Elementi di fisica della materia - fisica dello stato solido

CALORE SPECIFICO

Qual’ è la conseguenza dell’ esistenze dello spettro di fononi sul calore

specifico?

Le vibrazioni reticolari sono onde e, così come quelle elettromagnetiche,

sono quantizzate. Se noi abbiamo un’ oscillazione di frequenza ω, essa

corrisponderà a una particella di energia ħω. Questo fa si che le

oscillazioni che abbiamo non sono di ampiezza casuale. Nello spettro

elettromagnetico l’ energia dato dalle onde è veicolata da particelle che

sono i fotoni e di conseguenza l’ emissione di quest’ energia non avviene

in modo continuo ma per piccoli pacchetti (quanti) di energia ħω. Qua

succede esattamente la stessa cosa e quando un corpo si scalda vengono

eccitate le vibrazioni reticolari e le eccitazioni non avvengono per

acquisizione dell’ energia in maniera continua ma per quanti. L’ energia

di questi quanti ovviamnente dipende dalla frequenza. Nelle zone dello

spettro a bassa frequenza avremmo quanti a bassa energia e vicevera, ad

alta energia nelle zone ad alta frequenza. Una conseguenza della

quantizzazione è che si ha a che fare anche con la temperatura. L’

energia dei fononi arriva (per esempio nel caso del rame)ai 40 meV.

Questo vuol dire che a temperatura ambiente gli el sono sopra kT. La

trattazione è complicatama in prima aprossimazione possiamo dire che a 0

K l’ energia media di ciascun atomo è piccola, quello che succede è che



non possiamo eccitare i modi vibrazionali il reticolo non ha energia.

Quando sclado il sistema non faccio fare ai nuclei dei movimenti piccoli

e casuali, ma andiamo a eccitare selettivamente, un pò come quando

riempiamo con gli el le bande alzando il livello di Fermi; lo stesso

accade quando aumentiamo in un solido il kT: esso ha un ruolo analogo al

ruolo che ha l’ E per le bande elettroniche e quindi, in primissima

F

aprossimazione possiamo dire che la stragrande maggioranza degli stati al

di sotto di kT sono pieni di fononi, mentre quelli sopra sono abbastanza

poveri. Sono fenomeni statistici e, analogamente alla statistica di

Fermi-Dirac (dove non tutti gli el fanno un salto di energia kT da sotto

a sopra l’ E ), per le vibrazioni reticolari ci sarà una probabilità più

F

o meno alta a seconda della zona che un fonone ia eccitato. Questo spiega

l’ andamento del calore specifico a basse T: si riesce a scladare con

pochissima energia un solido molto freddo mentre a mano a mano che si

scalda diventa sempre più difficiel fino a che si arriva ad un plateau.

251

Questo vuol dire che quando andiamo a riempire questa struttura a bande

di modi poichè riempiamo quelli sotto kT, quando la temperatura è bassa

abbiamo pochi modi vibrazionali disponibili. Il calore ha la possibilità

di eccitare vibrazioni di lunghezza d’ onda molto elevata e questo fa si

che noi abbiamo bisogno di poca energia per riempire tutti i modi

vibrazionali con energia al di sotto di kT. La temperatura è proprio

questo! Un solido ha una certa temperatura quando i modi vibrazionali con

energia al di sotto di una certo livello enrgetico sono attivati e quelli

sopra no. Quando la temperatura è bassa sono pochi i modi vibrazionaliin

cui è imagazzinata l’ energia. Questo determina il crollo del calore

specifico a T molto bassa. Inoltre la stabilizzazione del calore

specifico a T elevate viene dal fatto che a un certo punto il kT avrà un



valore che raggiunge la frequenza massima dei fononi non essendoci

altre bande fononiche sopra, non ci sono modi che posso eccitare

ulteriormente. È come se avessimo un limite massimo alla radiazione di

corpo nero (cosa che ovviamente non avviene).

Abbiamo visto in precedenza che per riscalare il grafico del calore

specifico in funzione della temperatura si usa la temperatura di Debye

(θ ): essa è la T alla quale il diagramma del calore specifico si spiana

B

 corrisponde alla temperatura a cui il kT incrocia il massimo della

frequenza fononica. A quel punto il calore specifico satura e si ritona

al grafico di Doulong e Petit.

DISTRIBUZIONE DEI FONONI IN ENERGIA

Nel caso degli el abbiamo definito la densità degli stati: nel modello di

Sommerfield in funzione dell’ energia degli el abbiamo un andamento

1/2

parabolico della densità degli stati. Essa era 3/2 N E (E) . Questo si

F

disegnava come pochi livelli energetici a energie basse. Lo stesso accade

per i fononi e anche la dimotrazione è analoga. L’ idea fondamentale è

che per un buon tratto il kT a T ambiente ha sotto di se una zona in cui



le bande sono rettilinee l’ energia dei fononi è una funzione lineare

del k e cioè, più mi sposto dal centro zona e tanto più l’ energia cresce

in manera lineare. Questo implica che si possa descrivere l’ energia dei

fononi come:

dove la costante c è la velocità del suono. Quindi quello che succede è

che quest’ espressione è al posto dell’ espressione per l’ energia e

possiamo sostituire le vecchie formule. Quest’ andamento lineare fa si

che risolviamo il problema per delle bande lineare. Tutte le stesse

regole che valgono per Born – Von Karman per gli el valgono anche qui.

