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Circuito a costanti concentrate circuito a costanti

Il modello di una struttura elettrica è definito come

concentrate. bipolo.

L’elemento fondamentale del circuito è il Le tensioni e le

2 leggi di Kirchhoff.

correnti presenti in un circuito devono soddisfare le Il modello

è un’approssimazione della realtà, quindi bisogna tenere

a costanti concatenate ipotesi:

sempre in considerazione le

!

• Le dimensioni della regione di interesse devono essere abbastanza piccole da poter

essere trascurate.

• Conseguenza del primo punto è che la velocità di propagazione del fenomeno

elettromagnetico risulti essere infinita.

• Il tempo di trasmissione del fenomeno elettromagnetico da un punto a d un altro

della regione di interesse risulti essere nullo. tempo

L’ipotesi che più si presta alla verifica di validità è quella che riguarda il

che impiega il campo elettromagnetico a spostarsi da una regione all’altra. Questo

Per ogni applicazione delle

tempo deve essere molto piccolo da potersi trascurare.

strutture elettriche è completamente fissata la larghezza dell’intervallo di

frequenza in cui cadono gli spettri delle grandezze elettriche.

1

=

t f

min max

2

Il tempo impegato dal campo magnetico per spostarsi da un punto all’altro

t<=L/c.

risulta essere sempre Quindi la verifica da fare è che:

L 1 2L 1

≤ → ≤

f ⋅

max

c 2 c f 2

max c

L’ipotesi di costanti concatenate coincide con l’ipotesi di velocità infinita, ma

essendo: 1

=

c εµ

Questo implica che il prodotto tra epsilon e mu sia nullo, il che avviene in 3 casi:

! Regione di tipo 1: epsilon e mu entrambe nulle quindi sia il campo magnetico che

l’induzione elettrica sono nulle, non vi è energia elettrica o magnetica immagazzinata. In questa

vuoto, conduttore perfetto e resistore.

regione troviamo i componenti:

Regione di tipo 2: epsilon ha valore nullo mentre la permeabilità magnetica mu no. Di

conseguenza risulta nulla l’induzione elettrica e l’energia elettrica immagazzinata. Le componenti

induttori, induttori accoppiati e trasformatori.

sono:

Regione di tipo 3: mu ha valore nullo mentre la costante dielettrica epsilon no. Di

conseguenza sarà nulla l’induzione magnetica e l’energia magnetica immagazzinata. Il

condensatore.

componente appartenente a questa regione è il

Leggi di Kirchhoff

Prima legge: la corrente che complessivamente entra in una superficie chiusa

è la stessa che vi esce.

!

Seconda legge: la somma algebrica delle tensioni che si incontrano

spostandosi in un circuito lungo una linea chiusa e finita, è nulla. Le tensioni

vanno considerate positive se concordi col verso di spostamento e negative se

discordi. Proprietà del circuito a costanti concentrate

Gli elementi costituenti il circuito elettrico ed il circuito stesso devono possedere

linearità e permanenza.

delle proprietà quali Queste proprietà sono molto

importanti perché permettono l’analisi di circuiti che godono di queste proprietà

con metodi semplici e potenti

Linearità: il campo o il circuito è lineare se l’effetto dovuto a una causa

qualsiasi è proporzionale a essa. Conseguenza di tale proprietà è il principio di

cioè l’effetto dovuto a più cause che agiscono

sovrapposizione degli effetti,

contemporaneamente è la somma delle cause che agiscono da sole. Le equazioni

e le

costitutive degli elementi che compongono il circuito sono lineari,

rappresentazioni dei circuiti sono equazioni lineari.

Permanenza: il componente o il circuito è permanente se l’effetto dovuto a

una qualsiasi causa non dipende dall’istante di tempo in cui viene applicata

Altre proprietà sono:

Reciprocità: proprietà generale dei circuiti o degli elementi che li

compongono, riguarda l’interazione di due eccitazioni sullo stesso circuito.

