiana così definita: Il vettore è indipendente da Δq; essendo inoltre funzione del punto P, costituisce un campo vettoriale detto campo elettrostatico. Il campo elettrico ha unità di misura di newton su coulomb [N/C], unità di misura che viene più spesso espressa come volt su metro [V/m].

Proprietà del campo elettrostatico

• È sempre e ovunque irrotazionale: rot E_c = 0
• È esprimibile tramite il gradiente di un opportuno campo scalare U(P) detto potenziale elettrico: E = -gradU_c
• L'integrale di linea di E_c lungo qualsiasi linea che si sviluppa tra i punti A e B è pari alla differenza tra i valori che il potenziale elettrico U assume in A e B

Campo di potenziale elettrico scalare

Il campo di potenziale elettrico scalare è una funzione scalare definita in ogni punto P a meno di una quantità costante: normalmente si attribuisce a questa il valore che rende nullo U all'infinito. Le superfici di livello del potenziale elettrico sono dette superfici equipotenziali: il campo elettrostatico è sempre ortogonale a tali superfici ed è diretto dalle superfici a potenziale maggiore verso quelle a potenziale minore.

Campo elettrico

La totale forza elettrica specifica sperimentale da una carica elettrica "di prova". Al pari della forza ΔF che agisce su Δq a prescindere dalla presenza di supporti materiali, il campo elettrico E trae origine soltanto da fenomeni elettromagnetici. In particolare si considerano le seguenti situazioni.

• Condizione elettrostatica: si verifica quando tutte le cariche sono ferme nello spazio; allora il campo elettrico coincide con quello elettrostatico, E=E_c
• Condizione stazionaria: si verifica quando le cariche si muovono con velocità costante e la densità di carica rimane costante; pure in questo caso il campo elettrico coincide con quello elettrostatico, E=E_c
• Condizioni variabili generiche: si verificano quando la densità di carica ed il campo di corrente variano nel tempo con legge qualsiasi; allora il campo elettrostatico costituisce solo un addendo, conservativo perché questo comprende anche un secondo addendo non conservativo: il campo elettrico indotto

Tensione elettrica

La tensione elettrica è definita come l'integrale di linea del campo elettrico E lungo la linea l, aperta o chiusa, orientata dal versore t: La tensione elettrica è un numero reale che, a parità di campo elettrico, dipende dalla linea l e dalla sua orientazione; in particolare invertendo l'orientazione la grandezza scalare che esprime v(t) inverte il proprio segno. È anche evidente che se E varia nel tempo, variabile risulta anche la tensione elettrica.

Tensione elettrica e differenza di potenziale

Si consideri una regione ove il campo elettrico sia conservativo in quanto costituito dal solo addendo elettrostatico, E=E_c. Per ogni linea l appartenente a tale regione la tensione elettrica non dipende da l, ma solo dalla collocazione dei suoi estremi A e B. Infatti, essendo E conservativo mostra come la tensione elettrica in un campo conservativo sia pari alla differenza tra i valori che il potenziale elettrico U assume in A e B. Pertanto nelle condizioni suddette la tensione elettrica è detta differenza di potenziale.

Voltmetro

Le tensioni elettriche si misurano con lo strumento chiamato voltmetro; esso comprende due conduttori filiformi flessibili che terminano in due "puntali" e sono marcati diversamente: uno col segno + e l'altro col segno -. Il voltmetro ideale con la sua presenza non modifica il campo elettrico e non provoca alcun moto di cariche elettriche lungo i suoi conduttori. Inoltre indica, istante per istante, la tensione in valore e segno, per quanto rapidamente essa vari.

Introduzione allo studio delle reti elettriche

Reti elettriche

Una rete elettrica costituisce il modello semplificato di un qualsiasi sistema in cui avvengono fenomeni di tipo elettrico. La rete è sostituita da contenitori chiusi forniti in generale di n "terminali" elettrici. In base al numero n di terminali, i contenitori sono detti "bipoli" o in generale "n-poli". I terminali dei contenitori sono collegati tra di loro da conduttori "ideali", lungo i quali può fluire corrente elettrica.

Le ipotesi fondamentali alla base del modello della rete elettrica, la cui giustificazione verrà data nel seguito, sono:

• Lungo i conduttori la carica elettrica si muove liberamente e i conduttori sono equipotenziali (il campo elettrico lungo i conduttori è nullo)
• Lo spazio all'esterno dei bipoli (o n-poli) e dei conduttori è isolante (la densità di corrente è nulla)
• All'esterno dei bipoli (o n-poli) il campo elettrico è conservativo
• All'esterno dei bipoli (o n-poli non vi è accumulo di carica)

Ne seguito verranno considerate quasi esclusivamente "scatolette" dotate di due soli terminali, ossia bipoli. I bipoli potranno rappresentare elementi circuitali diversi, come resistori, condensatori, induttori, generatori, ecc. Per una qualsiasi rete di bipoli, si definiscono i seguenti elementi topologici:

• Nodo: punto di giunzione in cui convergono almeno due conduttori
• Lato: tratto di rete tra due nodi consecutivi, comprendente almeno un bipolo
• Maglia: insieme di lati (bipoli) che costituiscono un percorso chiuso all'interno della rete

Bipoli elettrici

Proprietà fondamentali

I bipoli hanno le seguenti proprietà fondamentali, conseguenze delle proprietà enunciate nei capitoli precedenti:

1. La corrente entrante ad un terminale è uguale alla corrente uscente all'altro terminale, ovvero la somma delle correnti entranti nel bipolo è nulla. In altre parole, il campo di corrente è solenoidale
2. La tensione tra i due terminali è una differenza di potenziale; in altre parole, il campo elettrico al di fuori del bipolo è conservativo.