252

Le lunghezze d’ onda dei fononi non possono che essere dei sottomultipli

della circonferenza del sistema. Possiamo scrivere tutto quello che

abbiao

scritto per

il

Sommerfield.

Per

calcolare il

numero di

fononi

usiamo

formule

praticamente

identiche:

F2

Siccome sappiamo N possiamo svolgere ed esce fuori che il numero di modi

vibrazionali che sono al di sotto dell’ energie E è proporzionale al cubo

dell’ energia. Alla fine otteniamo la relazione che ci interessa: i

numeri di modi che sono al di sotto a una certa energia E è

proporzionale, in prima approssimazione, all’ energia E al quadrato. Per

basse energie l‘ andamento della densità degli stati dei fononi è una

parabola rettale.

Ad un certo punto, dove comincia la iegatura delle bande abbiamo ttta una

serie di oscillazioni. Questo si chiama modello di Debye. Prima di poter

fare dei conti accurati (questi diagrammi sono poco acessibili) si faceva

la seguenta considerazione: la pendenza della curva è la velocità dei

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fononi (vibrazioni) all’ interno del solido per grandi lunghezze d’ onda.

Queste ultime non sono che il suono. La tendenza di questa curva è quindi

accessibile senza dover ricorrere a conti raffinati: è la velocità del

suono nel solido. Oggi è possibile fare conti più complicati, ma tale

considerazione è comunque accettabile. Supponendo che al curva sia

spianata si può infatti “tirare fuori della fisica” e capire che il

numero di fononi per unità di energia è una parabola coricata verso l’

alto. STATISTICA DI BOSE – EINSTEIN

Partiamo da un concetto: il calore specifico dei solidi ad un certo punto

va a saturazione. Se questo va a saturazione non vuol dire che il solido

non riceve più calore, ma che lo riceve in maniera costante all’

aumentare della temperatura. La quantità di energia necessaria per

inalzare di 1 K la temperatura del solido va quindi via via aumentando.

Come avviene il riempimento delle vibrazioni fononiche nel caso di un

solido che si sta scaldando? Il fatto che l’ energia termica

immagazzinata dal solido continui ad aumentare anche quando la T del

solido a superao la T di Debye (cioè da dove il calore specifico è 3R)fa

si che l’ energia accumulata qui nei fononi continua ad aumentare. Essi

sono come i fotoni, non soddisfano il principio di esclusione di Pauli,

si veda il caso della luce dove possiamo avere miliarid e miliarid di

fotoni con la stessa frequenza. I fononi, che non sono altro che onde (di

vibrazione reticolare) hanno lo stesso criterio. Quando vado a riempire



gli stati a energi kT non è come per la Fermi – Dirac quando ho delle

vibrazioni reticolari (che non sono tra l’ altro dei fermioni ma sono dei

bosoni)[*]non vale Pauli. Deve esistere comunque una qualche regola che

quantifichi il riempimento, così come la statistica di Fermi-Dirac dice

che a una certa T la popolazione di un livello va da 2 a 0 in maniera

raccordata e continua. Anche qui abbiamo una statistica: la statistica di

Bose-Einstei (da cui il termine bosoni) che ci dice quanti fononi abbiamo

in funzione dell’ energia. [*]tutte le

particelle

quantistiche

si dividono in

due: fermioni

= elettroni e

nuclei

atomici;

bosoni =

fotoni e

vibrazioni

reticolari;

254

La formula (valida per fotoni e fononi) ci dice quant’ è l’ occupazione

media di un livello energetico in funzioni della sua energia (espressa

come frequenza). Ne viene fuori che quando ω tende a 0, l’ esponenziale

tende a 1 e quindi il tutto tende a . L’ occupazione media di un livello

energetica se si tratta di bosoni va aumentando verso l’ infinito quando

l’ energia cala (come si vede nel grafico). È importante considerare che

la densità degli stati dei fononi ha un andamento parabolico. Se la forma

non fosse così avremmo un rischio serio di andare all’ infinito per

energie basse, invece è molto bassa in queste condizioni. Quindi l’

esercizio apparentemente formale di calcolare la densità degli stati dei



fononi è importante non ci sono delle stranezze del tipo se anche le

energia sono molto popolate potessimo avere che l’ energia accumulata in

quelli stati è infinita.

Quando noi riempiamo di vibrazioni reticolari questo sistema intorno al

kT la popolazione dei fononi è 1; quando si scende supera 1 ma i fononi

disponibili sono pochi; quando sale va ben sotto 1. Quando il kT è sotto

dell’ energia relativa alla temperatura di Debye si verificano due

fenomeni:

1. Si riempiono sempre livelli nuovi e occorre per questo dell’

energia. I livelli all’ aumentare dell’ energia devono raggiungere

1.

2. Poichè il riempimento dei livelli tende a superare l’1, ci sono due

fenomeni: riempire la parte nuova e continuare ad aumentare la parte

vecchia.

Questo determina che nella parte iniziale è difficile scaldare il solido.

Poi, quando il kT supera la T di Debye, l’ occupazione del livello medio



diventa 1 e poi sale normale riscaldamento del solido quando siamo

nella zona che soddisfa la meccanica classica (Doulong e Petit).

Come si riempiono le bande dei fononi all’ interno di un solido? Al

variare della temperatura via