Che materia stai cercando?

Anteprima

ESTRATTO DOCUMENTO

Configurazioni elementari di amplificatori in tecnologia CMOS

Le correnti sono:

=

i g v (6.28)

d 1 m

1 i

r

= d 1

i i (6.29)

+

s 2 d 1

r r

d 1 s 2

=

i i (6.30)

d 2 s 2

Risulta:

= −

v R i (6.31)

o D d 2

quindi:

v r

= − 1

o d

g R (6.32)

+

1

m D

v r r

1 2

i d s

dove: +

r R

= d 2 D

r (6.33)

s 2 g r

m 2 d 2 >> ≅ >>

, essendo e , il guadagno avrà la seguente espressione:

Se si fa l’ipotesi che r R r g r g

1 1

d 1 D s 2 m 2 d 1 m

1

v ≅ −

o g R (6.34)

m

1 D

i o La resistenza d’ingresso, ovviamente è infinita, quella d’uscita è invece data da:

= + + ≅

r r r g r r g r r (6.35)

o d 2 d 1 m 2 d 2 d 1 m 2 d 2 d 1

6.3 Resistenze d’ingresso e uscita di più transistori in cascata

Nelle figure che seguono sono mostrate le resistenze viste dai terminali di più dispositivi (MOS e BJT) in cascata.

β β

r = r

g r g r r 3 c3 2 c2

m3 d3 m2 d1 d2 Q

3

M

3

M

3 β r

g r r 2 c2

m2 d1 d2 Q

2

M

2 r d1 r c1

Q

1

M

1

Fig. 6.14 Resistenze viste dai drain e dai collettori VI - 8 Configurazioni elementari di amplificatori in tecnologia CMOS

Q

3

Q

2 r c3

Q

2

r

Q c2

1 Q

1 β r

2 c2

Q

1

1/g

m 2/g

m1 r π

/2

Fig. 6.15 Resistenze viste dall’emettitore di un base comune

Nel primo caso la resistenza d’ingresso sarà:

r 1

= ≅

c

r r || (6.36)

π +

e g r g

1 m c m

essendo nulla la . Nel secondo caso:

R C

+

r r 2

= ≅

c c

2

r r || (6.37)

π +

e g r g

1 m c m

essendo la resistenza d’uscita di un base comune PNP senza resistenza di emettitore.

R C

Nel terzo caso, infine, la resistenza d’ingresso sarà:

β β

+

r r r r

π

= ≅ =

c c c

r r r

|| || (6.38)

π π

+

e g r g r

1 2

m c m c

essendo la resistenza d’uscita di due base comune PNP in cascata.

R C

In modo analogo si calcolano le resistenze viste dal source di un gate comune: M

3

M

2 r d3

M

r 2

M d2

1 M

1 r r g

d2 d3 m2

M

1

1/g

m 2/g

m1 r r g r g

d2 d3 m2 d1 m1

Fig. 6.16 Resistenze viste dal source di un gate comune

6.4 Stadio differenziale

Lo stadio differenziale MOS (fig. 6.17) si presenta in modo del tutto simile a quello del BJT, anche in questo caso si

fa dunque l’ipotesi che la struttura sia perfettamente simmetrica, in particolare che i due transistori M ed M abbiano gli

1 2

( ) ( )

= =

stessi fattori di forma, si suppone cioè: e .

W L W L R R

D

1 D 2

1 2 VI - 9

Configurazioni elementari di amplificatori in tecnologia CMOS V

DD

R R

D1 D1

v v

o1 o2 v

v M M i2

i1 1 2

I

SS

V

SS

Fig. 6.17 Stadio differenziale MOS , che deve essere almeno pari alla tensione di

In polarizzazione i gate dei due transistori sono alla stessa tensione V G

soglia per mantenere M ed M in saturazione. Dall’equazione alla maglia d’ingresso si ottiene:

V 1 2

T

=

V V (6.39)

GS 1 GS 2

Questo comporta che le due correnti di drain sono uguali:

=

I I (6.40)

D

1 D 2

ed essendo:

= +

I I I (6.41)

SS D

1 D 2

risulta: I

= = SS

I I (6.42)

D

1 D 2 2

Quindi: I

= = − SS

V V V R (6.43)

O 1 O 2 DD D 2

6.4.1 Analisi di piccolo segnale

Sia la resistenza d’ingresso di modo comune che quella di modo differenziale sono infinite in quanto i gates sono

isolati dall’ossido. Si calcola il guadagno di modo differenziale, utilizzando il modello di fig. 6.18. Risulta:

v

= i

v (6.44a)

i

1 2 v

= − i

v (6.44b)

i 2 2 v

( )

= − i

||

v g R r (6.45a)

o

1 m

1 D

1 d 1 2 VI - 10 Configurazioni elementari di amplificatori in tecnologia CMOS

v

( )

= i

||

v g R r (6.45b)

o 2 m 2 D 2 d 2 2

Essendo:

= −

v v v (6.46)

o o 2 o

1

si ha: ( )

1

= + =

A g R g R g R (6.47)

d m

1 D

1 m 2 D 2 m

1

, 2 D

2 R R

R R D1 D2

D1 D2 v

v v

v o2

o2 o1

o1 v v

i i

v /2 M

M - v /2 M

M

i 1

1 i 2

2 2R 2R

SS SS

Fig. 6.18 Modello equivalente per il calcolo del guadagno di Fig. 6.19 Modello equivalente per il calcolo del guadagno di modo

modo differenziale comune

Per il calcolo del guadagno di modo comune si utilizza il modello di fig. 6.19 costituito da due source comune con

resistenza di source , dove è la resistenza equivalente del generatore di corrente. Si può notare come il guadagno

2 R R

SS SS

di modo comune sarebbe nullo se la struttura fosse perfettamente simmetrica, difatti si ha:

v

= − i

v R (6.48a)

1 1

o D 2 R SS

v

= − i

v R (6.48b)

2 2

o D 2 R SS

Ed essendo:

= −

v v v (6.49)

o o

1 o 2

si ottiene: −

R R

= D D

1 2

A (6.50)

c 2 R SS

Rimane da calcolare il rapporto tra il guadagno di modo differenziale e quello di modo comune:

2 R

= SS

CMRR g R (6.51)

1

, 2

m D R R

1 2

D D

Nel caso ideale questo rapporto avrà valore infinito e lo stadio differenziale amplificherà solo ingressi differenziali.

VI - 11 Capitolo 7

Specchi di corrente

7.1 Specchi di corrente a transistore bipolare

7.1.1 Specchio semplice

Il circuito dello specchio di corrente semplice è il seguente:

i

I i

O

Q Q

1 2

V EE

Fig. 7.1 Specchio di corrente semplice

Questo circuito è caratterizzato dal fatto che:

= =

V V V (7.1)

BE 1 BE 2 BE

Si è utilizzato il simbolismo per ampi segnali in quanto il comportamento del circuito è analogo sia per piccolo

segnale che in continua. L’equazione della corrente per ampio segnale in regione attiva diretta è:

v  

BE v

α

= +

 

V CE

1

i A J e (7.2)

T  

c F E ES  

V A >> , in prima approssimazione si trascura il termine che dà la dipendenza di da .

Siccome, solitamente, V V i v

A CE C CE

Se poi oltre alla (7.1) si suppone che Q1 e Q2 siano realizzati nello stesso processo, si ha:

α α α β β β

= = ⇔ = = (7.3)

F 1 F 2 F F 1 F 2 F

=

J J (7.4)

1 2

ES ES VII - 1

Specchi di corrente

Se si impone poi come condizione di progetto che

=

A A (7.5)

1 2

E E

segue dalla (7.2):

=

i i (7.6)

1 2

C C

Ciò che importa però è il legame ingresso-uscita; dalla fig.(7.1) si ha:

=

i i (7.7)

2

C O

= + +

i i i i (7.8)

1 1 2

I C B B

ma dalle (7.3) e (7.6) segue che:

= =

i i i (7.9)

1 2

B B B

quindi, dalle (7.6) – (7-8):

i

= + = + O

i i i i

2 2 (7.10)

β

I O B O F

da cui: i

= I

i O 2 (7.11)

1+ β F

β β

>> segue , ovvero la corrente in ingresso viene specchiata in uscita. La quantità è un errore

Se i i

2 2

F F

O I

dovuto a quella parte di corrente che si perde per alimentare le basi.

i I = ⋅

in ingresso ed in uscita) sostituendo il transistore Q2 della

E’ possibile fare uno specchio con fattore N ( i N i

i I O I

fig.(7.1) con N transistori in parallelo: i

i

I O

Q 1 Q

Q Q 2-N

2-1 2-2

V EE

Fig. 7.2 Specchio 1 N

Come nello specchio semplice (N=1) si ha:

=

= = j 1

, 2

,.., N

V V V (7.12)

BE 1 BE 2 j BE

Supponendo che gli N+1 transistori siano uguali e che:

=

= j 1

, 2

,.., N

A A (7.13)

E 1 E 2 j VII - 2 Specchi di corrente

segue: =

= j 1

, 2

,.., N

i i (7.14)

C 1 C 2 j

e dalla fig.(7.2):

= ⋅

i N i (7.15)

O C 1 ( )

i i

= + + + + = + +

O O

i i i i i N

.. 1 (7.16)

− − β

I C B B B N

1 1 2 1 2 N N

F

dove la (7.16) è stata ricavata tenendo in considerazione la (7.15) ed osservando che alimenta N+1 correnti di base

i I

uguali tra di loro. In definitiva:

N i

= I

i +

O N

1 (7.17)

+

1 β F

dove questa volta il termine d’errore è:

+ N

1

=

e (7.18)

β F

ed è tanto maggiore quanto più è alto N, cosa intuibile dato il maggior numero di correnti di base da sottrarre alla corrente

β =

d’ingresso. Infatti con , se N=1 si ha un termine d’errore del 2%, mentre se N=9 è del 10%.

100

F

Per la realizzazione di uno specchio con fattore N, dall’equazione (7.2) si evince che è sufficiente fare in modo che

= ⋅ . Nella pratica Q2 non viene realizzato come un unico transistore di area di emettitore N volte l’area di Q1

A N A

E E

2 1 , collegati in parallelo (fig. 7.2).

(fig. 7.3(a)), ma si considerano N transistori di area minima, cioè A

E 2

Non potendo controllare il processo in maniera uniforme per tutta la fetta di silicio è opportuno allocare questi

transistori il più vicino possibile tra di loro in modo da avere la migliore tolleranza relativa; a tal fine conviene realizzare

una struttura simmetrica attorno a Q1 quale quella toroidale che risulta essere la più compatta possibile (fig. 7.3 (b)).

A

µ E21

2

50 m

µ 2

10 m A A

E25 E22

A A A

E1 E2 E1 A

A E23

E24 (b)

(a)

Fig. 7.3 Layout di specchio di corrente (N=5)

Si consideri adesso il comportamento per piccolo segnale dello specchio di fig. 7.4, semplificato per il piccolo

segnale in fig. 7.5. Si è interessati in uscita alla corrente di cortocircuito (fig. 7.4) per calcolare l’equivalente di Norton.

i

O

=

Supposto , in continua sarà .

I I

A A

E E

1 2 O B VII - 3

Specchi di corrente V CC Z

I i

B L o

i ~

i Q

Q

i 2

1

O

i ~

I Q

Q 2

1 V EE

Fig. 7.4 Specchio di corrente con segnale applicato Fig. 7.5 Modello semplificato per il segnale

Dalla fig.(7.5) si nota che Q1 è connesso a diodo quindi è possibile sostituirlo con la sua resistenza equivalente; per

calcolarla si consideri la fig. 7.6: i

i s

s

v Q

s 1

~ r g v r

π

v ~ c

s m be

r

Fig. 7.6 Resistenza equivalente nella connessione a diodo = . Si ha:

dove Q1 è in regione attiva diretta essendo sempre V V

BE CE

1 1

= ≅

r r r

|| || (7.19)

π c g g

m m

Si conclude allora che, per piccoli segnali, un transistore connesso a diodo può essere sostituito da una resistenza pari

all’inverso della sua transconduttanza. r

Il modello per piccolo segnale di fig. 7.5 diventa quindi quello mostrato in figura 7.7. Considerando molto

c 2

grande:

=

i g v (7.20)

o m be

2 2

 

1

 

=

v || r (7.21)

 

π

2 2

be  

g 1

m i

o

Q 2

1/g

m1

i ~

i

Fig. 7.7 Modello per piccolo segnale VII - 4 Specchi di corrente

>>

Supponendo :

1

r g

π 2 m

1

v i g (7.22)

be

1 i m

1

dalle (7.20) e (7.22) si ha:

i g

=

o m 2 (7.23)

i g

i m

1

Facendo uno specchio con fattore N si ha:

= ⋅

i N i (7.24)

C 2 C 1 = :

dalle (7.23) e (7.24), tenendo conto che g I V

m C T

i g I

= = =

o m 2 C 2 N (7.25)

i g I

i m

1 C 1

quindi ciò che è valso in continua vale anche per piccolo segnale, per cui la corrente d’uscita è N volte quella d’ingresso.

N i

L’equivalente di Norton dello specchio di corrente risulta essere un generatore di corrente pari a con una

i

resistenza interna pari alla resistenza d’uscita dello specchio:

i r =r

~

i o c2

Fig. 7.8 Equivalente di Norton

Per quanto riguarda la resistenza d’ingresso dello specchio risulta:

1 1 1

= ≅ ≅

|| || || || ||

r r r r r r (7.26)

π π π π

i c

1 1 2 1 2

g g g

m

1 m

1 m

1

In conclusione si può dire che lo specchio di corrente è un buon amplificatore di corrente in quanto ha una bassa

impedenza d’ingresso, un’alta impedenza d’uscita ed un guadagno pari al fattore di specchio.

7.1.2 Recupero della corrente di base e dipendenza da V CE

Il problema dell’accuratezza dello specchio semplice può essere in parte risolto utilizzando la tecnica del recupero

della corrente di base che si effettua nel seguente modo: V B

i

B3

i Q i

I 3 O

Q Q

1 2

i i

B1 B2

V EE

Fig. 7.9 Specchio semplice con recupero della corrente di base VII - 5

Specchi di corrente

L’errore (calcolato nella (7.18)) veniva fuori dal fatto che non tutta la corrente diventava corrente di collettore di

i I

i diventava rilevante. In questo modo la

Q1, ma parte andava ad alimentare le basi di Q1 e Q2 e se N era elevato, B 2

V i

; ad si deve quindi sottrarre soltanto una corrente

somma delle correnti di base viene fornita da Q3, cioè dipende da B I

di base:

= +

i i i (7.27)

I C 1 B 3

Per un fattore di specchio N=1 continua a valere la (7.5) per cui:

= =

i i i (7.28)

C 1 C 2 O

inoltre: +

i i i

= =

E 3 B

1 B 2

i (7.29)

β β

+ +

B 3 1 1

F 3 F 3 β

= ⋅

considerando la (7.28) e che , si ha:

i i

C F B

2

i

= O

i ( ) (7.30)

β β

+

B 3 1 F 3

F 1

, 2

Sostituendo la (7.30) e la (7.28) nella (7.27):

2

i

= + O

i i ( ) (7.31)

β β

+

I O 1 F 3

F 1

, 2

da cui segue: 1

=

i i

O I 2 (7.32)

+

1 ( )

β β

+

1 F 3

F 1

, 2 β >>

Estrapolando nel caso di uno specchio con fattore N e supponendo si trova:

1

F 3

Ni

= I

i +

O N 1 (7.33)

+

1 β β

F 1

, 2 F 3

Confrontando la (7.33) con la (7.17) si nota che il termine d’errore non è più dato dalla (7.18) ma da:

+

N 1

=

e (7.34)

β β

F 1

, 2 F 3 β β β

cioè è ridotto di un fattore , anche se in quanto si sa che il guadagno di corrente nella configurazione ad

F 1 F 1 F 1

, 2

emettitore comune dipende dalla corrente di polarizzazione.

β

β β β

=

< =

Essendo e supponendo, ad esempio, e , con N=9 si commette un errore pari a

50 100

F 1

F 1 F 1

, 2 F 1

, 2

+ 1

N ∗ = , notevolmente migliore del precedente 10%.

100 0

.

2 %

β β

F 1

, 2 F 1

Quindi in genere è conveniente utilizzare il recupero della corrente di base ogni volta che si ha a che fare con un

elevato fattore di specchio anche se la presenza di Q3 comporta una tensione di alimentazione maggiore di una V BE

rispetto al caso precedente creando problemi nel caso si vogliano basse tensioni di alimentazione.

VII - 6 Specchi di corrente

Si prenda adesso in esame l’errore, finora trascurato, dovuto alla dipendenza della corrente di collettore dalla .

V CE

≅ (se necessario si utilizza il recupero della corrente di

Scrivendo la (7.2) per Q1 e Q2, considerando in ogni caso i i

I C 1

= e ricordando le (7.1), (7.3) e (7.4) si ha:

base), i i

O C 2 v

+ 2

CE

1

i i A V

= =

2

O C A

2

E (7.35)

v

i i A + 1

CE

1 1

I C E 1 V A = =

A priori non si può dire se , anzi in genere non lo è perché , mentre dipende dal carico che

v v v v v

CE 2 CE 1 CE 1 BE 1 CE 2

>> , soprattutto per tensioni di alimentazione basse, quindi con

si alimenta. Nel caso dei transistori bipolari si ha V v

A CE

buona approssimazione è possibile trascurare il fattore:

+

1 v V (7.36)

CE 2 A

+

1 v V

CE 1 A

7.1.3 Specchio cascodato

Si è visto nel primo paragrafo che lo specchio semplice si presta molto alla funzione di amplificatore di corrente.

Potrebbe essere migliorato aumentando la resistenza d’uscita e abbassando quella d’ingresso; ma mentre quest’ultima, di

, è la minima realizzabile con circuiti elementari, la resistenza d’uscita, pari a , può essere aumentata fino al

valore 1 g r

m c

β ⋅ ; a tale scopo si utilizza lo specchio cascodato mostrato nella fig. 7.10. Si è cosi sostituito Q2 con una struttura

valore r

c

cascode, ovvero si è aggiunto in uscita allo specchio semplice un base comune come buffer di corrente, che prende la

corrente da Q2 con una resistenza pari a e la riconsegna in uscita pressoché invariata con una resistenza d’uscita più

r

c 2

β =

. La resistenza d’ingresso è invariata e pari .

elevata pari a 1

r r g

F 3 c 3 i m

1

β r

F1 C3

i

O

V Q

i 3

B3

I i r

C2 C2

Q Q

1 2

V EE

Fig. 7.10 Specchio cascodato

Tra gli altri vantaggi c’è anche quello di diminuire ulteriormente l’errore dovuto al fattore (7.36) (anche se nei

=

bipolari, come detto, questo non è un problema) potendo rendere regolando opportunamente al valore:

V V V

CE 2 CE 1 B 3

= +

V V V (7.37)

B 3 BE 1

, 2 BE 3 =

dove si è tenuto conto del fatto che .

V V

BE 1

, 2 CE 1

La minima tensione di polarizzazione necessaria per garantire il funzionamento in regione attiva è:

= +

V V V (7.38)

B 3 min CE 2 sat BE 3

(circa 900 mV) e ciò è un ulteriore vantaggio per le applicazioni che richiedono bassa tensione.

