Elementi di controlo digitale

W W P W

0 0 0

G(z) = =

− −

P (z) 1 N (z)/D (z) N (z) D (z) N (z)

W W P W W

0 0 0 0

W (z) G(z)

Dalla precedente si evince come gli zeri di siano un sottoinsieme degli zeri di e un

0

G(z) P (z).

sottoinsieme dei poli di sia dato dagli zeri di

G(z)

L’espressione di deve seguire le seguenti proprietá realizzative, che sono assegnate me-

W (z)

diante il "parametro libero" a cui si dovranno assegnare poli e zeri. La forma generale

0

sará: r

Q −

(z z )

K j

j=1

·

W (z) = (2.21)

0 n

Q

N −

z (z p )

i

i=1

{z }, {p },

, . . . , z , . . . , p K N

L’assegnazione di e dipendono dalle specifiche dettate dall’analisi

1 r 1 n

delle seguenti caratteristiche fondamentali che deve soddisfare il sistema di controllo.

• G(z)

Causalitá. Il regolatore deve risultare causale, ossia deve avere il grado del denomi-

natore maggiore o uguale di quello del numeratore affinché la sua funzione di trasferimento

W (z),

sia strettamente propria, o al piú, propria. Ció impone una condizione su la quale

0

≥ n

deve essere a sua volta strettamente propria o al piú propria (d ). Infatti, ponendo

W W

0 0

P (z) = N (z)/D (z) W (z) = N (z)/D (z)

e e usando la formula 2.17, si osservi che:

p p 0 w w

N (z)/D (z) D (z)N (z)

D (z) w w p w

p · =

G(z) = − −

N (z) 1 N (z)/D (z) N (z) (D (z) N (z))

p w w p w w

n d

Indicando con il grado del numeratore e con il grado del denominatore di una generica

G(z)

funzione di trasferimento, affinché il grado di relativo di (cioé la differenza tra il grado

del denominatore e numeratore) sia positivo (o al piú nullo), occorre che:

− − − − − ≥

d n = (n + d ) (d + n ) = (d n ) (d n ) 0

G G P W P W W W P P

0 0 0 0

CAPITOLO 2. SINTESI DEL CONTROLLORE 80

Affinché ció si verifichi si deve avere: − ≥ −

d n d n (2.22)

W W P P

0 0

cioé il grado relativo della funzione di trasferimento a ciclo chiuso che si desidera imporre

P (z), W (z).

deve essere maggiore o uguale a quello del processo aggiungendo zeri o poli 0

• G(z)

Stabilitá interna. Il controllore progettato per sintesi diretta tende a cancellare

P (z),

una parte della dinamica del processo in quanto contiene nella sua espressione il

reciproco della funzione di trasferimento del processo. Ció compromette la stabilitá intera

in anello nel caso in cui tali cancellazioni corrispondano a poli o zeri a modulo maggiore

1, F (z)

o uguale a in quanto la funzione di guadagno d’anello deve essere stabilizzata con

la retroazione e non tramite cancellazione dei suoi modi instabili. Affinché poli instabili e

P (z) G(z),

zeri a fase non minima di non vengano cancellati da essi devono permanere nel

guadagno d’anello: W (z)

0

F (z) = G(z)P (z) = −

1 W (z)

0

Pertanto: P (z) 1

– ogni zero di con modulo maggiore o uguale a deve comparire tra le radici di

W (z) in modo da permanere come zero nella funzione di guadagno d’anello.

0 P (z) 1

– ogni polo di con modulo maggiore o uguale a deve comparire tra le radici di

−

1 W (z) in modo da permanere come polo nella funzione di guadagno d’anello.

0 F (z)

A questo punto occorrerá introdurre alcune modifiche a affinché il suo diagramma di

−1 + 0j

Nyquist effettui complessivamente un numero di giri in senso antiorario intorno a

F (z)

pari al numero di poli instabili di e un numero di mezzigiri in senso antiorario intorno

−1 + 0j F (z).

a pari al numero di poli a modulo unitario di

• Fedeltá di risposta. La specifica di inseguimento dipende dalle specifiche statiche a

regime e si impongono al sistema di controllo affinché l’errore a regime sia pari a zero o ad un

margine imposto da specifica. Se il progetto viene effettuato per sintesi diretta, é necessario

valutare come si riflettono specifiche di questo tipo sulla forma e sui parametri della funzione

W (z),

di trasferimento ad anello chiuso in modo da poterla scegliere opportunamente. In

0 1,

genere si richiede che il sistema sia di tipo cioé che manifesti errore a regime pari a zero

per riferimenti a gradino e errore a regime sotto una soglia per riferimenti a rampa. Sia un

F (z) = C(z)P (z) 1;

sistema in retroazione con guadagno d’anello pari a di tipo allora la

sua funzione di trasferimento dell’errore é pari a:

−

1 1 G(z)P (z) + G(z)P (z)

E(z) = = =

R(z) 1 + G(z)P (z) 1 + G(z)P (z)

G(z)P (z)

− −

=1 = 1 W (z)

