Elettromagnetismo

Elettromagnetismo

June 9, 2021

2

Contents

I Elettromagnetismo 7

1 Campo Elettrostatico 9

1.1 Legge di Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1 Le Particelle Atomiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.2 Forza Elettrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.3 Forza Elettrostatica e Forza Gravitazionale . . . . . . . . 10

1.2 Campo Elettrostatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.1 Linee del Campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Lavoro e Potenziale Elettrostatico . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.1 Calcolo del Potenziale Elettrostatico . . . . . . . . . . . . 13

1.3.2 Gradiente del Potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 La Legge di Gauss 17

2.1 Flusso del Campo Elettrostatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1 Legge di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.2 Dimostrazione Legge di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 Applicazioni della Legge di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.1 Simmetria Sferica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.2 Simmetria Cilindrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Conduttori 23

3.1 Conduttore Cavo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.1 Cavità Vuota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.2 Conduttore Cavo + Conduttore Interno . . . . . . . . . . 25

3.2 Condensatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.1 Condensatore Piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.2 Condensatore Cilindrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.3 Collegamento di Condensatori . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2.4 Energia del Condensatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4 Dipoli e Dielettrici 33

4.0.1 Gradiente in Coordinate Polari . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.1 Dipoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.1.1 Forza su un Dipolo Elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3

4 CONTENTS

4.2 Dielettrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2.1 Polarizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2.2 Polarizzazione dei Dielettrici . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2.3 Energia Potenziale e Densità Volumetrica di Energia . . . 37

4.3 Induzione Dielettrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5 Corrente 39

5.1 Intensità di Corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.1.1 Densità di Corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.1.2 Verso della Corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.1.3 Corrente Stazionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.2 Legge di Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.2.1 Legge di Ohm Globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.2.2 E↵etti Termici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.2.3 E↵etto Joule e Potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.2.4 Conduttività . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.3 Resistori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.3.1 Resistori in Serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.3.2 Resistori in Parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.4 Forza Elettromotrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.5 Carica e Scarica di un Condensatore . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.5.1 Carica di un Condensatore . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.6 Leggi di Kirchho↵ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6 Campo Magnetico 49

6.1 Forza di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.1.1 Forza di Lorentz su un Conduttore percorso da Corrente . 49

6.1.2 Moto di una Carica in un Campo Magnetico . . . . . . . 50

6.2 Momenti Meccanici su Circuiti Piani . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.3 E↵etto Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7 55

7.1 Campo Magnetico prodotto da una Corrente . . . . . . . . . . . 55

7.1.1 Campo Magnetico di una Carica in Moto . . . . . . . . . 55

7.1.2 Campo Magnetico di un Filo Rettilineo . . . . . . . . . . 56

7.1.3 Campo Magnetico di una Spira Circolare . . . . . . . . . 58

7.2 Legge di Ampére . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7.2.1 Simmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

8 Campo Magnetico nella Materia 65

8.0.1 Tipologie di Sostanze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

8.1 Magntizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

8.1.1 Legge di Ampere con Magnetizzazione . . . . . . . . . . . 69

8.1.2 Legge di Gauss per il Campo Mangetico . . . . . . . . . . 70

CONTENTS 5

9 Formulario 71

9.1 Campo Elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

9.2 Campo Magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6 CONTENTS

Part I

Elettromagnetismo

7

Chapter 1

Campo Elettrostatico

1.1 Legge di Coulomb

1.1.1 Le Particelle Atomiche

A livello atomico la materia è costituita da 3 particelle:

P articella M assa(Kg) Carica(C)

27 +

P rotone 1.671̇0 e

27

N eutrone 1.671̇0 0

31

Elettrone 9.111̇0 e

Definizione 1.1. Carica Elementare La carica e è la carica più piccola regis-

trata sperimentalmente ed è il valore assoluto della carica di elettroni e protoni,

essa prende il nome di carica elementare: 19

e = 1.60221̇0 C (1.1)

La carica totale di un atomo, o di un qualsiasi corpo composto da atomi, è

data dalla somma algebrica delle cariche elementari, in base alla somma si può

avere:

• Corpo Neutro: la somma è nulla

• Carico Negativamente: la somma è negativa

• Carico Positivamente: la somma è positiva

1.1.2 Forza Elettrostatica

Due cariche diverse possono interagire in due modi:

