Elettronica - sistemi Primo Ordine

Ordine di un sistema

L'ordine di un sistema dipende dal numero di elementi accumulatori di energia; ad ogni elemento corrisponde una variabile, detta di stato, che rappresenta l'evoluzione energetica del sistema, compresa la sua condizione iniziale. Gli elementi devono essere indipendenti nel senso che non devono essere riconducibili ad un unico elemento: ad esempio, due condensatori in parallelo corrispondono in realtà ad un unico componente e il sistema è del 1^o ordine.

I sistemi del primo ordine sono caratterizzati da una sola variabile di stato e da un solo elemento accumulatore di energia (induttore, condensatore, molla, ecc.), oltre che da elementi dissipatori (resistori elettrici, resistori termici, smorzatori, ecc.). Le variabili d'uscita dipendono delle variabili di ingresso, dalle variabili di stato e dai parametri del sistema.

Discussione qualitativa sulla carica in un circuito RC, esponenziale e costante di tempo

Si consideri il circuito RC serie alimentato da un generatore di tensione costante. Si definiscono le seguenti variabili:

• E: tensione di alimentazione
• v_r: tensione sulla resistenza
• v_c: tensione sul condensatore
• i: corrente di maglia

Il modello matematico del circuito è formato da:

• l'equazione alla maglia, E = v_r + v_c; v_r = E - v_c
• legge di Ohm i = v_r/R
• differenza di carica Δq = C * Δv
• equazione costitutiva del condensatore

Alla chiusura del circuito si consideri il condensatore scarico, v_c(0) = 0; quindi v_r = E + 0 = E; i = E / R. Circolando corrente il condensatore si carica, v_c aumenta. Quindi v_r diminuisce, e così anche i. Circola sempre corrente ma in misura minore; il condensatore si carica ma di meno e allo stesso modo v_c.

Più v_c aumenta, meno corrente circola e più lentamente aumenta v_c. v_c si avvicina sempre di più ad E e quando, idealmente, v_c = E, v_r = 0, i = 0, il condensatore non si può più caricare e il processo di carica si arresta. Si conclude affermando che a regime, per tempi molto lunghi, il condensatore è un circuito aperto.

L'analisi svolta è generalizzabile a qualunque circuito resistivo (più resistenze) con un solo condensatore, alimentato da generatori costanti e sottoposto a gradini dei generatori o tasti che modificano improvvisamente il circuito. È necessario valutare il circuito equivalente di Thévenin visto dai capi del condensatore e valutare v_c(0) prima del cambiamento. La determinazione della tensione ai capi del condensatore è obbligatoria in quanto variabile di stato.

L'andamento temporale è un esponenziale: v_c(t) = v_cf - (v_cf - v_ci) * e^-t/τ con:

• v_cf: tensione equivalente di Thévenin
• v_ci: tensione prima del cambiamento
• τ = C * R_eq
• R_eq: resistenza equivalente di Thévenin

Tutte le altre variabili si evolvono con lo stesso tipo di legge tranne:

• bisogna studiare il circuito iniziale non semplificato con Thévenin
• il valore iniziale, subito dopo il cambiamento, può non coincidere con il valore precedente
• il valore finale va calcolato con il condensatore aperto

Studio nel dominio del tempo di un circuito RC alle differenze finite

Si consideri il circuito serie RC al quale applichiamo un generatore di tensione di forma arbitraria. La tensione sul condensatore, v(t), è per il sistema una variabile di stato e bisogna conoscere il suo valore iniziale. Il sistema è descritto da:

• Equazione alla maglia: v_I(t) = v_R(t) + v_C(t)
• Legge di Ohm: v_R(t) = R * i(t), con i(t) corrente di maglia e quindi anche sul condensatore
• Modello matematico del condensatore tra tensione e corrente: i(t) = C * Δv_C(t)/Δt

Con Δt intervallo temporale finito e Δv_C(t) = v_C(t + Δt) - v_C(t). Sostituendo si ottiene il sistema:

• v_I(t) = R * C * Δv_C(t)/Δt + v_C(t)
• v_C(t + Δt) = v_C(t) + v_C(t)

Da cui l'espressione finale:

• Δv_C(t) = (v_I(t) - v_C(t)) * (Δt/RC)
• v_C(t + Δt) = v_C(t) + Δv_C(t)

Conoscendo v_I(0)v_C(0); si sostituisce nella seconda equazione e si ricava v_C(Δt); conoscendo v_I(Δt), si ricava v_C(Δt); si sostituisce nella seconda equazione e si ricava v_C(2Δt). Si continua per iterazione fino al tempo desiderato.

Circuito CR: R e C si scambiano di posto

Lo studio è identico. Semplicemente la variabile di uscita è la tensione.