Elettronica II - Appunti

Capitolo 1: Modelli per transistori bipolari

Profilo dei portatori minoritari

Per un transistore bipolare, polarizzato in zona attiva lineare, il profilo dei portatori minoritari è quello riportato nella fig.1.1:

BE Cpn n_ _ _+ + +_ _ _I IE C+ + +_ _ _(2)+ + +_ _ _+ + + (3)_ _ _+ + +(1) _ _ _+ + +_ _ _+ + + pp n C0E0 B0 I B

Fig. 1.1 Profilo dei portatori minoritari

Le concentrazioni dei portatori minoritari nelle varie regioni, all’equilibrio termodinamico, sono date, rispettivamente, da:

2n= ip (1.1)0E N E

2n= in (1.2)0B N B

2n= ip (1.3)0C N C

Nel transistore si avranno le correnti:

• I_En, data dalla (1.4), dovuta agli elettroni iniettati dall’emettitore e che, nella maggior parte, andranno a costituire la corrente di collettore
• I_Cn, data dalla (1.5), dovuta alle lacune diffuse dalla base nell’emettitore
• I_Ep, data dalla (1.6), dovuta alle lacune generate per azione termica che vengono trascinate dal collettore alla base
• I_Cp, di ricombinazione in base, data dalla (1.7).

I_B 2 qV2A qD n BE ≅ = E n i KT I I e (1.4)

I_Cn W NB B 2 qV A qD n BE = = − E p i KT (1.5)I I ( e 1)1Ep B L NE E 2qA D n = = C p i (1.6)

I_Cp C 0 L NC C qV2Q qA W n BE1= = n E B i KTI e (1.7)τ τ 2B 2 Nn B n

Si possono quindi descrivere le correnti, rispettivamente, di Emettitore, di Base e di Collettore, in funzione delle varie componenti:

= +I I I (1.8)E En Ep

= + −I I I I (1.9)1 2 0B B B C

= +I I I (1.10)0C Cn C

Guadagno di corrente

Un importante parametro nella caratterizzazione di un transistore è il guadagno di corrente nella configurazione a base comune, definito come:

FI Iα γ α = = =

Cn Cn ˆ (1.11) + F T I I I E En Ep α γ dove è l'efficienza di emettitore, espresso dalla (1.12) e è il fattore di trasporto della base definito nella (1.13).

T I 1γ = ≅ En ˆ + D I I W N (1.12) + p En Ep B B 1 D L Nn E E

2  I W 1α = ≅ −   Cn B (1.13) 1 ˆ   T I 2 L   En n

Dalla (1.10) e dalla (1.11) si ha:

α α = + = + + I I I I I I ( ) (1.14a) C F E C 0 F B C C 0 da cui segue: α I= + C 0 F I I (1.14b) α α − − C B 1 1 F F β

Definendo il guadagno di corrente diretto in cortocircuito ad emettitore comune come:

FI - 2 Modelli per transistori bipolari α β ≡ F (1.15)α− F 1

F la (1.14b) si riscrive:

( ) β β = + + I I 1 I (1.14c) C F B F C 0

Modelli per ampio segnale di tipo statico

Il modello per ampio segnale di tipo statico più utilizzato, per un transistore bipolare, è il modello di Ebers-Moll, rappresentato nella fig.1.2. Tale modello è applicabile in tutte e quattro le regioni di funzionamento del transistore.

i C α i F F i R i B i F α i R R EF

Fig. 1.2 Modello di Ebers-Moll per un transistore NPN

Nel modello, oltre ai due diodi che rappresentano le due giunzioni, vi sono due generatori di corrente controllati che rappresentano l’effetto transistore per il quale parte della corrente di un diodo la si ritrova nell’altro.

