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I C C
Δ
v (t+Δt) = v (t) + v (t)
C C C
da cui l'espressione finale: Δt/RC
Δ v (t) - v (t) ) *
v (t) = (
C I C Δ
v (t+Δt) = v (t) + v (t)
C C C Δ
v (0) - v (0) ) , si ricava v (0);
Conoscendo( I C C
si sostituisce nella seconda equazione e si ricava v (Δt);
C
Δ
Conoscendo v (Δt) - v (Δt) ), si ricava v (Δt);
( I C C
si sostituisce nella seconda equazione e si ricava v (2Δt);
C
Si continua per iterazione fino al tempo desiderato.
4. Circuito CR
R e C si scambiano di posto.
Lo studio è identico. Semplicemente la variabile di uscita è la tensione sulla resistenza.
Di conseguenza i segnali a frequenza alta passano e i segnali a frequenza bassa, compresa la continua ,
non passano: il circuito si comporta da filtro passa alto.
5. Transitorio e regime: tempi di risposta ed errore a regime.
La risposta di un sistema è composta da due parti:
fase transitoria, andamento della risposta dall'istante iniziale fino a quando non ci sono più
∞
variazioni, teoricamente per t → . Nel caso di sistemi del primo ordine, praticamente si assume
che il transitorio si esaurisca dopo 5-6 volte la costante di tempo. La durata del transitorio
caratterizza il comportamento dinamico del sistema: se dura poco o molto, relativamente a un
riferimento, il sistema è lento o veloce. Una valutazione quantitativa si effettua attraverso i seguenti
tempi: tempo di salita (Tr, rise time) tempo affinchè il segnale passi dal 10% al
o 90% del valore finale
tempo di ritardo (Td, delay time) tempo affinchè il segnale passi
o dall'istante iniziale al 50% del valore finale
tempo di assestamento (Ta, settling time) tempo per rientrare
o definitivamente entro il 5% (o diversamente indicato, 1-2-3%) del valore
finale
condizione di regime, valore che assume la risposta per tempi molto lunghi. Spesso nei sistemi di
controllo si vuole che l'uscita assuma il valore dell'ingresso; una condizione di regime diversa
dall'ingresso rappresenta quindi l'errore a regime del sistema. In altre parole si parla di precisione a
regime.
per un sistema del 1° ordine la durata del transitorio dipende solo dall'unica costante di tempo del
circuito: τ
Tr = 2,2
o τ
Td = 0,7
o τ
Ta = 3
o
Circuito RC
6. Circuito RC. Risoluzione con Excel.
Di seguito vengono riportati i grafici delle riposte della rete RC alle sollecitazioni di prova.
Da memorizzare:
con segnali di ingresso costanti a regime il C è un ca
il valore medio del segnale di ingresso cade ai capi del C e non della R
ad alta frequanza il C è un cc, mentre a bassa è un ca
a partire da un'onda quadra è possibile ottenere un'onda quasi triangolare
a regime sinusoidale tutte le tensioni e le correnti sono sinusoidi isofrequenziali: può
cambiare solo l'ampiezza e la fase
Considerazione finale
L'analisi alle differenze finite mette in evidenza alcune caratteristiche dei sistemi. Tuttavia
rimane un metodo di analisi e non di progetto. Al 4° anno studieremo i circuiti, anche più
complessi, attraverso la Trasformata di Laplace che ci permetterà di studiare in modo
completo le reti lineari. Risposta al
gradino
τ
=0,1s
Il transitorio si
esaurisce dopo
τ.
circa 5-6 Le
caratteristiche
dinamiche
dipendono solo
τ
da
La tensione
sulla
resistenza
dopo un
improvviso
fronte iniziale,
ritorna a zero.;
quindi anche
la corrente nel
circuito torna
a zero e il
condensatore
non si carica
più.
La tensione sul
condensatore a
regime raggiunge
la tensione di
ingresso: errore
nullo a regime.
A regime il
condesatore si
comporta come
un circuito
aperto.
Risposta
all'onda quadra
τ:
con T >>
e dutycycle 50%
T= 1 s
τ
=0,1 s
Vc segue,
esponenzialment
e, la
sollecitazione
rimanendo
continua.
Vr subisce i fronti
e dopo il
transitorio ritorna
a zero.
Il valore medio di
Vr è zero (area
superiore uguale
all'area inferiore);
il valore medio di
Vc deve essere
uguale a quello
della
sollecitazione:
2,5V.
Si osservi che in
un circuito in cui
agisce un
generatore
unipolare è
possibile la
presenza di
evoluzioni
temporali
bipolari.
Risposta
all'onda quadra
τ
con T = 2 e
dutycycle 80%
T= 0,2 s
τ
=0,1 s
Aumentando il
dutycycle,
aumenta il valore
medio in ingresso
(4V). Poichè
τ
T<5
l'esponenziale
non può
completare il
transitorio: Vc è
formato dai primi
tratti di
esponenziale
centrati intorno a
4V. Al diminuire
di T i tratti
impegnati di
esponenziale
sono sempre più
piccoli e Vc
diventa sempre
più triangolare.
