Elementi di Probabilità, dagli spazi campionati discreti ai teoremi limite

Spazio campionario e probabilità

Sia Ω un insieme, detto spazio campionario. I suoi elementi ω, ω₁, ω₂, sono detti esiti. Gli eventi sono una famiglia di sottoinsiemi di Ω, una collezione di esiti.

σ-algebra

Una σ-algebra su Ω è una famiglia di sottoinsiemi di un insieme Ω se:

1. Ω ∈ Ã
2. A ∈ Ã ⇒ A^c ∈ Ã (chiusura per complementarietà)
3. A₁, A₂, ... ∈ Ã ⇒ ∪_iA_i ∈ Ã (chiusura per unioni numerabili)

Algebra

Algebra su Ω è detta una algebra in cui vale:

1. Ω ∈ Ã (analogo al 3)
2. A, B ∈ Ã ⇒ A ∪ B ∈ Ã (chiusura per unioni finite)

Una coppia misurabile è una terna di elementi (Ω, Ã) dove Ω è un insieme, Ã è un'algebra su Ω.

Probabilità

Probabilità sia (Ω, Ã) spazio misurabile una funzione P : Ã → [0,1] dirsi probabilità se:

1. P(Ω) = 1 (Assioma di normalizzazione)
2. ∀ A_n ∈ Ã, n ∈ N con A_i ∩ A_j = Φ (i ≠ j)

⇒ P(∪_iA_i) = ∑_iP(A_i) (Assioma di addittività numerabile)

Se A ∩ B = Φ diciamo che A, B sono mutuamente esclusivi. Una terna (Ω, Ã, P) con (Ω, Ã) spazio misurabile e P probabilità è detto spazio di probabilità (spazio probabilizzato?).

Le seguenti scritture sono equivalenti: ∩_iA_i∀i, A_i, ∩A_i∏i=1ⁿA_i.

Probabilità su un'algebra à : P : à ⇒ [0,1]

1. P(Φ) = 0
2. P(∪_iA_i) = ∑_iP(A_i)

Misura

Sia (Ω, Ã) spazio misurabile una funzione μ : Ã → [0,+∞) detta misura se:

1. A_n ∈ Ñ, A_n ∩ Φ
2. μ(∪_n=1^∞ A_n) = ∑_n=1^∞ μ(A_n)

Siano T una famiglia di sottoinsiemi di Ω. Indichiamo con σ(T) la più piccola σ-algebra che contiene T, cioè: ∀ β ∼ β ⇒ σ(T) ⊂ β T ⊆ β.

Sia Y : A ∪ R allora β = σ(B) è detta che ∀ H ⊂ H contenente gamma (insiemi boreliani) (A_n)_n≤k∈Ω il più generale eventi sono dati boreliani P(A) ulerdetta algebra su Ω P(x) 0 "probabilità".

Probabilità condizionata: Dati A, B ∈ Ã, P(A|B) : Ω → [0,1] con P(B) > 0,   P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B).

Indipendenza: A e B si dicono indipendenti se P(A ∩ B) = P(A) * P(B).

Partizione dello spazio campionario

Una partizione di Ω E, ∀i, E_i... Φ(E) : ∅. Sia Ω un insieme detto spazio campionario, i suoi elementi ω sono detti esiti. Gli eventi sono una famiglia di sottoinsiemi di Ω.

σ algebras

Sia R una famiglia di sottoinsiemi di un insieme X, se:

• ∅ ∈ R
• A ∈ R ⇒ A^C ∈ R (chiusura per complementazione)
• A ∈ R, B ∈ R ⇒ A ∪ B ∈ R (chiusura per unione numerabile)

Allora R è detta una σ algebra in X.

Algebra

Se anziché la 3 vale:

• A₁, A₂, ..., A_n ∈ R ⇒ ∪_i=1ⁿ A_i ∈ R (stabilità per unione finita)

Allora R è detta un'algebra in X. Si ha quindi che ogni σ algebra è un'algebra.

Uno spazio misurabile

È una coppia di elementi (Ω, R) dove Ω è un insieme e R è una σ algebra su Ω.

Probabilità

Sia (Ω, R) spazio misurabile.