VII - 7

Specchi di corrente α

≠ =

L’inconveniente sta nel fatto che si è peggiorata l’accuratezza perché , infatti e, per quanto buono

i i i i

O C 2 O F 3 C 2

α perfettamente uguale ad 1, ma è sempre un po’ più piccolo. Inoltre bisogna

sia l’inseguimento di corrente, non è mai F 3 , il che aumenta i costi.

fissare un’altra tensione di polarizzazione, la V B 3

7.1.4 Specchio cascode

Un’altra possibilità per avere un amplificatore di corrente migliore è quella dello specchio cascode:

r i r

i I i o

O

Q Q

3 4

Q Q

1 2

V E

Fig. 7.11 Specchio cascode

Fissate: =

= A A (7.39)

A A E 3 E 4

E 1 E 2

si ha: i

= I

i

O 4 (7.40)

1+ β F

dove il termine d’errore è doppio rispetto a quello nel caso dello specchio semplice, e ciò è dovuto alle quattro correnti di

base da alimentare anziché due. = ; quindi il problema relativo al fattore (7.36) viene superato senza

Dall’equazione alla maglia si vede che V V

CE 2 CE 1

l’ausilio di un’ulteriore tensione di polarizzazione come era necessario nel caso dello specchio cascodato. Per il calcolo

β ⋅

e , è molto

della resistenza d’ingresso si osserva che la resistenza vista dalle basi di Q2 e Q4, rispettivamente r r

π 2 c 2

e ; è quindi possibile trascurare l’influenza

grande rispetto a quella vista dalle basi di Q1 e Q3, rispettivamente 1 1

g g

m

1 m 3

di Q2 e Q4 vedendo solo la serie dei due transistori connessi a diodo Q1 e Q3:

= +

1 1

r g g (7.41)

i m

1 m 3

Per quanto riguarda la resistenza di uscita bisogna considerare la presenza di una piccola corrente che attraverso la

base di Q3 e poi Q1 e Q2, viene retroazionata verso l’uscita, cioè c’è un ritorno della corrente di base di Q4 su Q4 stesso.

Tale fenomeno fa si che:

β r

= F 4 c 4

r (7.42)

O 2

Confrontando questo specchio con il cascodato si vede che ha un peggiore trasferimento di corrente, resistenza

d’ingresso più alta e resistenza d’uscita più piccola; sembrerebbe più vantaggioso l’utilizzo del cascodato, in realtà non è

cosi a causa della necessità dell’ulteriore tensione di polarizzazione.

VII - 8 Specchi di corrente

7.1.5 Specchio di Wilson

Migliore dei precedenti, e con soli tre transistori, risulta essere lo specchio di Wilson:

i

i O

I Q

A 3

Q

Q 2

1 V EE

Fig. 7.12 Specchio di Wilson

Esso presenta un trasferimento di corrente pari a:

i

= I

i O 2 (7.43)

+

1 β β

+

2 2

F F

in cui il termine d’errore è addirittura migliore rispetto a quello dello specchio semplice con il recupero della corrente di

base. Si ha inoltre una resistenza d’ingresso:

= (7.44)

2

r g

i m

uguale a quella del cascode, ma più alta di quella dello specchio semplice. La resistenza d’uscita è:

β ⋅ r

= c

r (7.45)

O 2

che si calcola, come nel cascode, tenendo conto della presenza della retroazione.

Bisogna comunque dire che anche questo specchio presenta dei difetti, infatti essendo un circuito retroazionato non ha

una risposta in frequenza tipica di sistemi con un polo reale semplice (fig. 7.13 (a)), ma presenta una sovraelongazione

dovuta al fatto che il circuito in questione ha due poli molto vicini all’asse immaginario (fig. 7.13 (b)).

i i

O O

i i

I I ( )

( ) ω

ω log

log (b)

(a)

Fig. 7.13 Risposta in frequenza di sistemi ad un polo reale (a) e a due poli vicini all’asse immaginario (b) r

Lo specchio di Wilson ha soppiantato lo specchio cascode in quanto da un confronto si nota che ha le stesse ed ,

r

i O

ma utilizza un transistore in meno, ed ha un errore di trasferimento notevolmente minore.

VII - 9

Specchi di corrente

Il cascode non si utilizza in tecnologia bipolare. Se invece si hanno esigenze di lavoro a basse tensioni di

alimentazione, come già visto, si utilizza meglio lo specchio cascodato, in quanto lo specchio di Wilson nel nodo ha

A

bisogno almeno di

= + ≅ (7.46)

V V V 1 .

4

V

A BE BE

min 3 1

, 2

7.1.6 Specchio di Widlar

Lo specchio di Widlar è rappresentato nella fig. 7.14.

i

I i

O

Q

Q 2

1 R

V EE

Fig. 7.14 Specchio di Widlar

= si ha:

Ponendo A A

E E

1 2

−  

i i

V V V

= = −

 

BE BE T C C

1 2 1 2

i ln ln (7.47)

 

α α

O  

R R I I

F ES F ES

1 1 2 2

≅ , la (7.47) diventa:

e ricordando le (7.3), (7.4), (7.7) e che i i

C I

1

 

V i

=  

T I

i ln (7.48)

 

O  

R i

O ≠ . L’utilità di questo

Si nota subito che non soddisfa al requisito principale dello specchio di corrente, è cioè i i

O I

“specchio” va ricercata nei casi in cui si vogliono generare piccole correnti a partire da elevate tensioni di alimentazione.

µ

A tal fine si introduce l’esempio di fig. 7.15 in cui volendo una corrente di con uno specchio semplice con

10 A

fattore 1 e con una tensione di alimentazione di 15V, bisogna dimensionare la resistenza R in modo tale che su di essa cada

la tensione:

= − = − =

V V V 15 0

.

7 14

.

3

V

R CC BE 1

da cui:

14

.

3

V

= ≅ Ω

R 1 .

4 M

µ

10 A

Ovviamente una resistenza cosi alta è impensabile in un circuito integrato poiché causerebbe un costo elevato in

quanto richiede un’area notevolmente superiore a quella minima di emettitore. Se invece si utilizza lo specchio di Widlar di

fig. 7.16 si possono ottenere valori più accettabili per la resistenza .

R

1

VII - 10 Specchi di corrente

=

V 15

V

CC

=

V 15

V

CC R 1

R i µ

i =

i 10 A

O

µ

=

i 10 A µ

=

i 10 A

I O Q Q

1 2

Q

Q 2

1 R 2

Fig. 7.15 Esempio di polarizzazione dello specchio semplice Fig. 7.16 Esempio di polarizzazione dello specchio di Widlar

µ

= =

Nella (7.48) è già nota , mentre è da fissare in modo tale che la tensione ai suoi capi sia nel range

i 10 A R R 2

O ≅

=

. Scegliendo e considerando si ottiene

(20-100mV) per non causare una grossa differenza tra le i i

V V 50 mV

BE R 2 E O

2

= Ω , quindi dalla (7.48) si ricava:

R 5

k

2 V

14

.

3

R = ≅ Ω

2

i K

R 190

O µ

= ≅

V µ

i i e 74 A 1

T A

74

I O µ

= = Ω = = Ω

si ottiene , ed

che risulta più accettabile anche se ancora alta. Se invece V 100 mV R 10 k i 546 A R 26 k

2 2 1

R I

che è molto più bassa. = Ω

In conclusione l’abbassamento del valore di lo si paga in termini di maggiore dissipazione di potenza a

R 10 k

1

causa dell’aumento della corrente d’ingresso. Allora lo specchio di Widlar permette di avere un buon compromesso tra

occupazione d’area della resistenza e dissipazione di potenza su di essa.

7.1.7 Tolleranze relative di processo

Per trattare tale problema si consideri il seguente circuito che presenta un recupero ideale della corrente di base

tramite buffer di tensione, cosicché la variazione di corrente è dovuta soltanto alle tolleranze di processo:

i i

I O

1

Q Q

1 2

V

B

Fig. 7.17 Specchio semplice con recupero ideale della corrente di base

L’errore di cui si deve tenere conto è quello dovuto alle tolleranze di processo, cioè al fatto di assumere uguali i due

transistori che operano la funzione di specchio, pur sapendo che per quanto ci si sforzi non esiste un processo così accurato

da garantire l’identità dei due transistori.

Si consideri la corrente di collettore del transistore:

v BE (7.49)

α

= V

i A J e T

C F E ES VII - 11

Specchi di corrente α

∆ = −

la sua variazione ( ) è legata alla variazione dei parametri , , per cui:

i i i J

A

F E

2 1

C C C ES

∆ ∆α ∆ ∆

i A J

= + +

C F E ES (7.50)

α

i A J

C F E ES

Valori tipici sono:

α α − − −

∆ = ∆ = ⋅ ∆ = ⋅

2 2 2

10 A A 2 10 J J 3 10 (7.51)

F F E E ES ES

che danno luogo a:

∆ = ⋅ =

2

i i 6 10 6 %

C C ed ,

Quindi per quanto accurato si possa fare il recupero della corrente di base si avrà sempre una differenza tra i

i I O

nello specchio semplice, almeno del 6%. In realtà per quanto riguarda il BJT, si può migliorare questa tolleranza relativa

nel modo seguente:

introducendo una resistenza di degenerazione di emettitore R E

i i

I O

1 Q

Q 2

1

R R

E E

V B

Fig. 7.18 Specchio semplice con degenerazione d’emettitore ∆

modifica l’espressione della nel modo seguente:

L’inserimento della i i

R E C C

α  

∆ ∆

∆ ∆ ∆

i J

R A

1  

= + + +

C ES

F E E (7.51)

 

α  

i R g R A J

C F E m E E ES 1

Come si vede, nella (7.51) compare il termine che messo a moltiplicare fa diminuire il termine tra parentesi dal

g R

m E ∆

∆ che fa aumentare dell’1%; comunque nel complesso si è

suo 5% all’1%, di contro c’è il termine i i

R R

E E C C in modo tale da ridurre

guadagnato perché si è passati dal 6% al 3%. Si potrebbe pensare di fare molto grande la R E

ulteriormente il contributo dato dal termine fra parentesi, ma ciò non è possibile perché all’aumentare della cresce il

R E

∆ . Se invece le due sono piccole possono essere fatte molto vicine nella fetta di silicio, assumendo così

termine R R R

E E E

una buona tolleranza relativa di processo. ∆

tanto elevata fintanto che si mantiene

Quindi si va verso un compromesso, ovvero si cerca di fare una R R R

E E E

[ ]

∈ ÷ =

. Con è:

sotto l’1%. I valori tipici che ne seguono sono: g R 4 5 g R 5

m E m E

I =

C R 5

E

V

T = = =

Essendo si ha che è il valore ottimale della caduta di tensione su entrambe le ;

R

V I R V 5

V 125

mV E

R C E R T

E E

[ ]

∈ ÷ . Da notare inoltre che nel caso in cui si voglia realizzare uno specchio con

suoi valori tipici sono V 100 200 mV

R

E = ⋅

una in quanto questa volta .

fattore N bisogna mettere sull’emettitore di Q i N i

R N

2 E O R

VII - 12 Specchi di corrente

7.1.8 Esempio di applicazione dello specchio come elemento di polarizzazione.

Gli usi dello specchio sono molteplici, fra cui:

amplificatore di corrente;

carico attivo;

elemento di polarizzazione.

Un esempio di utilizzo come elemento di polarizzazione è mostrato nella fig. seguente:

V CC R

R E6

E5

Z

I 10µΑ L1 R

R E7

Q

Q 6

5

20µΑ

Q 3 30µΑ Q

7

Q

Q 2

1 Q A

30µΑ

4 0.9V

30µΑ

Z

L2

R

R R Q

E4

E1 E2 8 R E8

V EE

Esempio di utilizzo dello specchio di corrente

Fig. 7.19 µ

=

è un riferimento di corrente, per il momento supposto ideale, da cui si diramano tutte le altre correnti del

I 10 A

R

circuito. Si può notare in fig. 7.19 come da questo riferimento attraverso degli specchi di corrente, si possono generare

delle tensioni di polarizzazione;

Q opera un recupero della corrente di base, che in questo caso è di grande importanza in quanto Q specchia con più di

3 1

un transistore e con fattori N>1; 1 µ

= =

Q2 è realizzato con e quindi con in modo da portare sul carico ;

A 2 A 20 A Z

R R 1

2 1

E E L

2 1

E E

2

µ

Q , Q e Q portano sul carico per cui:

30 A Z

4 5 6 2

L

1

=

= R R

A 3 A

4 1 4 1

E E E E

3

= =

A A R R

5 6 5 6

E E E E µ

se viene richiesta una tensione di nel punto allora si fanno scorrere sul carico attivo Q e passivo

A

0

.

9

V 30 A 8

= Ω tramite il transistore Q che si specchia con Q :

R 6 k 7 5

8

E = =

A A R R

7 5 7 5

E E E E connesso a diodo) in modo da non avere una troppo

Da notare infine che è stato utilizzato un carico attivo (Q R

8 8

E

= = .

elevata assicurando di già V V 0

. 7

V

8 8

CE BE VII - 13

Specchi di corrente

7.2 Specchi di corrente a transistore MOS

7.2.1 Specchio semplice

Analogamente al caso con i BJT, lo specchio semplice in tecnologia CMOS è quello in fig. 7.20.

i

I i

O

M M

1 2

V B

Specchio semplice a transistori MOS

Fig. 7.20

Si è già visto in precedenza che per transistori MOS in saturazione vale:

( ) ( )

W λ

= − +

2

V V 1 V

i k (7.52)

D GS T DS

L

che, trascurando la modulazione della lunghezza di canale, diventa:

( )

W

= − 2

V V

i k (7.53)

D GS T

L

Volendo realizzare uno specchio di corrente di fattore N, cioè:

( ) ( )

= ⋅

W L N W L (7.54)

2 1

notando che per come è caratterizzato il circuito si ha:

=

V V (7.55)

1 2

GS GS = =

i i

e supponendo che si abbiano i parametri e uguali, dalla (7.53), facendo il rapporto tra e si ha:

k i i

V I D

1

T 2

O D

i W W

= =

O N (7.56)

i L L

2 1

I = ⋅ (7.57)

i N i

O I

cioè dipende dal rapporto dei fattori di forma pari ad N.

Questa volta, a differenza del caso bipolare, dal momento che non si ha alcuna perdita di corrente attraverso i gate, non si

ha errore nel trasferimento di corrente. Si consideri adesso il comportamento dello specchio per piccolo segnale (fig. 7.21),

si è interessati alla corrente di cortocircuito in risposta ad una corrente di piccolo segnale in ingresso . M in analogia

i i 1,

o i

al caso bipolare, è connesso a diodo e come tale è possibile sostituirlo con una resistenza incrementale equivalente per il cui

calcolo è opportuno considerare il modello di fig. 7.22, da cui risulta:

1 1

= ≈

r r

|| (7.58)

1

d

g g 1

m m VII - 14 Specchi di corrente

Z

L D

G

i g V

o R

m gs1 d1

M M

1 2

i

i S

r

Modello per il segnale Modello per il calcolo della resistenza equivalente della

Fig. 7.21 Fig. 7.22 connessione a diodo

E’ quindi possibile semplificare il circuito nel modo seguente: i

o

M 2

r

i

i

Modello semplificato per il segnale

Fig. 7.23

da cui:

= (7.59)

i g v

2 2

o m gs

ma è anche:

=

v i g (7.60)

2 1

gs i m

allora dalla (7.59) e (7.60) si ha:

i g

= 2

o m (7.61)

i g 1

i m

Dalla definizione di transconduttanza risulta inoltre:

( )

⋅ ⋅

2 k W L I

i g

= = D 2

2

o m 2 (7.62)

( )

⋅ ⋅

i g 2 k W L I

i m

1 D

1

1

= ⋅ e vale la (7.54), si ottiene:

e poiché I N I

D 2 D 1

=

i i N (7.63)

o i

come bisognava aspettarsi dal momento che la stessa relazione si era ottenuta per ampio segnale.

Dalla fig. 7.22 si nota inoltre che le resistenze d’ingresso e d’uscita sono rispettivamente:

=

r 1 g (7.64)

i m

=

r r (7.65)

o d 2 VII - 15

Specchi di corrente

Come si era trovato nel caso bipolare, anche qui si ha bassa resistenza d’ingresso, alta resistenza d’uscita ed un

guadagno di corrente definito dal rapporto fra i fattori di forma.

7.2.2 Effetto della modulazione della lunghezza di canale e specchio cascodato

A differenza dei BJT, l’effetto dato dalla modulazione della lunghezza di canale, quindi il termine che da la

nella (7.52), non è trascurabile; infatti facendo il rapporto tra la corrente d’uscita e quella d’ingresso,

dipendenza da V DS

considerando i transistori uguali nei parametri e uno specchio con fattore N, dalla (7.52) si ha:

λ

+

 

i 1 V

 

=

O DS 2

N (7.66)

 

λ

+

 

i 1 V

I DS 1 λ

Il coefficiente di modulazione della lunghezza di canale è inversamente proporzionale alla lunghezza di canale L;

÷ , tutt’altro che

ne segue che il fattore tra parentesi nella (7.66), per processi di 1µm o inferiori, dà un errore del 30 50 %

λ

trascurabile. Un primo modo per eliminare tale errore, supponendo con buona approssimazione che il sia uguale per

λ

entrambi i transistori, è quello di aumentare L, rendendo così più piccolo il coefficiente , purché si lasci invariata e

V GS

. Quindi ad un aumento di L deve corrispondere un proporzionale aumento di W.

quindi il fattore di forma W L

Ad esempio se si utilizza un processo CMOS di 1µm e si vuole fare uno specchio con fattore 2, si può scegliere:

  

W 10 W 20

= =

  

  

 L 1 L 1

1 2

Volendo aumentare L del doppio si ottiene:

   

W 20 W 40

= =

   

   

L 2 L 2

1 2

Si nota che il fattore di specchio è rimasto invariato, ma si è dovuto quadruplicare le aree. Questo però va in

contraddizione con l’avanzamento tecnologico che tende a ridurre le dimensioni dei processi, ormai al di sotto di 1µm, sia

allo scopo di ridurre i costi, sia per ottenere migliori prestazioni. Infatti con un aumento delle dimensioni del transistor

aumenta la sua capacità, peggiorando di conseguenza il comportamento alle alte frequenze.

= , ed inoltre utilizzare le minime

Allora il modo migliore per risolvere il problema è quello di rendere V V

DS 1 DS 2 dipende dal carico,

dimensioni offerte dalla tecnologia. Ma, come si può notare dalla fig.7.20, nello specchio semplice V DS 2

= = =

quindi non sarà, in genere, .

mentre V V V V V

DS 1 GS 1 GS 2 DS 1 DS 2

Per rendere indipendente dal carico si considera uno specchio cascodato:

V DS 2 i

O

i V

I G3 M 3

M M

1 2

V

B

Specchio cascodato

Fig. 7.24 VII - 16 Specchi di corrente

Sono due i vantaggi che si possono ottenere con questo specchio: = ; a tal fine deve essere scelta

1. Si migliora l’accuratezza del trasferimento di corrente rendendo V V V

DS 1 DS 2 G 3

opportunamente:

= + (7.67)

V V V

G 3 opt GS 3 GS 1

, 2

dove in realtà e sono da considerare valori continui in quanto tali circuiti vengono prevalentemente utilizzati

V V

GS 3 GS 1

, 2

per la polarizzazione.

2. Si migliora la resistenza d’uscita rispetto quella dello specchio semplice, che risulta:

= (7.68)

2

r g r

o m d

notevolmente maggiore.

Rispetto allo specchio semplice ha bisogno però di una tensione di alimentazione minima maggiore:

= + (7.69)

V V V

G 3 min GS 3 DSsat 2

Si noti che comunque a questi livelli di tensione si perde in accuratezza, non essendo più soddisfatta la (7.67).