Casualità: in qualunque istante t , l’effetto dipende solo dalla causa all’istante

0

t<t .

0

Passività: il componente o il circuito è passivo se l’effetto di una causa di

breve durata tende a scomparire nel tempo oppure si mantiene limitato.

L’elemento o il circuito non può fornire energia. La condizione matematica per

definire un circuito passivo è data dalla relazione:

t

∫ ≥

p(t)dt 0

−∞

Relazioni costitutive

I bipoli, elementi ideali a 2 terminali, che compongono il circuito a costanti

concentrate lineare e permanente sono:

Resistore: v(t)=R i(t)

Condensatore: i(t)=C dv(t)/dt

Induttore: v(t)=L di(t)/dt

Generatore indipendente di tensione ideale: v(t)= v (t)

0

Generatore indipendente di corrente ideale: i(t)= i (t)

0

Corto circuito: v(t)=0

Circuito aperto: i(t)=0

reti 2 porte,

Le cioè elementi ideali a più terminali e attivi, che compongono un

circuito elettrico a costanti concentrate sono: =

⎧ v ci

2 1

Generatore di tensione controllato in corrente: ⎨ =

v 0

⎩ 1

=

! ⎧ v Av

Generatore di tensione controllato in tensione: 1

⎨ =

i 0

⎩ 1

! =

⎧ i ki

Generatore di corrente controllato in corrente: 2 1

⎨ =

v 0

! 1 =

Generatore di corrente controllato in tensione: i gv

2 1

⎨ =

= i 0

⎧ v 0

! 1

1

Nullore: ⎨ =

i 0

⎩ 1 =

⎧ v nv

! ⎪ 1 2

Trasformatore: ⎨ 1

= −

i i

⎩ 1 2

n Taglio

prima legge di Kirchhoff, correnti

Applicando la cioè l’equilibrio delle che

taglio rami

attraversano una superficie finita e chiusa, posso definire l’insieme dei

toccati dalla superficie di interesse. Ossia quella superficie (linea chiusa) che

interessa ciascun elemento una volta sola.

Maglia

seconda legge di Kirchhoff, tensioni

Applicando la cioè l’equilibrio delle lungo una

maglia rami

linea chiusa e finita, posso definire l’insieme dei toccati dalla superficie

di interesse. Ossia quella superficie (linea chiusa) che interessa gli elementi in

corrispondenza dei propri morsetti e ambedue contemporaneamente.

Per la soluzione di problemi legati ai circuiti elettrici si fa uso di diversi metodi per

trovare le variabili indipendenti, la quale diventa immediata se si fa uso dei concetti

albero e co-albero.

di Albero

L’albero è l’insieme connesso di rami che comprende tutti i nodi del grafo senza

formare percorsi chiusi.

Co-albero

Il co-albero è l’insieme dei rami del grafo non appartenenti all’albero.

Si verifica che se i rami sono R e i nodi sono N, l’albero è composto da N-1 rami e

il co-albero dai restanti R-(N-1).

Maglia fondamentale maglia,

Se all’albero aggiungo un qualsiasi ramo del coalbero si crea una e queste

maglie sono tante quante i rami del co-albero cioè R-N+1.

Taglio fondamentale

Se all’albero tolgo un ramo questo viene suddiviso in 2 parti, è possibilie individuare

un taglio costituito da quel ramo di albero e da altri rami apparteneti al co-albero.