Le correnti che interessano i due diodi sono date da:

v BE (1.16)= −Vi I ( e 1)TF ES v BC (1.17)= −Vi I ( e 1)TR CS

e sono correnti inverse di saturazione definite come:

dove I I ES CS = I A J (1.18) ES E ES = I A J (1.19) CS C CS

che compare nella (1.18) è un parametro di progetto, mentre la densità di corrente inversa L’area di emettitore A E è un parametro di processo. La stessa cosa per i parametri che compaiono nella (1.19); nel caso di un dispositivo reale, J ES anche l’area della giunzione di collettore risulta essere definita dal processo di fabbricazione. A C

Le correnti di emettitore, di base e di collettore sono:

α= −i i i (1.20) E F R R α= −i i i (1.21) C F F R = −i i i (1.22) B E C

Sostituendo nella (1.20) e nella (1.21) la (1.16) e la (1.17) si ottengono le equazioni che legano le correnti di emettitore e di collettore alle polarizzazioni:

I - 3 Modelli per transistori bipolari vv BE BC (1.23) α= − − − V Vi I ( e 1) I ( e 1) T TC F ES CS vv BE BC (1.24) α= − − − V Vi I ( e 1) I ( e 1) T TE ES R CS

Le (1.22), (1.23) e (1.24) sono ottenute per un modello statico e quindi possono essere utilizzate solo per segnali continui o lentamente variabili. Dalla (1.23) e dalla (1.24) si può vedere che, se si pone v_BC = 0, si ha:

α=i i (1.25a) C F F =i i (1.25b) E F e quindi dalle (1.25): i α = C (1.26) F i = E

0v BC α è definito come il guadagno di corrente nella configurazione a base comune quando la tensione fra base e collettore è nulla. Si parla di configurazione in base comune poiché in essa i i E C quindi la (1.26) esprime proprio il guadagno di corrente in tale configurazione.

= , dalle equazioni (1.23) e (1.24) si ottiene: Allo stesso modo, se si fissa v 0 BE i α = E (1.27) R i = C 0v BE α dove è definito come il guadagno di corrente nella configurazione a base comune in zona attiva inversa; infatti, se R >= si suppone di lavorare in zona attiva inversa con v_BE = 0 e i_v = 0, è come se si applicasse una corrente al collettore e si osservasse una corrente i E sull’emettitore.

Si introduce un altro parametro: β; per far ciò si considera la (1.22) che si riscrive come segue:

F = +i i i (1.28)E C B considerando la (1.26), la (1.28) diventa: i = +C i i (1.28a) α C B F da cui segue: α i β = ≡ C F (1.29) α− F i 1 B F

β definito nella (1.29) è il guadagno di corrente nella configurazione ad emettitore comune; infatti, in tale configurazione, la variabile d’ingresso è la corrente di base i B e la variabile d’uscita è la corrente di collettore i C, quindi la (1.29) esprime proprio un guadagno di corrente. I parametri α e β appena visti dipendono, oltre che dalla corrente di polarizzazione, anche dalla temperatura. In particolare, β, al variare della corrente di collettore e per diversi valori della temperatura, ha l’andamento riportato nella fig. 1.3.

I - 4 Modelli per transistori bipolari

β F 120°C 110 70 25°C -50°C -3 -10 -8 10 10 I C β

Fig. 1.3 Andamento di in funzione di I e della temperatura F C β. In realtà queste Si vede che c’è un range di correnti di collettore in cui si hanno piccole variazioni di F caratteristiche valgono per transistori con una ben precisa area di emettitore quindi sarebbe più esatto considerare la dipendenza di β non da I, bensì dalla densità di corrente J. Il valore di β non si può modificare perché è definito dal tipo di tecnologia, il progettista quindi può solamente variare A (oltre alle correnti), mettendo eventualmente più dispositivi in parallelo. E β ° varia con la temperatura dello . 0,7% C F

Funzionamento in interdizione

Supponendo che il transistore sia polarizzato in interdizione, cioè con V_BE << 0.7V e V_BC << 0.7V, dalla (1.16) e dalla (1.17), per v_BE e v_BC si ha:

e 1 e 1BE T BC T = −i I (1.30) F ES = −i I (1.31) R CS

Dalle (1.30) e (1.31) si vede che viene a mancare la dipendenza delle correnti dalle tensioni. Questo, nel modello, si traduce nel sostituire al diodo in cui scorre la corrente I_R, un generatore di corrente con verso opposto alla i_R CS, un generatore di corrente con verso opposto alla I_F, ottenendo così il modello di fig. 1.4(a), che può ancora essere semplificato con il modello di figura 1.4(b) perché, se non si hanno delle aree di giunzione molto grandi, I_ES ed I_CS sono dell’ordine di 10^-15 - 10^-17 A e quindi possono essere trascurate.

