Elettrotecnica

D 1

R OMANDA

EGOLAMENTO Definire e commentare brevemente le grandezze energetiche

Elettrotecnica

proibito utilizzare testi e/o appunti usate per descrivere il funzionamento di un circuito in regime

proibito utilizzare calcolatrici programmabili, pal- sinusoidale permanente. Enunciare e dimostrare il teorema di

ari, ecc. conservazione della potenza complessa. (8 punti)

proibito uscire dall’aula durante lo svolgimento esame 29/01/2009

lla prova D 2

OMANDA

Descrivere brevemente la topologia di un circuito facendo

riferimento al concetti di albero e co-albero ed individuare i

E 1

SERCIZIO gruppi di grandezze indipendenti ad essi associate. (8 punti)

Una struttura topologica è invariante

R R

1 2 rispetto ad una deformazione continua.

albero

Un è un insieme connesso di rami

FORMULE UTILI

che tocca tutti i nodi e non forma percorsi chiusi.

t) (t)

v C R

c 2 co-albero

Un è l’insieme complementare

jφ

= + =

z a jb Ae

dell’albero. ȷ ff

b

√ 2 2

= + = arctan

A a b φ

Le grandezze indipendenti sono:

a [ ] [ ]

[ ] [ ]

+ =

riferimento allo schema circuitale mostrato in I A I 0

!

= cos(φ) = sin(φ)

a A b A a c

correnti dei rami del co-albero I

le

colare la tensione (t) ai capi del condensatore

v [ ] ( ) ( )

c → − × − +

c C A N 1 R N 1

L

−pt

stante di tempo sapendo che = 2u (t), [V],

V (t)

Ce u

non esistono per definizione tagli composti da soli rami del coalbero

−→

−1

g +

−1 s p { }

[V], = 4 [Ω], = 2 [Ω], = 0.5 [F]. Dire

R R C = ±1

1 2 a 0;

! 1 ij

il circuito è stabile. (8 punti) L

(t)

u −→

−1 s [ ] [ ]

[ ] [ ]

! + =

V B V 0

tensioni dei rami dell’albero V

le c a

a [ ] ( ) ( )

→ − + × −

B R N 1 N 1

essendo l’albero per definizione privo di maglie { }

= ±1

b 0;

!

E 2

SERCIZIO ij

Cognome: Matricola:

D 1

R OMANDA

EGOLAMENTO Definire e commentare brevemente le grandezze energetiche

utilizzare testi e/o appunti usate per descrivere il funzionamento di un circuito in regime

utilizzare calcolatrici programmabili, pal- sinusoidale permanente. Enunciare e dimostrare il teorema di

conservazione della potenza complessa. (8 punti)

uscire dall’aula durante lo svolgimento

In un regime permanente sinusoidale le grandezze v(t) e i(t) hanno andamento snusoidale isofrequenziale. Definita la pulsazione e i

fasori della tensione e della corrente ω D 2

OMANDA

0

Descrivere brevemente la topologia di un circuito facendo

= ϕ

I Ie j

riferimento al concetti di albero e co-albero ed individuare i

v

E 1

SERCIZIO    

gruppi di grandezze indipendenti ad essi associate. (8 punti)

1 ω ω ω ω

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎦

− −

= + ⋅ + =

ϕ j t * j t j t * j t

= p(t) Ve V e Ie I e

j ⎣ ⎦ ⎣

0 0 0 0

V Ve i 4

R

2 

   

  

1 1 ω ω

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

−2

= + + + =

* * 2 j t * * j t

V

I V I V

Ie V I e

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

potenza istantanea

Si può scrivere la in funzione dei fasori 0 0

FORMULE UTILI

4 4



 



(t)

v C  

R 1 1 ⎡ ⎤

ω

c 2

1 ⎡ ⎤ 2 j t

= + 0

*

Re V

I Re V

Ie

ω ω

⎡⎣ ⎤⎦

−

= + ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

j t * j t jφ

= + =

z a jb Ae

v(t) Ve V e

0 0 2 2

2 ȷ ff 



b

√ 1 1

2 2 ( )

