Elettromagnetismo

CONDIZIONI AL CONTORNO DEL CAMPO ELETTROSTATICO (LEGGE DI RIFRAZIONE TRA DUE MATERIALI):

La legge di rifrazione significa mettere in relazione la tangente di alfa1 e la tangente di alfa2 per esempio facendone il

rapporto. (2) 2 1

= ∗

(1) 2 1 S

se i due dielettrici sono in contatto senza che ci siano cariche libere nella interfaccia, = 0;

(è molto difficile che ci sia carica libera nell’interfaccia tra due dielettrici)

Abbiamo trovato nelle condizioni al contorno che: 2 = 1

2 2 − 1 1 =

S

E che ponendo = 0, ottengo:

Da cosa dipende l’angolo alfa? Dipende dalla costante dielettrica del mezzo uno rispetto al mezzo due.

>

Vediamo che se il materiale che ho sotto si oppone maggiormente a farsi penetrare da un campo elettrico,

2 > 1

allora fino a quando non sarà completamente riflesso e avrò solo la componente tangente (la normale sarà

nulla) e quindi il campo non riuscirà a penetrare. 49

Elettromagnetismo 2023-2024

< 2 < 1

Vediamo che se allora quindi tenderà a disporsi in maniera tendente alla normale.

Quando sarà completamente normale? Succederà quando il mezzo due è il vuoto, in quel caso il campo sarà disposto

in maniera normale e la assoluta diventa uguale a 1 (valore più basso che si può ottenere per la costante dielettrica).

LEZIONE 10-10

Prendendo due piastre cariche una positivamente e l’altra negativamente, e

ipotizziamo un campo elettrico. Tra queste due piastre passa un dielettrico,

quello che succede è che le cariche del dielettrico e le cariche o si deformano

oppure si orientano. Dentro il dielettrico si crea un campo che va a contrastare

la polarizzazione; quindi, combatte il campo elettrico esterno e questo succede

quanto la costante dielettrica (che si oppone a farsi attraversare da un campo

elettrico) è elevata.

Il vettore P ci dice quanto è polarizzato e ci dice anche che questo è opposto al

campo elettrico esterno.

Per raccontare tutto questo abbiamo definito un campo vettoriale D, che ci descrive la sorgente (ha la dimensione di una

densità di carica).

CAPACITA’

Un conduttore in un campo elettrostatico è un corpo equipotenziale e le cariche che giacciono nel conduttore, si

distribuiscono sulla sua superficie in modo tale che il campo elettrico all’interno di esso si annulli. Se si aumenta il

potenziale V di un fattore k, aumenta anche il campo dello stesso fattore essendo:

̅ = −∇

(aumentando il campo elettrico aumenta anche la differenza di potenziale) 50

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Poiché:

si ha che necessariamente aumenta la densità di carica e perciò la carica totale Q. Dunque, Q e V aumentano

proporzionalmente, e il loro rapporto rimane invariato. Questo legame viene descritto dalla capacità come:

= [][]

Capacità= quanto è in grado di accumulare carica per ogni volt di differenza di potenziale il mio sistema.

Capacità è la proprietà di un sistema elettrostatico

Definiamo condensatore (o capacitore) un componete elettromagnetico costituito da due conduttori, di forma arbitraria,

separati dal vuoto o da un mezzo dielettrico. Le linee di campo elettrico:

• hanno origine in corrispondenza delle cariche positive e terminano sulle cariche negative

• sono perpendicolari alle superfici dei conduttori. Le superfici dei conduttori sono superfici equipotenziali

GENERATORE COLLEGATO A DUE CONDUTTORI Quando un generatore di tensione viene collegato tra i due

conduttori, si ha un trasferimento di carica, con un addensamento di

carica +Q in un conduttore e –Q sull’altro come riportato in figura. La

capacità del condensatore sarà espressa in funzione della differenza di

potenziale tra i due conduttori.

Un campo elettrico più intenso ha più linee di campo per unità di superficie. Più ci sono linee e più il campo è intenso.

La capacità è una proprietà che dipende dalla geometria dei conduttori (li allontano, li avvicino, cambio la forma, ci

metto l’aria o un dielettrico) e dalla permettività del mezzo interposto tra loro, quindi dipende dai materiali, essa non

dipende né dalla carica Q, né dalla differenza di potenziale ∆V. Un condensatore ha un valore di capacità anche quando

non gli viene applicata alcuna carica o differenza di potenziale.

Per calcolare la capacità mi serve la carica per calcolarmi la tensione oppure la tensione per calcolarmi la carica. Se

assumo una certa carica posso calcolarmi il campo elettrico, e da li posso calcolare la differenza di potenziale.

