Elementi di controlo digitale

UNIVERSITÁ POLITECNICA DELLE MARCHE

FACOLTÁ DI INGEGNERIA

ELEMENTI DI

CONTROLLO DIGITALE

Luca A. Pettinari

Scritto e redatto con L TEX

A

Civitanova Marche, lí 1 maggio 2017

Indice

1 Segnali e sistemi a tempo discreto 1

1.1 Segnali a tempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Z

1.1.1 Trasformata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Z

1.1.2 Antitrasformata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.3 Modulazione impulsiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.1.4 Teorema del campionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.1.5 Filtro anti-aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.2 Sistemi a tempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.2.1 Stabilitá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.2.2 Criteri di stabilitá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.2.3 Risposta in frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2 Sintesi del controllore 37

2.1 Interconnessione continuo/discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2 Specifiche di controllo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2.1 Specifiche di comportamento a regime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2.2 Specifiche sul transitorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.3 Predittore di Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.4 Sintesi per emulazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.4.1 Integrazione numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.4.2 Sintesi col margine di fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.4.3 Predistorsione in frequenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.4.4 Scelta del periodo di campionamento del controllore . . . . . . . . . . . . 66

2.4.5 Esempio di sintesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.5 Sintesi diretta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.5.1 Mappamento della regione di accettabilitá . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.5.2 Procedura di sintesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.5.3 Controllo deadbeat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

2.5.4 Esempi di sintesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

i

Capitolo 1

Segnali e sistemi a tempo discreto

Con l’avvento della logica binaria e la conseguente diffusione di tutte le innovazioni tecno-

logiche da essa derivate, si é riscontrata con successo la possibilitá di elaborare, processare e

memorizzare i segnali provenienti dal mondo esterno, i quali vengono codificati seguendo la ne-

cessitá di essere intellegibili e manipolabili agevolmente dalle macchine che li elaborano. Tale

rivoluzione ha letteralmente cambiato il volto a pressoché tutte le aree attinenti all’ingegneria

dell’informazione, tra cui l’informatica, l’elettronica, le telecomunicazioni e, non ultima, la teoria

dei sistemi e del controllo, la quale trova nella potenza computazionale dei processori digitali

lo strumento ideale per implementare i complessi algoritmi di controllo, che, in altro modo ri-

marrebbero a volte puro cavillo teorico. D’altronde com’é naturale, l’applicazione dei controlli

automatici ad un contesto "discreto" ha i suoi pregi e difetti: obiettivo di questa materia é ap-

profondire entrambi questi aspetti. Lo sviluppo del controllo digitale é abbastanza recente e, dal

punto di vista storico, é stato motivato dalla ricerca di sistemi di controllo adatti alla regola-

zione di impianti industriali complessi, espandendosi a pressoché ogni applicazione di controllo

moderno con lo straordinario sviluppo di microcontrollori e microprocessori, sempre piú potenti,

miniaturizzati, programmabili e a basso consumo. La teoria del controllo digitale vede i suoi

passi fondamentali nei seguenti risultati e strumenti analitici sviluppati in questo ambito. In

particolare:

• Teorema del compionamento: dapprima introdotto da Nyquist per i soli segnali sinusoidali,

é stato enunciato in maniera compiuta da Shannon nel 1949.

• Equazioni alle differenze: un rinnovato interesse si ebbe verso la seconda metá del secolo

scorso, utile per avere un parallelo nel discreto delle equazioni differenziali, che sono alla

base di molte nozioni della teoria dei sistemi.

Z:

• Trasformata concetto giá noto a Laplace, é l’analogo nel discreto della trasformata di

Laplace per l’analisi di segnali e sistemi in un dominio trasformato.

1

CAPITOLO 1. SEGNALI E SISTEMI A TEMPO DISCRETO 2

L’impiego di sistemi di elaborazione, processazione, e controllo digitali porta con sé vantaggi e

svantaggi. I vantaggi a livello hardware sono: la flessibilitá del controllore, che puó interfacciarsi

indifferentemente a sistemi fisici e impianti di diversa natura, anche contemporaneamente, la fa-

cile manutenibilitá, l’invarianza nel tempo delle componenti del controllore digitale, minor effetto

del rumore, minori dimensioni e minor costo; a livello software spiccano le migliori prestazioni

ottenibili dal sistema controllato, la facilitá di implementazione di algoritmi di elaborazione e/o