7.2.3 Specchio cascode e suo miglioramento

Per ottenere un accurato trasferimento di corrente in luogo del cascodato, che ha il neo di aver bisogno di un ulteriore

nodo di polarizzazione, si utilizza lo specchio cascode:

i

I i

O

M M

3 4

M

M 2

1 V B

Specchio cascode

Fig. 7.25

Volendo realizzare uno specchio con fattore N=1, si impone:

( ) ( )

=

W L W L (7.70)

1 2

( ) ( )

=

W L W L (7.71)

3 4 ≈ , segue:

Dalla (7.71) e dalla condizione di specchio i i

O I

≈ (7.72)

V V

GS 3 GS 4

e quindi, dall’equazione alla maglia:

= =

V V V

DS 1 DS 2 GS 1

, 2 VII - 17

Specchi di corrente

Le resistenze d’ingresso e d’uscita sono rispettivamente:

= +

r 1 g 1 g (7.73)

i m

1 m 3

=

r g r r (7.74)

o m 4 d 4 d 2

dove è quella tipica di un cascode in quanto, a differenza del caso bipolare, non c’è alcun ritorno di corrente, e quindi

r

o e risolve meglio il problema dell’accuratezza; ha

loop di retroazione, attraverso il gate. Rispetto al cascodato ha simile r

o

, ed inoltre ha bisogno di una tensione di alimentazione minima più alta, pari a .

però una maggiore r 2

V

i GS

Per risolvere quest’ultimo svantaggio si ricorre al circuito di fig. 7.26 (cascode migliorato).

i

I i

O

V M

G 4

M

3 M

M 2

1 V B

Specchio cascode migliorato

Fig. 7.26 ed una ;

Si nota che, a differenza del cascode, la minima tensione di alimentazione è pari alla somma di una V V

GS DS

risulta quindi limitato in dinamica come il cascodato. Inoltre, analogamente a quanto fatto per il cascode, si ottiene

= , risolvendo allo stesso modo il problema dell’accuratezza del trasferimento di corrente.

V V

DS 1 DS 2

Il cascode migliorato (fig. 7.26) ha però lo stesso inconveniente del cascodato in quanto necessita di un punto di

alimentazione in più. Esso presenta una resistenza d’uscita analoga a quella del cascode e resistenza d’ingresso pari a:

=

r 1 g (7.78)

i m

1

7.2.4 Specchio di Wilson e suo miglioramento

Direttamente dal suo schema in tecnologia bipolare si ricava:

i I i O

M 3

M M

1 2

V B

Specchio di Wilson

Fig. 7.27

Mentre con i BJT serviva a migliorare il trasferimento di corrente, in questo caso ciò non avviene in quanto

≠ , anzi si trova che:

V V

DS 2 DS 1

= +

V V V (7.79)

DS 1 DS 2 GS 3 VII - 18 Specchi di corrente

E’ possibile concludere che in CMOS lo specchio cascode viene di gran lunga preferito rispetto allo specchio di

= =

e ) e stessi limiti di tensione di

Wilson in quanto hanno stesse resistenze d’ingresso e d’uscita ( r 2 g r g r r

i m o m 3 d 3 d 2

alimentazione, ma quello di Wilson non è accurato.

Esiste comunque un miglioramento di quest’ultimo utilizzando quattro transistori come in fig. 7.28.

i

I i

O

M M

3 4

M

M 2

1 V B

Specchio di Wilson migliorato

Fig. 7.28 = =

a patto che siano verificate le (7.70), (7.71) e quindi la (7.72). Tenendo conto che ed

Si ottiene V V r 2 g

DS 1 DS 2 i m

= 2 si vede che ha le stesse qualità del cascode che comunque risulta preferibile in quanto non essendo

r g r

o m d

retroazionato, come il miglioramento di Wilson, di norma non presenta picchi di sovraelongazione nella sua risposta in

frequenza.

7.2.4 Tolleranze relative di processo

Come già visto nel paragrafo 7.1.7 a causa delle imprecisioni di processo i transistori M ed M non sono

1 2

perfettamente uguali e ciò causa tolleranze relative nei parametri dei transistori. Differenziando la (7.53) si ha:

 

( ) ( ) ( )

W W W

∆ = ∆ − + ∆ − ± − ∆

2 2

 

i k V V k V V k 2 V V V (7.80)

D GS T GS T GS T T

 

L L L

dove il segno del terzo termine dipende dal segno della variazione di . Dividendo ambo i membri della (7.80) per la

V

T

(7.35) si ottiene:

( )

∆ ∆ ∆ ∆

i k W L 2 V

= + ±

D T

( ) (7.81)

i k W L V V

D GS T

valori tipici sono: ( )

∆ W L −

= − =

∆ =

∆ = ⋅ 2

2 10 V V 200 mV

V 5

mV

k k 2 10 ( ) GS T

T

W L

e quindi:

V

2 −

≈ ⋅ =

2

T 5 10 5

%

V V

GS T

Questi valori danno luogo a:

∆ =

i i 8

%

D D ÷

che risulta essere una stima ottimistica in quanto si arriva anche a valori del , notevolmente superiori rispetto a

10 12 %

quelli che si ottengono con i BJT. VII - 19

Specchi di corrente

7.2.5 Confronto tra specchi BJT e CMOS

Da un confronto di specchi nelle due tecnologie risulta che con la bipolare è possibile realizzare: resistenze

d’ingresso più basse, d’uscita più alte, grazie al più elevato valore della transconduttanza, e tolleranze relative migliori; di

contro con i CMOS non si presenta il problema delle correnti di base. L’ideale sarebbe quindi realizzare uno specchio che

sfrutti i pregi di entrambe; a tal fine si utilizza la tecnologia BiCmos nel seguente schema:

i

I M

3 i

O

Q Q

1 2

R

V B

Specchio di corrente in tecnologia BiCMOS

Fig. 7.29

dove la resistenza serve a regolare la corrente erogata dal MOS che non deve essere necessariamente pari alla somma

R

delle correnti di base di Q e di Q .

1 2

Questo circuito oltre a richiedere una tecnologia più costosa quale la BiCmos, richiede tensioni di alimentazioni più

+ ).

elevate ( V V

BE GS VII - 20 Capitolo 8

Confronto tra BJT integrati e discreti

8.1 Confronto tra BJT integrati e discreti

In questo paragrafo si analizzeranno i pregi che una realizzazione integrata offre a quella discreta. Si consideri il

circuito di polarizzazione in fig. 8.1: V CC R

R C

C

1 C

C B Q 1

R R C

2 E E

V EE

Fig. 8.1 Circuito di polarizzazione a componenti discreti

Tale circuito può essere realizzato anche a componenti integrati anche se presenta difficoltà legate al

dimensionamento dei componenti che lo costituiscono, ovvero condensatori e resistenze. In genere, i condensatori di

accoppiamento e di by-pass per frequenze medio-basse (1kHz - 100kHz) hanno valori tipici compresi nel range (1nF -

100nF). Tipicamente questi si realizzano utilizzando due strati di polisilicio o di metallo fra i quali si interpone uno strato di

ossido di silicio (SiO ), come in fig. 8.2:

2 Poly 2 Metal 2

SiO SiO

2 2

Poly 1 Metal 2

Fig. 8.2 Schematizzazione condensatori in forma integrata = ∈

Il valore tipico per unità di area di un condensatore così realizzato è di 0.2fF - 1fF e, dalla relazione , si

C T

ox ox

nF µ

=

= 16 2

si deve occupare un’area di silicio pari ad .

vede che se si vuole realizzare una capacità 10

A m

1

C µ 2 VIII - 1

Confronto tra BJT integrati e discreti

Se si confronta quest’area con quella occupata da un transistore bipolare in cui è inserito il medesimo capacitore,

A

µ

= =

2

essendo l’area minima di un transistore pari ad , ricavando il rapporto tra le due aree si ha: .

480

A m condensato

re 2000

A

BJT

Questo risultato evidenzia che per realizzare un condensatore avente le dimensioni sopra indicate occorre occupare

un’area equivalente a 2000 transistori; si intuisce quindi l’enorme spreco di area di silicio per la realizzazione di un tale

condensatore. Questo rappresenta uno dei motivi principali per cui si preferisce, per un circuito integrato, la soluzione

illustrata in fig. 8.3: V CC

R C V o

Q

V 1

i R E

V EE

Fig. 8.3 Circuito a componenti integrati

In essa il guadagno è dato da:

( )

α

= −

V V R R (8.1)

o i C E

Se si volesse realizzare una configurazione più precisa della precedente si potrebbe utilizzare un amplificatore

operazionale con resistenza di retroazione, che fornisce un guadagno in tensione migliore di quello relativo

all’amplificatore realizzato con carico resistivo. La configurazione circuitale dell’amplificatore operazionale è

mostrata in fig.8.4: R 2

R 1

V -

i A V

1 o

+

Fig. 8.4 Amplificatore operazionale invertente

= −

V V R R (8.2)

o i 2 1 α ” dovuto al fattore di trasporto, ma, soprattutto, che si

La precisione è dovuta al fatto che non è presente il termine “

tratta di amplificatore ad alto guadagno. Tuttavia, la precisione si paga in termini di componenti che caratterizzano

l’operazionale. Un’altra soluzione a componenti integrati si può realizzare utilizzando una coppia differenziale, come in

fig. 8.5 nella quale è:

=

V V g R (8.3)

o i m

1

, 2 C

Se si volesse realizzare un elevato guadagno, in questo caso, occorrerebbe scegliere una piuttosto grande con

R C

− maggiore.

conseguente tensione di polarizzazione V V

CC EE VIII - 2 Confronto tra BJT integrati e discreti

In realtà questo non è il metodo migliore di procedere, infatti in tal caso basterebbe connettere in cascata più

=

amplificatori del tipo di fig. 8.4: per realizzare, ad esempio, un amplificatore con guadagno complessivo basta

G 60 dB

= ; così facendo si risolve il

porre in cascata tre amplificatori operazionali ciascuno dei quali con un guadagno G 20 dB =

problema legato alla tensione di alimentazione in quanto occorre applicare una tensione minore per ottenere ,

G 20 dB

= con un solo amplificatore.

rispetto a G 60 dB V CC

R R

C C

V o

Q Q

1 2

V i I

EE

V EE

Fig. 8.5 Stadio ad emettitori accoppiati (coppia differenziale)

8.2 Circuiti ad elevato guadagno a componenti integrati

8.2.1 Configurazioni ad elevato guadagno

Gli amplificatori ad elevato guadagno sono alla base delle configurazioni retroazionate. Esempio di circuito ad alto

guadagno è un integratore ideale: C

R -

V i A V

1 o

+

Fig. 8.6 Integratore ideale

V 1

= −

o (8.4)

V sCR

i Ci si chiede come sia possibile realizzare amplificatori ad elevato guadagno, a quale circuiti di base rifarsi. La risposta

a questa domanda è legata al guadagno complessivo che si vuole ottenere. Svariate soluzioni si possono considerare come,

( )

= ÷

ad esempio, la cascata di più amplificatori, stadi ad alto guadagno (CE), ecc. Se si vuole un guadagno G 90 110 dB

sicuramente non si potrà utilizzare un singolo stadio, ma si ricorrerà a più configurazioni in cascata.

Se si ipotizza di lavorare con uno stadio ad emettitore comune conviene utilizzare un carico resistivo oppure un carico

attivo? In fig. 8.7. e fig. 8.8. sono rappresentate rispettivamente le due configurazioni.

Per poter scegliere la soluzione migliore, ovvero quella che fornisce il guadagno più elevato, basta confrontare i

rispettivi guadagni massimi. Per il transistore con carico resistivo di fig. 8.7, trascurando il segno negativo, si ha:

− −

I I V V V V v

= = = ⋅ = =

C C RC RC CC EE CE 1

A g R R (8.5)

m C C

V V I V V

T T C T T

rappresenta la caduta di tensione ai capi del carico .

dove V R

RC C

VIII - 3

Confronto tra BJT integrati e discreti =

Il valore massimo si ottiene quando e si ha:

v v

CE 1 CE 1 sat

− − −

V V v V V

= ≅

CC EE CE sat CC EE

1

A (8.6)

MAX V V

T T

Il valore di guadagno espresso dalla (8.6) rappresenta il massimo guadagno teorico, ovvero quel valore a cui non si

è trascurabile nella (8.5) dato che le

potrà mai arrivare poiché si rischierebbe la saturazione del transistore. La v CE 1 sat

− = , ovviamente a tensioni più basse di deve ancora tener conto di essa.

tensioni tipiche di lavoro sono V V 1

.

5 V

CC EE

V V

CC CC

R C Q

V

V 2

B

o V

V Q o

i 1 Q

V 1

i

V V

EE EE

Fig. 8.7 CE con carico resistivo Fig. 8.8 CE con carico attivo

Analogamente a quanto fatto per il transistore con carico resistivo, si calcola il massimo guadagno per il transistore

con carico attivo in fig. 8.8. Si ha:

  ⋅

     

I V V V

V

( ) 1

     

= = =

C AN AN AP

AP

 

A g r || r || (8.7)

     

+

m c c

1 2  

V I I V V V

     

 

T C C T AN AP

e rappresentano rispettivamente le tensioni di Early per un transistore NPN e PNP (in genere

Dove V V AP

AN

< ). In questo caso il guadagno trovato coincide con il guadagno massimo perché l’espressione (8.7) è

V V

AP AN −

indipendente dalla tensione di alimentazione .

V V

CC EE − = + ≈ per polarizzare in zona attiva

Dalla fig.8.8 si intuisce che occorre garantire almeno V V v v 900 mV

CC EE BE CEsat

− =

e Q , questo è il motivo per cui oggigiorno si lavora anche con tensioni .

Q V V 1 V

1 2 cc EE

Fatte le suddette considerazioni si confrontano di seguito i due risultati espressi dalle (8.6) e (8.7); supponendo

= − =

=

, e si ha:

V 100 V V V 3 V

V 50 V

AP

AN CC EE

− − −

V V v V V

= ≅ = 

→

dB

1

CC EE CE sat CC EE

A 120 41 dB (8.8)

MAX V V

T T

  ⋅

     

I V V V

V

( ) 1

     

= = = = 

→

dB

C AN AN AP

AP

 

|| || 1333 62 dB

A g r r (8.9)

     

+

1 2

m c c  

V I I V V V

     

 

T C C T AN AP

Confrontando la (8.8) e la (8.9) si trova che la configurazione a emettitore comune con carico attivo offre, a parità di

tensione applicata, un guadagno massimo più elevato di quella con carico resistivo. Si può considerare un carico attivo a

specchio di corrente per la configurazione a emettitore comune (fig. 8.9).

Si trovano i seguenti risultati:

  ⋅

  

  

I V V V

V

( ) 1

     

= = = −

C AN AN AP

AP

 

A g r || r || (8.10)

     

+

1 2

m c c  

V I I V V V

     

 

T C C T AN AP

=

r r (8.11)

π 1

i =

r r || r (8.12)

1 2

o c c VIII - 4 Confronto tra BJT integrati e discreti

V CC r

c2

Q Q

3 2 V o

r V

V

c2 Q

i

o 1 r

o

I V

B Q

i r

1 i

V EE

CE con carico attivo a specchio di corrente

Fig. 8.9

Si può fare qualcosa di simile con una configurazione a collettore comune. In questo caso non si parlerà di collettore

comune con carico attivo, ma la presenza del carico servirà solo a polarizzare il circuito (fig.8.10):

V CC

V

I Q V

i

B 1 o

r V Q

c2 i 1 V o

Q Q

3 2 r r

i r

c2 o

V EE

CC con carico attivo a specchio di corrente

Fig. 8.10

Infine si può realizzare anche una configurazione a base comune utilizzando gli specchi di corrente (fig. 8.11).

V CC

Q 4 Q

Q 3

5 r

o V

V o

o

Q Q Q

6 2 2

r

I i

r

B I

i

I

Q Q i

7 1

V EE

CB con carico a specchio di corrente

Fig. 8.11 = = <<

perché si tratta di due transistori connessi a diodo in serie: Q e Q . In genere e quindi

Si ha r 2 g r 2 g r

6 7 π 1

m m

la base si può ritenere a massa. Si trova:

α

= ⋅

V V r (8.13a)

3

o i c

r 2 g (8.13b)

i m

β

≅ ⋅

r r (8.13c)

2 2

o c VIII - 5

Confronto tra BJT integrati e discreti

La corrente si specchia da Q in Q e in Q . La corrente in Q attraversa Q e Q a sua volta quella in Q viene

I 5 3 4 4 6 7 7

B

specchiata in Q . Si deve così garantire che la corrente specchiata in Q uguagli quella specchiata in Q . La presenza di Q

1 3 1 6

+ =

serve a garantire una caduta di tensione almeno pari a per la base di Q . Al posto di Q si poteva

0

.

7 V 0 .

7 V 1 .

4 V 2 6

utilizzare una resistenza, ma sarebbero nati problemi di dimensionamento perché ad es. per avere una caduta di tensione

µ

= , una resistenza molto grande e quindi un’area

dell’ordine di 1V si sarebbe dovuto scegliere, fissata la corrente I 10 A

B

molto più grande di quella occupata da un transistore connesso a diodo.

Se si volesse realizzare un cascode con uno specchio di corrente si avrebbe il circuito rappresentato in fig. 8.12:

V CC Q

Q 4

5 R C

V Q

B3 V

3 o

r

I o

Q

B V 2

o

V Q

B2 2 V i Q 1

Q

V r

1

i i

V EE

Cascode con carico attivo a specchio di corrente

Fig. 8.12

1 β

= ⋅

R r (8.14a)

C 3 c 3

2

=

r r (8.14b)

π

i 1

β

= ⋅

r r (8.14c)

o 2 c 2 ( )

α

= − ⋅

A g r || R (8.14d)

m o C

Si consideri lo stadio differenziale con carico attivo a specchio di corrente di fig. 8.13:

V CC

Q Q

3 4 V o

Q Q

1 2

I V

B i

Q Q

5 6

V EE

Stadio differenziale con specchi di corrente

Fig. 8.13 VIII - 6 Confronto tra BJT integrati e discreti

In esso è: =

= A A

A A (8.15a)

E E

3 4

E E

1 2

= = = = =

I I I I I 2 I I I 2 (8.15b)

C B C C B C C B

6 1 2 3 4

Si è utilizzato lo specchio di corrente sia come carico attivo (Q ) sia come elemento di polarizzazione (Q - Q ). Il

4 5 6

circuito è perfettamente simmetrico. Ai fini del piccolo segnale basta sostituire allo specchio di corrente (Q - Q ) la

5 6

, invece lo specchio realizzato con Q e Q può presentare situazioni differenti. Si noti,

resistenza di collettore r 3 4

c 6

innanzitutto, che vi è una sola uscita e non due come nell’amplificatore con carico resistivo e, inoltre, lo specchio Q - Q

3 4

svolge un’azione molto importante; si proceda con un’analisi per piccolo segnale.

Nel nodo (A), visto che si tratta di un nodo ad alta impedenza, può essere utile sostituire l’equivalente di Norton

: si supponga di cortocircuitare l’uscita e si calcoli

rappresentando l’uscita con un generatore di corrente e la resistenza R

o = −

; attribuendo alle correnti il verso che va dall’alto verso il basso si trova (non si stanno

la corrente I I I I

o o c c

4 2

= = per la presenza dello specchio di corrente

considerando gli errori nel trasferimento dovuti allo specchio), ma I I I

c c c

4 3 1

e sostituendo si ha:

= −

I I I (8.16)

o c c

1 2 V

Bisogna legare e alla tensione di ingresso . Non vi è alcuna differenza tra il circuito in esame e quello

I I i

c c

1 2

resistivo quindi si trova:

1

= − =

I I g V (8.17)

c c m i

1 2 2

dove le correnti e sono in controfase, pertanto sostituendo nella (8.16) si ha:

I I

c c

1 2

=

I g V (8.18)

o m i

1

, 2 , resistenza a circuito aperto? E’ facile verificare che la resistenza verso Q è , quella verso Q non

Quanto vale R r

4 2

o c 4

sembrerebbe a prima vista perché l’emettitore non è esattamente a massa. In realtà a causa di una leggera retroazione

r

c 2

=

e Q si ha e quindi:

attraverso Q R r || r

1 3 o c c

2 4

( )

= ⋅ ||

V V g r r (8.19)

o i m c c

1

, 2 2 4

Si capisce che lo specchio svolge una funzione di polarizzazione e anche, in questo circuito, una funzione sul segnale,

ovvero non è solo un carico attivo come nell’emettitore comune, ma è soggetto anche al passaggio del segnale.