Un taglio di questo tipo prende il nome di taglio fondamentale. Avrò N-1 tagli

fondamentali.

grandezze indipendenti albero TENSIONI

Le associate ad un sono le dei rami

dell’albero stesso, poiché non esistono dei legami tra tali quantità e perché le

tensioni dei rami del co-albero sono esprimibili in funzione di esse.

grandezze indipendenti co-albero CORRENTI

Le associate al sono le dei rami

appartenenti al co-albero stesso, poiché non esistono dei legami tra tali quantità e

perché le correnti dei rami dell’albero sono esprimibili in funzione delle correnti dei

rami del co-albero.

forma matriciale

In e con l’applicazione diretta delle leggi di Kirchhoff possiamo

riassumere così:

[ ] [ ]

[ ]

+ = → a

I A I 0 1 Kirchhoff

a c

[ ] [ ]

[ ]

+ = → a

V B V 0 2 Kirchhoff

c a

A B +1,-1 0.

Le matrici e sono composte da e

[B]=-[A] T

Si dimostra che

Analisi su base MAGLIE

I vari metodi differiscono per il modo in cui vengono scelte le incognite o variabili

ausiliarie. Analizzando un circuito su base maglia, le correnti del co-albero sono un

insieme di grandezze indipendenti, vengono prese come variabili ausiliarie e si scrive

l’equilibrio delle tensioni per le maglie fondamentali associate all’albero scelto.

Tale sistema è valido in quanto il numero delle equazioni è mari al numero delle

incognite. Quindi il numero delle equazioni coincide con il numero delle maglie

fondamentali, cioè con il numero dei rami del co-albero. Le equazioni sono

indipendenti tra loro, ciascuna esprime l’equilibrio delle tensioni di una maglia

fondamentale nella quale è presente un solo ramo di co-albero quindi un termine

che sicuramente non comparirà nelle altre equazioni. Le uniche incognite sono le

variabili ausiliarie scelte quindi le correnti dei rami del coalbero.

Nel caso siano presenti generatori dipendenti nullori e trasformatori ci saranno

equazioni di vincolo.

! Nullore: si scompone nella configurazione nullatore-noratore e si sostituisce

un corto circuito al nullatore e un generatore di tensione incognita al noratore.

i = f(i ) = 0

Equazine di vincolo nullore maglia

Generatore dipendente: v = kf(i ,v ,R )

Equazine di vincolo generatore maglia gi i

Generatore indipendente di corrente:

Equazine di vincolo i = I

maglia g

Analisi su base NODI

Il metodo su base nodi è il più usato nelle applicazioni perché permette un

risparmio computazionale. Poichè il sistema risolvente è strettamente legato ad un

albero del circuito si utilizza la nozione di grafo aumentato che garantisce che tutte

le coppie di nodi sono tra loro connesse. Nell’ambito del circuito aumentato si può

ignorare il contributo dei rami fittizzi aggiunti e la soluzione di tale sistema coincide

con la soluzione del sistema di partenza.

Per la costruzione del sistema si sceglie quindi un albero sul grafo aumentato

associato al circuito, si prendono come variabili ausiliarie le tensioni dei rami

dell’albero e si scrivono le equazioni di equilibrio delle correnti per i tagli

fondamentali associati all’albero scelto.

Equazioni di vincolo

Generatore indipendente di tensione:

! = ΔE

i ,v

! x g

i

! Generatori controllati:

! =

I kf (E, I ,G )

g g i

! c i

!

Nullori: scomposto nella configurazione nullore-noratore ,

nullatore(circuito aperto), noratore(generatore di corrente incognita),

v =0

nullatore

! Circuiti con memoria

La risoluzione dei circuiti con memoria è più complicata in quanto si analizza il

circuito nel dominio del tempo. L’analisi di un circuito con memoria richiede

l’individuazione di un sistema integro-differenziale. La risoluzione del sistema

integro-differenziale porterà alla suddivisione della risposta completa in libera,

cioè soluzione dell’omogenea associata, e in forzata, corrispondente alla

soluzione dell’integrale particolare della soluzione dell’equazione differenziale.

Una notevole semplificazione può essere ottenuta utilizzando la trasformazione

di Laplace che permette di trasformare sistemi integro-differenziali in sistemi

algebrici nella variabile di Laplace.


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Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria civile e industriale (LATINA)
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