  = + = arctan

A a b φ ⎡ ⎤ ω ϕ ϕ

= + + +

1 *

a

p(t) Re V

I VI cos 2 t

⎣ ⎦

ω ω

⎡ ⎤

−

= +

j t * j t

i(t) Ie I e

⎣ ⎦

0 0 0 v i

2 2

ento allo schema circuitale mostrato in = cos(φ) = sin(φ)

a A b A

2

tensione (t) ai capi del condensatore

v

c C

L

−pt

La potenza istantanea è quindi la somma di un termine costante e uno dipendente dal tempo il quale varia sinusoidalmente ed ha

Potenza attiva.

un valore medio pari al termine costante, lo definisco





1 ⎡⎣ ⎤⎦

= *

p Re V

I

a 2

La potenza attiva rappresenta la potenza ceduta in media al bipolo di carico dal generatore [W].

La potenza attiva non fornisce però elementi di valutazione del termine variabile della potenza istantanea, introduco quindi la

Potenza complessa.





1

= *

P V

I

c 2

( ) = +

p t p P (t)

a v



 

 



1 1 1

( ) ( )

ω

⎡⎣ ⎤⎦ ⎡⎣ ⎤⎦ ⎡⎣ ⎤⎦

ω ϕ ω ϕ

= = − − +

* 2 j t * *

P (t) Re V

I e Re V

I cos 2 t 2 i Im V

I sen 2 t 2 i

0

v 0 0

2 2 2

Il termine che si riferisce alla parte immaginaria della potenza complessa costituisce una misura della scambio energetico con gli

Potenza reattiva.

elementi immagazinatori di energia e prende il nome di

Teorema di Boucherot

Principio di conservazione della massa

!

La sommatoria delle potenze complesse in un circuito a regie permanente sinusoidale è nulla



  

N 1

∑ = +

⎡⎣ ⎤⎦ ⎡⎣ ⎤⎦

= → ⋅ =

T * P P iP

P 0 V I 0

c c a R

2

i=1 ∑ =

P 0

a

i

i

∑ =

P 0

R

i

i

Posso verificare l’ortogonalità dei vettori V e I uso il il quale afferma che se ho 2 circuiti deve valere la

* Teorema di Tellegen,

seguente relazione, in analogia considerando il secondo circuito come il coniugato del primo dimostro la veridicità del teorema.

   

T T

⎡⎣ ⎤⎦ ⎡⎣ ⎤⎦ ⎡⎣ ⎤⎦ ⎡⎣ ⎤⎦

⋅ = ⋅ =

V I V I 0

1 2 2 1 D 2

OMANDA

Descrivere brevemente la topologia di un circu

riferimento al concetti di albero e co-albero ed i

E 1

SERCIZIO gruppi di grandezze indipendenti ad essi associate

R R

1 2 FORMULE UTILI

+ (t)

V (t)

v C R

g

- c 2 jφ

= + =

z a jb Ae ȷ ff

b

√ 2 2

= + = arctan

A a b φ a

Facendo riferimento allo schema circuitale mostrato in = cos(φ) = sin(φ)

a A b A

figura calcolare la tensione (t) ai capi del condensatore

v

c C

L

−pt

per ogni istante di tempo sapendo che = 2u (t), [V],

V (t)

Ce u −

→

−1

g +

−1 s p

(0) = 2 [V], = 4 [Ω], = 2 [Ω], = 0.5 [F]. Dire

v R R C

1 2

c 1

inoltre se il circuito è stabile. (8 punti) L

(t)

u −→

−1 s

E 2

SERCIZIO L

R

1

(t)

I C R R

2

g 2

Elettrotecnica teoria completa

1.Circuito a costanti concentrate

2.Leggi di Kirchhoff

3.Proprietà del circuito a costanti concentrate

4.Relazioni costitutive

5.Analisi su base maglie

6.Analisi su base nodi

7.Equazioni di vincolo

8.Circuiti con memoria

9.Componenti senza me