Elementi di informatica

CODIFICA BINARIA

L'alfabeto più semplice è quello costituito da soli due simboli: 0, 1. Un bit (contrazione di BInary digiT) è un simbolo scelto nell'alfabeto 0,1. Nei calcolatori ogni elemento viene rappresentato esclusivamente come conseguenza di bit.

Perché due e non più simboli? Poiché è facilmente implementabile su un supporto fisico, inoltre è affidabile poiché un bit è indicato dalla macchina tramite una differenza di potenziale. Se si avessero più valori, dovrebbero esserci più differenze di potenziale e quindi sarebbe fraintendibile per la macchina poiché anche il migliore alimentatore crea degli sbalzi di tensione (ripple). Quindi l'informazione sarebbe legata agli sbalzi di tensione e ciò non è affidabile.

Un byte è una sequenza di 8 bit per motivi storici e di costruzione dei calcolatori, per convenzione il bit più a destra è quello meno significativo.

LSB (Least Significant Bit), mentre quello più a sinistra è il più significativo MSB (Most Significant Bit). Se il numero che si vuole rappresentare è più piccolo del più piccolo numero rappresentabile dalla macchina parliamo di underflow mentre se il numero è più grande del più grande numero rappresentabile dalla macchina parliamo di overflow. Paradossalmente all'interno delle macchine non sempre vale la proprietà associativa della somma poiché capita che utilizzando la proprietà associativa anche se il risultato è all'interno dei possibili numeri rappresentabili prima di arrivare al risultato si può andare in overflow o in underflow. SISTEMA DI NUMERAZIONE. Un sistema di numerazione può essere visto come un insieme di simboli e regole che assegnano ad ogni sequenza uno e un solo valore numerico. Ogni numero può essere rappresentato seguendo regole diverse, quindi lo stesso.numero può avere più rappresentazioni malgrado il suo valore non cambi. Ad esempio, un numero può essere rappresentato attraverso la base 10 (12), oppure in numerazione romana (XII) oppure in base due (1100) ecc… I sistemi di numerazione possono essere: - non posizionali (o addizionali): Infiniti caratteri, per infiniti numeri (ad esempio il sistema di numerazione romano). - posizionali: un numero finito di caratteri per un numero infinito di numeri, il valore dipende dalla posizione (Ad esempio il sistema di numerazione decimale, nel quale si sottintendono due operazioni, il prodotto e la somma: ). Quindi nei sistemi posizionali ogni numero ha un peso diverso all'interno della sequenza. 'b' Dato un numero come sequenza di cifre che appartengono ad un alfabeto composto da simboli distinti, ogni cifra '0' e 'b-1'. Il rappresenta un valore compreso tra valore di un numero espresso in questa notazione: ∑ Dove è la base.

è la lunghezza della sequenza, è la cifra, è la posizione. ‘b’Dunque, un sistema di numerazione posizionale è definito dalla base utilizzata per la rappresentazione. E servonoe ‘b-1’.simboli per rappresentare i diversi valori delle cifre comprese tra 0‘b’,Un teorema dimostrabile afferma che in qualsiasi base ogni intero maggiore di uno è espresso in maniera unica∑attraverso la sommatoria: .

I SISTEMI DI NUMERAZIONE PIU’ COMUNI.

BINARIO: 0,1

OTTALE: 0,1,2,3,4,5,6,7

DECIMALE: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

ESADECIMALE: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

CONVERSIONE da base b a base 10 (esempio con b=2). ‘b’:

Quindi, in maniera teorica per calcolare un numero in base 10 fissata una qualunque base∑

CONVERSIONE da base 10 a base b (esempio con b=2).‘x’ in base 10,

Quindi, in maniera teorica, dato un numero senza segno per calcolare il corrispondente valore in base b sidivida x per la base b, si ottiene

Come resto la cifra, ed un certo quoziente, ora si divida il quoziente per la base bsi otterrà come resto la cifra, ed un certo quoziente, e così via fino ad ottenere il quoziente uguale a zero.

bit (k) mi servono per rappresentare 'N' oggetti?

N.B.=Quanti⌈ ⌉, cioè il CEILING, ovvero l'approssimazione all'intero successivo.

E se il numero è frazionario come si ragiona? Bisogna separare la parte intera e la parte frazionaria, la parte intera si comporta in modo analogo ai metodi precedenti, mentre per la parte frazionaria bisogna moltiplicare per due, se il numero ottenuto è maggiore di 0 bisogna sottrarre 1 e segnare 1, se è minore di 0 bisogna continuare a moltiplicare per 2 e segnare 0.

Conversione da binario ad ottale: se abbiamo un numero binario otteniamo la sua combinazione ottale raggruppando i bit 3 a 3 partendo da destra.

Conversione da binario ad esadecimale: se abbiamo un numero binario otteniamo la sua

combinazione esadecimaleraggruppando i bit 4 a 4 partendo da destra. OPERAZIONI CON I NUMERI BINARI.

• Addizione:
• Sottrazione:
• Moltiplicazione:

CODIFICA DEI NUMERI INTERI CON SEGNO.

Modulo e segno: Si indica il segno seguito dal valore assoluto del numero, il primo bit indica il segno (0 per i positivi, 1 per i negativi), gli altri n -1 bit rappresentano il valore assoluto del numero. Il problema è creato dalle operazioni poiché c'è uno 0 positivo e uno 0 negativo che richiede un algoritmo complesso.