Ciò nel modello di fig. 1.4(b) si traduce nel sostituire i due generatori di corrente con due circuiti aperti, ottenendo così il modello di fig. 1.4(c).

i_C α I I -α I_F ES CS CS F E Si_B α α I I I - I_ES R CS R CS E Si_E (c) (b) (a) Fig. 1.4 Modelli validi nella regione di interdizione

Funzionamento in saturazione

Per quanto riguarda il funzionamento in zona di saturazione, il modello rimane quello di figura 1.2 e per valori di v_BE e v_BC molto maggiori di v_T le (1.16) e (1.17) si possono scrivere come:

v_BE (1.32) = V_T I_F e F ES v_BC (1.33) = V_T I_R e R CS

Funzionamento in regione attiva diretta

In questo caso la giunzione base-emettitore è polarizzata direttamente, mentre la giunzione base-collettore è polarizzata inversamente, quindi la corrente i F che l'attraversa è trascurabile, così come i_R 0_R CS.

Il modello del transistore per il funzionamento in regione attiva diretta è dunque quello di figura 1.5(a) dove si ha un generatore di corrente controllato in corrente. In questo modello si può pensare che la variabile sia la i_E α = i i_C F E α α = − i i i (1 ) i (1.35) B E F E F E >> = v V v V poiché .

Se si assume come variabile indipendente la corrente di base, il modello di figura 1.5(a) si può trasformare in quello di figura 1.5(b), e si ha: v_BE (1.36) α= − V i (1 ) I e T_B F_ES

Allora, dalla (1.29) e dalle (1.34) e (1.35), si ottiene: β= i i_C F_B β= + i (1 ) i (1.38) E F_B i_C i C α β i i i i F_E F_B B_C β i_F B_i i_B B_i i_E i_i E_{(a) (c) (b)} Fig. 1.5 Modello di un transistore funzionante in regione attiva diretta

Il modello della figura 1.5(b) si può ridisegnare secondo il modello di figura 1.5(c) che è quello per ampio segnale dal quale in seguito verrà ottenuto quello per piccoli segnali. In questo caso, invece di avere come riferimento la corrente di emettitore, si preferisce avere quella di collettore e quindi si scriverà:

v_BE (1.39) α= V_T I_F I_ES e

I - 6 Modelli per transistori bipolari

Dalla (1.39) non si vede alcuna relazione tra la corrente di collettore e la tensione collettore-emettitore v_CE. Ciò equivarrebbe a dire che nel modello di Ebers-Moll in regione attiva il generatore di corrente controllato, che si trova sul collettore, è un generatore ideale, cioè con resistenza interna infinita, e quindi che a partire da tensioni finite si potrebbero avere tensioni e guadagni infiniti. In realtà ci sono dei limiti dovuti al fatto che il generatore controllato non è ideale. Secondo le equazioni di Ebers-Moll, ad esempio, le caratteristiche di uscita dovrebbero essere quelle riportate a tratto continuo nella figura 1.6, mentre in realtà esse hanno una certa pendenza, dovuta alla resistenza interna del generatore controllato e dunque sono quelle riportate a tratto discontinuo.

