Elettrodinamica classica

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Author: Pipetto e Didino

Revisionato il 17/05/2026

di Pipetto e Didino

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Appunti schematici dettagliati di tutto il programma svolto a lezione dal prof. Romè basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof. dell’università …

Esame Elettrodinamica classica

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Romé Massimiliano

Università Università degli Studi di Milano

A.A. 2016-2017

63 pagine

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Appunto

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Estratto del documento

∇⋅D = ρ → coulomb

∇⋅B = 0 → ∄ monopòlo magnetico

∇xE = -∂B/∂t → Faraday

∇xH = J → Ampère →

∇⋅J = ∇⋅(∇xH) = 0 → corrente di spostamento

eq. continuità: ∇⋅J = -∂ρ/∂t →

∇x(∇xH) = ∇⋅(∂D/∂t) → ∇xH = J + ∂D/∂t

eq. di Maxwell:

∇⋅D = ρ

∇⋅B = 0

∇xE = -∂B/∂t

∇xH = J + ∂D/∂t

nota

∇⋅E = ρ/ε

∇⋅B = 0

∇xE = -∂B/∂t

∇xB = μ₀J + 1/c²∂E/∂t

introduco i potenziali per ridurre a 4 equazioni di II ordine

vettore: B = ∇xA

scalare: E = -∇φ - ∂A/∂t

↓

∇²φ + 2/∂t∇⋅A = -ρ/ε₀

∇²A - 1/c²∂²A/∂t² - ∇(∇⋅A + 1/c²∂φ/∂t) = -μ₀J

Arbitrarietà di A:

A' = A + ∇λ → ∇xA' = ∇x (A + ∇λ) = ∇xA

→ E' = -∇φ' - ∂A'/∂t

con φ' = φ + ψ; ∇(ψ + ∂χ/∂t) = 0 → φ' = φ - ∂χ/∂t

Trasformata di Gauge dei Potenziali

Gauge di Lorenz:

∇⋅A + 1/c²∂φ/∂t = 0

∇²φ - 1/c²∂²φ/∂t² = -ρ/ε₀

{

2 equazioni disaccoppiate

"equazioni d'onda non omogenee"

Equazioni Pre-Maxwell

∇⋅D=ρ → coulomb

∇⋅B=0 → monopò mongetico

∇×E=-∂B/∂t → Faraday

∇×H=J → Ampère → ∇⋅∇×(∇×H)=0 → (continuità ∇⋅J+∂ρ/∂t=0)

"Un campo elettrico variabile causa un campo magnetico anche senza una corrente (J=0)"

Eq di Maxwell

∇⋅D=ρ → ∇⋅E=ρ/ε₀

∇⋅B=0 → ∇⋅B=0

∇×E=-∂B/∂t (noto) → ∇×E=-∂B/∂t

∇×H=J+∂D/∂t → ∇×B=μ₀J+1/c²∂E/∂t

8 equazioni, occidini e 6 incognite

Introduce i potenziali per ridurre a 4 equazioni di II orcine

Vettore: Β = ∇ × A
Scalare: Ε = -∇φ - ∂A/∂t

∇²φ+(1/c²)∂φ/∂t = -ρ/ε₀

∇²A-(1/c²)∂²A/∂t²-∇(∇⋅A+1/c²∂φ/∂t)=-μ₀J

4 equazioni di II ordine accoppiate

Arbitrarietà di A: A' = A +∇χ → ∇ × A' = (∇χ + ∂χ/∂t) = ∇ × A

φ' = φ + ∂χ/∂t

Trasformata di Gauge dei potenziali

Gauge di Lorenz

∇⋅A' + (1/c²)∂φ/∂t = 0

∇²φ-(1/c²)∂²φ/∂t² = -ρ/ε₀

∇²A-(1/c²)∂²A/∂t² = -μ₀J

2 equazioni disaccoppiate
"equazioni d'onda non sintetiche"

• GAUGE DI COULOMB : ∇ · A = 0

Φ: EQUAZIONE: (eq. di Poisson) → Φ(x,t) = 1/4πε∫(ρ(x',t) / |x-x'|) d³x'

∇²A - 1/c² ∂²A/∂t² = - μ₀J + 1/c² ∇∂Φ/∂t

J = J_e + J_i, t.c. ∇ × J_e = 0 e ∇ · J_i = 0

∇(∇ × J) = ∇²(∇ · J) - ∇²J

J_e = -1/4π∇ ∫ (∇'J_i / |x-x'|) d³x'

J_i = 1/4π ∇ × ∫ (J / |x-x'|) d³x'

1/c² ∂Φ/∂t = μ₀ J_e

∇²A - 1/c² ∂²A/∂t² = - μ₀J_i

Ora risolviamo le equazioni d'onda:

si risolve l'equazione associata di Green

(∇² - 1/c² ∂²/∂t²) G(x,x',t,t') = -4π δ(x-x') δ(t-t')

G = G(x-x',t-t') → è simmetrica

G(x,x',t,t') |∞→0

Sfrutto lin TF ; ρ(x,t) = ∫d³k dω e^i(kx-ωt) ρ(k, ω)

ortonomalità : ∫d³x dt e^{i(kx-ωt)-i(k'x-ω't)} = (2π)⁴ δ(ω-ω')

completezza: ∫d³k dω e^-i(kx-ωt) e^i(k'x'-ω't) = (2π)⁴ δ(x-x') δ(t-t')

⇒ G(x-x',t-t') TF ≡ ∫d³k dω g(k,ω) e^{i(k(x-x')) -iω(t-t')}

G = ∫d³k dω (-k² + ω²/c²) θ(k,ω) e^{i(k(x-x')) -iω(t-t')} = -4π δ(x-x') δ(t-t') =

∫d³k dω e^{i(k(x-x')) -iω(t-t')}

completezza

∫

per confronto : θ(k,ω) = 4π/ (2π)⁴ x / k² - ω²/c²

= (G)

per ottenere G devo trasformare g, prima in w e poi in k

(in w) I(k,t-t') = ∫_-∞^+∞ dw

e^-iw(t-t') / k² - w²/c²

→ 2 poli: w = ±kc

diagram

G_R = 0 (t<t')

G_A = 0 (t>t')

G_R: I(k,t-t') = lim_ε→0⁺ ∫_-∞^+∞

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