Come agisce sul segnale? Si è visto che i segnali che viaggiano in Q e Q sono in controfase, ma è anche vero che lo

1 2

specchio Q - Q genera un segnale con polarità diretta dall’alto verso il basso, quindi lo specchio converte il segnale

3 4

differenziale in un segnale singolo che è pari alla somma dei due segnali provenienti da Q e da Q . La somma dei due

2 4

segnali diventa la corrente di uscita . In definitiva nello stadio differenziale lo specchio di corrente svolge la funzione

I o

fondamentale di conversione da segnale differenziale a segnale singolo. Il segnale differenziale è in controfase, lo

specchio di corrente lo mette in fase e lo manda in uscita.

Si sottolinea l’importanza dello specchio di corrente considerando al suo posto un carico attivo che non è un carico a

specchio. La fig.8.15 mostra che anche in questo caso si ha una singola uscita e quindi sembrerebbe che si è effettuata una

conversione da segnale differenziale a segnale singolo.

La differenza sostanziale risiede nel fatto che il transistore Q non fa passare alcun segnale visto che lo specchio di

1

corrente in CE non è soggetto ad alcun passaggio di segnale, serve solo per la polarizzazione. L’unico segnale che va in

uscita è la corrente di Q . Così si sono persi di guadagno perché stavolta si ha:

6 dB

2

V ( )

1

= ⋅

o ||

g r r (8.20)

m c c

1

, 2 2 4

2

V i VIII - 7

Confronto tra BJT integrati e discreti V CC

Q Q

3 4 V o

Q

Q 2

1

I V

B i

Q Q

5 6

V EE

Stadio differenziale con specchi di corrente

Fig. 8.15

Da questo confronto si intuisce che la soluzione con il carico attivo a specchio di corrente è la migliore in quanto

prevede un recupero di nel guadagno (8.19). Si scopre pertanto l’importanza dello specchio di corrente ai fini del

6 dB

segnale differenziale e si suole parlare di “ Recupero della piena transconduttanza”.

Si poteva utilizzare anche uno schema del tipo in fig.8.16.

V CC

Q 4 Q

Q 3

5

Specchio di corrente e carico attivo per lo stadio differenziale

Fig. 8.16

In questo caso anziché mettere il segnale sulla singola uscita si mette come uscita differenziale. Con un carico di

questo tipo che vantaggi si avrebbero? In questo caso si hanno due generatori di corrente: uno su Q e uno su Q , se l’uscita

2 4

si prende singola non si risolve niente, ma se si prende in forma differenziale si riesce ad ottenere il recupero della

transconduttanza. In questo caso non si fa una conversione da segnale differenziale a segnale singolo perché si trova in

uscita ancora un segnale differenziale.

Si analizzi, adesso, l’importanza dello specchio di corrente sul guadagno di modo comune. Si prova che la funzione

che svolge uno specchio di corrente per un guadagno di modo comune è più importante di quella che svolge per un

∆ =

guadagno di modo differenziale. Si applichi in ingresso un segnale di modo comune: . Si trova, analogamente a

0

V

i

quanto visto per il segnale di modo differenziale, che:

= −

I I I (8.21)

o c c

4 2

= =

I I I (8.22)

c c c

4 3 1

= −

I I I (8.23)

o c c

1 2

tuttavia se i segnali applicati ai due rispettivi ingressi sono uguali, per la simmetria del circuito:

V

= = i

I I (8.24)

c c

1 2 2 r

c 6

da cui segue:

= 0

I (8.25a)

o VIII - 8 Confronto tra BJT integrati e discreti

= 0

A (8.25b)

C

dove rappresenta il guadagno in tensione di modo comune. Non si sviluppa tensione in uscita in presenza di modo

A

C =

comune in ingresso. Quello in esame è il caso ideale in cui e gli specchi generano correnti uguali. Nel caso reale

I I

c

1 c 2

bisogna tenere conto di alcuni errori legati alle tolleranze introdotte dallo specchio. Questa situazione si traduce in:

ε

= ±

(

1 )

I I (8.26)

c 4 c 3

Non aver considerato questa ipotesi iniziale conduceva ad ottenere un guadagno di modo comune nullo. Sostituendo

nella (8.23) si ha: V

ε ε

= ± − = ± i

(

1 )

I I I (8.27)

o c 1 c 2 2 r

c 6 ε −

≠ 2

e, in particolare, che è molto grande ed (tolleranza del segnale). Il guadagno reale di

Si trova 10

0

I r

o c 6

modo comune risulta:

R

ε

= ± o

A (8.28)

C 2 r 6

c

Concludendo, lo specchio di corrente dà un buon contributo ai fini dell’attenuazione del guadagno di modo comune

visto che mette il segnale di modo comune in controfase e ne fa la differenza. Tanto minore è la tolleranza relativa allo

specchio, tanto più accurato è lo specchio di corrente, tanto più piccolo è il guadagno di modo comune.

8.2.2 Punto di lavoro fissato con specchio di corrente

Si è detto più volte che per fissare la corrente di lavoro di un circuito con carico attivo o carico a specchio si utilizza

uno specchio di corrente. Ma perché si utilizza uno specchio per fissare la corrente?

Occorre fissare la corrente in maniera stabile sia per circuiti a componenti discreti sia per circuiti a componenti

integrati. Si consideri il circuito rappresentato in fig.8.17:

V CC

Q Q

3 2 V o

A

I Q

V

B 1

i

V EE

CE con carico attivo

Fig. 8.17

Se si riesce a realizzare una corrente stabile si avrà la stabilità sulla corrente di lavoro. Tuttavia si pone un

I B

problema: con la si fissano le correnti di lavoro di Q e di Q (si suppone che i tre transistori siano in zona attiva), ma

I 1 2

B su Q dal suo collettore, visto che il transistore è un generatore di corrente

come sarà possibile fissare forzare la corrente I 1

B

e la corrente di Q la fissa ?

V

I 1 B

1

C tale che la corrente che scende dall’alto sia esattamente uguale a quella

Come si può pensare di realizzare una V B

proveniente dal basso? VIII - 9

Confronto tra BJT integrati e discreti Ω

Nel nodo A (ad alta impedenza) vi è una impedenza dell’ordine di , se non più alta, e basta una tolleranza di

1 M

µ (differenza tra e ) per far saturare Q o Q portando uno dei due ad un potenziale o ; e

I I V I I

1 A V

1 2 EE

C C CC C C

1 2 1 2

e di sono:

devono essere perfettamente identiche. Graficamente le caratteristiche di uscita di I I

C C

1 2

I

c1

I

c2 Q

Q 2

1 V V

o ce

Caratteristiche di uscita e punto di lavoro per Q e Q

Fig. 8.18 1 2

V

La tensione di uscita nasce dall’intersezione delle due caratteristiche di uscita di Q e di Q , come mostrato in

1 2

o

fig.8.18. Se vi è una piccola tolleranza (una deriva termica, ecc.) le correnti di base vengono leggermente modificate e il

punto di lavoro si può spostare determinando una situazione di saturazione per Q e di funzionamento in zona attiva per Q

1 2

o una situazione di saturazione per Q e di funzionamento in zona attiva per Q . Con due caratteristiche piatte è molto

2 1

difficile che si rimanga in una zona in cui entrambi i transistori Q e Q siano polarizzati direttamente, basta una piccola

1 2

variazione delle correnti di base affinché si verifichi una delle due situazioni sopra elencate. =

che renda .

Occorre trovare una soluzione al problema, ovvero occorre fissare una tensione particolare I I

V B C C

1 2

Come è possibile ottenere questa tensione? Il circuito in fig. 8.17 non è nato per lavorare ad anello aperto, infatti, si cercano

di costruire i blocchi base per un amplificatore ad elevato guadagno che dovrà lavorare in configurazione retroazionata.

I circuiti che si studiano costituiscono parti fondamentali di un circuito più complesso che sarà impiegato ad anello

chiuso. Allora il circuito di fig. 8.17 sarà seguito da un blocco A e preceduto da un blocco A per poi essere retroazionato

3 1

in condizioni di funzionamento come mostrato in fig. 8.19:

V CC

Q Q

3 2 V o

A 3

I V Q

B B 1

A 1 V EE

Configurazione di un circuito retroazionato

Fig. 8.19

Adesso è possibile rispondere alla domanda precedente, infatti, sarà la retroazione che si preoccuperà di fissare la V B

=

opportunamente affinché la condizione sia soddisfatta.

I I

C C

1 2

Si potrebbero presentare altre soluzioni? Il punto di equilibrio è rappresentato da un’unica soluzione. Non è possibile

che un circuito possa essere in saturazione o interdetto con entrambe le condizioni compatibili; se si progetta il circuito i

maniera tale che Q e Q siano in regione attiva si è sicuri che l’unica situazione che si verifica è quella di regione attiva. Se

1 2 =

e Q sono in regione attiva segue che necessariamente . In genere, lo sforzo maggiore è quello di ottenere il

Q I I

1 2 C C

1 2

punto di equilibrio desiderato che renda Q e Q in regione attiva.

1 2 VIII - 10 Capitolo 9

Risposta in frequenza

Una approfondita analisi in frequenza è motivata dalla necessità di utilizzare circuiti retroazionati

nell’implementazione di gran parte delle funzioni richieste nel processamento di segnale in banda base. Si tratta di segnali

la cui frequenza può andare da qualche decina di hertz fino a qualche decina di megahertz, passando dal segnale telefonico

(300 Hz-3.4 kHz), al segnale audio di alta qualità (20 Hz- 20 kHz), al segnale video tradizionale (alcuni megahertz) per

arrivare alle frequenze di 10-20 MHz del segnale video di alta definizione.

Il processamento dei segnali in banda base richiede spesso la realizzazione di funzioni complesse e di elevata

accuratezza la cui implementazione è basata su topologie retroazionate facenti frequentemente uso di amplificatori ad alto

guadagno per soddisfare gli elevati requisiti di stabilità dei parametri di prestazione normalmente richiesti.

Trattandosi di amplificatori operanti ad anello chiuso diventa di fondamentale importanza andare a valutare poli e zeri

(non solo quindi quelli dominanti) sia per garantire il desiderato grado di stabilità in frequenza, sia, come si vedrà più

avanti, per una corretta definizione della banda ad anello chiuso. Essendo la stabilità legata al contributo di fase alla

frequenza di transizione (frequenza alla quale il guadagno di anello è unitario), e potendo tale frequenza in alcuni casi

raggiungere le decine o persino centinaia di megahertz (processamento in banda video), poli e zeri di altissima frequenza

(diverse centinaia di megahertz) devono essere considerati attentamente in quanto danno contributi di fase affatto

trascurabili. Per esempio, un polo o un zero a frequenza 10 volte più alta della frequenza di transizione da un contributo di

fase di circa 6 gradi.

Calcolando la FdT ci si accorge subito che, anche un circuito molto semplice costituito dalla cascata di un collettore

comune con un emettitore comune, conduce ad una rete di 3 poli e 2 zeri che è al limite di ciò che verosimilmente è

possibile fare con un calcolo manuale. Se si complica il circuito aggiungendo più stadi e si sostituisce ad ogni transistore il

modello equivalente per piccolo segnale, si è subito alle prese con una rete di notevole complessità e di elevatissimo ordine.

I programmi software che si possono utilizzare per analizzare le reti elettriche di interesse permetteranno di calcolare

la funzione di trasferimento e quindi i poli e gli zeri, ma tali poli e zeri hanno generalmente un’espressione così complicata

che non sarà affatto facile trovare la strada di una semplificazione matematica. In ogni caso, un’analisi con programmi di

calcolo fatta a questo livello priverebbe spesso della possibilità di comprendere a fondo il comportamento fisico del

circuito.

D’altra parte è di fondamentale importanza disporre di equazioni per i poli e gli zeri, contenenti pochi termini

dominanti anche se di non elevata precisione (errori del 20-30% sono più che accettabili), su cui basare sia una prima

progettazione carta e penna, sia la successiva ottimizzazione tramite calcolatore.

Fortunatamente il calcolo di poli e zeri in maniera semplice è intrinsecamente resa possibile dalla natura delle

configurazioni circuitali di base impiegate nella progettazione elettronica.

Infatti è possibile dimostrare, e indirettamente verrà fatto, che:

Poli e zeri sono generalmente reali

Poli e zeri sono generalmente poco interagenti IX - 1

Risposta in frequenza

Il fatto che i poli sono poco interagenti significa che i circuiti che si andranno ad analizzare possono, con buona

approssimazione, essere ricondotti al modello semplificato di fig. 9.1, dove ciascuna maglia è indipendente dalle altre.

R

i V

V V

2

1 o

+ R

g V R

g V

V o1

C C

m 1 o2

m 2 C

i i o1

- o2

Fig. 9.1 Modello semplificato per un circuito con maglie non interagenti

Grazie a questa rappresentazione semplificata, la cui funzione di trasferimento è:

V g R g R

= =

o m

1 o

1 m 2 o 2

A

( s ) + + +

V (

1 sR C )(

1 sR C )(

1 sR C )

i i i o

1 o

1 o 2 o 2

si può immediatamente calcolare i poli in quanto legati a semplici costanti di tempo. nei BJT e nei MOS che

Tuttavia i circuiti nella realtà non si presentano in questo modo per via delle capacità C C

µ gd

mettono in comunicazione le maglie e sono quindi responsabili degli zeri della FdT.

Per gli zeri quindi si dovrà ricorrere ad una tecnica appropriata di calcolo, da applicare prima che il circuito venga

trasformato secondo la fig. 9.1. Questo calcolo può essere eseguito sulla base del modello in fig. 9.2, notando che uno zero

è presente ogni qualvolta esiste un cammino capacitivo che collega un ingresso con una uscita, intendendo con ingresso ed

uscita due nodi di trasmissione locale del segnale e non soltanto l’ingresso e l’uscita dell’intero circuito.

C

f C

f

Z

S Z

S

+ A V V

+

V o V

i

s Z o

+

V

L

- - Z

s G V L

M i

-

Fig. 9.1 Cammino capacitivo tra ingresso e uscita Fig. 9.2 Modello semplificato del circuito di fig.9.1

Uno zero si ha quando:

=

V ( s ) 0

o

e poiché

= ⋅

V ( s ) I ( s ) z

o o L

deve essere:

=

I ( s ) 0

o eguaglia quella del generatore comandato, cioè quando:

che si verifica quando la corrente su C f

( )

− ⋅ =

V V sC G V (9.1)

i o f M i

G

= =

⇒ M

V 0 Z (9.2)

o C f IX - 2 Risposta in frequenza

Si nota che se il condensatore è connesso tra due nodi il cui guadagno è di tipo non-invertente lo zero è nel semipiano

sinistro, altrimenti si troverà nel semipiano destro. Pertanto l’approccio mostrato dà anche l’informazione corretta di

segno, cosa di fondamentale importanza nella valutazione del contributo di fase da esso introdotto.

Dopo aver opportunamente calcolato gli zeri secondo l’approccio appena descritto, si devono introdurre tecniche di

calcolo dei poli che consentano di ricondursi alla forma semplificata di fig. 9.1. Alcuni teoremi, o semplici accorgimenti

matematici, come il teorema di Miller, il metodo di Cartesio ed il metodo delle costanti di tempo, congiuntamente a

considerazioni circuitali derivate da una attenta osservazione della rete, possono aiutare nel calcolo semplificato della

funzione di trasferimento.

9.1 Teorema di Miller

Hp: Sia data una rete lineare e bidirezionale (tale cioè che valga il teorema di reciprocità), ai suoi nodi A e B è

connessa l’ammettenza Y. Sia K il rapporto costante tra le tensioni dei nodi B e A rispetto al nodo di riferimento.

Ts: Allora la rete è equivalente alla rete ottenuta dalla precedente sconnettendo l’ammettenza Y e connettendo le

( )

( )

= ⋅ − = ⋅ −

ammettenze e rispettivamente tra il nodo A ed il nodo di riferimento e tra il

Y Y 1 K Y Y 1 1 K

1 2

nodo B ed il nodo di riferimento, dove K é il rapporto di trasferimento di tensione.

Y V

= B

K ˆ V A A B

Y Y

1 2

( )

B

A = ⋅ −

Y Y 1 K RETE

1

RETE ( )

= ⋅ −

Y Y 1 1 K

2

Fig. 9.3 Fig. 9.4

=

In particolare se si ha:

Y sC

C ( )

= −

C C K

1 A B

1 C C

B

A 1 2

( ) RETE

= −

C C K

1 1

2

RETE

Fig. 9.5 Fig. 9.6

Chiaramente questo tipo di trasformazione risulta utile solo se é una quantità . Il teorema di Miller permette

reale

K

di semplificare l’analisi del circuito in quanto va incontro all’obiettivo di disaccoppiare le maglie della rete.

che si studiano sono , il teorema di Miller dà risultati

E’ necessario notare che poiché gli amplificatori unidirezionali

sbagliati sulla capacità in uscita, tuttavia poiché nella maggior parte dei casi la capacità responsabile dell’accoppiamento

nei BJT e nei MOS) è molto minore della capacita di carico (o capacità in uscita), il contributo sull’uscita e’

( C C

µ gd

trascurabile. Per questi motivi non si applicherà l’effetto Miller sull’uscita.

mai IX - 3

Risposta in frequenza

9.2 Metodo di Cartesio

In genere le FdT di cui ci si occuperà avranno la forma seguente:

( ) A A A

= = =

0 0

0

A s + +  

   

2 2

1 b s b s s s s

1 1 (9.3)

− − − + +

 

   

1 2 s

1 1 1

 

   

 

   

p p p p p p

1 2 1 2 1 2

<< allora i poli saranno entrambi reali. In tal caso il denominatore diventa:

Se esiste un polo dominante p p

1 2

( ) 1 1

≅ − + 2

D s s s

1 (9.4)

p p p

1 1 2

quindi: 1 1

= − =

b b

1 2

p p p

1 1 2

da cui: b

1

= − = − 1

p p (9.5)

1 2

b b

1 2

Il metodo si può generalizzare al caso di N poli o zeri. Nel caso di 3 poli si ottiene:

 

( ) s s s

= + + + = −  

2 3

D s 1 b s b s b s 1 1 1

  

1 2 3 

 

 p p p

1 2 3

cioè:     3

( ) 1 1 1 1 1 1 s

= − + + + + + −

   

2

D s 1 s s (9.6)

   

   

p p p p p p p p p p p p

1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 << <<

Se esiste una situazione di poli dominanti uno sull’altro cioè: i poli saranno reali e si potrà anche

p p p

1 2 3

scrivere: 2 3

( ) s s s

≅ − + −

D s 1 (9.7)

p p p p p p

1 1 2 1 2 3

da cui si ricava:

1 b b

= − = − = −

1 2

p p p (9.8)

1 2 3

b b b

1 2 3

9.3 Metodo delle costanti di tempo

Data una FdT:

+ + + +

2 M

( ) 1 a s a s ........ a s

= 1 2 M

A s A (9.9)

+ + + +

0 2 N

1 b s b s ........ b s

1 2 N IX - 4 Risposta in frequenza

( )

E’ possibile determinare i coefficienti e di attraverso calcoli basati sulle costanti di tempo associate ai

a b A s

i i

condensatori con gli altri condensatori in corto o a circuito aperto.