[ ( ) ( )]

Consente di codificare tutti i numeri compresi nell'intervallo: Per un totale di valori diversi.

Complemento alla base:

Una rappresentazione più efficiente e quella denominata complemento alla base. Dati n bit (dipende fortemente dal numero di bit), un numero negativo si rappresenta con il valore binario . Con bit,[ ( ) ( )]

possono essere rappresentati gli interi compresi nell'intervallo: (poiché lo 0 è considerato positivo).

maniera pratica: dato un numero intero negativo si prende il valore assoluto, inverto tutti i valori dei bit e aggiungo 1.

"normale",Conversione da C2 in base 10, il procedimento è lo stesso del metodo però il beat più significativo deve essere considerato con il segno negativo.

Nel complemento a due il segno e ancora il bit più significativo, però la restante parte non è il valore assoluto del numero.

Per eseguire addizioni di numeri in complemento a due il metodo è uguale al precedente però non viene considerato il riporto causato dal bit più a sinistra (ovvero il segno). N.B. Se due operandi dello stesso segno restituiscono un risultato di segno opposto allora la capacità di calcolo è stata superata (overflow).

Rappresentazione per eccesso: I numeri si determinano come somma di se stessi con dove È il numero di bit[ [ ].( ) ( )]utilizzati. in pratica i numeri compresi in sono mappati tra

talerappresentazione il numero binario che rappresenta sarà associato allo 0, mentre i valori minori di ai negativie quelli maggiori di ai numeri positivi.

Floating-point: La notazione scientifica è fondamentale per la rappresentazione dei reali molto grandi o molto piccoli edè l’esponente.è la seguente: [formula], dove è la mantissa, è la base.

La notazione floating-point consente di rappresentare uno stesso numero in più modi. Per questo motivo si è scelto una codifica standard (normalizzata), in cui il valore della mantissa deve essere: [formula].

N.B. Questi numeri possono essere utilizzati per simulare i reali, tuttavia la limitatezza delle cifre inciderà sullaprecisione, dato che i numeri reali sono densi non è possibile rappresentarli tutti. Infatti viene diviso l'insieme deinumeri reali in intervalli di fissata dimensione e ogni numero rappresentabile appartiene ad un intervallo.

Rappresentazione in virgola fissa:

stabilito un numero di bit per memorizzare il numero reale si utilizza:

• un bit per il segno;
• i bit rimanenti vengono suddivisi in due parti: una per la parte intera e una per la parte frazionaria separata dalla virgola che è in posizione fissa.

Questa tipologia di rappresentazione non si presta a rappresentare numeri molto grandi o numeri molto piccoli. Per questo motivo è stata introdotta la rappresentazione a virgola mobile basata sulla notazione scientifica. IEEE 754, standard Floating-Point: Esistono tre tipologie di questa rappresentazione, differenziate dal numero di bit impiegati per le singole parti. I numeri rappresentati in forma normalizzata prevedono che la mantissa binaria deve avere sempre un 1 a sinistra della virgola, l'esponente deve essere modificato di conseguenza. L'1Poiché è sempre presente non viene indicato. La combinazione dell'1+mantissa è detto significando. Per trasformare un numero in base 10 informato IEEE 754,

bisogna:

1. effettuare il cambiamento di base;
2. normalizzare la mantissa;
3. trasformare l'esponente con eccesso di bias;
4. rappresentare i dati nel corretto numero di bit.

Con questa rappresentazione gli intervalli non sono omogenei come nella virgola fissa, infatti quando ci si avvicina alla condizione di overflow gli intervalli sono molto grandi, in maniera simile anche quando ci si avvicina alla condizione di underflow sono molto piccoli.

Proprio per questo motivo si possono facilmente creare degli errori di approssimazione sia nella somma che nell'overflow. Nella moltiplicazione, ad esempio, si può facilmente superare la capacità di rappresentazione.

Ancora una volta non tutti i numeri reali sono rappresentabili, quando infatti un numero non è rappresentabile viene utilizzato il numero rappresentabile più vicino, generando così un errore di arrotondamento.

Esistono due tipi di errore:

| |,- l'errore assoluto: dove è il numero reale e è il numero approssimato.

Questa grandezza benché fornisca una indicazione precisa dell'errore non ci fa capire quanto essa sia in percentuale. L'errore relativo: per l'errore relativo:- conoscere invece quanto un errore influenza il risultato introduciamo ARROTONDAMENTO E TRONCAMENTO. Quando si deve rappresentare in mobile un numero reale che richiede più cifre di quante ne siano disponibili, la determinazione di x può avvenire in due modi: 'tagliare'- ARROTONDAMENTO, se il numero da era 1 si aggiunge 1 al numero, se era 0 il numero rimane così.- TRONCAMENTO, il numero viene tagliato e rimane invariato qualunque sia la cifra successiva. LA CODIFICA DEI CARATTERI. Per la codifica dei caratteri si fa riferimento ad una tabella che faccia corrispondere ad una sequenza di bit un determinato carattere. Nel progettare questa tabella si è tenuto conto anche dei caratteri non stampabili. Le tabelle ad oggi più utilizzate sono ASCII e UNICODE.- ASCII:

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