9

10 CHAPTER 1. CAMPO ELETTROSTATICO

• Repulsione: se le cariche hanno lo stesso segno

• Attrazione: se le cariche hanno segno diverso

Per definire quantitativamente questa interazione è necessario conoscere la forza

che lega le due cariche. Consideriamo due cariche puntiformi q q , indichiamo

1 2

con u il versore del vettore r che unisce le due cariche, la forza che q esercita

1

su q viene definita dalla legge di Coulomb:

2 Legge di Coulomb

Teorema 1. La forza elettrostatica è direttamente pro-

porzionale al prodotto delle cariche e inversamente proporzionale al quadrato

della loro distanza. q q

1 2 u (1.2)

F = k

el 2

r

Se il prodotto delle cariche è positivo allora la forza è repulsiva, viceversa se

il prodotto è negativo allora la forza è attrattiva.

Costante Dielettrica

La costante k, per ragioni pratiche, si può esprimere come:

2

1 N m

9

k = = 91̇0

• 2

4⇡✏ C

0 2

C

2

p

dove ✏ è la costante dielettrica del vuoto il cui valore è 8.8541̇0 .

0 2

N m

1.1.3 Forza Elettrostatica e Forza Gravitazionale

Si nota subito che la legge di Coulomb è molto simile alla legge di gravitazione

universale (??).

Analogie e Di↵erenze

Le analogie tra le due forze sono:

1. Dipendenza da una costante universale

2. Si esercitano su una coppia di corpi che interagiscono tra loro

3. Sono direttamente proporzionali al prodotto tra i corpi che le generano

4. Sono inversamente proporzionali al quadrato della distanza

5. Le due forze agiscono lungo il segmento che unisce i due corpi, con-

siderando uno dei corpi come centro, entrambe sono forze centrali

Le di↵erenze sono:

1. La forza gravitazionale è sempre attrattiva, mentre la forza elettrostatica

può essere anche repulsiva

1.2. CAMPO ELETTROSTATICO 11

2. La forza gravitazionale si esercita su ogni tipo di corpo, mentre la forza

elettrostatica solo su corpi carichi elettricamente.

3. La forza elettrica è molto più intensa di quella gravitazionale, per di-

mostralo basta calcolare l’interazione elettrostatica e gravitazionale tra

nucleo ed elettrone di un atomo di H secondo il modello di Bohr.

1.2 Campo Elettrostatico

Visto che la forza elettrostatica è una forza centrale, allora è possibile definire un

campo elettrostatico, ovvero una regione dello spazio in cui si può esprimere

la forza in funzione della posizione. Consideriamo un insieme di cariche che

interagiscono con una carica q , per il principio di sovrapposizione, la forza che

0

subisce q è data dalla somma delle forze elettromagnetiche tra le cariche e q .

0 0

X X 1 q i

F = F = q u

tot i 0 i

2

4⇡✏ r

0 i

Definizione 1.2. Campo Elettrostatico di un Sistema di Cariche Ferme

il campo elettrostatico prodotto in un punto P da un sistema di cariche ferme

è definito come la forza elettrostatica risultante F che agisce su una carica di

prova q posta in P divisa per la carica stessa.

0 X

F 1 q i

E = = u (1.3)

i

2

q 4⇡✏ r

0 0 i q

1

Mentre il campo di una carica singola è E = u .

i i

2

4⇡✏ r

0 i

1.2.1 Linee del Campo

La presenza di una carica, grazie al proprio campo elettrostatico, modifica lo

spazio circostante e ogni carica che si trova in un qualsiasi punto dello spazio

risente dell’interazione con il campo. Per rappresentare graficamente il campo

elettrostatico si utilizzano le linee del campo.

12 CHAPTER 1. CAMPO ELETTROSTATICO

Figure 1.1: Campo Elettrostatico Puntiforme

Caratteristiche delle linee del campo:

• Ogni linea del campo è tangente e concorde al campo elettrostatico

• Le linee del campo sono più dense dove il campo è più intenso

• Le linee del campo non si incrociano mai, il campo è definito univocamente

in ogni suo punto

• Le linee del campo hanno origine dalle cariche positive e terminano sulle

cariche negative

Figure 1.2: Campo Elettrostatico con 2 cariche

1.3 Lavoro e Potenziale Elettrostatico

Come già osservato, la forza elettrostatica è una forza centrale e quindi, come

ogni forza centrale, è conservativa. Scriviamo la forza elettrostatica come il

prodotto tra una carica sonda e il campo elettrostatico in cui è immersa e

1.3. LAVORO E POTENZIALE ELETTROSTATICO 13

studiamo l’espressione del lavoro che compie la forza per spostare da A a B la

carica sonda: Z Z

B B

˙ ˙

W = F ds = q E ds = q V

AB el 0 0 AB

A A

Dove V è la di↵erenza di potenziale elettrostatico tra il punto A e il

AB

punto B. Z B ˙

V V = E ds (1.4)