In particolare questo metodo permette di calcolare il polo dominante, se esiste, attraverso un calcolo semplice di

costanti di tempo basato sull’osservazione diretta della rete.

= , dove è la resistenza vista ai morsetti di quando tutti gli altri condensatori

Si può dimostrare che: R C

b R C i i

1 i i

i

sono un circuito aperto. N 1

∑ ⇒

= − . Se esiste un polo dominante

Nel caso generale poli e zeri sono complessi coniugati e b

1 p

=

i 1 i

≅ −

<< = esso sarà reale, quindi: ,

1

b p

1

,...,

p p i N 1 1

i

1

segue: 1 1 1

≅ − = = −

b p ∑ (9.10)

1 1

p b R C

i i

1 1 i

9.4 Stadi ad emettitore comune ed a source comune

Gli stadi ad emettitore comune ed a source comune, semplificati per il calcolo della FdT, sono mostrati

rispettivamente nelle figure 9.8 e 9.9.

R C R C

L L L L

V V

R R

o o

s s

+ +

C C

V V

s s

s s

- -

Fig. 9.8 Emettitore comune Fig. 9.9 Source comune

Applicando il teorema di Thevenin si può ad entrambi associare lo stesso modello equivalente per piccolo segnale,

come mostrato in fig. 9.10, supposto di assegnare a ciascun parametro il significato simbolico in tabella I:

BJT MOS

( )

+

R r || r R R

i π b s s

R C

i f + +

A B C C C C C

i π

V s s gs

o C C C

f µ gd

+ +

C

+ i* C C C C

g V

i* o

V V m L cb L db

C R

C

i i o

o

- R R || r R || r

o L c L d

i*

V r V

π i

V

+ + i

r r R

π

b s

Fig. 9.10 Modello equivalente Tabella I

IX - 5

Risposta in frequenza

9.4.1 Analisi accurata

Dalle equazioni di Kirckoff ai nodi A e B si trova:

− ( )

*

V V = + −

* *

i i sC V sC V V (9.11a)

i i f i o

R

i

( ) V

− = +

* * 0

sC V V g V

f i m i

0 R (9.11b)

0

+

1 sR C ( )

0 0 − −

g R 1 s C g

V

( ) = = 0

m f m

[ ]

0 ( ) ( ) ( )

A s (9.12)

+ + + + + ⋅ + + + ⋅ 2

V 1 R C C R C C g R R C s R R C C C C C C s

i 0 0 0 0 0

f i i f m i f i i o f f i

1 1

= − = − ( ) ( )

p (9.13)

+ + + +

1 b R C C R C C g R R C

1 o o f i i f m i o f

( ) ( )

+ + + +

R C C R C C g R R C

b

= − = − o o f o i f m i o f

( )

1

p (9.14)

+ +

2 b R R C C C C C C

2 i o i o f o f i

Se si suppone C 0

o

1 1

= − ≅

[ ] ( )

p ( ) (9.15)

+ + + +

1 R C C 1 g R R C R C g R C

i i f m o o f i i m o f

( )

+ +

C C 1 g R g

1

= − ≅ +

i f m o m

p (9.16)

2 R C C R C C

o f i o f i

9.4.2 Analisi semplificata >>

In questa analisi si suppone in modo da trascurare il contributo di . Il guadagno a bassa frequenza può

R r r

S b b

essere facilmente calcolato trascurando nel circuito gli effetti capacitivi. Come visto precedentemente esso è dato da:

V = −

o g R (9.17)

m o

V

i Si valutano ora poli e zeri della FdT. Come visto prima, lo zero può essere calcolato considerando l’accoppiamento

tramite il condensatore tra il nodo d’ingresso A ed in nodo di uscita B.

C f

R

= o

V I (9.18)

+

o o

1 sR C

o o = =

Imponendo , segue , e quindi:

V 0 I 0

o o

( )

= − − =

* *

I sC V V g V z g C (9.18a)

o f i o m i m f

zero reale positivo.

Si nota che non c’è nessun errore di approssimazione nel calcolo dello zero. Per quanto riguarda il calcolo dei poli,

di valore molto più piccolo rispetto ad altri condensatori presenti nella rete, si può trascurarne

essendo il condensatore C f

l’effetto in uscita. Si vedrà più avanti, parlando della compensazione in frequenza, che, se il condensatore di accoppiamento

tra un nodo di ingresso ed un nodo di uscita di un amplificatore invertente ha un valore elevato (paragonabile al

condensatore in uscita), esso determina in maniera dominante sia il polo in ingresso che quello in uscita.

IX - 6 Risposta in frequenza

Si supponga che esista una situazione di polo , ipotesi molto frequentemente verificata, e si

fortemente dominante

applichi inizialmente il teorema di Miller. Ci si ritrova quindi con un diagramma di Bode come quello mostrato in fig.9.11,

anche se al momento non si è in grado di dire se l’applicazione del teorema di Miller ha condotto ad un risultato corretto.

|A| ω D

Fig. 9.11 Diagramma di Bode di una FdT a polo dominante

Si consideri il modello in fig. 9.12:

R

i i*

V

+ i* R

g V

V o

m C

C

i o

C K(jω)

- i f

Fig. 9.12 Modello a due maglie indipendenti

Il polo in uscita è dato da:

1

= −

p (9.19)

o R C

o o

Per calcolare il polo in ingresso si considera:

ω ω

= −

K ( j ) g z ( j )

m o

Dove: R

= = o

z R || C +

o o

0 1 sR C

o o

e quindi: 1

= − [ ]

p ( )

+ +

D R C C 1 g z

i i f m o 1

≈ ω ω

<< =

ha un polo che coincide con il polo in uscita. Pertanto si può dire che se

L’impedenza z z R

o o o i o R C

o o

cioè se la frequenza alla quale si presenta il polo in ingresso è molto minore della frequenza del polo in uscita allora il polo

in ingresso è: 1

= − [ ]

p ( )

+ +

D R C C 1 g R

i i f m o IX - 7

Risposta in frequenza

Sotto queste ipotesi l’applicazione del teorema di Miller è stata corretta. Se invece dopo aver applicato il teorema di

ω ω

>>

Miller il polo dominante risulta essere in uscita, cioè se allora significa che alla frequenza alla quale interviene il

i o

polo in ingresso (il secondo polo in questo caso) l’impedenza di uscita si è ridotta notevolmente da poter essere

z o

approssimata come un corto circuito. Pertanto la capacità non subisce l’amplificazione per effetto Miller ed i poli del

C f

circuito avranno quindi la seguente espressione:

1

1

= − = − ( )

p p +

D i

R C R C C

o o i i f

La capacità viene quindi a trovarsi semplicemente in parallelo con la capacità d’ingresso. In conclusione la

C f

risposta in frequenza tipica degli stadi ad emettitore comune ed a source comune è quella mostrata in fig. 9.13.

|A| ω

Z

ω ω

D S

Fig. 9.13 Diagramma di Bode con poli e zeri

Si tratta quindi di una risposta in frequenza caratterizzata da due poli di bassa frequenza e da uno zero di alta

frequenza nel semipiano destro.

= ≈

Se o comunque , non si può più trascurare la resistenza In questo caso infatti il polo in ingresso ha

N.B. R 0 R r r .

S S b b

≈ ≈

una resistenza molto bassa: ci si aspetta quindi che il polo dominante sia in uscita. Se in questo caso si

R r || r r ;

π

i b b

trascurasse la resistenza si otterrebbe una FdT a singolo polo, commettendo un errore notevole.

r

b

9.4.3 Stadi a emettitore e source comune in cascata

Un esempio di amplificatore di questo tipo (BiCMOS) completo del circuito di polarizzazione è mostrato in fig. 9.14.

V CC

M

4 M

5

M

3 Q 2 C

L

I

B R

S M

1

+

V s - C

S V EE

Fig. 9.14 Source comune in cascata con un emettitore comune

Questa soluzione ha il vantaggio della resistenza d’ingresso del MOS idealmente infinita, ma presenta l’inconveniente

.

di un abbassamento dell’impedenza sul nodo di guadagno intermedio dovuto alla resistenza d’ingresso di Q

2

IX - 8 Risposta in frequenza

Una soluzione migliore che prevede un circuito di disaccoppiamento di impedenza sarà mostrata più avanti, dopo aver

introdotto i circuiti inseguitori. Stadi invertenti in cascata si prestano bene a realizzare un elevato guadagno ed hanno il

vantaggio di garantire la massima dinamica possibile, compatibilmente con la tensione di alimentazione. Lo svantaggio,

come si verificherà, è che vengono introdotti più poli di bassa frequenza. Il circuito semplificato per il calcolo della FdT è

mostrato nella figura 9.15 con i simboli ridefiniti secondo la tabella II. R r

o1 4

d

R C

o2 o2 R r

V o2

R C 5

d

o

o1 o1 C

µ

A Q 2 + + +

C C C C C

R o1 π

C 1 2 4 4

db db gd

S gd M

1

+ + + +

V C C C C C

C

s o2

- 5 5

gd db L cs

S

Fig. 9.15 Circuito semplificato per il calcolo della FdT Tabella II

Gli zeri e i poli del circuito sono, rispettivamente:

g g

= = m 2

1

m

z z (9.20a)

1 2

C C µ

1

gd 2 1

= −

1

1 p ( )

= −

= − + +

i

p

p (9.20b)

R ( C C g R || r || r C )

+ π

A

o 1 1 1 1 2 1

s s gs m o d gd

(

C C ) R || r || r

C R || r µ π

01 1 1 2

o d

2 2 2

o o c

Nel fare questi calcoli si è supposto:

≈ >> << ≈

, ,

R r , r C C C C C C C C

π π

S d c L gs gd gs S gs

In questo modo il polo dominante risulta in ingresso in quanto c’è l’effetto Miller dovuto alla capacità . Se

C gd

ω ω

≈ << <<

non sarebbe più vero che perché ora e pertanto non subirebbe effetto

invece 1

R g R R C

1 1

S m i o S o gd

Miller.

9.5 Stadi a collettore e a drain comune

Gli stadi a collettore comune e a drain comune, semplificati per il calcolo della FdT, sono mostrati rispettivamente

nelle figure 9.16 e 9.17.

R R

S S

V V

o o

R R

+

C C

+ E SS

E SS

V V

s s

C C

-

- S S

Fig. 9.16 Collettore comune Fig. 9.17 Drain comune

IX - 9

Risposta in frequenza

Si può ad entrambi associare lo stesso modello equivalente per piccolo segnale, come mostrato in fig. 9.18,

assegnando a ciascun parametro il significato simbolico in tabella III: BJT MOS

R +

R

i R r R

A i s b s

+ +

C C C C C

i µ

s s gd

R C

A A C

g V C C

A

m a π gs

B

+ + +

V C C C C C

i V o

C

- E cs SS db

o

i R

R || ||

R r R r

C o

o o E c SS d

R r

A π

V V V

i s s

Fig. 9.18 Modello equivalente Tabella III

9.5.1 Analisi accurata

Ci si aspetta una FdT con due poli, perché pur essendovi tre condensatori c’è una maglia formata solo da

condensatori.

Dall’equazione di Kirckoff alla maglia di ingresso si ha:

= + +

V I R V V (9.21)

i i i A o

dove:

=

V z I (9.22)

a A a

essendo: R

= A

z (9.23)

+

A 1 sC R

A A

mentre applicando l’equazione di Kirckoff al nodo B si trova:

V

+ = o

I g V (9.24)

a m a R o

Al nodo A:

= +

I I I (9.25)

i c a

i

Combinando queste equazioni, si giunge alla FdT:

C R

+ ⋅ A A

s

1

+ + g R

V 1 g R 1 (9.26)

= = ⋅ m A

o m A

A

( s ) + + 2

R R

V b s b s

1

+ + +

i A

i 1 g R 1 2

m A R R

o o IX - 10 Risposta in frequenza

dove: ( )

R R

+ + + + + +

i A

C R g C R R C R C R C C C R

i i m i i A o i o A i A A A

R

= o

b (9.27a)

1 R R

+ + +

i A

1 g R

m A R R

o o

( )

+ +

C C C R R C C R R

= o i A A i i A i A

b

2 R R (9.27b)

+ + +

i A

1 g R

m A R R

o o

Lo zero del circuito si trova alla frequenza:

+

1 g R g ω

= − ≅ − = −

m A m

z (9.28)

T

R C C

A A A

>> >>

Se e , allora:

, ,

R R R C C C

i A o i A o ( )

+

R C C C

=

= i i o A

b

b C R (9.29)

2

1 i i g m

Supponendo l’esistenza di un polo dominante ed applicando il metodo di Cartesio:

g

b

1 1 = − =

= − = − 1 m

p p (9.30)

+

s

D b R C b C C

1 i i 2 o A

Se invece è molto piccola, la capacità si cortocircuita ed il polo dominante diventa:

R C

S i

g

= m

p (9.31)

+

D C C

o A

I risultati ottenuti sia per il collettore comune che per il drain comune sono veri sotto l’ipotesi di esistenza di un polo

dominante, come è stato detto. Tale ipotesi può qualche volta non essere verificata ed in particolare quando la capacità di

uscita è così elevata da rendere i poli in ingresso ed in uscita dello stesso ordine.

9.5.2 Analisi semplificata

Come sempre, il guadagno a bassa frequenza può essere facilmente calcolato trascurando nel circuito gli effetti

capacitivi. Esso è dato da:

r g R r

= ≅

i m o i

A (9.32)

+ + +

0

V 1

r R g R r R

i s m o i s

per il BJT, e da:

g R

= m o

A (9.33)

+

0

V 1 g R

m o >>

per il MOS, supposto .

1

R g

o m

Si valutano adesso poli e zeri della FdT. Lo si calcola considerando l’accoppiamento tramite il condensatore

zero C A

tra il nodo d’ingresso A ed in nodo di uscita B. IX - 11

Risposta in frequenza = =

Esso si trova a quella frequenza per cui , cioè quando , ovvero quando tutta la corrente erogata dal

0 0

V I

o o

generatore è uguale alla corrente che fluisce nel parallelo tra e ; quindi:

g V R C

A A

m a + 1

g R g

V = − ≅ −

+ + = ⇒

a m A m

0

sC V g V z (9.34)

A a m a

R C C

A A A

>>

essendo . Per la valutazione dei si va innanzitutto a considerare due possibili casi che frequentemente si

poli

1

g r

π

m

incontrano trattando questi circuiti. I due casi sono caratterizzati uno da una resistenza molto piccola (dell’ordine di

R i

), l’altro da una molto grande (dell’ordine di o o più grande).

1 g R r r

m i c d

Se la resistenza è (cioè se il circuito è comandato a sua volta da un collettore comune o da un drain

piccola

R i

comune) la si può trascurare e considerare il nodo A direttamente connesso con la sorgente in ingresso come in fig. 9.19.

A R C

A A g V

m a

B

+

V i V

C

- o

i R C

o o

Fig. 9.19 Circuito della fig. 9.18 senza Ri

E’ evidente che in questo caso si ha un solo polo che può essere facilmente trovato calcolando la resistenza in

e notando che è in parallelo a . Si ha quindi:

parallelo a C C

C A

o o

g

1

= − ≅ m

p (9.35)

+ +

D g

( ) || || 1 ( )

C C R R C C

m

o A o A o A

Nel caso in cui è un’ (se il circuito è, per esempio, comandato da un emettitore comune o da un

alta impedenza

R i

source comune) ci si mette nell’ipotesi di polo dominante in ingresso, situazione questa molto frequente e facilmente

verificabile confrontando le costanti di tempo in ingresso e in uscita.

R C C g

i i o m

Per calcolare i poli introdotti dalla maglia d’ingresso e da quella d’uscita, conviene innanzitutto valutare come

= +

l’ammettenza contribuisce alla determinazione del polo sulla maglia d’ingresso. Se si applica il teorema

Y 1 R s C

A A A , , che si riporta dal nodo A verso massa è moltiplicata per

di Miller a tale ammettenza si trova che la componente di Y Y

1

A ( ) ( )

( )

ω ω

− =

. Essendo nella condizione di polo dominante in ingresso che a sua volta è circa uguale

il fattore 1 A j A j A 0

ad 1. Questo significa che è una piccola ammettenza che può essere trascurata nel calcolo della costante di tempo in

Y

1

(polo dominante in questo caso) è quindi dato da:

ingresso. Il polo in ingresso

1

= −

p (9.36)

D R C

i i

Per quanto riguarda il polo in uscita esso può essere calcolato notando che, alla frequenza alla quale esso interviene, il

polo in ingresso (che è a frequenza molto più bassa) ha ridotto fortemente l’impedenza data dal parallelo di con .

Z R C

i i i

Se alla frequenza del polo in uscita è molto piccola essa può essere approssimativamente considerata un corto circuito,

Z i

il che riconduce alla situazione di fig. 9.19. Il è quindi dato da:

polo in uscita

g

= − m

p (9.37)

+

S C C

o A IX - 12 Risposta in frequenza

9.5.3 Drain comune in cascata con emettitore comune

Un simile circuito è un ottimo esempio di quello che è possibile fare in tecnologia BiCMOS. Infatti la presenza di un

drain comune ha il grosso vantaggio dell’impedenza d’ingresso infinita, cosa estremamente utile e qualche volta di

fondamentale importanza nella progettazione di circuiti integrati in banda base. Inoltre, lo stadio ad emettitore comune ha il

pregio sia dell’elevato guadagno che dell’elevata transconduttanza, cosa quest’ultima che sarà molto di aiuto nella

stabilizzazione dell‘amplificatore retroazionato, come si vedrà più avanti parlando di compensazione in frequenza.

Lo schema del circuito, comprensivo della polarizzazione, è mostrato in fig. 9.20, mentre in fig. 9.21 è rappresentato il

circuito semplificato per il calcolo della FdT, con i simboli ridefiniti secondo la tabella IV.

V CC

M

5 M

6

M

1 V o

I V

B s R

S Q

C C

2

S L

M M

3 4

V EE

Fig. 9.20 Drain comune in cascata con un emettitore comune R R

i S

R r

01 d 4

R C

o2 o2

R

i R ||

r r

02

V 2 6

c d

M o

1 +

Q C C C

2 i 1

S gd

+

V s R +

C C

- C

o1 C C

i o1 01 π 2 4

db

+ + +

C C C C C

02 2 6 6

cs db L gs

Fig. 9. 21 Circuito semplificato per il calcolo della FdT Tabella IV

Il guadagno è dato da:

g R

= − ≅ −

1 1

m o

A g R g R

+ 2 2 2 2

o m o m o

1 g R

1 1

m o

Gli zeri e i poli del circuito sono, rispettivamente:

g

g =

= − 2

m

1

m z

z (9.38a)

2

1 C

C µ 2

1

gs 1 1 1

= − = =

p p p (9.38b)

+

1

o o i

[ ]

C R R C g R C R C

µ

2 2 1 1 2 2

o o o o m o i i

IX - 13

Risposta in frequenza

9.6 Amplificatore a due stadi di guadagno

Un circuito di alto guadagno che sfrutta vantaggiosamente le possibilità offerte dalla tecnologia BiCMOS è mostrato

in fig. 9.22. Si tratta di un amplificatore a due stadi di guadagno tra i quali è interposto uno stadio disaccoppiatore di

impedenza a collettore comune. Il circuito impiega transistori CMOS e transistori bipolari NPN, potrebbe quindi essere una

buona soluzione per quei processi che non dispongono di buoni transistori PNP. L’elevata transconduttanza offerta dal

secondo stadio di guadagno, come menzionato precedentemente, viene incontro al problema della compensazione.

V CC

M

4 M

R 5

S M

6 V o

I

B Q 2

M

V C

1

i L

R

S C Q

S 3

I

B

V SS

Fig. 9.22 Amplificatore ad alto guadagno

Il modello semplificato è mostrato in fig. 9.23, con i simboli definiti in accordo alla tabella V.

