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Teorema di Gauss e Campo Elettrico
NX⃗ ⃗E = E (1.17)ii=1⃗in ogni punto dello spazio. (dove E è il campo elettrico generato dalla carica i-esima)iQuindi !N N NI I IX X X⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗·Φ(E) = E⃗u dS = E ⃗u dS = E ⃗u dS = Φ ( E ) (1.18)n i n i n i iS S Si=1 i=1 i=1Per i risultati ottenuti nei punti precedenti sappiamo che se la carica i-esima è interna,⃗ ⃗Φ (E ) = q /ε , mentre se q è esterna Φ ( E ) = 0. Quindii i i 0 i i iN 1q XX X i⃗ = qΦ (E ) = ii i ε ε0 0 contconti=1 q cont⃗⇒ Φ(E) = (1.19)ε 0Si può usare il teorema di Gauss per dimostrare le funzioni che descrivono il campo perparticolari distribuzioni di cariche10 CHAPTER 1. ELETTROSTATICAq 0 dΣS Σ ⃗u n⃗u ndS S2dS1dΣq dS0 3 dS⃗u 1 dSn 2⃗u nΣ ⃗u nFigure 1.3: Proiezioni di dΣ su superfici chiuse generiche. Disegno a sinistra relativo alcaso con carica interna, disegno a destra relativo al caso con carica esterna1.3 Lavoro ed
energia del campo elettrostatico
1.3.1 Lavoro ed energia potenziale
Se consideriamo una carica Q posta nell'origine di un sistema di riferimento, la forza esercitata Q su una carica arbitraria q è
F = k * (Q * q) / r^2
Che è chiaramente una forza centrale, quindi è conservativa, infatti
L = ∫ F * dr = ∫ (k * (Q * q) / r^2) * dr
Possiamo riscrivere dr = dr * u + r * dθ * u. Dato che dr * u * u = 1 e r * dθ * u * u = 0
L = ∫ (k * (Q * q) / r^2) * dr = ∫ (k * (Q * q) / r^2) * dr * u
∆U = ∫ (k * (Q * q) / r^2) * dr = U(A) - U(B)
Dove U è l'energia potenziale elettrostatica e vale
U = (k * (Q * q)) / r
Se sono presenti più cariche, per il principio di sovrapposizione
F = ∑ (k * (Q * q) / r^2) * u
− −∆U= L = ∆U = =⇒ U = U(1.25)tot i i tot tot ii=1 i=1 i=11.3.2 Potenziale elettrostatico Si possono ripetere gli stessi calcoli in funzione del campo elettrico ottenendo che BZ 1⃗ · (−∆U )(1.26)E d⃗r = eq 0A Possiamo quindi definire una sorta di energia potenziale per unità di carica che prende il nome di potenziale elettrostatico (unità di misura Volt, 1V = 1J/C) UeV = (1.27)q 0 si definisce di conseguenza la differenza di potenziale elettrostatico tra due punti dello spazio BZ ⃗ ·− − E d⃗r (1.28)∆V = V V =B A A Dalle proprietà di conservatività • ⃗R ·E d⃗r non dipende dalla curva γ scelta, ma solo dai suoi estremiγ • ⃗ ⃗H ·su una qulasiasi curva chiusa, la circuitazione di E vale E d⃗r = 0γ Supponiamo di spostare una carica q inizialmente ferma da un punto A ad un punto B in 0modo che in B sia ancora ferma (∆E = 0). Spostamento fatto da una forza esterna che Ksvolgeun lavoro L = ∆E = ∆E + ∆U = ∆U (1.29)est M K
Possiamo quindi definire operativamente la differenza di potenzialeL est− (1.30)∆V = V (B) V (A) = q 0
Notiamo che la definizione riguarda ∆V , per definire V in un punto arbitrario P bisognaconoscere almeno il potenziale in un altro punto K. Allora in P12 CHAPTER 1. ELETTROSTATICAΩ∞+→r Ω ′PQ rP PFigure 1.4: Rappresentazione grafica del metodo per calcolare il potenziale in un puntoarbitrario P da un punto Ω in in cui V (Ω) = 0ZZ ⃗ ⃗· ⇒ − ·− − E d⃗r V (P ) = V (K) E d⃗r (1.31)V (P ) V (K) = γ γTipicamente ci si riferisce ad un punto Ω tale per cui V (Ω) = 0, in modo cheZ ⃗ ·− E d⃗r (1.32)V (P ) = γNon sempre è possibile, ma in molte situazioni è utile porre Ω all’infinito.1.3.3 Calcolo di potenziali di campi notevoliAd esempio considerando una carica puntiforme +Q centrata nell’origine, fissiamo Ω