Il valore medio di
Vr deve essere
zero.
Risposta
all'onda quadra
τ
con T = 2 e
dutycycle 20%
T= 0,2 s
τ
=0,1 s
Il dutycycle
diminuisce e così
il valore medio in
ingresso (1V) e di
Vc
Il valore medio di
Vr deve essere
zero.
Risposta
all'onda quadra
τ
con T >> e
dutycycle 20%
T= 1 s
τ
=0,1 s
Con il dutycicle
20%, il tempo
durante il quale il
segnale si
mantiene a livello
alto è pari a 0,2
s, essendo tale
tempo inferiore a
τ
5 la tensione
sul condesatore
non raggiunge il
valore di regime.
Risposta
all'onda quadra
τ
con T >> e
dutycycle 80%
T= 1 s
τ
= 0,1 s
La tensione sul
condesatore
riesce a
raggiungere il
valore finale
poiché il tempo
durante il quale il
segnale
d'ingresso si
mantiene a livello
alto è maggiore
τ.
5
10. Risposta
all'onda quadra
τ
con T <<
T= 0,5 s
τ
= 5 s
Vc assume un
andamento quasi
triangolare,
formato dai tratti
iniziali
dell'esponenziale
: dopo il solito
transitorio, l'onda
triangolare sul
condensatore si
assesta su un
valore medio
(componente
continua) pari al
valore medio del
segnale di
ingresso.
Risposta alla
rampa
Transitorio e
valore di
regime.
τ
=0,1 s
Dopo un
transitorio
iniziale, l'uscita è
anch'essa una
rampa con la
stessa pendenza
di quella
dell'ingresso, ma
traslata.
Quindi a regime
l'uscita differisce
dall'ingresso di
un valore
costante: si
osserva un errore
finito a regime.
Risposta alla
sinusoide con T
τ τ
)
<< (f >>1/
T= 0,1 s
τ
=0,1 s
Considerazioni
introduttive sul
comportamento
da filtro.
Dopo un
transitorio iniziale
la risposta è una
sinusoide con la
stessa
frequenza del
segnale di
ingresso, ma
attenuata e
sfasata in ritardo
di quasi 90°. Si
può affermare
che il segnale a
frequenza alta
non passa.
Praticamente:
se
l'ingresso
è
costante
il C si
carica e
diventa
un ca
se
l'ingresso
è una
sinusoide
il C è
costretto
continua
mente a
caricarsi
e
scaricarsi
. Se la f è
troppo
alta non
ha il
tempo di
caricarsi
e
scaricarsi
e
l'ampiezz
a della
tensione
ai suoi
capi è
ridotta: il
segnale
non
passa.
Risposta alla
sinusoide con T
τ τ
)
>> (f << 1/
0,5 s
T=
τ
=0,1 s
Considerazioni
introduttive sul
comportamento
da filtro.
Dopo un
transitorio iniziale
la risposta è una
sinusoide con la
stessa frequenza
del segnale di
ingresso, meno
attenuata e
sfasata rispetto al
caso precedente.
Si può affermare
che il segnale a
frequenza bassa
passa.
Il circuito quindi
presenta
caratteristiche
discriminatorie
rispetto alla
frequenza:
alcune frequenza
passano, altre
no. Si parla di
FILTRO e
in questo caso di
filtro passabasso
perchè passano
le basse
frequenze.
L'argomento sarà
trattato
ampiamente al 4°
anno in
Elettronica.
Osservazione: il
picco di vc si ha
sempre
all'intersezione
con la
sollecitazione...
Risposta alla
sinusoide con
valore medio
non nullo
T= 1s
τ
=0,1
Dopo un
transitorio iniziale
la risposta è una
sinusoide con la
stessa frequenza
del segnale di
ingresso. Essa è
meno attenuata e
sfasata rispetto al
caso precedente
e tende sempre
più ad assumere
la stessa forma
dell'ingresso. Si
può concludere
che minore è la
frequenza più il
segnale passa.
La Vr presenta
un valore medio
nullo, mentre la
sinusoide
d'ingresso
presenta un
valore medio pari
a 10, uguale al
valore medio di
Vc: la
componente
continua passa
integralmente.
Con la
sovrapposizione
degli effetti ( il
circuito è lineare)
la sollecitazione
si può scomporre
come somma di
una componente
continua ed una
componente
variabile con
valore medio
nullo: si tratta di
due generatori di
tensione in
serie.L'equazion
e alla maglia
deve essere
valida per ogni
singola
componente.
Risposta alla
sinuoide con
valore medio
non nullo
T=60s
τ
=2s
Al diminuire della
f ( T aumenta) la
Vc si sovrappone
sempre di più alla
sinusoide
d'ingresso. Il
segnale passa
quasi
integralmente.
L'andamento di
Vr dimostra che
Vc differisce dalla
sollecitazione,
anche se di poco.
Risoluzione con Scilab clear;
N=5000; RC=0.1; tmax=10*RC;
dt=tmax/N;
t(1)=0; dvc1(1)=0; vc(1)=0;
vi(1)=10;
for i=2:N
t(
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