B A A

Visto che ad ogni forza conservativa è associata un’energia potenziale possiamo

definire l’energia potenziale elettrostatica come: F-

F.

Uee =

U = q V (1.5)

e 0 AB

1.3.1 Calcolo del Potenziale Elettrostatico

Consideriamo il campo generato da una carica puntiforme, calcoliamo la dif-

ferenza di potenziale da 1.4 Z B ˙

V = E ds

A

Sostituiamo la definizione del campo puntiforme

visto che ds è rappresenta la variazione della distanza r tra la carica e la carica sonda

Z Z

B B

q dr q q

˙

E ds = =( )

2

4⇡✏ r 4⇡✏ r 4⇡✏ r

0 0 B 0 A

A A

Da cui ricaviamo l’espressione del potenziale:

q

V (r) = (1.6)

4⇡✏ r

0

da essa è possibile ricavare l’espressione dell’energia potenziale tramite la re-

lazione 1.5 Nel caso di un sistema discreto di n cariche si applica il principio

di sovrapposizione e si ottiene che il potenziale elettrostatico prodotto è uguale

alla somma dei potenziali elettrostatici prodotti singolarmente dalle cariche.

X q i

V (x, y, z) = 4⇡✏ r

0 i

Se invece il campo è prodotto da una superficie continua basta sostituire la

sommatoria del caso discreto con un integrale.

Z Z

dq 1 dq

V (x, y, z) = =

4⇡✏ r 4⇡✏ r

0 0

dq rappresenta l’elemento infinitesimo di carica e si considera come il prodotto

tra l’elemento infinitesimo di volume e la densità di carica presente in quel

volume. Può anche essere che dq riguardi elementi di superficie o elementi

lineari 14 CHAPTER 1. CAMPO ELETTROSTATICO

1.3.2 Gradiente del Potenziale

Abbiamo visto come ricavare la di↵erenza di potenziale tra due punti tramite

l’integrale di linea del campo elettrico, è possibile anche compiere il proced-

imento opposto, ovvero calcolare il campo elettrico partendo dal potenziale.

Per farlo si utilizza il gradiente del potenziale, esso è un vettore che ha per

componenti le derivate parziali del potenziale:

V V V

gradV = ( , , ) (1.7)

x y z

Consideriamo una carica immersa in campo elettrico, essa subisce uno sposta-

mento infinitesimo da A(x, y, z) a B(x + dx, y + dy, z + dz). Esprimiamo la

variazione infinitesima di potenziale (1.6):

·

dV = E dr = E dx E dy E dz

x y z

Possiamo inoltre definire la ddp infinitesima tramite il gradiente:

V V V

dV = V (x + dx, y + dy, z + dz) V (x, y, z) = dx + dy + dz

x y z

Confrontando le due espressione si nota facilmente che:

V V V

E = E = E =

x y z

x y z

da cui si conclude la relazione

Definizione 1.3. Campo E come gradiente di V Il campo elettrostatico è

uguale in ogni suo punto al gradiente del potenziale elettrostatico in quel punto

cambiato di segno E = gradV (1.8)

Osservazione 1.3.2.1. Per le caratteristiche del vettore gradiente si osserva

che:

• Il gradiente è il vettore che punta sempre verso la massima crescita di V,

quindi per la relazione 1.3 il campo elettrostatico punta sempre verso la

massima diminuzione di V

• Il gradiente è sempre perpendicolare ai punti in cui la funzione, il poten-

ziale, è costante; quindi il campo elettrostatico è sempre perpendicolare

alle superfici equipotenziali

Definizione 1.4. Superficie Equipotenziale Una superficie dello spazio 3D

in cui il potenziale elettrostatico ha sempre lo stesso valore è detta superficie

equipotenziale V (x, y, z) = costante (1.9)

1.3. LAVORO E POTENZIALE ELETTROSTATICO 15

Osservazione 1.3.2.2. Si osserva che:

