Elementi di idrologia

Ruguagliato o superato

Valori orientativi (indicati dalla normativa) del tempo di ritorno per diverse opere idrauliche: Maggiore è il T, minore è la probabilità che quell'evento possa verificarsi, quindi maggiore è il valore dell'evento che stiamo considerando. Bisogna progettare l'opera in modo tale che, l'evento che potrebbe compromettere le sue funzionalità, abbia una bassissima probabilità di verificarsi (quindi si usano T più grandi).

RCURVA SEGNALATRICE DI POSSIBILITÀ PLUVIOMETRICA o CLIMATICA Una volta assegnato il T della nostra OPERA IDRAULICA, si procede all'elaborazione al fine di trovare la relazione che lega l'altezza di pioggia alla sua durata.

1. Scelta della STAZIONE di MISURA delle PRECIPITAZIONI da analizzare nella scelta della STAZIONE, il criterio da adottare è quello della VICINANZA, cioè si sceglie la stazione pluviografica più vicina al centro urbano in

cui dobbiamo progettare o verificare la fognatura.

1. Si fissa la DURATA DA CONSIDERARE per le precipitazioni nel caso di FOGNATURE–BIANCHE si usano PRECIPITAZIONI ORARIE (tab. 3) e SCROSCI (tab. 5).
2. Si estrae dagli ANNALI IDROLOGICI la serie di dati degli eventi osservati.
   Per elaborare la serie occorre avere un numero sufficiente di dati 30-35 anni di osservazioni.
3. Si ripete lo stesso procedimento per tutte le durate:
   PIOGGE ORARIE avremo 5 elaborazioni (1, 2, 3, 6, 12, 24 ore)
   • SCROSCI nel passato (15, 20, 30, 45 minuti), dal 1990 2 elaborazioni (15, 30 minuti)
4. Negli annali i dati sono ordinati in ORDINE CRONOLOGICO.
   Dal 1940 al 1945 ci possono essere dati mancanti perché in quel periodo c'era la guerra.
   Nelle tabelle i valori tra parentesi indicano la durata (riguarda gli scrosci visto che prima del 1990 si teneva conto anche delle piogge di durata di 20 e 45 minuti.
   Quando andremo a svolgere un esercizio i dati vanno ordinati in ORDINE

DECRESCENTE ogni campione va ordinato sulla propria colonna indipendentemente dagli altri campioni:

PIOGGE ORARIE per ogni ora ordiniamo i dati in ORDINE DECRESCENTE.

SCROSCI per ogni durata ordiniamo i dati in ORDINE DECRESCENTE.

METODO DEI CASI CRITICI

Una volta ordinati gli elementi, per le varie durate, in ordine decrescente, si ottiene una matrice con un numero di colonne pari a quello delle durate considerate e un numero di righe uguale a quello degli anni d'osservazione.

Il PRIMO CASO CRITICO si ottiene rappresentando nel piano (h, t) gli elementi della prima riga della matrice (5 valori 1, 3, 6, 12, 24 ore), si ha una spezzata che può essere sviluppata da una curva di equazione h = at.

In forma logaritmica, si ottiene l'equazione di una retta di coefficiente angolare n e intercetta all'asse delle ordinate loga logh = loga + nlogt.

PRIMI 3 CASI CRITICI Per ottenere il grafico inseriamo i dati:

- ALTEZZA DI PIOGGIA (h in mm) Y

- DURATA

Critico corrisponde una curva di potenza diversa, con un diverso valore di a. Possiamo quindi rappresentare i dati nel seguente modo:

(t in ore) X

La curva on forma di POTENZA che interpola i 5 punti la troviamo sul grafico.

Collegando i punti otteniamo l'equazione h = at.

Otteniamo una curva per ogni riga della matrice, quindi un'eq. per ogni curva.

Possiamo utilizzare un grafico di tipo logaritmico:

X = logt

Y = logh

loga = rappresenta l'intercetta della retta sull'asse delle ordinate

n = coeff. angolare della retta

Con la RETTA è più facile lavorare. Si trova più facilmente i valori di a e n.

Le rette che si ottengono sono circa parallele tra loro (non si intersecano), perciò n si mantiene pressoché costante, perché appunto n è una caratteristica della stazione di misura.

Invece a varia al variare del CASO CRITICO, perché oltre ad essere una caratteristica della STAZIONE, dipende dal TEMPO DI RITORNO (cioè dalla probabilità che ha un evento di verificarsi).

Perciò ad ogni CASO CRITICO assegniamo un TEMPO DI RITORNO.

Ad ogni CASO Critico corrisponde una curva di potenza diversa, con un diverso valore di a.

come grandezze aleatorie, si applica il metodo statistico-probabilistico di Gumbel. Questo metodo permette di stimare la probabilità di superamento di una determinata grandezza in un dato periodo di tempo. Il tempo di ritorno, indicato con T, rappresenta il periodo medio di tempo tra due eventi di intensità uguale o superiore a quella considerata. Si calcola utilizzando la formula T = (N + 1) / iR, dove N è il numero totale di anni di osservazione e iR è il numero d'ordine dell'evento nella serie storica dei dati, ordinati in modo decrescente. Tuttavia, è importante considerare i limiti dei casi critici. In primo luogo, non siamo in grado di trovare la corrispondente curva segnalatrice se fissiamo noi stessi un tempo di ritorno. In secondo luogo, i casi critici non permettono di allargare il campo delle previsioni oltre il periodo di osservazioni. Il metodo statistico-probabilistico di Gumbel è utilizzato quando si progetta un'opera idraulica o si analizzano grandezze come le precipitazioni o i livelli dei corsi d'acqua. Poiché queste grandezze non sono conosciute con certezza e i dati rilevati possono essere affetti da errori, si utilizza il concetto di variabile casuale o aleatoria per caratterizzare i valori delle grandezze in base alla loro frequenza di presentazione nel tempo e nello spazio. In sintesi, il metodo di Gumbel permette di stimare la probabilità di superamento di una grandezza aleatoria in un dato periodo di tempo, utilizzando il tempo di ritorno come parametro di riferimento.come eventi estremi, si può applicare una descrizione statistica utilizzando i seguenti tag HTML:

