Elettromagnetismo

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@V @VSappiamo che dV = dx+ dy = E·ds. Possiamo esprimere il di↵erenziale@x @yds tramite le coordinate polari:ds = dru + rd✓ur ✓da cui otteniamo: @V @VdV = dr + d✓ = E dr E rd✓r ✓@r @✓@V @VDa cui ricaviamo E = ed E =r ✓@r @✓r4.1 DipoliDue cariche puntiformi -q e +q distanti a formano un dipolo elettrico. Defini-amo il momento del dipolo elettrico il vettore:p = qa (4.1)orientato da -q a +q. 3334 CHAPTER 4. DIPOLI E DIELETTRICIFigure 4.1: Dipolo ElettricoPossiamo calcolare il potenziale generato dal dipolo in un punto, tramite ilprincipio di sovrapposizione: q q q r r2 1V (P ) = =4⇡✏ r 4⇡✏ r 4⇡✏ r r0 1 0 2 0 1 2Se il punto è lontano dal dipolo r >> a allora si possono applicare le seguentiapprosimazione: 2r r = a cos ✓ r r = r2 1 1 2da cui possiamo ricavare il potenziale: ·p cos ✓ p u rV (P ) = =2 24⇡✏ r 4⇡✏ r0 0Da questa formula notiamo che il potenziale dipende solo dal momento di dipoloe non dalle caratteristiche del sistema,

E = E_u + E_u = (2 cos θ_u + sin θ_u)r r θ θ r θ³⁴πε₀ r⁰⁴.

1.1 Forza su un Dipolo Elettrico

Consideriamo un dipolo di momento p collocato in una regione in cui è presente un campo E uniforme. Sulle cariche agiscono due forze F = qE e F = qE che generano un momento:

M = r F + r F = (r r ) E = qa E = p E = pE sin θ_u z₁ 1 2 2 2 1

Questo momento tende a far ruotare il dipolo concorde al campo E, il lavoro necessario è:

W = M = pE = pE cos θ pE cos θ 0 θ⁴.

4.2. DIELETTRICI

Essendo il campo conservativo possiamo anche esprimere l'energia potenziale elettrostatica:

U(θ) = pE cos θ (4.2)

4.2 Dielettrici

4.2.1 Polarizzazione

Consideriamo un atomo come una nube di elettroni distribuita intorno al nucleo positivo, indichiamo con a il vettore che indica la distanza tra il centro della nube, che possiamo

Considerare come il centro di massa della nube, e il nucleo;in condizioni normali essi coincidono e il vettore è nullo. Sotto l'azione di un campo elettrostatico E il centro di massa si sposta in verso discorde rispetto al campo mentre il nucleo positivo si sposta in verso concorde, in questa situazione il vettore a non è nullo e possiamo definire il momento di dipolo indotto come: p = Zea (4.3) dove p è parallelo e concorde a E. Se il campo è troppo intenso gli elettroni vengono strappati dal nucleo e si ha la ionizzazione. Se consideriamo un volume ⌧ in cui sono contenute N atomi, il momento risulta essere p = N p, costruiamo il vettore di polarizzazione come: p NP = p = np (4.4) ⌧ ⌧ qh qp Notiamo che il modulo di questo vettore risulta essere P = Ah/A = A. Possiamo esprimere la polarizzazione anche tramite la sua proporzionalità con il campo E: P = ε E (4.5)

04.2.2 Polarizzazione dei Dielettrici Consideriamo ora un condensatore piano il cui volume è completamente

riem-pito da un materiale dielettrico, un oggetto in cui le cariche non sono libere di muoversi. All'interno del condensatore il campo, dall'alto verso il basso, polarizza gli atomi che compongono il dielettrico generando una serie di momenti microscopici la cui somma forma una distribuzione di carica in alto al dielettrico e + in basso al dielettrico.

Tramite il teorema di Gauss possiamo ricavare l'espressione del campo totale all'interno del condensatore: $0\; pE\; =\; \backslash rho\; \backslash varepsilon\_0\; D$

Dalle relazione espresse precedentemente possiamo esprimere $P\; =\; \backslash rho\; E\_p$, sostituiamo e si ottiene: $0E(\; +\; 1)\; =\; \backslash rho\; \backslash varepsilon\_0$

Posto $\backslash varepsilon\; =\; \backslash varepsilon\_r\; \backslash varepsilon\_0$ come la costante dielettrica relativa al dielettrico, il campo risulta essere: $0E\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash varepsilon\}\; \backslash varepsilon\_0\; r$

Notiamo che il campo all'interno di un condensatore pieno è minore rispetto a quello di un condensatore vuoto. Calcoliamo ora la ddp: $h\; 0V\; =\; Eh\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash varepsilon\}\; \backslash varepsilon\_0\; rQh\; Q=A\backslash varepsilon\; \backslash varepsilon\_0\; C0\; r$, quindi

Concludiamo che la capacità del condensatore con il dielettrico: AC = (4.7)0 ρ, ovvero la capacità del condensatore aumenta se al suo interno è presente un dielettrico.

4.3. INDUZIONE DIELETTRICA 37

4.2.3 Energia Potenziale e Densità Volumetrica di Energia

Esprimiamo ora l'energia elettrostatica di un condensatore riempito con un dielettrico.