• Per un punto passa una e una sola superficie equipotenziale

• Le linee del campo sono ortogonali in ogni punto alle superfici equipoten-

ziali (seconda osservazione precedente)

16 CHAPTER 1. CAMPO ELETTROSTATICO

Chapter 2

La Legge di Gauss

2.1 Flusso del Campo Elettrostatico

Consideriamo una regione di spazio in è definito un campo elettrico E e una

superficie infinitesima dS su cui fissiamo il versore normale ad essa u :

n

Definizione 2.1. Il flusso del campo E attraverso la superficie dS lo scalare:

·

d (E) = E u dS (2.1)

n

Per ottenere il flusso attraverso una superficie basta suddividerla in elementi

infinitesimi e sommare i singoli contribuiti del flusso attraverso esse, ovvero

svolgere un integrale di linea:

Z ·

(E) = E u dS Superficie Aperta

n

S

I ·

(E) = E u dS Superficie Chiusa

n

S

Nel caso di una superficie chiusa è convenzione orientare il versore normale verso

l’esterno, i contributi positivi del flusso sono dovuti alle zone in cui anche E è

uscente alla superficie mentre quelli negativi alle zone in cui E è entrante alla

superficie. L’integrale esprime il flusso netto attraverso una superficie.

2.1.1 Legge di Gauss

Legge di Gauss E

Teorema 2. Il flusso di attraverso una superficie chiusa

è dato dalla somma delle cariche interne alla superficie fratto la costante di

elettrica nel vuoto. I q

·

E u

(E) = dS = (2.2)

n ✏ 0

17

18 CHAPTER 2. LA LEGGE DI GAUSS

Nel caso in cui il cui il campo ha lo stesso modulo ed è perpendicolare in

ogni punto della superficie allora esso si può espreimere come:

·

(E) = E S (2.3)

Flusso e Carica Puntiforme

Consideriamo una carica puntiforme posta nel centro di una superficie sferica

q

di raggio r, il campo elettrostatico E = u risulta essere ortogonale e

r

2

4⇡✏ r

0

costante in ciascun punto della superficie la quale è equipotenziale. Per cui:

I I

q

· ·

(E) = E u dS = u u dS

n r n

2

4⇡✏ r

0

s s

I q

2

·

Visto che: u u = 1e dS = 4⇡r (E) =

r n ✏ 0

S

2.1.2 Dimostrazione Legge di Gauss

Definizione 2.2. Angolo Solido Consideriamo una calotta sferica di raggio

r e superficie S, si definisce angolo solido:

S (2.4)

⌦ = 2

r

L’angolo solido massimo è 4⇡

Consideriamo il campo elettrostatico generato da una carica puntiforme q e

una superficie qualsiasi, calcoliamo il flusso di E attraverso l’elemento di super-

ficie: q ·

d (E) = u u dS

r n

2

4⇡✏ r

0

·

Il prodotto scalare u u dS = dS cos ✓ con ✓ l’angolo compreso tra il versore

r n

normale e il versore radiale, parallelo al versore del campo. Questo prodotto ci

da la proiezione della superficie dS sul piano perpendicolare al versore radiale

dS

dS . Sappiamo che è l’angolo solido d⌦, quindi:

0

0 2

r q

d (E) = d⌦

4⇡✏ 0

notiamo che il flusso di E di una carica puntiforme dipende solo dall’angolo

solido e non dalla superficie o dalla distanza dalla carica. Il flusso attraverso

una superficie è: Z

q q

(E) = d⌦ = ⌦

4⇡✏ 4⇡✏

0 0

sf era

Consideriamo ora il calcolo del flusso attraverso una superficie chiusa nel caso

in cui la carica q sia interna: I

q q q

(E) = d⌦ = 4⇡ =

4⇡✏ 4⇡✏ ✏

0 0 0

sf era

2.2. APPLICAZIONI DELLA LEGGE DI GAUSS 19

Se invece la carica è esterna, il flusso attraversa la superficie, quindi i contributi

positivi del flusso entrante bilanciano i contribuiti negativi del flusso uscente

ovvero il flusso totale è nullo. Possiamo estendere questi risultati per sistemi di

cariche tramite il principio di sovrapposizione, facendo ciò abbiamo dimostrato

la legge di Gauss (2)

2.2 Applicazioni della Legge di Gauss

Possiamo applicare la legge di Gauss per calc