• F = fattore di frequenza
• h(T) = h di precipitazione in funzione del tempo di ritorno R
• h = valore medio degli eventi considerati
• S = scarto quadratico medio della variabile in esame (= degli eventi considerati)

Nel caso di N osservazioni si ha:

Tra le distribuzioni di probabilità dei valori estremi più usate c'è la distribuzione doppio-esponenziale di Gumbel.

• P(X) = generica variabile aleatoria
• X = probabilità cumulata di non superamento
• α = parametro della distribuzione legato alla media
• ε = parametro della distribuzione legato alla varianza con γ = 0.572 (numero di Eulero)
• μ = media della distribuzione della probabilità x
• σ = varianza, scarto quadratico medio della distribuzione di probabilità x

Introducendo la variabile ridotta, si ottiene la seguente forma della probabilità cumulata:

Più semplicemente,

La distribuzione di Gumbel assegna a F l'espressione:

• F = fattore di frequenza
• Y = α (X - ε) = variabile ridotta
• Y = media variabile ridotta (dipende da N, preso dalla tabella)N
• S = scarto quadratico medio della variabile ridotta (dipende da N, preso dalla tabella)NSostituendo la F nell'equazione iniziale:

dove è la moda (valore con la massima frequenza probabile).

+ Esistono 2 tabelle che ci forniscono i valori dei parametri Y e S secondo Gumbel.

N N

· RIGA DECINE COLONNE UNNITA'

+ Ottenuta la retta di equazione è possibile:

1. Per ogni prefissato evento stabilire la frequenza probabile.
2. Per ogni prefissata frequenza stabilire il valore dell'evento corrispondente.

In questo modo possiamo superare il limite dei CASI CRITICI perché:

• Prefissato il tempo di ritorno T, si possono ricavare per ogni durata t i valori corrispondenti R di h, ovvero le altezze di precipitazione che ricorrono, mediamente, ogni TR

anni.

Fissato il tempo di ritorno T e ricavate le altezze h per le durate considerate, si può costruire l'equazione di possibilità climatica h = at, che risulta caratterizzata da un tempo di ritorno T.

Legame tra variabile ridotta Y e tempo di ritorno TRP (Y) = probabilità di superamento SUP della variabile ridotta LEGGE DOPPIO ESPONENZIALE DI GUMBEL per ottenere il valore della variabile ridotta ci basta inserire nell'espressione il valore T prefissato.

METODO DI GUMBEL

X = h

Ripetiamo lo stesso procedimento dei CASI CRITICI.

Posizioniamo i 5 valori ottenuti e disegniamo la curva che interpola i punti con forma di potenza.

Ora possiamo determinare l'equazione per qualunque valore del tempo di ritorno T.

Possiamo notare che n è indipendente dal T (si mantiene costante).

a dipende dal T e all'aumentare del T il valore di a cresce.

All'aumentare del T siamo sempre più in alto nel grafico.

Come

nei casi critici, possiamo riportare i valori sul PIANO LOGARITMICO:

• All'aumentare del T a cresce, n rimane costante ma un po' più piccolo. → R
• I punti tendono a posizionarsi con un andamento lineare. Così la CURVA, in questo caso, diventa RETTA.
• Le rette, al variare del T, sono parallele tra loro (= non si intersecano). → R
• La retta associata al T più piccolo si trova al di sotto delle altre.
• VANTAGGIO del piano logaritmico facciamo i calcoli con l'eq. di una retta. →
• n è adimensionale, indipendente dal T, sempre inferiore a 1 (n < 1) e dipende solo dalla STAZIONE PLUVIOGRAFICA.

L'intensità j di una precipitazione d'altezza h rappresenta il valore medio nella durata t (diversa quindi dall'intensità istantanea) j = t

Occorre notare che, per un'assegnata frequenza probabile che dia la misura della rarità dell'evento, l'intensità j della precipitazione

diminuisce con la durata: quindi la costante n sempre < 1, se fosse n > 1 avrei un ASSURDO FISICO. Possiamo affermare che all'aumentare della durata di una pioggia, l'intensità media diminuisce (affermazione basata sulle evidenze sperimentali = ESPERIENZA). Le rette devono risultare fra loro parallele, cioè tutte con il medesimo coefficiente n, con piccole differenze dovute alla natura sperimentale dei dati. Infatti, se le rette relative a due casi differenti, ad esempio con tempo di ritorno T = 100 anni e RT = 200 anni, s'intersecassero si verificherebbe l'assurdo che, per durate superiori ad un certo valore, il caso con T pari a 100 anni fornirebbe, a parità di durata, altezze di precipitazione superiori al caso con T = 200 anni per questo n è costante al variare di T, altrimenti se fosse dipendente da T si verificherebbe l'ASSURDO FISICO. Maggiore è il T, più improbabile è il verificarsi di un evento.quindimaggiore deve essere l'h dipioggia, perché corrispondente ad un evento gravoso. Equazione di possibilità pluviometrica per gli SCROSCI (tabella 5) - Il procedimento è lo stesso delle PIOGGE ORARIE. - Il problema sta nel fatto di come gli SCROSCI venivano registrati nel passato pochi dati e riportati in maniera non sistematica. Visto il problema, per poter elaborare una serie di SCROSCI,