R ||

r r

01 1 5

d d

R R R ||

r r

C

C

o1 o3 02 π

2 3

c

o3

o1 R ||

r r

R 03 3 6

c d

i V

M o

1 +

C C C

i

Q 1

S gs

2

+

V Q + + +

C

s 3 C C C C

01 µ

C

- 1 5 5 2

db db gd

i R C

o2 o2 C C

02 π 3

+ + +

C C C C C

03 6 3 6

L db cs gd

Fig. 9.23 Circuito semplificato per il calcolo della FdT Tabella V

Si ha quindi una FdT con 3 zeri e quattro poli. Nelle figure 9.15 e 9.16 non sono segnate, per semplicità, le capacità

responsabili degli accoppiamenti tra ingresso ed uscita dei vari stadi che danno luogo agli zeri:

g

g g

= = − =

2

m

1 3

m

m

z z

z

1 3

2

C C

C µ

π

1 3

gd 2

Se si suppone dello stesso ordine di grandezza di e di allora per quanto riguarda il primo stadio si vede che il

R r r

S c d

polo in ingresso è dominante su quello in uscita e quindi viene amplificata per effetto Miller:

C 1

gd

1

= −

p +

1 ( )

R C g R C

1 1 1

s i m o gd IX - 14 Risposta in frequenza

non contribuisce al polo a causa dell’inseguimento tra il nodo di base e quello di emettitore di Q2:

C p

π 2

2 1

= −

p 2 R C

1 1

o o

Analogamente per il terzo stadio:

1

= −

p + +

3 ( )

r C C C

µ π

3 02 3 2

dove: +

R r

π

= o

1 2

r || R

β

3 o 2 è andato a massa:

in continua. Tuttavia alle frequenze in cui entra in gioco il polo p R

,

3 o

1

r 1

π

= ≅

2

r R

||

β

3 o 2 g m 2

per cui: g

= − m 2

p + +

3 (

C C C )

µ π

o 2 3 2

Infine il polo sull’uscita è dato da:

1

= −

p 4 R C

o 3 o 3

9.7 Stadi a base comune ed a gate comune

Gli stadi a base comune ed a gate comune, semplificati per il calcolo della FdT, sono mostrati in fig.9.24 e fig.9.25,

il bulk è in corto con il source, mentre per il processo è a

rispettivamente. Si ricorda che per il processo P-well N-well

massa. Si supponga per il momento un processo N-well:

R R

C C

L L

L L

V V

o o

Q M

1 1

I I

C C

s s

R R

S S

S S

Fig. 9.24 Schema semplificato del base comune Fig. 9.25 Schema semplificato del gate comune

IX - 15

Risposta in frequenza

Si può ad entrambi associare lo stesso modello equivalente per piccolo segnale, come mostrato in fig. 9.26, supposto

di assegnare a ciascun parametro il significato simbolico in tabella VI: BJT MOS

V ∞

o R r

C A π

V g v R

R A A m A o

A C C C

A π

C gs

R o

L + +

C C C C C

i s s sb gs

R C I

s s s + + + +

C C C C C C C

0 µ

L cs L db gd

R r r

0 c d

Fig. 9.26 Modello equivalente per piccolo segnale Tabella VI

9.7.1 Analisi semplificata

Il guadagno a bassa frequenza può essere facilmente calcolato trascurando nel circuito gli effetti capacitivi. Esso è

dato da: ||

R R

= A S

A R (9.39)

+

V 0 L

||

R R r

A S i

dove: +

R R >> ≅

= (se si ha ).

o L R R r 1 g

r o L i m

+

i 1 g R

m o

Il circuito presenta una FdT con due poli e nessuno zero, perché non c’è accoppiamento capacitivo tra ingresso ed

uscita. Il polo dominante è generalmente in uscita, data l’alta impedenza su questo nodo e la bassa impedenza sul nodo

d’ingresso. (associato al

Essendo il polo dominante in uscita, alla frequenza alla quale esso si presenta, il condensatore C i

secondo polo) può essere considerato con buona approssimazione un circuito aperto, per cui il polo dominante risulta

essere: 1

= −

p ( ) (9.40)

o R || R C

o L o

mentre il secondo polo vale:

1

= −

p ( ) (9.41)

⋅ +

s R || R || 1 g (

C C )

A S m i A

D’altra parte ricordando che l’impedenza è data da:

Z i

+

R Z

= o o

Z (9.42)

+

i 1 g R

m o

dove: R

= L

Z +

o 1 sC R

o L IX - 16 Risposta in frequenza

La presenza di un polo dominante in uscita abbassa l’impedenza in maniera tale che alla frequenza del polo in

Z o

ingresso (secondo polo) può essere considerata piccola rispetto ad e quindi trascurabile. Pertanto, è uguale a

Z R Z

o o i

circa ed il polo in ingresso è dato da:

1 g m

g

= − m

p (9.43)

+

s C C

i A

N.B. Se per il Mos il processo fosse stato P-well, cioè con il bulk cortocircuitato col source, la capacità avrebbe

C db

realizzato un accoppiamento tra ingresso ed uscita dando così luogo ad uno zero ad alta frequenza:

+

g 1 r g

= − ≅ −

m d m

z C C

db db

9.8 Stadio cascode in tecnologia CMOS . La

Lo stadio cascode, sia in tecnologia CMOS che bipolare, viene impiegato per realizzare un elevato guadagno

stessa cosa può essere alternativamente realizzata con la cascata di due stadi ad emettitore comune, o a source comune, o

infine con un approccio misto, ma con lo svantaggio di un maggior numero di poli di bassa frequenza, cosa che rende più

complicata la stabilizzazione in frequenza e, come si vedrà più avanti, a scapito di una minor larghezza di banda per il

circuito ad anello chiuso.

Lo stadio cascode CMOS nella sua implementazione più tipica è mostrato in fig. 9.27. Esso impiega uno specchio di

tipo cascode che opera come carico attivo ad elevata impedenza e nello stesso tempo definisce in maniera accurata la

maggiore di una tale soluzione è rappresentato dalla di uscita, principalmente

corrente di lavoro. Lo svantaggio dinamica

limitata dallo specchio cascode. Soluzioni alternative possono comunque essere impiegate al fine di migliorarne la

dinamica, al costo di una maggiore complessità. V

DD

M M

6 4

M M

5 3 V

o

I C

V

ss L

M

G2 2

R

s

V M

s 1

C

s V

SS

Fig. 9.27 Schema circuitale completo dello stadio cascode ed

Lo schema semplificato per il calcolo della FdT è mostrato in fig. 9.28. In essa si evidenziano i due transistori M

1

, soggetti all’attraversamento del segnale, che realizzano la cascata di un source comune con un gate comune.

M

2 IX - 17

Risposta in frequenza g r r

R R

C

o o

o m 3 d 3 d 4

V

o

M

2 + + + +

C C C C C

C

O L gd 3 db 3 db 2 gd 2

R

s

V M

s 1

C

s +

C C

C

i s gs

1

Fig. 9.28 Schema circuitale semplificato Tabella VII

Il modello equivalente per piccolo segnale è mostrato in fig. 9.29:

G

2 V

o

g V r

V m2 gs2 d2

gs2 C

R o

R L

C

s gd1

V

s C r

g V

V i d1

m1 gs1

gs1

Fig. 9.29 Modello per piccolo segnale

Si tratta di un circuito con tre poli ed uno zero. Sulla base di quanto precedentemente visto, il polo dominante è in

sarà di alta

uscita, ci sarà un polo di bassa frequenza anche in ingresso, mentre il terzo polo sul nodo di drain di M

1

frequenza in quanto caratterizzato da una bassa impedenza. Lo zero introdotto da Cgd1 è esattamente uguale a quello visto

per il source comune. Esso è dato da:

+

r Z

= d 2 o

z (9.44)

s 2 g r

m 2 d 2

dove R

= o

Z +

o 1 sR C

o o

Il polo dominante in uscita ed il terzo polo sul drain di M sono anch’essi facilmente calcolabili seguendo lo stesso

1

ragionamento precedentemente fatto per il gate comune. Il risultato è:

1

= −

p ( ) (9.45)

D R || r C

o o o

1

= −

p (9.46)

+

s R (

C 2

C )

s i gd 1

g

= − m 2

p (9.47)

B C A IX - 18 Capitolo 10

Riferimenti di corrente e di tensione

10.1 Riferimenti di corrente

I circuiti di polarizzazione nell’elettronica integrata sono spesso costruiti a partire da riferimenti di corrente o di

tensione che presentano particolari caratteristiche. Parlando di riferimenti di corrente, i parametri di prestazione

maggiormente utilizzati per valutarne la bontà sono la sensibilità rispetto agli elementi del circuito, in particolare rispetto

alla tensione di alimentazione, ed il coefficiente di temperatura. Se si esprime la corrente di riferimento come:

= (10.1)

I f ( x , x x )

,.....,

2 1 2 n è definita come segue:

la sensibilità rispetto x i

∂ x

I

= 2 i

Ii

S 2 (10.2)

x x I 2

i

è un qualunque parametro dei componenti attivi e passivi o, più frequentemente, la tensione di alimentazione.

dove x i , è invece definito nel modo seguente:

Il coefficiente di temperatura, TC

∂ I 1

= 2

TC (10.3)

I T

2

In realtà, la sensibilità rispetto alla tensione di alimentazione è un parametro di prestazione molto adeguato, per

esprimere la dipendenza dall’alimentazione stessa, solo nei circuiti di uso generale, come per esempio gli amplificatori

operazionali commerciali, nei quali è possibile operare con un’ampia gamma di tensioni di alimentazione. In questi circuiti,

infatti, è di fondamentale importanza che la sensibilità della corrente di riferimento sia molto bassa al fine di garantire una

prestazione elettrica indipendente dalla tensione di alimentazione stessa. Una tale situazione è in qualche modo simile a

quella dei circuiti integrati per apparecchiature portatili alimentate da batterie la cui tensione diminuisce nel tempo.

A parte queste situazioni particolari, il problema più grosso nei circuiti integrati non è tanto quello dell’ampia

variabilità della tensione di alimentazione, bensì la presenza di disturbi su un ampio spettro di frequenza sovrapposti alle

linee di alimentazione, generati dalla presenza di circuiti digitali operanti con fronti di segnale molto ripidi, o dalla presenza

di oscillatori ad alta frequenza, come per esempio avviene nei circuiti integrati a radio frequenza. Pertanto, bisogna

introdurre un parametro di prestazione che tenga conto della bontà del riferimento di corrente ed attenuare questi disturbi.

Trattandosi di un riferimento di corrente esso verrà così definito:

I

= r

PSNA (10.4)

V

cc X - 1

Riferimenti di corrente e di tensione

PSNA sta per ”Power Supply Noise Attenuation” ed è definito come il rapporto della corrente di segnale, ,

I r

, ed il segnale applicato sulla tensione di alimentazione, . Altri parametri

sovrapposta alla corrente di riferimento V

I R CC

quali la banda possono essere di importanza in un riferimento di corrente, specialmente quando le condizioni di lavoro

necessitano di un comportamento dinamico di accensione e spegnimento.

Infine, per quanto riguarda la precisione in senso assoluto della corrente generata, si vedrà che essa è, nel migliore dei

÷

casi, determinata dalla precisione assoluta di un resistore integrato ( di tolleranza). Riferimenti di corrente di

10 % 30 %

elevata accuratezza possono essere realizzati, ma richiedono soluzioni complesse che si giustificano solo nel caso di

particolari applicazioni.

10.1.1 Riferimento di corrente basato sullo specchio di corrente semplice

Un riferimento di corrente basato su un semplice specchio di corrente è mostrato in fig. 10.1:

V CC

R

I I

1 2

Q Q

1 2

V EE

Fig. 10.1 Riferimento di corrente a specchio semplice

Osservando il circuito, la corrente di riferimento è data da:

V V

= =

CC BE 1

I I I (10.5)

1 2 1

R con la tensione di alimentazione, la sensibilità rispetto alla tensione di

Trascurando la variazione di V BE 1

alimentazione risulta essere:

∂ V V V

I 1

= = =

I CC CC CC

2

S 2 (10.6)

∂ −

V V I R I V V

CC CC CC BE

2 2 1

= =

⇒ I . Il coefficiente di temperatura può essere calcolato come segue (si suppone regolata

Con V

V 3

V S 1 .

3

2 CC

CC V

CC ∂

V

CC ):

in temperatura, per cui si trascura il termine ∂ T

 

∂ ∂

∂ ∂

 

V V

1 1 1 1 1

R R

 

= − − = − +

BE 1

BE 1 ( )

TC V V (10.7)

   

∂ ∂ ∂ ∂

CC BE 1 2

 

I R T R T V V T R T

 

CC BE

2 1

=

Con ed essendo tipicamente:

V 3

V

CC

1 R −

= ⋅ °

3

2 10 C (Coefficiente di temperatura della resistenza) (10.8)

R T X - 2 Riferimenti di corrente e di tensione

si ha:

∂ V = − °

BE 1 2

. 2 mV C (Variazione della con la temperatura)

V (10.9)

∂ BE

T °

Il coefficiente di temperatura di risulta essere uguale a . Se c’è una variazione di temperatura di 50 gradi

I 0

.

1 % C

2

centigradi si produce una variazione sulla corrente del 5%. Questo circuito ha un buon coefficiente di temperatura.

I 2

10.1.2 Riferimento di corrente basato sullo specchio di Widlar

Tale riferimento è mostrato in fig. 10.2. V CC

R

1

I I

1 2

Q Q

1 2

R

2

V EE

Fig. 10.2 Riferimento di corrente a specchio di Widlar

= = e c, si trova la relazione che lega ad :

Assumendo A A A I I

E 1 E 2 E 2 1

α

−  

I I

V V V

= =  

BE 1 BE 2 T C 1 F 2 ES 2

I ln (10.10a)

 

α

2  

R R I I

2 2 F 1 ES 1 C 2

α α

= = =

, e ; segue quindi:

ma I I I I F 1 F 2

C 1 1 C 2 2

V I

= 

T 1

ln

I (10.10)

2 

R I

2 2

La sensibilità rispetto all’alimentazione è calcolata a partire dalla definizione (10.2):

  V

I

=  

I CC

2

S (10.11)

2  

V  

V I

CC CC 2 rispetto a è data da:

La derivata della corrente V

I 2 CC

∂ ∂ ∂

 

I V I I I I

1

= −

 

2 2 1 1 2

T (10.12)

 

∂ ∂ ∂

2

 

V R I I V V

I

2 1 2

CC CC CC

2

Essendo:

V V

= CC BE 1

I 1 R

1 X - 3

Riferimenti di corrente e di tensione

e ∂ I 1

=

1

∂ V R

CC 1 rispetto a è pari a:

la derivata di V

I 2 CC

∂ ∂ ∂  

I V V I I V I

1

= − =  

2 T T 2 2 T 2 (10.13)

 

∂ ∂ ∂ +

 

V R I R R I V V I R R I V

CC 1 1 2 1 2 CC CC 1 1 2 2 T

quindi la sensibilità rispetto alla tensione di alimentazione è:

V V

=

I CC T

S 2 (10.14)

− +

V V V V R I

CC CC BE 1 T 2 2 =

= = I

, ed , è pari a 0.27. Il suo valore è quindi cinque volte più

Assumendo 3

V V

V 26 mV R I 100 mV S 2

T 2 2

CC V

CC

piccolo di quello dello specchio semplice.

10.1.3 Riferimento di corrente basato sulla V BE

Un riferimento di corrente può essere ottenuto utilizzando come tensione la caduta tra base ed emettitore, come

mostrato in fig.10.3. V CC

R I

1 2 Q 2

I

1

Q 1 R

2

V EE

Fig. 10.3 Riferimento di corrente basato sulla V .

BE

Essendo:

− −

V V V

= 1 2

CC BE BE

I 1 R

1

segue:

∂ (10.16)

I 1

=

1

∂ V R

CC 1

e:  

V V I

= =  

BE 1 T 1

I ln (10.17)

 

α

2  

R R I

2 2 F ES 1 X - 4 Riferimenti di corrente e di tensione

La sensibilità rispetto alla tensione di alimentazione ha la seguente espressione:

V V

= ⋅

I CC T

S 2 (10.18)

− −

V V V V V

CC CC BE 1 BE 2 BE 1

mentre il coefficiente di temperatura risulta dato da:

. = −

TC TC TC (10.19)

I V R

2 CC 2

Assumendo sempre i valori tipici precedentemente menzionati si trova:

= − °

=

I TC 0 .

5 % C

S 0 .

07

2

V

CC

10.1.4 Tecniche di autopolarizzazione

Per quanto riguarda la dipendenza dalla tensione di alimentazione è possibile rendere tale dipendenza estremamente

bassa, adottando la tecnica della autopolarizzazione. Un esempio di riferimento autopolarizzato è mostrato in fig. 10.4. La

ed in maniera tale da renderle, con

presenza dello specchio di corrente impone un’ulteriore vincolo alle correnti I I

1 2

buona approssimazione, indipendenti dalla tensione di alimentazione.

V CC =

I I

I

Q Q 2 2 1

4 3 B  

Q V I

2  

= T 1

I ln

I  

1 α

2  

R I

F 1 ES 1

Q 1 I

R 1

A

V EE

Fig. 10.4 Riferimento a specchio autopolarizzato Fig. 10.5 Soluzione grafica del sistema (10.20), in tratteggio è

indicato il reale andamento della prima equazione del

sistema.

= si possono scrivere le seguenti equazioni:

Assumendo A A

E E

3 4

 

V I

= 

 T 1

I ln 

 α

 2 (10.20)

R I 

 F ES

1 1

 =

 I I

1 2

da cui è possibile notare che non compare la tensione di alimentazione.

La soluzione del sistema di equazioni (10.20) può essere mostrata graficamente come disegnato in fig. 10.5. La curva

è uguale a

logaritmica è stata modificata leggermente per imporne il passaggio per lo zero. Infatti, quando la corrente I 1

zero anche è zero e così pure . Questa condizione è stata persa in quanto nelle equazioni (10.20) si è semplificato

V I

BE 1 2

l’equazione del transistore conservando solo la parte esponenziale, come solitamente viene fatto. D’altra parte, questa

approssimazione è buona in tutte le situazioni per cui la corrente di lavoro è molto maggiore della corrente inversa di

saturazione e non lo è più quando le correnti tendono a zero. Il diagramma in fig. 10.5 dice che nel circuito sono possibili

due punti di lavoro: uno è quello desiderato, l’altro è caratterizzato da una corrente nulla.

X - 5

Riferimenti di corrente e di tensione

E’ necessario quindi ricorrere ad un circuito aggiuntivo, chiamato circuito di start-up, che costringa il punto di lavoro

a stabilizzarsi al valore desiderato di corrente. Un esempio di circuito di start-up basato su diodi è mostrato in fig. 10.6:

V CC

R

2 Q Q

4 3

D 3 V x

D Q

2 2

I

1

D Q

1 1 R

1

V EE

Fig. 10.6 Circuito di START-UP a diodi (in tratto più marcato) collegato con un riferimento a specchio di corrente. è pari a

Se il punto di lavoro all’accensione del circuito si posiziona nel punto indesiderato A, la tensione sul nodo V X

sarà percorso da corrente, mentre D e D saranno spenti. Tale corrente porterà il punto di lavoro nella

zero ed il diodo D

3 1 2

posizione desiderata B. In questa situazione di lavoro è pari a due cadute di diodo, D è forzato all’interdizione e la

V 3

X

corrente in fluirà tutta su D e D . Pertanto, il circuito di start-up risulterà elettricamente disaccoppiato dal circuito

R 1 2

2

principale e non avrà alcun effetto su di esso.