controllo, la riconfigurabilitá, lo scheduling delle operazioni e la facilitá di monitoraggio e ac-

quisizione dati. D’altra parte gli svantaggi sono altrettanti, in particolare: i dispositivi digitali

richiedono potenza elettrica e non possono lavorare in condizioni estreme di temperatura, pres-

sione, radiazione; la quantizzazione introduce non linearitá e potenzialmente cicli limite ed altri

effetti indesiderati mentre il campionamento puó essere causa di aliasing; inoltre i dispositivi

digitali in genere presentano ritardi in fase di acquisizione e elaborazione di segnale oltre ad una

certa difficoltá ad interfacciarsi con segnali a banda di frequenza elevata (segnali "veloci"). Infine

lo sviluppo di software dedicato al caricamento di algoritmi di elaborazione o controllo richie-

de risorse significative, oltre alla conseguente scelta di adeguati linguaggi di programmazione e

protocolli di comunicazione.

1.1 Segnali a tempo discreto

Def. Un segnale a tempo discreto (o sequenza campionata o semplicemente sequenza) é una

→

x :

successione numerica che associa ad ogni elemento di un insieme numerabile un

T K T

valore complesso di Tale successione prende il nome di sequenza di campioni.

K. ≡ ≡

In genere un segnale a tempo discreto é tale che mentre generalmente (oppure

T N, K N

Si rappresenta con punti o crocette relative all’instante discreto. Ciascun suo elemento viene

C).

detto campione; a volte si usa tracciare una linea tra l’istante discreto e il valore assegnato:

questo perché la realtá é comunque "analogica" e non esistono segnali esattamente discreti. In

quest’ottica rappresentare un segnale discreto come una serie di impulsi finiti in corrispondenza

di ogni istante discreto puó aiutare a comprendere la natura piú profonda di questa tipologia di

segnali. Alcune classi di segnali rilevanti sono:

1. Segnali limitati: ∃M ∞ ∀k ∈ |x(k)| ≤

< : M

Z,

2. Segnali a energia finita: ∞

X 2

|x(k)| ∞

<

k=0

3. Segnali modulo sommabili: ∞

X |x(k)| ∞

<

k=0

3 CAPITOLO 1. SEGNALI E SISTEMI A TEMPO DISCRETO

Tutte le successioni (o sequenze) che rispettano queste prime due proprietá generano uno spazio

2

`

di Hilbert denotato con dotato di prodotto interno:

∞

X ∗

hx, yi = x (k) y(k)

k=0

∗

a a.

dove indica l’operatore coniugio di Quest’ultima induce una norma sulle successioni la cui

somma converge in norma e che per questo motivo sono dette a quadrato sommabile. Il concetto

di segnale a tempo discreto non é strettamente legato ai segnali digitali: infatti sono segnali a

tempo discreto anche le monetine che escono sporadicamente dalle macchinette del caffé. Un

segnale digitale ha caratteristiche precise: un insieme di istanti discreti distanziati dallo stesso

T

T

valore, detto periodo di campionamento , e un insieme finito di valori assumibili dal segnale ad

c

ogni istante di tempo discreto. In particolare quest’ultimo peculiaritá dei segnali digitali viene

quantizzazione.

detta x(k) [V , V ]

Def. Sia un segnale a tempo discreto, limitato nell’intervallo e sia M la ri-

min max ∈

l [0, M ].

soluzione massima con cui si vuole descrivere l’informazione in in numero di livelli

Allora si definisce l’intervallo di quantizzazione come:

−

V V

max min

∆= M

x (k) l x(k)

Il segnale quantizzato si ottiene approssimando al livello il valore di al piú vicino

Q

∆

∆

− ,l + ].

[l

tra 2 2

Considerando che solitamente per codificare l’informazione vengono usati due valori (nella

k

M = 2 k

logica binaria [0,1]), la risoluzione massima é pari a , dove indica il numero di bit a

disposizione. Si consideri che per un certo campione si puó assegnare un valore quantizzato con

errore massimo pari a metá dell’intervallo di quantizzazione.