Convenzioni per tensione e corrente su un bipolo e potenza elettrica scambiata da un bipolo

I riferimenti di tensione e di corrente ai terminali di un bipolo possono essere fissai in modo arbitrario. Per evitare errori, è conveniente indicare al più presto sul circuito i riferimenti scelti sia per la tensione che per la corrente e non modificarli successivamente. A seconda dell'orientazione reciproca dei riferimenti di tensione e di corrente, su ciascun bipolo sono possibili solo due combinazioni:

1. La convenzione del generatore, il riferimento di corrente esce dal terminale
2. La convenzione dell'utilizzatore, il riferimento di corrente entra nel terminale contrassegnato positivo per la tensione

Considerando un generico bipolo, il prodotto dei valori della corrente e della tensione vale: dove il termine p ha le dimensioni di potenza. Nei bipoli convenzionati da generatore, il prodotto p viene definito potenza uscente, in quelli convenzionati da utilizzatore p è definito potenza entrante. In entrambi i casi i valori di p possono essere positivi o negativi.

Nell'uso comune qualunque sia la convenzione applicata al bipolo, la potenza uscente positiva (o entrante negativa) viene detta potenza erogata, e la potenza entrante positiva (o uscente negativa) viene anche detta potenza assorbita.

N-poli

Esistono componenti elettrici nei quali sono presenti più tubi di flusso della corrente, oppure tubi ramificati. Un tale componente presenta n sezioni terminali attraverso le quali avviene la conduzione di corrente elettrica e quindi esso è schematizzabile con un n-polo che presenta n terminali (o poli), uno per ogni sezione. Si parla specificamente di tripolo se n=3, di quadrupolo se n=4, ecc. Un n-polo ha n correnti ai terminali.

Proprietà fondamentali

Gli n-poli hanno le seguenti proprietà fondamentali, generalizzazioni delle analoghe proprietà già enunciate per i bipoli:

1. È nulla la somma delle correnti uscenti ai terminali
2. La tensione tra una qualsiasi coppia di terminali è una differenza di potenziale

M-poli

Porta elettrica

Si dice porta elettrica (porta) di un n-polo una coppia di terminali in cui la corrente entrante ad uno dei due terminali è uguale alla corrente uscente all'altro terminale: si parla dunque di corrente di porta. La tensione fra i due terminali viene chiamata tensione di porta; la loro completa determinazione richiede che siano assegnati i relativi riferimenti.

M-bipolo

Possono esistere n-poli in cui n terminali sono raggruppabili in m=n/2 ben definite porte. Si parla esplicitamente di bipolo se m=1, di doppio bipolo se m=2, di triplo bipolo se m=3, ecc. Inoltre un qualsiasi n-polo può essere visto come un m-bipolo. Le grandezze elettriche che si considerano in un m-bipolo sono le m tensioni di porta e le m correnti di porta.

Doppi bipoli

In un doppio bipolo si individuano 2 tensioni di porta e 2 correnti di porta. Non si considerano le tensioni esistenti fra terminali delle due porte. Il caso più importante di doppio bipolo è rappresentato dal trasformatore.

Fenomeni di conduzione e resistori

Leggi di Ohm e di Joule

La corrente elettrica dipende dalle forze elettriche che agiscono sulle cariche stesse. Tali sono le forze elettromagnetiche, alle quali è associato il campo elettrico.

Resistenza elettrica e legge di Ohm

Un conduttore cilindrico omogeneo di sezione normale S collegato ad un generatore elettrico è sede di un campo di corrente J al quale corrisponde la corrente I, costante nel tempo. In tali condizioni si osserva che esiste una relazione di proporzionalità diretta tra i valori di I e V; si può quindi definire il parametro: R=V/I che è detto resistenza elettrica ed ha unità di misura di ohm, quantità omogenea a [V/A]. Valgono quindi le seguenti relazioni, che esprimono la legge di Ohm: V=RI e I=(1/R)V=GV ove G=1/R è la conduzione elettrica, con unità di misura di siemens [S].

Effetto Joule

L'esperienza di Joule dimostra che nella condizione precedente il cilindro percorso da corrente si riscalda e dunque è sede di dissipazioni (effetto Joule). Si osserva come il tratto di cilindro lungo l, avente resistenza R e percorso dalla corrente I costante, dissipa la potenza P_d, avente unità di misura di watt [W]: P_d =RI².

Bilancio energetico e potenza elettrica fornita

La potenza dissipata P_d coincide con la potenza elettrica P assorbita dal tratto di cilindro. Si può anche scrivere: P_d =RI²=VI=P.

Resistività e conducibilità dei materiali

I parametri R e G dipendono dalla sezione normale S e dalla lunghezza l del tratto di cilindro in base alle seguenti relazioni: il parametro ρ è detto resistività e ha unità di misura di ohm*metro. Il suo reciproco γ=1/ρ è detto conducibilità e ha unità di misura di siemens/metro. La maggior parte dei materiali presenta legame lineare tra tensione e corrente; ma esistono anche materiali non lineari, che presentano resistività variabile al variare della corrente.

Classificazione dei materiali

La resistività può assumere valori molto diversi da materiale a materiale ed in relazione a ciò i diversi materiali vengono classificati come è delineato nel seguito.

Superconduttori

I superconduttori del primo tipo sono metalli puri che presentano resistività nulla; tuttavia tale proprietà viene persa appena il materiale è immerso in un debole campo magnetico o percorso da una densità di corrente anche piccola. I superconduttori di secondo tipo sono leghe particolari che mantengono resistività nulla fino a campi magnetici di diversi Tesla e densità di corrente fino a diversi kA/mm². Alcuni materiali ceramici contenenti terre rare sono denominati superconduttori ad alta temperatura in quanto assumono tale proprietà già a temperature dell'ordine di 77K.