Elettromagnetismo

6.3 ENERGIA E POTENZIALE ELETTRICO

6.3.1 Definizione di potenziale elettrico e differenza di potenziale

Il potenziale elettrico in un punto misura quanta energia è necessaria per portare una carica di prova

molto piccola da un punto di riferimento (di solito considerato l’infinito) fino a quel punto, senza farla

accelerare. In altre parole, indica l’energia che una carica acquista a causa della presenza di un’altra

carica vicina.

Immagina di avere una carica Q che genera un campo elettrico attorno a sé. Il potenziale elettrico in un punto

ti dice quanto “lavoro” sarebbe necessario per spostare una carica di prova q fino a quel punto. Se il

potenziale è alto, servirà più lavoro per spostare la carica; se è basso, servirà meno lavoro.

A livello matematico, per una carica puntiforme Q il potenziale elettrico V in un punto P a distanza r dalla

carica si calcola con la formula:

V = 1/4 pi epsilon_0 * Q/r

dove: • V è il potenziale elettrico nel punto P;

• Q è la carica che genera il campo elettrico;

• r è la distanza tra la carica Q e il punto P;

• \varepsilon_0 è la costante dielettrica del vuoto, pari a 8,85 * 10^{-12} C^2/(N·m)^2.

L’unità di misura del potenziale elettrico è il volt (V). La formula è valida per una carica puntiforme che

genera un campo elettrico radiale simmetrico.

Per quanto riguarda la differenza di potenziale tra due punti A e B nello stesso campo elettrico, questa

rappresenta il lavoro necessario per spostare una carica di prova da un punto all’altro. Si calcola come:

Delta V = V_B - V_A = - L/q

dove: • Delta V è la differenza di potenziale tra i due punti;

• L è il lavoro compiuto per spostare la carica di prova q;

• q è la carica di prova stessa.

In pratica, la differenza di potenziale ci dice quanto lavoro serve per muovere una carica nel campo

elettrico, ed è fondamentale per comprendere concetti come corrente elettrica e tensione nei circuiti.

6.3.2 Energia potenziale associata a una distribuzione di cariche

L’energia potenziale elettrica rappresenta l’energia immagazzinata in un sistema a causa delle interazioni

tra cariche elettriche. Questa energia dipende dalla distanza tra le cariche: più le cariche sono vicine,

maggiore sarà l’influenza reciproca. L’energia potenziale è fondamentale perché permette di capire quanto

lavoro è necessario per spostare una carica in un campo elettrico, tenendo conto della posizione delle altre

cariche nel sistema.

Per capire il concetto, iniziamo dal caso di una singola carica q in presenza di un potenziale elettrico V.

L’energia potenziale associata a questa carica si calcola come:

U = q V

dove U è l’energia potenziale, q la carica e V il potenziale elettrico nel punto in cui si trova la carica.

Consideriamo ora un sistema con due cariche puntiformi q_1 e q_2, separate da una distanza r_{1,2}.

L’energia potenziale del sistema è data dalla somma delle energie dovute all’interazione tra le due

cariche:

U = 1/4 pi epsilon_0 * q_1 q_2/r_{1,2}

Alcuni casi importanti:

• Se le cariche hanno segno opposto, U < 0. Il sistema è più stabile, perché le cariche tendono

ad attrarsi.

• Se le cariche hanno lo stesso segno, U > 0. Il sistema è instabile, perché le cariche si

respingono.

• Si assume che U = 0 quando le cariche sono infinitamente lontane, cioè non interagiscono.

Per un sistema con più di due cariche, ad esempio Q_1, Q_2, …, Q_N, l’energia potenziale totale U_{tot}

si ottiene sommando tutte le energie delle coppie di cariche:

U = 1/4 pi epsilon_0 sommatoria_{i<j} q_i q_j/r_{ij}

dove: • q_i e q_j sono due cariche qualsiasi del sistema;

• r_{ij} è la distanza tra queste due cariche;

• la somma è fatta su tutte le coppie (i < j) per evitare di contare due volte la stessa

interazione.

In pratica, l’energia potenziale totale è sempre la somma di tutti i contributi a due a due. Questa formula

è molto utile anche nei casi di distribuzioni continue di carica, dove al posto della somma si utilizza un

integrale per calcolare l’energia potenziale complessiva.

6.3.3 Conservazione dell'energia per una carica in movimento in un campo elettrico

Il principio di conservazione dell’energia afferma che in un sistema isolato l’energia totale rimane

costante nel tempo, a meno che non intervengano forze esterne che la modifichino. Quando parliamo di

cariche elettriche in movimento in un campo elettrico, questo principio diventa molto utile, perché ci

permette di comprendere come l’energia di una carica si trasformi tra energia potenziale elettrica ed

energia cinetica.

Immagina di avere una carica q che si muove all’interno di un campo elettrico. Mentre si sposta, la carica

può acquisire o perdere energia cinetica, a seconda che venga accelerata o rallentata dalle forze elettriche.

L’energia cinetica della carica è definita dalla formula:

E_k = 1/2 m v^2

Allo stesso tempo, l’energia potenziale elettrica della carica cambia a seconda della posizione rispetto alle

altre cariche o al campo elettrico. In pratica, ogni carica in un campo elettrico possiede un’energia legata alla

sua posizione, e quando si sposta questa energia può aumentare o diminuire.