Def. Si definisce errore di quantizzazione la sequente quantitá:

∆

−

x(k) x (k) =

ε = sup Q 2

k

A questo punto possiamo scrivere che l’errore di quantizzazione:

− −

∆ V V V V

max min max min

ε = = = k+1

2 2M 2

La sua espressione esatta é importante in quanto la quantizzazione introduce rumore rispetto

al segnale originale, tanto piú marcato quanto lo é l’errore di quantizzazione, e naturalmente

occorre considerare un numero di bit adeguato al segnale che si vuole quantizzare. L’espressione

del rumore di quantizzazione é data semplicemente da:

−

r(k) = x(k) x (k)

Q

CAPITOLO 1. SEGNALI E SISTEMI A TEMPO DISCRETO 4

L’ampiezza di questo rumore sovrapposto al segnale a tempo discreto di partenza ha un am-

∆.

piezza pari alla metá di Per segnali con andamenti non lineari il problema del rumore di

quantizzazione diventa preponderante e bisogna considerare tecniche di filtraggio in frequenza o

quantizzazioni non uniformi (fig.1.1).

Figura 1.1: Rumore di quantizzazione ad andamenti non lineari.

Abbiamo visto che la definizione di un segnale digitale richiede alcuni passaggi e manipolazioni

codifica.

effettuate sul segnale proveniente dal mondo analogico, riassunte in’unica parola: Nel-

l’ambito dei sistemi dinamici, la discretizzazione non rappresenta non rispecchia alcuna esigenza

tecnica, quanto piú invece la necessitá di una descrizione analitica conforme a questa classe di

segnali. In fin dei conti peró, il concetto di sistema discreto é un astrazione della realtá fisica

oppure, che dir si voglia, una descrizione di un sistema a tempo continuo che si comporta secondo

il paradigma di un sistema discreto, la cui dinamica é vincolata a scatti lunghi quanto il tempo di

campionamento e a valori presi da un insieme finito. In quest’ottica, possiamo dire che in realtá

anche un segnale digitale é un astrazione, o meglio l’uscita di un sistema dinamico che ha "piega-

to" l’ingresso a comportarsi secondo quanto dettato dal campionamento e della quantizzazione.

Nulla vieta che esistano dei modelli che necessitano ab initio una descrizione tempo-discreto:

semplicemente non sono espressione di fenomeni provenienti dalla realtá fisica, ma da altri tipi

(fenomeni da realtá socio-economiche, dinamiche sociali in ambienti circoscritti, eccetera). Detto

ció, l’azione di controllo su un qualsiasi processo o impianto viene impressa attraverso segnali a

tempo-continuo. I sistemi tempo-discreto sono descritti da equazioni alle differenze del tipo:

F x(n), x(n + 1), ..., x(n + k) = 0

5 CAPITOLO 1. SEGNALI E SISTEMI A TEMPO DISCRETO

Ad esempio un’equazione alle differenze del secondo ordine é espressa come:

a x(n + 2) + a x(n + 1) + a x(n) = 0

2 1 0

Vediamo infatti che la versione discretizzata di un fenomeno fisico del secondo ordine ha proprio

la forma appena vista. Consideriamo l’equazione differenziale:

a ÿ(t) + a ẏ(t) + a y = b u(t)

2 1 0 0 2

T u(·), y(·) C

Sia il periodo di campionamento; se i segnali sono di classe o piú, é possibile

c

effettuare un’approssimazione dell’operatore di derivata. Infatti se il tempo di campionamento

∆t = T é abbastanza piccolo, si puó approssimare il tutto con il rapporto incrementale, usando

c −

∆, ∆y(k) = y(k + 1) y(k).

l’operatore il quale per segnali causali fornisce Pertanto, ricordando

t = kT

che il lo scorrere del tempo é a istanti discreti :

c

− −

∆y y(t + ∆t) y(t) y((k + 1)T ) y(kT )

c c

∼ −

ẏ(t) = = = y(k + 1) y(k) = ∆y(k)

∆t ∆t T

c

− − −

∆ y(t + ∆t) y(t) ∆y((k + 1)T ) ∆y(kT ) ∆y(k + 1) ∆y(k)

c c

∼

ÿ(t) = = =

2

∆t ∆t T T

c

c −

− − − y(k + 2) 2y(k + 1) + y(k)

y(k + 2) y(k + 1) (y(k + 1) y(k)) =

= T T

c c

Sostituendo queste approssimazioni nell’equazione differenziale di partenza si ha:

−

y(k + 2) 2y(k + 1) + y(k) −

+ a (y(k + 1) y(k)) + a y(k) = b u(k)

a 1 0 0

2 T

c

Cioé: â y(k + 2) + â y(k + 1) + â y(k) = b u(k)

2 1 0 0

I nuovi coefficienti si ottengono facilmente da manipolazioni algebriche e dipendono dal periodo

T

di campionamento : ció rappresenta un malcondizionamento numerico, in quanto l’algoritmo

c

di approssimazione dipende anche da caratteristiche dell’elaboratore stesso.