In un punto dove → r = r → u con r +∞. Consideriamo quindi l'integrale scritto in precedenza ℯ ℯ x ℯ sulla curva γ (figura 1.4) e dividiamolo nei due trattiZ Z Z→ → · → · → · →V (P ) = E d→ = E d→ E d→ (1.33)′ ′γℯP γℯP γP P→ →′Lungo il tratto P P lo spostamento infinitesimo dr sarà sempre perpendicolare al campo E, l'integrale su quel tratto sarà quindi 0. Possiamo quindi scrivere il potenziale di un punto arbitrario in un campo generato da una carica puntiforme come segue′PZ Z 1 Q 1 Q→· →V (P ) = E d→ = dr = (1.34)24πε r 4πε r′ 0 0 PγℯP ℯPer il principio di sovrapposizione possiamo usare questa formula per ottenere il valore del potenziale di un campo elettrico generato da una distribuzione discreta di cariche Q (usandoi1.3. LAVORO ED ENERGIA DEL CAMPO ELETTROSTATICO 13unaE(r) = (1.35)Q1 ⃗u (0 r<R)
E(r) = (1.35)Q1 ⃗u (r>R)
per simmetria (come per il campo) V = V (r) ⃗R−
ponendo V = 0 all’infinito vale l’integrale scritto in precedenza
V (P ) = E d⃗rγΩ
per r > R
rZ 1 Q Q1− (1.36)V (R) = dr =24πε r 4πε r0 0+∞
per r < R bisogna fare attenzione, l’integrale non è zero, perché dobbiamo sempre avvicinarci da +∞
Rrr ZZZ ⃗⃗⃗ ·· −· −− E d⃗r (1.37)E d⃗rE d⃗r =V (P ) = +∞R+∞
L’integrale nella regione racchiusa dalla superficie vale 0, quindi per r < R
1 QV (r) = V (R) = (1.38)4πε R0
Possiamo quindi rappresentare un grafico in funzione di r del potenziale elettrico per un campo generato da un
guscio carico di raggio R (figura 1.5).
1.3.4 Definizione generale di energia potenziale per sistemi di cariche
Ritornando al concetto di energia potenziale. q q1 1 2 (1.39)U =12 4πε r0 12 L
Come vediamo è una quantità che tende a 0 per r che tende a 0. Essendo U =12 est possiamo quindi esprimere l’energia potenziale come il lavoro delle forze esterne per spostare−q da infinito a r (L = +∆U = U U = U )∞2 12 est 12 12
Possiamo quindi pensare ad U come il potenziale non di una singola carica, ma della coppia di cariche (in modo simmetrico) essendo U uguale sia che si consideri q in movimento o12 1q .2 14 CHAPTER 1. ELETTROSTATICA
Figure 1.5: Grafico del potenziale elettrico nello spazio generato da un guscio carico (potenziale elettrico sull’asse delle y, e distanza dall centro del guscio sull’asse x).
Questo ci permette quindi di generalizzare la definizione di energia potenziale a sistemi di N cariche. L’energia potenziale di N cariche è il
lavoro necessario per portarle da una distanza relativamente infinita alla loro configurazione finale. Supponendo di aggiungere man mano una carica alla volta, notiamo che possiamo scrivere il lavoro complessivo come: dove è il lavoro necessario per portare la carica dalla sua posizione iniziale alla posizione della carica . Il potenziale generato nel punto in cui si trova la i-esima carica da tutte le cariche tranne la i-esima può essere scritto come: Dove è il potenziale generato nel punto in cui si trova la i-esima carica da tutte le cariche tranne la i-esima. Per una distribuzione continua di carica, possiamo riscrivere la sommatoria con un integrale e notare che il corrispettivo di è esattamente , in quanto consideriamo cariche infinitesime: dove è il potenziale generato nel punto in cui si trova la i-esima carica da tutte le cariche tranne la i-esima.definizione):- in condizioni di equilibrio (condizione statica), all'interno del conduttore si ha in ogni punto E = 0.
- DIM: se per assurdo ci fosse E = 0 in un punto interno, allora in quel punto le cariche si muoverebbero per azione del campo, non sarebbe quindi una condizione statica (assurdo).
- può essere presente una carica netta solo sulla superficie del conduttore (in condizioni statiche)
- DIM: per assurdo se ci fosse all'interno una carica netta diversa da 0 è possibile circondarla con una superficie chiusa e applicare il teorema di Gauss da cui si ricava che ∮Φ = 0, ma allora in qualche punto contenuto nella superficie E = 0 (assurdo)
- all'esterno del conduttore, in un punto immediatamente vicino alla superficie è presente un campo elettrico normale alla superficie stessa E = σ/ε₀ dove σ è la densità locale in un punto della superficie. Questo risultato è detto Teorema di
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