Procedura generale per la determinazione della capacità C:

1) Stabilire il sistema di coordinate appropriato in base alla geometria del condensatore (coordinate cartesiane,

cilindriche e sferiche)

2) Assumere una distribuzione di cariche +Q e –Q sui conduttori

3) Determinare E in funzione della carica Q per mezzo della legge di Gauss (o altre relazioni). Per mezzi lineari ed

isotropi abbiamo che D=E. 51

Elettromagnetismo 2023-2024

Q= carica libera e non vincolata al dielettrico

4) Determinare la differenza di potenziale: 1 ̅

̅

∫

1 − 2 = − •

2

5) Determinare infine C calcolando il rapporto:

= 12

CONDENSATORE PIANO

Il condensatore piano è costituito da due armature piane. Io assumo che ci sia una carica positiva (armatura superiore)

e una negativa (armatura inferiore). Bisogna stabilire un sistema di riferimento che in questo caso è quello cartesiano di

tipo ortogonale. Tra queste due armature è presente un dielettrico.

Assumo che:

- A sia l’area della piastra

- d sia la distanza tra le due armature (che lo facciamo coincidere con lo spessore del dielettrico)

questo lo posso disegnare in questo modo, sia con la geometria 3d che con la geometria 2d:

Immaginando che la carica sia distribuita uniformemente sulla nostra piastra:

Andiamo a calcolare il campo elettrico applicando la legge di gauss. Trascurando l’effetto ai bordi, il campo si può

ritenere costante all’interno del dielettrico: 52

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Dove la superficie S è della stessa forma del condensatore e che passa a metà del mio elettrico e che mi racchiude una

piastra.

Assumiamo per semplicità che il campo elettrico sia diverso da zero solo tra le armature, e che ci siano delle linee che

si possono richiudere (effetti di bordo trascurabili rispetto al campo elettrico che c’è tra le due armature).

Quindi andando a considerare la superficie S che passa a metà del mio elettrico, il campo sarà diverso da zero solo tra

le armature (nella parte viola) (parte che taglia il dielettrico), fuori dal dielettrico e quindi dal contorno blu il campo è

tutto nullo o trascurabile.

Quando abbiamo una superficie chiusa, queste in arancione sono le normali alla superficie chiusa (che sono dirette verso

l’esterno) e sono i vari dS.

Possiamo scrivere l’integrale in questo modo (su una superficie aperta che rappresenta il tratto che taglia il dielettrico):

⬚ ⬚

̅

̅̅̅ ̅

̅̅̅

̅ ̅

∮ ∫

• = → • =

 

( )

Io voglio trovare la componente del campo elettrico che non mi annulli il prodotto scalare. Siccome non conosco il campo

elettrico, ma so come sono fatti i versori dS, allora posso andare a trovare che l’unica componente che non mi annulla il

prodotto, che è la componente normale del campo elettrico (in quanto io so per definizione che la componente normale

è ortogonale alla superficie, quindi la componente normale del campo con il dS saranno parallele tra di loro).

̅

sarà la componente normale alla superficie in quanto dS è normale. (il campo ha solo componente normale)

⬚

∫ • = 

Quindi facendo l’integrale questo sarà uguale a:

= 

()

∆ =

Dove

Il campo ha solo componente normale e la componente tangente si è annullata.

Quindi il campo elettrico sarà uguale:

̅ = − ∗

⃗⃗⃗⃗

Il meno è perché il campo elettrico va dalla piastra positiva a quella negativa. Se ho considerato il prodotto scalare

positivo vuol dire che ho assunto che il mio campo elettrico fosse rivolto verso il basso, quindi la mia En è uguale a meno

Q/A.

Il campo elettrico esce dalle due piastre esce normale e entra nella piastra di giù normale.

Il campo elettrico ha questa espressione: 53

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̅

̅

∫

∆ = − = − •

dl= è un percorso qualunque che va dalla piastra negativa alla piastra positiva (stiamo andando da B ad A).

Andando a descrivere il campo con la formula precedente posso riscrivere l’integrale come:

̅ ̅

̅

∫ −∫

∆ = − = − • = − ∗

⃗⃗⃗⃗ •

⃗⃗⃗⃗ = ∗

Se il campo elettrico era negativo allora il potenziale ci verrà positivo.

La cui capacità è:

= =

Questo vuol dire che dipende dal materiale e dalla geometria, non dipende da Q e non dipende da V. La capacità è

direttamente proporzionale alla costante dielettrica (che ci dice quanto il materiale si oppone a farsi penetrare da un

campo elettrico).

CONDENSATORE CILINDRICO

Esso è costituito da un conduttore di raggio interno R1, uno coassiale esterno di raggio interno R2 e un dielettrico di

constante dielettrica ε interposto tra i due conduttori:

Il campo, essendo normale alle superfici conduttrici, risulta radiale. Per la natura del campo è opportuno scegliere un

sistema di coordinate cilindriche con un asse coincidente con l’asse del cilindro.

La piastra interna l’abbiamo attaccato ad un polo positivo e la piastra esterna al polo negativo. Prendo una superficie A

(che nell’integrale descriverò come S) che passa in mezzo (celeste) al dielettrico. Quindi il campo elettrico sarà diverso

da zero all’interno del dielettrico ossia tra le due armature, mentre fuori dal dielettrico lo assumiamo nullo o

trascurabile. Il tappo e il fondo sono paralleli alla lavagna. Sul