Un altro circuito di start-up, spesso utilizzato in quanto ha una migliore prestazione a bassa tensione, è quello basato

sullo specchio di Widlar come mostrato in fig. 10.7. Essendo la corrente di start-up (in Q ) permanentemente attivata, essa

6

viene fissata ad un valore sufficientemente basso da non disturbare in maniera apprezzabile il circuito principale.

V CC

R V

3 x Q

Q 3

4

I I

5 6

Q Q

5 6 Q 2

Q

R 1

2 R

1

V EE

Fig. 10.7 Circuito di START-UP a specchio di Widlar.

10.1.5 Riferimento di corrente basato su V

BE ∆ , come mostrato in fig. 10.8. Si tratta

Uno dei riferimenti di corrente maggiormente utilizzato è quello basato su V BE

di un riferimento del tipo autopolarizzato che spesso è anche identificato con il nome di PTAT (Proportional To Absolute

=

=

Temperature). Essendo ed , è possibile scrivere le seguenti equazioni:

A A

A kA

E 2 E 1 E 3 E 4

=

 I I

 2 1

− ( )

V V V

 (10.21)

= =

1 2

BE BE T ln k

I

 2 R R

1 1 X - 6 Riferimenti di corrente e di tensione

V CC

Q Q

3 4

I

1 I

2

Q Q

1 2

R

1

V EE

Fig. 10.8 Riferimento di corrente PTAT sia definita in maniera univoca dal rapporto di area tra Q e Q . In realtà

Da tali equazioni sembra che la corrente I 2 1

2

ciò è la conseguenza, come già detto precedentemente, di aver considerato solo il termine esponenziale nell’equazione della

corrente del transistore, approssimazione valida quando la corrente di riferimento è molto maggiore della corrente inversa

di saturazione. Infatti, se la corrente è uguale a zero, e, quindi, anche sono uguali a zero. Ciò significa che deve

I V I

1 BE 1 2

ed sono nulle.

esistere un’altra soluzione in cui entrambe le correnti I I

1 2

Il problema può essere trattato graficamente come mostrato in Fig. 10.9:

I =

I I

2 2 1

B 

V I 

= T 1

ln

I 

 α

2 

R I

F ES

1 1

I

1

A

Fig. 10.9 Determinazione dei punti di lavoro del riferimento PTAT

Il circuito presenta quindi due possibili punti di lavoro, uno dei quali con correnti nulle. Pertanto anche questo

riferimento dovrà essere provvisto di un circuito di start-up.

I riferimenti che trattati fin qui possono essere realizzati con una tecnologia bipolare che disponga di entrambi i

transistori NPN e PNP, o con una tecnologia BiCMOS con soli transistori NPN, in quanto si possono sostituire gli specchi

di corrente di tipo PNP con degli specchi di corrente a transistori PMOS. Il problema che ora ci si pone è se è possibile

realizzare i riferimenti appena visti con una tecnologia puramente CMOS. A questa domanda si può rispondere

affermativamente grazie alla presenza, in una qualsiasi tecnologia CMOS, di transistori NPN o PNP parassiti, che, sebbene

di basse prestazioni, possono essere comunque impiegati per realizzare i circuiti precedentemente descritti, in maniera

sufficientemente accurata.

Se si considera una tecnologia CMOS del tipo n-well è possibile realizzare un transistore parassita PNP con il

collettore connesso al substrato e, più in particolare, un diodo come mostrato in fig.10.10 (a) e 10.10 (b).

X - 7

Riferimenti di corrente e di tensione B

E

C B p+

p+ n+ p+ p+ C

n-well p-bulk E

Transistore PNP parassita Diodo parassita

Fig. 10.10 (a) Fig. 10.10 (b)

è mostrato in fig.10.11. Se si assume:

Un riferimento del tipo basato su V BE

( ) ( ) ( ) ( )

= =

W L W L W L W L

1 2 3 4

è possibile scrivere le seguenti equazioni:

I =I (10.22)

2 1

V =V (10.23)

GS 1 GS 2

I = V R (10.24)

2 EB

1 1 V DD

V DD M

M

3 4

M

M

3 4 M M

1 2

M M

1 2 R

R

Q 2 Q Q

1 2

V V

SS SS

Riferimento basato sulla V Riferimento PTAT

Fig. 10.11 Fig. 10.12

BE

Un riferimento del tipo PTAT è mostrato in fig. 10.12. Anche in questo caso assumendo:

( ) ( ) ( ) ( )

= = =

W L W L W L W L A kA (10.25)

1 2 3 4 E 2 E 1

X - 8 Riferimenti di corrente e di tensione

si possono scrivere le equazioni:

I =I (10.26)

2 1

V =V (10.27)

GS 1 GS 2

− ( )

V V V

=

EB EB T

1 2

I = ln k (10.28)

2 R R

1

Chiaramente entrambi i riferimenti essendo del tipo autopolarizzato necessitano di un circuito di start-up.

10.2 Riferimenti di tensione

I riferimenti di tensione sono molto impiegati nei circuiti integrati per le più svariate esigenze. Essi infatti forniscono

una grandezza elettrica di elevata precisione e stabilità che può essere utilizzata in generale come riferimento in vari

blocchi circuitali, quali per esempio, i circuiti di rivelazione e/o di misura, i convertitori analogico/digitali e

digitale/analogici, ecc.

I riferimenti di tensione vengono anche utilizzati per definire accurate tensioni di lavoro ed amplificazioni con elevata

stabilità sia rispetto a tolleranze di processo, sia rispetto alla temperatura. A differenza dei riferimenti di corrente la cui

precisione è nel caso migliore legata al valore assoluto di un resistore integrato, i riferimenti di tensione possono essere

realizzati con ottima precisione assoluta e stabilità termica. Questo è il caso del riferimento di tensione di tipo band-gap,

nel quale si sfrutta il salto di potenziale della banda proibita per generare una tensione accurata e indipendente dalla

temperatura.

10.2.1 Riferimento di tensione band-gap

Il riferimento di tensione di tipo band-gap nasce dalla constatazione che una tensione indipendente dalla temperatura

(per un ben fissato valore di temperatura) è possibile ottenerla implementando la seguente equazione:

= +

V V nV (10.29)

R BE T

Infatti, come ben noto, la tensione tra base ed emettitore di un transistore bipolare diminuisce all’aumentare della

temperatura (-2.2 mV/°C a T=300 °K), mentre la tensione termica è proporzionale alla temperatura stessa. Se si pone la

V

T

= *

uguale a zero per , si trova che il valore di per il quale il coefficiente di temperatura di è nullo

derivata di T T n

V V

R R

è dato da: ∂ V

q

= − BE

( *)

n T (10.30)

k T = *

Sostituendo la (10.30) nella (10.29) si trova che la tensione il cui coefficiente di temperatura è nullo per è

T T

V R

data da: ∂

q V BE

= −

( *)

V T V (10.31)

R BE ∂

k T *

Essendo dipendente dalla temperatura, la tensione così determinata varia al variare della temperatura . A

T

n V R

assume il valore di 25.38 ed essendo la tensione tra base ed emettitore pari a circa

temperatura ambiente (T=300 °K) n

0.7V, la tensione di riferimento che si ottiene è circa uguale ad 1.3V. In realtà questo calcolo è al momento solo

approssimativamente corretto.

Dall’equazione (10.31) ancora non si evince la dipendenza di dai parametri di processo e da quelli di progetto. E’

V R α

dalla temperatura e introducendo un parametro che tiene conto

possibile comunque esplicitando la dipendenza di V BE α

=

della dipendenza della corrente dalla temperatura ( ), trovare per la seguente semplice espressione:

I CT V R

 

*

( ) T

γ α

= + − +

 

( *) 1 ln

V T V V (10.32)

 

R G T

0  

T X - 9

Riferimenti di corrente e di tensione

In questa equazione compaiono: il salto di potenziale della banda proibita a zero °K (1.205 V), (da qui il nome di

V G 0

α

γ

band-gap), un parametro di processo (valore tipico 3.2) ed uno di progetto, (valore tipico 1), dipendente da come la

è generata.

corrente che determina la V BE *

dalla temperatura, per tre diversi valori di , è mostrata in fig. 10.13.

La dipendenza della tensione T

V R

V (V)

R T*=500 °K

T*=400 °K

T*=300 °K T (°K)

500

300 400

Dipendenza di dalla temperatura

Fig. 10.13 V R = *

Il valore di nel punto a coefficiente di temperatura nullo, ottenuto dalla (10.31) per , è pari a:

T T

V R *

( ) KT

γ α

= + −

V T V

( *) (10.33)

R G 0 q α

γ =

= e , risulta essere:

che, assumendo 1

3

.

2

*

KT

= +

V T V

( *) 2 .

2 (10.34)

R G 0 q per i quali il coefficiente di temperatura è nullo, in funzione della

Quest’ultima equazione dà i valori di V R

temperatura di lavoro desiderata. Per esempio la tensione di band-gap che ha un coefficiente di temperatura nullo per

= ° è pari a 1.26V. Questo in altre parole significa che, quando si va ad operare sul circuito per ottenere un

T 300 K

coefficiente di temperatura nullo alla temperatura di 300 °K, si troverà per il valore di 1.26V.

V R

Chiaramente, i valori dati dall’equazione (10.34) sono dipendenti, seppure non fortemente, dal tipo di processo (con

α

γ ) e dal tipo di implementazione (con ). A quest’ultimo proposito è possibile fissare opportunamente la corrente che

determina al fine di compensare la dipendenza di dalla temperatura mostrata nella (10.32) e, almeno in linea di

V V

BE R

principio, rendere le curve in fig. 10.13 piatte.

10.2.2 Riferimento di tensione di Widlar

Il riferimento di tensione band-gap di Widlar è probabilmente quello maggiormente impiegato data la sua semplicità

ed il fatto che non richiede un circuito aggiuntivo di start-up. L’implementazione più semplice è quella mostrata in fig.

10.14. Qualora si richiede una migliore reiezione dei disturbi di alimentazione, il resistore R4 può essere sostituito da

=

=

uno specchio di corrente alimentato da un riferimento di corrente. Assumendo , e ponendo per

A A

A kA

E 2 E 1 E 3 E 1

=

semplicità , si ottiene:

V 0

EE

= + (10.35)

V V R I

R BE 3 3 2 X - 10 Riferimenti di corrente e di tensione

Essendo:

− I

V V V A

= = ⋅

C 1

BE 1 BE 2 T E 2

ln

I (10.36)

C 2 R R I A

1 1 C 2 E 1

= = =

e supponendo e quindi si trova che: e quindi:

I I V V R I R I

C 1 C 3 BE 1 BE 3 2 C 1 3 C 2

 

R

V  

= 3

T ln k

I (10.37)

 

C 2  

R R

1 2

e infine sostituendo la (10.37) nella (10.35):

 

R R

= + ⋅

 

3 3

ln k V

V V (10.38a)

 

R BE T

3  

R R

1 2

Il parametro n, definito precedentemente dalla (10.30), risulta pari a:

R R

3 3

ln

n= k (10.38b)

R R

1 2 V CC R

4

Q 4

V R R R

2 3 Q 3

Q Q

1 2

R

1

V EE

Riferimento band-gap di Widlar

Fig. 10.14

Esempio = = = Ω

e , siccome per ottenere una tensione di riferimento con coefficiente di temperatura

Se si pone k 8 10

R R k

2 3

° =

nullo a va fissato a 25.38, risulta pari a 820Ω. Infine, per soddisfare la condizione , bisogna

n

27 C I I

R

1 C 1 C 3

( )

= − −

dimensionare nel modo seguente: . In questo caso:

R V V V I

R 4 4 CC BE 4 R C 1

( ) ( )

= = = − = − Ω =

1

. 26 0 .

7 10 56

I I I V V R k mA

1 2 3 1

, 3 2 , 3

C C C R BE X - 11

Riferimenti di corrente e di tensione

10.2.3 Riferimento di tensione di tipo autopolarizzato

Un riferimento di tensione, nel quale la corrente di polarizzazione è svincolata dalla tensione di alimentazione grazie

alla tecnica di autopolarizzazione, è quello mostrato in fig. 10.15:

V CC R

R E

E

Q Q

4 5 Q 3 V

Q R

2

Q 1 I

B

R

2

R

1 V EE

Riferimento di tensione autopolarizzato

Fig. 10.15 =

= =

Assumendo , e ponendo per semplicità , si ottiene:

A A

A kA V 0

2 1

E E EE

3 1

E E

( )

= + +

V V I I R (10.39a)

1 1 2 1

R BE C C = , si può scrivere:

Siccome lo specchio di corrente Q3-Q4 impone che I I

1 2

C C

V

= = T ln

I I k (10.39b)

1 2

C C R 2

e quindi per la tensione di riferimento:

R ( )

= + 1

2 ln

V V V k (10.40)

1

R BE T

R 2

Questo riferimento richiede un circuito di start-up in quanto il punto di lavoro con correnti nulle è compatibile con il

circuito stesso.

10.2.4 Riferimento di tensione in tecnologia CMOS

Un riferimento di tipo band-gap in tecnologia CMOS si può realizzare utilizzando i diodi parassiti visti

precedentemente. Una possibile implementazione che fa uso di un amplificatore operazionale è mostrata in fig. 10.16.

e di garantire

L’amplificatore operazionale svolge la duplice funzione di realizzare una corrente proporzionale a V

T

una tensione di riferimento a bassa impedenza, cosa auspicabile quando il riferimento deve erogare corrente. Grazie

+ −

= = =

=

, per cui assumendo e ponendo per semplicità , si ottiene:

all’amplificatore è V V 0

V R I R I

A kA

2 1

E E 2 1 3 2

SS C C

X - 12 Riferimenti di corrente e di tensione

Quindi:  

R

V  

= 3

T ln k

I (10.41)

 

2

C  

R R

1 2

Osservando il circuito risulta:

= + = +

V V R I V R I (10.42)

1 2 1 1 3 2

R EB C EB C

e dalla (10.41):  

R

R  

= + 3 3

ln k

V

V V (10.43)

 

1

R EB T  

R

R

1 2 V

R

R DD

3

2 - V

R

+ V

R SS

1

Q Q

1 2

V

SS

Riferimento band-gap in tecnologia CMOS

Fig. 10.16 X - 13 Capitolo 11

Retroazione e compensazione

11.1 Circuiti Retroazionati

Un circuito retroazionato non è in generale riconducibile a semplice modello a singolo anello. Ciò nonostante la

schematizzazione di fig. 11.1 rappresenta molto bene le proprietà di un circuito retroazionato, su essa sarà basato lo studio

degli amplificatori retroazionati.

S S S

ε

i o

a(s)

+ -

S

f f(s)

Fig. 11.1 Schema a blocchi di un circuito retroazionato

Nello schema di figura si possono identificare l’amplificatore ad anello aperto (o blocco d’andata) definito dalla

, la rete di retroazione definita dalla FdT , il segnale d’ingresso , il segnale d’uscita , il segnale di

FdT S S

a (s ) f (s ) i o

, ed infine il segnale errore , dato dalla differenza di con . La FdT del guadagno d’anello,

retroazione S S T (s )

S S

ε i

f f

, sono dati da:

e quella dell’amplificatore retroazionato, A

(s )

=

T ( s ) f ( s ) a ( s ) (11.1)

S a ( s ) a ( s )

= = =

o

A

( s ) (11.2)

+ +

S 1 f ( s ) a ( s ) 1 T ( s )

i

Indipendentemente dal tipo di grandezza di prelievo e di controllo sussiste la seguente:

= ( )

S S a s (11.3)

ε

o Se si considera l’amplificatore retroazionato in continua (cioè per s=0), si trova:

S

= − = o

S S S (11.4)

( )

ε i f 0

a XI - 1

Retroazione e compensazione

( )

Essendo un guadagno elevato, è circa uguale a zero ed è uguale ad . Questo risultato esprime una

S S

a 0 S

ε i

f

prima proprietà importante degli amplificatori retroazionati per cui se l’amplificatore ad anello aperto ha un guadagno

elevato, il segnale di retroazione è una replica del segnale d’ingresso, si vedrà più avanti che questa proprietà si traduce

anche nel concetto di corto circuito virtuale. Essa è valida non solo in continua ma per tutte le frequenze per le quali si può

( )

ω

supporre abbastanza grande da considerare uguale a zero il segnale errore.

a j I I

ε ε

a(s) a(s)

Z

V V

ε Z

ε

i i

I I

+

V i f

i - +

V f -

Fig. 11.2 Confronto di tensioni Fig. 11.3 Confronto di correnti = =

=

, ed .

Si prenda in considerazione il caso in cui in ingresso si confronta una tensione, cioè S V S V

S V ε ε

i i f f

( ) = =

=

, segue e , essendo l’impedenza d’ingresso finita.

Come si vede in fig. 11.2, supponendo 0 , 0 0

a elevato V I

V V

ε ε

i f = =

=

Alla stessa situazione si arriva con lo schema semplificato di fig. 11.3, dove si è assunto , ed . Con

S I S I

S I ε ε

i i f f

( ) = =

=

grande, , e essendo ancora una volta l’impedenza d’ingresso finita. In entrambe queste

0 0

I V

a 0 I I

ε ε

i f

situazioni i terminali d’ingresso sono in cortocircuito virtuale. Il cortocircuito virtuale non è quindi una prerogativa degli

amplificatori operazionali e nemmeno degli amplificatori di tensione, bensì esprime una proprietà generale degli

amplificatori retroazionati basati su un anello ad alto guadagno.

11.1.2 La funzione Sensitivity :

Data una generica funzione Y dipendente da h parametri , ,...

x x x

1 2 h

= (11.5)

( , ,... )

Y Y x x x

1 2 h rispetto ad un generico parametro , a tal proposito si definisce la

si può evidenziare la dipendenza funzionale di Y x i

rispetto come:

funzione sensitivity della Y x i

∆ ∆ x

Y Y Y

= =

Y i

S ˆ (11.6)

∆ ∆

x x x x Y

I i i i ∆ →

Questa funzione valuta la variazione relativa della rispetto alla variazione relativa di ; se in particolare

Y x x 0

i i

si ha: ∂ x

Y

=

Y i

S (11.7)

x x Y

I i

Alcune proprietà importanti dell’amplificatore retroazionato possono essere valutate attraverso il calcolo della

=

sensitivity di o . Si consideri la dipendenza di rispetto ad un generico parametro cioè quindi

x

A s a s a s a a s x

( ) ( ) ( ) ( , )

= , la sensitivity di rispetto ad sarà:

anche A x

A A s x

( , )

∂ ∂ ∂

( )

a a a

+ −

af af

1

∂ ∂

∂ ∂ ∂

A x x x a x 1 1 (11.8)

x x x

= = = = =

A a

S S

( ) ( )

∂ ∂ + +

x x

+ +

2 2

x A A A x a 1 af 1 T ( s )

af

1 1 af XI - 2 Retroazione e compensazione

>> A a

Se la viene diminuita di un fattore rispetto da ciò si deduce un’importante proprietà dei circuiti

T

S S

1

T x x

retroazionati, che è l’insensibilità rispetto alle variazioni parametriche.

rispetto ad è data da:

La sensitivity di A s a s

( ) ( )

A a

=

A

S (11.9)

a a A 1 1 1

a

= = ≈

A

S [ ] (11.10)

+

a + 2 1 ( ) ( )

A T s T s

1 ( ) ( )

f s a s

Da quest’ultima equazione si nota che le variazioni indotte su dalle tolleranze di fabbricazione, dalla

a s

( ) attenuate di un fattore pari al guadagno

temperatura, dalle imprecisioni del punto di lavoro, ecc., si ripercuotono su A

d’anello. Questa come già detto è una proprietà fondamentale degli amplificatori retroazionati che li rende particolarmente

adatti nell’implementazione di funzioni con elevata accuratezza.