Z Z Z

Q Q Q

2 2

q Q C V = dW = V dq = dq = e C 2C 20 0 0

Sostituiamo l'espressione della capacità

2A V

Esprimiamo V = Eh0 r h 2 2 2 2A E h E = ⌧0 r 0 rh 2 2

Quindi l'energia elettrostatica risulta essere:

2EU = ⌧ (4.8)e 0 r 2

Possiamo anche esprimere la densità di energia elettrostatica per un certo volume come:

2U Eeu = ⌧ (4.9)e 0 r

4.3 Induzione Dielettrica

Consideriamo l'armatura superiore di un condensatore con un dielettrico, se applichiamo il teorema di Gauss per una superficie A equivalente alla totalità dell'armatura otteniamo che: q qL p(E) = ⌧0

Visto che la polarizzazione è un vettore, possiamo esprimere il suo flusso attraverso A, notiamo che P = u è perpendicolare e uniforme ad A: p n(P) = P · A = A = q · p

Se sostituiamo questa espressione nel teorema di Gauss otteniamo che: q · ∮(E) = ∮(D) + ∮(P) = q0 · ∮(E)

Visto che i flussi sono riferiti alla stessa superficie ed hanno la stessa grandezza per via della costante dielettrica, possiamo concludere che la somma dei flussi è uguale al flusso della somma (∮(E) + ∮(P)) = q0 · ∮(E)

Definiamo il vettore D come induzione dielettrica: D = ∮(E) + ∮(P)

Formalizziamo il risultato ottenuto precedentemente:

Legge di Gauss per l'Induzione Dielettrica

Teorema 3. Il flusso dell'induzione dielettrica attraverso una superficie chiusa è uguale alla somma delle cariche libere contenute all'interno della superficie stessa. (∮(E) + ∮(P)) = q0 · ∮(E)

Se sostituiamo l'espressione della polarizzazione (4.4) nella definizione

dell’induzionedielettrica otteniamo che: D = ✽ E + ✽ E = ✽ E( + 1) = ✽ ✽ E (4.12)0 0 0 0 r

Chapter 5

Corrente

Consideriamo un conduttore al cui interno sono presenti un certo numero di portatori di carica per unità di volume, n, nella regione in cui è presente il conduttore è presente un campo elettrico E. I portatori di carica si muovono per effetto della forza elettrica F = eE, essi acquistano una velocità v detta velocità di deriva in direzione concorde con il campo E. Questo moto di cariche viene definito corrente elettrica.

Definizione 5.1. Corrente Elettrica Si definisce corrente elettrica, il moto ordinato di un insieme di cariche elettriche.

5.1 Intensità di Corrente

Se tracciamo una superficie all’interno del conduttore e indichiamo con q la carica che attraversa la superficie in un certo t, possiamo definire l’Intensità di Corrente Media: qi = (5.1)m t

Se l’intervallo di tempo diventa infinitesimo possiamo definire Intensità di Corrente

Istantanea: dqi = (5.2)dt

5.1.1 Densità di Corrente

Consideriamo una superficie infinitesima dS il cui versore normale, u forma un angolo ✓ con il campo E presente nella regione. Nella regione sono presenti delle cariche positive che si muovono con v lungo la direzione del campo.

d3940 CHAPTER 5. CORRENTE

Dopo un certo t le cariche si saranno mosse di una distanza v t, quindi la carica che attraversa dS nell'intervallo di tempo considerato è quella contenuta nel volume infinitesimo: d⌧ = v tdS cos ✓

Definiamo quindi le cariche che attraversano la superficie: q = ned⌧ = nev tdS cos ✓

Definiamo ora l'intensità di corrente (5.2) attraverso la superficie dS: di = nev dS cos ✓

Definiamo il vettore Densità di corrente: j = nev (5.3)de con esso riscriviamo l'intensità di corrente infinitesima: ·di = j u dS

Integrando questa espressione otteniamo l'intensità di corrente attraverso la superficie finita S: Z

5.2. LEGGE DI OHM

5.1.2 Verso della Corrente

Fissato il verso e la direzione del campo E, la velocità v è concorde al campo se i portatori di carica sono positivi, mentre è opposto se i portatori sono negativi. Invece il vettore j è sempre concorde al campo E. Per convenzione si considera positivo il moto delle cariche positive, ovvero quelle che vanno dal potenziale maggiore a quello minore.

5.1.3 Corrente Stazionaria

Una corrente si dice stazionaria quando l'intensità di corrente è costante attraverso ogni sezione del conduttore.

5.2 Legge di Ohm

Legge di Ohm della Conduttività Elettrica

Teorema 4. In un conduttore sottoposto ad una differenza potenziale la

La densità di corrente, stazionaria, legata al campo elettrostatico è: j = E/σ dove σ è la conduttività elettrica del conduttore. Possiamo anche definire la resistività del conduttore come ρ = 1/σ ed esprimere il campo come: E = ρj. Minore è la resistività, maggiore è la densità di corrente che può circolare nel conduttore a parità di E.

5.2.1 Legge di Ohm Globale

Consideriamo un conduttore metallico cilindrico di lunghezza h e sezione S, ai suoi capi è applicata una tensione V = V_A - V_B, consideriamo la corrente stazionaria quindi la sua intensità ha lo stesso valore attraverso qualsiasi sezione del conduttore. Tramite la legge di Ohm esprimiamo il campo elettrico, il quale è legato alla tensione da: V = E⋅h = ρ⋅j⋅h = ρ⋅i⋅S/A.

Definiamo resistenza del conduttore: R = ρ⋅h/S

Legge di Ohm per i Conduttori Metallici

Teorema 5. Esprimiamo la legge di Ohm globale: V = R⋅i

42 CH