Elettrodinamica classica

Equazioni Pre-Maxwell

∇·D = ρ → coulomb ∇·B = 0 → monopolo magnetico ∇xE = -∂B/∂t → Faraday ∇xH = J → Ampère ∇·J = -∂ρ/∂t og. continuità →

"Un campo elettrico variabile causa un campo magnetico anch'esso variabile (J ⟹)"

Eq. di Maxwell

∇·D = ρ ∇·B = 0 ∇xE = -∂B/∂t ∇xH = J + ∂D/∂t

Introduco i potenziali per ridurre a 4 equazioni al II ordine Vettore: B = ∇xA Scalare: E = -∇ϕ -∂A/∂t

∇²ϕ + (2/c)∂A·∇ϕ = -ρ/ε₀

Arbitrarietà di A A' = A + ∇χ → ∇xA' = ∇x(A + ∇χ) = ∇xA

→ Trasformata di gauge dei potenziali

Gauge di Lorenz:

∇·A + (1/c²)∂ϕ/∂t = 0

∇²ϕ - (2/c)∂ϕ/∂t = -ρ/ε₀ ∇²A - (1/c²)∂²A/∂t² = -μ₀ J

Gauge di Coulomb:

∇ ⋅ A = 0

∇²Φ = -_{eq. di Poisson} ⇒ Φ(x, t) = 1/4πε₀ ∫ ρ(x', t) / |x - x'| d³x'

∇²A - 1/c² ∂²A/∂t² = -μ₀J_e

Ora risolviamo le equazioni d'onda:

• Si risolve l'equazione associata di Green
• G = G(x - x', t - t') è simmetrica
• lim_x→∞ G(x, t; x', t') = 0
• Sfrutta un TF: ρ(x, t) = ∫d³k dω e^{i(k⋅x - ωt)} ρ(k, ω)
• Completeness: ∫d³x e^{−i(k⋅x - ωt)} e^{i(k'⋅x - ω't)} = (2π)³δ(k - k')δ(ω - ω')

⇒ G(x - x', t - t') T.F.: ∫d³k dω g(k, ω)e^{i(k⋅(x - x') - iω(t - t'))}

G = ∫d³k dω (k² + ω²/c²)g(k, ω)e^{i(k⋅(x - x') - iω(t - t'))} = −4πδ(x - x')δ(t - t')

Per confronto: g(k, ω) = 4π/(2π)³ / (k² − ω²/c²) = ^ℑ(g_c)

Densità di energia elettromagnetica

_∂B/_∂t + ∇·D = 1/2 ∂ _t (B·H + E·D) = ∂_u ∂_t μ

S := E × H "Vettore di Poynting" (densita di flusso di energia)

∂_u/∂_t + ∇·S = −∂ _t μ

Teorema di Poynting

∫_s d² S ·m = −∫_v (∂_t μ_E)

dE_{t/dt = (Ecamp + Emecc) = −∫S d² S ·n}

Conservazione del momento lineare

f = ρE + J × B

Proprietà: 1/2 ∇(B·B) = B × (∇ × B) + (B · ∇) B

In forma integrale: ∫_v (∂_g/∂_t) d³ x = −∫ _v (∇·^T_M)

∂P_t/∂_t = −∫_S T^M m d_σ

E = F(z-vt) + G(z+vt)

combinazioni di funzione in avanti e funzione indietro

H = ¹/₂ × [F(z-vt) - G(z+vt)]

Consideriamo solo l’onda in avanti (G=0):

E(z,t) = F(z-vt)

H(z,t) = ¹/₂ ε x F(z-vt)

terna cartesiana dx

F(z-vt) = μ ¹/₂ H(z,t) x ẑ

E(z,t) = ε ¹/₂ H(z,t) x ẑ

^|G+1|/_|H1| = p = cost

FLUSSO DI ENERGIA: S = E_x x H_x = ¹/₂ |E|² = vε|E|²

ENERGIA: W_e = ¹/₂ ε |E|² = ¹/₂ ε |F|²

W_m = ¹/₂ μ |H|² = ¹/₂ μ ¹/₂ x F|² = ¹/₂ ε |F|²

W_e = W_m

VELOCITA’ DI TRASFERIMENTO DI ENERGIA: V_em

^S_x/_W = S^x

^vε|E|2/_ε|E|² = v ẑ

coincide con la velocità di propagazione dell’onda

In generale (E, G≠0): S = vε(|E|² - |G|²) = p

W = ¹/₂ ε |E|² + ¹/₂μ|H|² = ε |F|² + ε |G|²

• VELOCITÀ DI FASE: v_ph = ^c_m/_wm k < 0 → l'onda nel mezzo metantecnico ha flusso di energia verso k > 0 ma velocità di fase negativa → i piani di fase costante tornano indietro

Per la direzione di propagazione: k_x = k ˆ; S = 1/₂Re(E₀H₀^*)⇒^1/₂|E₀|2ˆS

• \E''e''^{ikx'-i\omega t\right|}
• B' = \frac{N}{\sqrt{\mu\right>}}\frac{k\right'{|'\}^{\left[|\right|/\text{L el}}{k'}

D = ε E + P = ε(ω) E

Per confronto

ε(ω)/ε₀ = 1 + (m n_e e²)/(ε₀ m) Σ (β_s/z)/(ω_s² - ω² - i β_s z ω)

• ω_p: FREQUENZA DI PLASMA (n_e ≈ 10¹⁶)
• ε(ω)/ε₀ = z/ε₀ + z₁/z ν_p ξ (β_s/z) &(omega;g;)/(ω_{s2) ² - ω² + i βs ω²}
• Effetti di asserimento della pel mezzo
• (ω_{s² - ω²)/(ωs² + i βs ω)}
• Tipicamente β_s ≈ n0.2 10³ H_s, ω_s ≈ n0⁵ H_s, β β. piccol. rispett. ω_s. ε(ω) ≈ approssim.

•BASSA FREQUENZA: ω << ω_{s2 << ωs << t:}

ε(ω)/ε₀ ≈ 1 + ω_{2sξ (βs/z) (1/s2 ≈ cost > 1}

• Wⁿ = n_s: diventa dominante la parte IMMAGINARIA

b. Man mano che w cresce, superando i successivi ω_s, nella Σ compare un n_s sempre

• maggiore di termini negativi; cosicchè ε(ω) diventa < [alg;]
• Per ω ≈ ω_s la variazione di ε(ω) ≈ vistosa, la parte reale ≈ annullabile e il termin&vim; immaginario predomina

● ALTA FREQUENZA: ω >> ω_s ≈ Ai

ε(ω)/ε₀ ≈ 1 - ω_{2sξ (βs/z) 1/ωs2 > 1 - ω2/ω}

→ per ω >> ω_p il mezzo cambia TRASPARENTE

&wol; in generale, E < L &glt; M &asic; V_pa < C (con ω > ω_p)

se ω < ω_p l'onda non si propaga

B) MEZZO CONDUTTORE (ε < εback &nd; segue ε(omega;) - ε₀: |ω < 0; ε (omega;)/εT = df&A √ 1 + ω_{2s [r^{βsψs/z]/(ωs2/ -(ω2scanvas})/ωω}

= Con ε_mot + i ω_p2

• τ=ω_p, Villa :=.S VQFD