D’altra parte la sensibilità rispetto alla rete di retroazione è:

∂ 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

A s f s a s f s f s a s

= = − = − ≈ −

A 1

S (11.11)

( )

∂ +

+

f 2

( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( )

f s A s A s f s a s

1 ( ) ( )

f s a s

Pertanto le variazioni cui è soggetta la rete di retroazione si ripercuotono con proporzionalità pari ad uno sulla FdT

dell’amplificatore retroazionato. A questo punto sembrerebbe che il problema dell’accuratezza uscito dalla porta rientri

dalla finestra. Anche la rete di retroazione, normalmente realizzata con componenti passivi, è soggetta, seppur in maniera

minore, alla dipendenza dalle tolleranze di fabbricazione, alla temperatura e alle non linearità, ed in realtà non è sempre

vero che basta far dipendere la FdT ad anello chiuso unicamente dalla rete di retroazione per ottenere un’elevata

accuratezza. Un esempio tipico in questo senso è l’integratore basato sull’amplificatore operazionale che, in una

realizzazione integrata., è soggetto ad un’elevata tolleranza (tipicamente 20-30%).

Esiste comunque una tecnica fondamentale per ottenere una FdT ad anello chiuso di elevata accuratezza che consiste

nel far dipendere la FdT, e quindi il fattore f della rete di retroazione, dal rapporto tra i valori dei componenti passivi

piuttosto che dal loro valore assoluto. Esempi molto noti di quest’approccio sono gli amplificatori invertenti e non

invertenti basati sull’amplificatore operazionale ed i circuiti a condensatore commutato. In entrambi questi casi la

precisione è legata alle tolleranze relative dei componenti passivi, che con una tipica tecnologia per circuiti integrati vanno

dall’1% (tolleranza relativa dei resistori integrati) allo 0.1% (tolleranza relativa dei condensatori integrati).

11.1.3 Segnali spuri lungo l’anello

E’ di notevole interesse pratico per chi progetta amplificatori retroazionati, conoscere l’effetto sulla variabile d’uscita

di una sorgente di rumore, di un offset, di una sorgente di distorsione e, più in generale, di un disturbo o segnale di errore di

qualsiasi natura, che viene iniettato in qualche punto dell’anello di retroazione. Per analizzare l’effetto di questi disturbi si

fa riferimento allo schema a blocchi di fig.11.1 riportato in fig.11.4 dove sono stati evidenziati i disturbi all’ingresso e

all’uscita del blocco d’andata e della rete di retroazione.

S S

nai na

S S S

ε

i o

a(s)

+ + +

-

S

f S S

nfo nfi

f(s)

+ +

Fig.11.4 Segnali spuri nell’amplificatore ad anello chiuso XI - 3

Retroazione e compensazione =

Da un’analisi visiva della figura 11.4 assumendo , si può facilmente trovare:

0

S i

[ ]

{ ( ) }

− + + + ⋅ + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

S s S s f s S s S s a s S s S s (11.12)

o nfi nfo nai nao o

>> si ottiene:

dalla quale ipotizzando 1

T [ ]

( )

a s 1

≈ − + − +

( ) ( ) ( )

( ) ( )

S s S s S s S s S s (11.13)

o nfi nai nfo nao

( ) ( ) ( )

f s a s T s

Quest’equazione dice che il disturbo all’ingresso della rete di retroazione si trasferisce invariato in uscita, i disturbi

all’ingresso del blocco d’andata e all’uscita della rete di retroazione sono processati in maniera analoga al segnale di

ingresso in altre parole per questi due disturbi il rapporto segnale rumore si conserva, il disturbo all’uscita del blocco

d’andata è invece attenuato fortemente dal guadagno d’anello.

Quest’ultima proprietà è di notevole interesse in quanto sono le sezioni finali (stadi d’uscita) che in genere presentano

grandi valori di offset e sono soggette ad un elevato rumore e/o distorsione. Pertanto, la presenza di un elevato guadagno

d’anello riduce fortemente questi segnali spuri. E’ interessante notare che la FdT relativa al disturbo coincide con

( )

S s

nao

A

la per cui un disturbo di questo tipo si ripercuote sulla FdT in maniera analoga ad una variazione parametrica di

S A s

( )

a

.

a s

( )

11.1.4 Proprietà dinamiche

Si trattano ora alcune importanti proprietà degli amplificatori retroazionati che è possibile desumere dallo schema a

blocchi semplificato di fig. 11.1. Si definiscono di tipo “dinamico” in quanto hanno a che vedere con il comportamento in

frequenza ed in particolare con la banda ad anello chiuso. Bisogna dire, in ogni caso, che anche le proprietà viste

precedentemente valgono in frequenza e che la distinzione tra dinamico e statico è puramente semplificativa.

Si consideri una FdT approssimabile a singolo polo del tipo:

a

= 0

a s

( ) (11.14)

τ

+ s

1

Più precisamente per comportamento a polo dominante, in questa sezione, si intende quello per cui la frequenza di

ω

ω

transizione, , è maggiore o uguale della frequenza associata al secondo polo, , come mostrato dal diagramma di

T S

Bode in fig. 11.5. |a(jω)|

|a(jω)| ω S

ω

ω

D T ω GBW

ω ω

ω S T

D ω ω

>

Fig. 11.5 FdT a polo dominante Fig. 11.6 FdT di un amplificatore con T S

Il modulo della risposta in frequenza è dato da:

a

ω = 0

( )

a j (11.15)

( )

ωτ

+ 2

1 XI - 4 Retroazione e compensazione

1

ω ω τ

>> >>

Se allora:

1

τ

T T

a

ω ≈ 0

a ( j ) (11.16)

ωτ ω = per cui:

La frequenza di transizione è quella tale che a ( j ) 1

T

a

ω ω ω

= = =

0 a (11.17)

τ

T C GBW

0

Cioè, la frequenza di transizione, in un amplificatore approssimabile a polo dominante, è pari al prodotto banda-

ω ω ω

>

guadagno (GainBandWidth). Nel caso di amplificatore con , la frequenza pari al prodotto banda-

T S GBW

ω , si può ottenere come intersezione del prolungamento della parte a -20/dB per

guadagno, che non coincide più con T

decade con l’asse delle frequenze (fig. 11.6).

Si consideri adesso un amplificatore d’andata a polo dominante e si supponga la rete di retroazione puramente

passiva, si può quindi scrivere:

=

f ( s ) f (11.18)

o

Sostituendo e nell’espressione di si ottiene:

a (s ) f (s ) A

(s )

a 0 τ

+ a a A

a s

( ) 1

s

1 =

= = = = o

0 0

A s

( ) (11.19)

τ τ

τ

+ + + +

f a s s

a s f f a s f a

1 ( ) 1 1 +

+

+ 0 0 1 1

1

0 0 0 0 0

τ +

+

+ f a f a

1 1

s

1 0 0 o o

è:

dove A

o a

= o

A (11.20)

+

o 1 a f

o o ω

mentre la frequenza di taglio risulta:

CF

( ) 1

ω = + f a

1 (11.21)

τ

CF o o ( )

+ dall’altra la banda si è ampliata dello

Come si vede, da una parte il guadagno è stato attenuato di un fattore 1 T

0

( )

+ questo implica che il prodotto banda guadagno resta immutato. Del resto si assumerà sempre che ad

stesso fattore 1 T

0 ω coinciderà

anello chiuso gli amplificatori siano a singolo polo, e quindi la frequenza di transizione (ad anello chiuso) TL

ω . In particolare, nel caso in cui è a singolo polo, la frequenza di transizione dell’amplificatore

sempre con a (s )

GBW

retroazionato è uguale alla frequenza di transizione dell’amplificatore d’andata:

a

ω ω ω

= = =

o (11.22)

τ

TF T GBW ω ω

> ), supposto che il guadagno

Nel caso più generale in cui l’amplificatore d’andata non è a polo dominante ( T S

d’anello abbia un margine di fase di almeno 45° (fig. 11.7), l’amplificatore d’andata e quello retroazionato avranno in

ω . In generale quindi si può affermare che, se il margine di fase del guadagno d’anello è superiore

comune la frequenza GBW

a 45°, il prodotto banda-guadagno passando dall’amplificatore ad anello aperto a quello ad anello chiuso si conserva.

XI - 5

Retroazione e compensazione a

A ω ω

ω S GBWa

D

Fig.11.7 FdT del guadagno ad anello aperto e ad anello chiuso

Nell’ipotesi che la rete di retroazione sia puramente resistiva, il guadagno d’anello è una funzione con gli stessi poli

dell’amplificatore ad anello aperto. Nel caso FdT a singolo polo si ha:

f a

= 0 0

T ( s ) (11.23)

τ

+

1 s

da cui risulta che la frequenza di transizione è pari a:

f a

ω = o o (11.24)

τ

TL ω

ω

>> , è uguale ad data dall’equazione (11.21). Quest’uguaglianza esprime una proprietà di

Se T 1 TL CF

0

fondamentale importanza nella progettazione di amplificatori retroazionati: essa permette di prevedere la banda ad anello

chiuso sulla base del calcolo del guadagno d’anello, pertanto l’analisi e le equazioni che riguardano il guadagno d’anello

non solo danno informazioni importanti sulla precisione della funzione ad anello chiuso e sul grado di stabilità, come si

vedrà più avanti, ma sono la base principale per la determinazione della banda ad anello chiuso.

ω

ω

L’uguaglianza tra ed è stata determinata e vale strettamente nell’ipotesi di amplificatore d’andata a singolo

TL CF

polo. E' comunque da notare che anche in presenza di due poli, se il margine di fase è superiore a circa 50°, la banda ad

ω ω ω

ed , per cui rimane sempre un riferimento abbastanza

anello chiuso può approssimativamente variare tra 1

.

5

TL TL TL

accurato per la determinazione della frequenza di taglio dell’amplificatore retroazionato. Tutte le considerazioni precedenti

possono essere riassunte nel diagramma di Bode in fig. 11.8, dove sono rappresentate le risposte in frequenza del modulo e

dei diversi guadagni, nel caso più generale di amplificatore d’andata a due poli.

a

T

A ω

ω ω

ω GBWa

D S

GBWL

Fig.11.8 FdT dell’amplificatore ad anello aperto, ad anello chiuso e del guadagno d’anello

ω (garantendo un margine di fase minimo di 45°) è pari al secondo

Si nota dalla fig. 11.8 che il valore massimo di TL

polo e che quindi il massimo valore della banda ad anello chiuso è anch’esso pari al secondo polo.

XI - 6 Retroazione e compensazione

Quest’osservazione è in qualche modo in contrasto con quello che intuitivamente sembra essere un assunto generale e

cioè che la banda ad anello chiuso è vincolata al polo dominante. In realtà, nella progettazione di amplificatori ad alto

guadagno da impiegare come blocchi base di funzioni ad anello chiuso accurate, l’aumento della massima frequenza di

lavoro (banda ad anello chiuso) si traduce nella ricerca di appropriate topologie che presentino poli non dominanti di alta

frequenza, mentre di secondaria importanza risulta essere la posizione del polo dominante.

11.2 Approccio alternativo allo studio degli amplificatori retroazionati

La teoria dei circuiti retroazionati basata sulla schematizzazione a doppio-bipolo è senza dubbio quella più

universalmente adottata dai testi didattici di elettronica circuitale. Il suo grande pregio è quello di essere una teoria

completa che affronta un po' tutte le problematiche relative ai circuiti retroazionati.

In questa teoria vengono identificate quattro tipologie fondamentali di retroazione che sono:

Tensione-Tensione o Serie-Parallelo

Corrente-Corrente o Parallelo-Serie

Tensione-Corrente o Serie-Serie

Corrente-Tensione o Parallelo-Parallelo

Per ciascuna tipologia bisogna identificare l’amplificatore d’andata e la rete di retroazione, e schematizzare

opportunamente la sorgente ed il segnale d’uscita con modelli di tipo Thevenin o Norton a seconda del tipo di prelievo e/o

del tipo di ritorno del segnale di retroazione. In ciascuno dei quattro tipi di retroazione, sia per l’amplificatore d’andata sia

per la rete di retroazione, viene utilizzata una rappresentazione a doppio-bipolo con parametri h, nel caso di tensione-

tensione, g, nel caso di corrente-corrente, z, nel caso di tensione-corrente, y, nel caso di corrente-tensione. Inoltre,

l’amplificatore d’andata deve tenere opportunamente conto del carico in ingresso ed in uscita dovuto alla rete di

retroazione. Il circuito retroazionato così rappresentato è simile a quello ideale dello schema a blocchi in fig. 11.1 e quindi

la FdT ad anello chiuso assume la forma compatta dell’equazione (11.2). Inoltre forme compatte vengono anche stabilite

per l’impedenza d’ingresso e quella d’uscita.

La teoria basata sul doppio-bipolo, sebbene abbia il pregio della completezza, in molti casi non risulta d’immediata

applicazione e richiede svariate approssimazioni per potersi ricondurre ad una delle quattro tipologie. Infatti, non è sempre

facile in un circuito retroazionato poter identificare l’amplificatore d’andata e quello di retroazione e valutare il carico che

il circuito di retroazione esercita sull’amplificatore d’andata, specialmente se si deve tener conto degli effetti reattivi.

Inoltre alcune volte ci si trova nella strana situazione di dover utilizzare due o più schematizzazioni diverse per lo stesso

circuito a seconda di come il segnale d’ingresso viene applicato o il segnale d’uscita prelevato. Questo è, per esempio, il

caso di un amplificatore operazionale retroazionato resistivamente, dove a seconda se lo si utilizzi in maniera invertente

(retroazione corrente-tensione) o non invertente (retroazione tensione-tensione) si deve schematizzare in maniera diversa

sia la sorgente sia la rete di retroazione.

Nel seguito, invece di far riferimento ad una teoria dei circuiti retroazionati, si utilizzeranno diversi approcci a

seconda del parametro d’interesse. Più precisamente si farà riferimento all’equazione di Rosenstark per il calcolo del

guadagno ad anello chiuso, all’equazione di Blackman per il calcolo delle impedenze d’ingresso e d’uscita, ed infine ad

un’opportuna definizione del guadagno d’anello per lo studio della stabilità e della banda ad anello chiuso. Sia l’equazione

di Rosenstark che quella di Blackman hanno il grande vantaggio di poter essere utilizzate in maniera semplice

prescindendo dal tipo di retroazione e, addirittura, dalla presenza o meno della retroazione.

11.2.1 Rapporto di ritorno

Al fine di definire il rapporto di ritorno si fa riferimento alla rete rappresentata in fig. 11.9, dove è evidenziato uno dei

e la relativa variabile di comando, .

generatori dipendenti, S S

b a

Rete Z

b

+

S S =KS

Z S

S

i b a

a o

a -

Fig.11.9 Rete equivalente per il calcolo del rapporto di ritorno XI - 7

Retroazione e compensazione

Per calcolare il rapporto di ritorno associato al generatore comandato , si annulla il segnale di ingresso si

S S ,

b i

*

con un generatore indipendente dello stesso tipo e con lo stesso segno, , si associa alla variabile la

sostituisce S S S

b i a

* , sempre dello stesso tipo e segno. Si definisce il rapporto di ritorno nel modo seguente:

variabile di uscita S o

S

= − o

T K

ˆ (11.25)

S i

11.2.2 Equazione di Rosenstark

L’equazione di Rosenstark consente di determinare il guadagno di un qualsiasi circuito anche se la si utilizzerà per i

circuiti retroazionati. Essa ha la seguente espressione:

+

T G

G A D

A = (11.26)

+

1 T

dove è il rapporto di ritorno associato ad un qualunque generatore comandato, è il guadagno asintotico definito

T G A

come

=

G A

ˆ (11.27)

→ ∞ → ∞

A T , K

è il guadagno diretto:

e G D

=

G A

ˆ (11.28)

= =

D T 0 , K 0

e il rapporto di ritorno è fatto tendere all’infinito e a zero, rispettivamente, mandando all’infinito e a zero il

In G G

A D

fattore di guadagno k associato al generatore comandato scelto. E’ importante rilevare che i parametri dell’equazione di

Rosenstark variano, in generale, a seconda del generatore comandato scelto. Tale scelta va fatta sulla base di considerazioni

riguardanti la semplicità di calcolo.

Esempio: Collettore Comune

A titolo di esempio si consideri lo stadio a collettore comune in fig. 11.10.

V i g V

r V m be

π be

Q

V 1

i V V

o o

R

E R =R ||r

o E c

Fig.11.10 Collettore comune e circuito equivalente

Calcolo di T

Si sceglie, in questo caso, l’unico generatore comandato presente nel circuito e si associa a la corrente

g V

m be

e alla tensione di comando la tensione d’uscita .

d’ingresso I V V

s be o

XI - 8 Retroazione e compensazione

Il rapporto di ritorno è quindi dato da:

V

= − o

T g m I s

Osservando il circuito si trova: β

( ) r R R

π

= − − = =

o o

T g r // R g

π + +

m m

0 r R r R

π π

o o

Calcolo di G

A

Per il calcolo di si manda all’infinito . Essendo una quantità finita, tendente ad infinito comporta

g g V g

G A m m be m =

tendente a zero, quindi è uguale a . Il guadagno asintotico è quindi uguale ad uno:

V V V G 1

A

be i o

Calcolo di G

D

Il guadagno diretto va calcolato ponendo a zero nel modello di fig. 1.10. Risulta:

g m

V R

= =

o o

G +

D V r R

π

i o

Quindi il guadagno dello stadio è:

r R R

π +

o o

g β

+ + +

m R R

r R r R (

1 )

π π

= = ≈

o o o o

A β

+ +

r R 1

R

r (

1 ) +

π

+ π

o R

o

1 g + o

m g

r R

π m

o

che è il ben noto guadagno del collettore comune, inoltre il risultato è stato raggiunto senza alcuna ipotesi sul circuito che

può essere o meno retroazionato.

11.2.3 Dimostrazione dell’equazione di Rosenstark

L’equazione di Rosenstark può essere dimostrata facendo riferimento allo schema generico mostrato in fig. 11.9, dove

è stato evidenziato uno dei generatori comandati. Per questa rete è possibile scrivere le seguenti equazioni:

= +

S AS BS (11.29)

0 i b

= +

S CS DS (11.30)

a i b

= ⋅

S k S (11.31)

b a

Le prime due sono una conseguenza del principio di sovrapposizione la terza è l’equazione caratteristica del

generatore comandato. Se dalla (11.31) si ricava e la si sostituisce nella (11.30) da questa si può ricavare in

S S

a b

funzione di che sostituita nella (11.29) dà:

S i − +

BCk A AkD BCk

= + =

S AS S S (11.32)

− −

o i i i

1 kD 1 kD XI - 9


ACQUISTATO

3 volte

PAGINE

166

PESO

1.15 MB

AUTORE

Exxodus

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti contenenti 12 capitoli che compongono il corso di Elettronica 2 di Ingegneria elettronica. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: modelli per transistori bipolari, modelli per transistori MOS, confronto tra BJT e MOSFET, amplificatori a singolo transistore in tecnologia bipolare.


DETTAGLI
Esame: Elettronica 2
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria elettronica
SSD:
A.A.: 2007-2008

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Exxodus di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Elettronica 2 e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Ingegneria Prof.

Acquista con carta o conto PayPal

Scarica il file tutte le volte che vuoi

Paga con un conto PayPal per usufruire della garanzia Soddisfatto o rimborsato

Recensioni
Ti è piaciuto questo appunto? Valutalo!

Altri appunti di Corso di laurea in ingegneria elettronica

Appunti e esercizi svolti, Automatica, Oriolo
Appunto
Elettrotecnica, Teoria dei circuiti, Appunti + Esercizi svolti, Parisi
Appunto
Appunti Elettronica 1, Palma (vedi descrizione)
Appunto
Teoria dei Segnali, appunti + esercizi svolti, Barbarossa Sergio
Appunto