Z

1.1.1 Trasformata

Z

La trasformata gioca il ruolo della trasformata di Laplace per i segnali a tempo discreto,

→ ∈

x : z

trasformando segnali in funzioni della variabile complessa analogamente al

Z C C;

tempo-continuo, le trasformate sono definite in una porzione di piano complesso chiamato

Z

z s

piano (in analogia col piano delimitato a sinistra dall’ascissa di convergenza).

→ 7→

f : k f (k)

Def. Sia (o al piú un segnale a tempo discreto. Si definisce la

Z R C),

CAPITOLO 1. SEGNALI E SISTEMI A TEMPO DISCRETO 6

Z f

trasformata unilatera della sequenza di campioni la quanitá:

∞

X

Z{f −k

}(z) = f (k)z

k=0 z;

L’idea di questa trasformata si poggia sulla convergenza della serie geometrica di ragione

Z

per quanto riguarda la convergenza della trasformata vale il seguente risultato.

f

Teo. Data una sequenza , si consideri la seguente serie di Laurent estesa solo agli interi

∈

z

negativi, di centro C:

0 ∞

X −k

−

f (k)(z z )

0

k=0 ρ z

Essa converge assolutamente all’esterno di un cerchio di raggio di centro mentre diverge al

0 0

suo interno. Z

z = 0 f

Si osservi che ponendo si ottiene l’espressione della trasformata di , la quale dunque

0

|z| |z|

> ρ = ρ

converge per , mentre nulla si puó dire sul bordo .

0 0 Z

f

Def. Data una sequenza , si definisce il raggio minimo di convergenza della sua trasformata

la quantitá: f (k + 1)

ρ = lim

0 f (k)

k→∞ Z

Su queste definizioni é possibile calcolare la trasformata di segnali discreti canonici insieme

− \ {0} ⊂

alla loro corona di convergenza, ricordando che nell’insieme la sequenza assume

Z T

tutti valori nulli, in quanto tali segnali per convenzione cominciano ad assumere valori diversi da

Z

k = 0.

zero generalmente a partire dall’istante discreto La trasformata ha diverse proprietá,

in completa analogia con la trasformata di Laplace:

• Linearitá Z

F (z), F (z) ρ ρ f f

Siano e , rispettivamente le trasformate delle sequenze , e i loro

1 2 1 2 1 2

raggi di convergenza. Allora per ogni combinazione lineare di tali sequenze vale:

Z{c }

f + c f = c F (z) + c F (z)

1 1 2 2 1 1 2 2

Dove il raggio di convergenza é dato da:

≤ }

ρ max{ρ , ρ

0 1 2

• Simmetria Z. Z

→

f : F (z)

Sia e sia la sua trasformata Allora, si consideri la trasformata della

Z C,

7 CAPITOLO 1. SEGNALI E SISTEMI A TEMPO DISCRETO

sequenza complessa coniugata: ∞

X

Z{f ∗ ∗ −k

}(z) = f (k)z =

k=0 ∗

∞ ∞ !

∗

X X

∗ −k ∗ ∗

∗ −k

= f (k)(z ) = = F (z )

f (k)(z )

k=0 k=0

∗

f f (k) = f (k),

Se é valori reali, pertanto considerando questo fatto nella definizione, con

gli stessi conti di prima si ottiene che: Z{f ∗ ∗

}(z)

F (z) = = F (z )

Percui: ∗ ∗

F (z ) = F (z) Z

Questa relazione permette di mappare simmetricamente la trasformata su tutto il piano

F (z).

complesso, a partire dal semipiano immaginario positivo che assume i valori di

• Ritardo e anticipo

Un segnale a tempo discreto puó essere traslato in avanti o indietro di un certo numero

f (k)

di campioni; ad esempio, su una trasmissione digitale, una sequenza di campioni puó

r

raggiungere il ricettore con un ritardo di campioni rispetto al trasmittente,