I_C I_B - V V_A C_E Fig. 1.6 Caratteristiche di uscita per un transistore nella configurazione ad emettitore comune

Nella figura 1.6 la scala delle tensioni nel semipiano sinistro è espansa: in realtà le linee hanno una pendenza minore di quella rappresentata. Come si può vedere dalla figura 1.6 le linee a tratto discontinuo convergono tutte in un punto dell’ascissa a cui corrisponde un valore di tensione ben preciso, detto tensione di Early; valori tipici della tensione di Early vanno da 50 a 100V. Per tener conto di questo effetto nelle equazioni di Ebers-Moll viene aggiunto un nuovo termine, così la (1.39) diventa:

v   BE v α   = + V CE 1 i I e (1.40) T   C F ES   V A

Molto elevata, invece quest’ultima risulta essere limitata dai processi di fabbricazione e assume valori compresi tra 5 e 15V. Quando la V CE supera un certo valore si verifica la rottura della giunzione base-collettore, la corrente incomincia a crescere fortemente e il transistore smette di funzionare correttamente; il fenomeno che si viene a determinare è detto breakdown. Il transistore va in breakdown tanto prima quanto più grande è la corrente di base; per I B = 0 si ha un particolare valore della tensione di breakdown, V CEO, che è la massima tensione di rottura.

I_C I_B 0 BV V_CEO C_E Fig. 1.7 Caratteristiche di uscita di un transistore

I - 7 Modelli per transistori bipolari

Si trova: BV = ÷= n 2 6 CBO BV (1.41) β CEO n F è la tensione di breakdown nella configurazione a base comune. dove BV 0 CB Come si può vedere dalla (1.41), la tensione di breakdown nella configurazione ad emettitore comune è più piccola di quella nella configurazione a base comune; questo nuovo parametro non è preso in considerazione nelle equazioni di Ebers-Moll.

Modello per piccoli segnali a bassa frequenza

Dalla (1.37) si ha: i= C i (1.42) β B F inoltre sapendo che: α 1 = F β β (1.43) +1 F F sostituendo la (1.40) e la (1.43) nella (1.42) si ottiene: α v   BE v = +   VF CE i I e 1 (1.44) T   β B ES   VF A

Queste equazioni ricavate per il modello per ampio segnale consentiranno in seguito di ricavare il modello per piccoli segnali. Il modello per ampio segnale da cui si ricava quello per piccoli segnali è riportato in figura 1.5(c). Per poter ricavare il modello per piccoli segnali occorre dapprima conoscere il punto di lavoro, definito da un ben preciso valore di V I V I BE BCE C e quindi di e di , e poi andare a calcolare i parametri incrementali.

Come prima cosa si sostituisce nella maglia d’ingresso il diodo con una resistenza incrementale :

r π −1 ∂  i =   B (1.45) r ˆ   π ∂   v BE

calcolata nel punto di lavoro.

β α

Derivando la (1.44) rispetto alla ed assumendo che ed non siano dipendenti da essa, si trova che: v BE F FV β = T r (1.46) π F I C dove è la corrente di polarizzazione. Si passa poi al generatore controllato, dalla (1.44) si ha: I C v   BE v β α = +   V CE 1 i I e (1.47) T   F B F ES   V A

Nella (1.47) viene messa in evidenza la dipendenza della corrente del generatore di corrente controllato in corrente i C dalla tensione v BE I - 8 Modelli per transistori bipolari. Quindi, volendo sostituire questo con un generatore di corrente controllato dalla tensione occorre introdurre un v , BE, che dice di quanto varia la corrente di collettore al variare della altro parametro incrementale, la transconduttanza g m tensione tra base ed emettitore. La transconduttanza è definita analiticamente dalla (1.48), dove le derivate sono sempre calcolate nel punto di lavoro.

∂ i I = = C C g ˆ (1.48) ∂ m v V BE T

Infine per tenere in considerazione la non idealità del generatore di corrente in uscita, si introduce la resistenza r c definita come:

−1 ∂  i V = =   C A (1.49) r ˆ   ∂ c v I   CE C , per cui al variare

Si può notare che tutti i parametri del transistore dipendono, direttamente o inversamente, dalla I C di essa se ne possono ottimizzare alcuni a scapito di altri. Il modello per piccoli segnali nella regione attiva ed in bassa frequenza, a qu