Il lavoro compiuto dalla forza elettrica nel muovere una carica da un punto A a un punto B è uguale alla

differenza di energia potenziale tra i due punti:

W = U_A - U_B

Questo lavoro si traduce direttamente in un cambiamento di energia cinetica. Secondo il principio di

conservazione dell’energia, la somma tra energia cinetica e potenziale della carica rimane costante:

E_{tot} = E_k + U_E

In altre parole, qualsiasi aumento di energia cinetica corrisponde a una diminuzione di energia

potenziale, e viceversa:

Delta E_k = - Delta U

Un esempio molto chiaro si ha con una carica che si muove in un campo elettrico uniforme, come quello

tra le due piastre di un condensatore. Se la carica si muove lungo la direzione del campo:

• La differenza di potenziale tra i due punti è legata al campo elettrico E e alla

distanza percorsa d:

Delta V = E * d

• Il lavoro compiuto dalla forza elettrica aumenta l’energia cinetica della carica:

Delta E_k = q * Delta V = q E d

Questo esempio mostra chiaramente come l’energia potenziale si trasformi in energia cinetica mentre la

carica si muove sotto l’influenza di un campo elettrico uniforme, mantenendo costante l’energia totale del

sistema.

6.3.4 Dipolo elettrico e momento di dipolo

Un dipolo elettrico è un sistema formato da due cariche di uguale intensità ma di segno opposto, separate

da una distanza costante. Possiamo immaginarlo come una coppia di cariche +q e -q distanti tra loro di una

distanza d. Le cariche del dipolo generano un campo elettrico che si diffonde nello spazio in modo più

complesso rispetto a quello di una singola carica puntiforme.

La grandezza fondamentale associata a un dipolo è il momento di dipolo elettrico, una quantità vettoriale

che misura sia l’intensità che la direzione della separazione di carica all’interno del sistema. Il momento di

dipolo \vec{p} si calcola come:

p = q * d

dove: • q è la carica di ciascun estremo del dipolo;

• {d} è il vettore che unisce le due cariche, con direzione dall’estremità negativa verso

quella positiva.

Il verso del momento di dipolo è quindi dalla carica negativa verso quella positiva. Questa convenzione è

importante perché determina come il dipolo si orienta quando è immerso in un campo elettrico esterno.

Due altre grandezze fisiche importanti legate al dipolo sono:

1. Il campo elettrico generato dal dipolo:

• Il campo diminuisce più rapidamente rispetto a quello di una singola carica

puntiforme, specialmente a distanze molto maggiori della lunghezza del dipolo.

• L’intensità del campo lungo l’asse del dipolo, a distanza z, si calcola come:

E = 1/4 pi epsilon_0 * 2p/z^3

Questo mostra che il campo di un dipolo decresce con il cubo della distanza, a differenza di quello di una

singola carica che decresce con il quadrato della distanza.

2. Il potenziale elettrico generato dal dipolo:

• In un punto P situato lungo l’asse dipolare a distanza r, il potenziale elettrico V è

dato da:

V = 1/4 pi epsilon_0 * p cos (theta)/r^2

dove theta è l’angolo tra il momento di dipolo e la direzione verso il punto P.

6.4 CONDUTTORI E DIELETTRICI (ISOLANTI)

Nel campo dell'elettrostatica, i conduttori e i dielettrici rappresentano due classi fondamentali di materiali

che si comportano in modo significativamente diverso quando vengono esposti a campi elettrici. I conduttori

permettono il libero movimento di cariche elettriche al loro interno, mentre i dielettrici impediscono tale

movimento, ma possono comunque essere polarizzati in presenza di un campo elettrico.

6.4.1 Fenomeni di induzione elettrostatica

Il fenomeno di induzione elettrostatica si verifica quando un conduttore viene posto all’interno di un

campo elettrico esterno. All’interno del conduttore ci sono cariche libere (elettroni), che possono muoversi

facilmente. Sotto l’effetto del campo elettrico esterno, queste cariche si spostano spontaneamente fino a

raggiungere una nuova distribuzione di equilibrio.

Durante questo processo avviene quanto segue:

• Le cariche positive e negative si separano all’interno del conduttore.

• Si forma un campo elettrico indotto creato dalla redistribuzione delle cariche, che si

oppone al campo elettrico esterno.

• Il movimento delle cariche continua fino a quando il campo elettrico all’interno del

conduttore è completamente annullato.

È importante ricordare che in un conduttore ideale in equilibrio elettrostatico, il campo elettrico interno

è nullo.

Per elettrizzare un corpo esistono tre principali modalità:

1. Per strofinio:

• È il metodo più intuitivo.

• Strofinando due materiali, uno cede elettroni e l’altro li acquista, generando

cariche di segno opposto sui due materiali.

2. Per contatto:

• Un corpo neutro entra in contatto con un corpo già elettrizzato.

• Parte della carica si trasferisce al corpo neutro, di solito tramite il movimento di

elettroni.

• Alla fine, entrambi i corpi avranno cariche dello stesso segno.

3. Per induzione:

• Un corpo carico viene avvicinato a un conduttore neutro, senza toccarlo.

• Questo provoca una redistribuzione interna delle cariche nel conduttore.

• Se il conduttore viene collegato a terra, alcune cariche possono allontanarsi,

lasciando i