0

1 + G(z)P (z)

81 CAPITOLO 2. SINTESI DEL CONTROLLORE

Con il teorema del valor finale, per un riferimento a gradino si ha:

−

z 1 · −

lim e(t) = lim (1 W (z))R(z) =

0

z

t→+∞ +

z→1

− z

z 1 · − − −

= lim (1 W (z)) = lim 1 W (z) = 1 W (1)

0 0 0

−

z z 1

+ +

z→1 z→1

D’altra parte abbiamo affermato che il sistema é di tipo 1, pertanto l’errore a regime a

ingressi a gradino é nullo, da cui:

− ⇒

1 W (1) = 0 W (1) = 1

0 0

W (z)

Ció indica che il guadagno statico di deve essere unitario. L’errore in risposta a un

0

·

r(k) = kT δ (k)

riferimento a rampa del tipo é:

−1

c −

z 1 T z

c · −

(1 W (z)) =

lim e(t) = lim 0

2

−

z (z 1)

t→+∞ +

z→1 −

1 W (z)

T 0

c · −

(1 W (z)) = T lim =

= lim 0 c

− −

z 1 z 1

+

+ z→1

z→1 1 dW (z) d log W (z)

dW (z) 0 0

0 −T −T

−T = lim =

= lim c c

c dz W (z) dz dz

+

+ z→1 z=1

z→1 0 ẽ W (z)

Si imponga che questo errore debba essere pari alla soglia . Suppondendo che sia

1 0

espressa nella forma poli-zeri: r

Q −

(z z )

j

j=1

·

W (z) = K

0 n

Q −

(z p )

i

i=1

si ha: r !

Q −

(z z )

d

d log W (z) j

0 j=1

−T ·

−T = log K =

c

c n

Q −

dz dz (z p )

i

i=1 

 n

r

d Y Y −

− −

−T (z p ) =

(z z ) log

= log K + log

c j i 



dz j=1 i=1

 

r n

d d

X X

− − −

= T log(z z ) + log(z p ) =

c j i

 

dz dz

j=1 i=1

 

n r

1 1

X X

−

= T

c  

− −

z p z z

i j

i=1 j=1

CAPITOLO 2. SINTESI DEL CONTROLLORE 82

+

→

z 1

Passando al limite per , si ottiene:

 

n r

1 1

X X

−

T = ẽ

c 1

 

− −

1 p 1 z

i j

i=1 j=1

Cioé: n r

1 ẽ

1 1

X X

− = (2.23)

− −

1 p 1 z T

i j c

i=1 j=1

Questa relazione é nota sotto il nome di relazione di Truxal e tale formula mette in relazione

l’errore di inseguimento di soglia ad una rampa che si vuole imporre da specifica con i poli

W (z).

e gli zeri della funzione di trasferimento a ciclo chiuso desiderata, 0

• G(z)

Comportamento dinamico. Spesso si richiede che il regolatore rispetti alcune

specifiche sul transitorio, fissando la funzione di trasferimento del processo a tempo continuo

W (s) nell’ipotesi di poli dominanti: 2

Kω

n

W (s) = 2 2

s + 2ζω s + ω

n n

Usando il metodo dell’invarianza della risposta a gradino si puó effettuare una traduzione

in quella che dovrebbe risultare la funzione di trasferimento nel discreto:

−

z 1 W (s)

n o

Z

·

W (z) =

0 z s

W (z) z = 0, W (s)

É facile mostrare come la abbia, oltre al polo in i poli di mappati

0

sT

z = e . Dato che i modi del sistema sono descritti univocamente da tali poli,

tramite c

(σ, ω , ψ), W (z)

data la terna si possono assegnare a dei poli all’interno (possibilmente in

n 0

vicinanza del bordo) della regione desiderata descritta dalle intersezioni dei relativi luoghi.

W (z) (σ, ω , ψ),

Pertanto, una con tali poli avrá il transitorio assegnato attraverso che

0 n

sono univocamente legati a tempo di salita, tempo di assestamento e sovraelongazione.

W (z) (n + r + N + 1)

Abbiamo visto che in generale sará nella forma data da 2.21 in cui si hanno

0

parametri da scegliersi dai vincoli di sintesi: r

Q −

(z z )

K j

j=1

W (z) =

0 n

Q

N −

z (z p )

i

i=1

I vincoli di sintesi ci permettono di scegliere opportunamente poli e zeri del modello di riferimento

W (z). W (z)

poli

I di si scelgono in base ai vincoli di causalitá e comportamento dinamico.

0 0

{p }

, . . . , p

In particolare i poli si devono scegliere a fronte delle specifiche dinamiche. Dato

1 n (t , t , ŝ)

un insieme di specifiche sulla terna é possibile determinare la regione di accettabilitá é

s d

scegliere al suo interno, ma in genere vicino al bordo, i poli da assegnare al processo. Per quanto

83 CAPITOLO 2. SINTESI DEL CONTROLLORE

N

riguarda , che sta ad indicare il numero di poli nell’origine, dovrá essere scelto in base al

vincolo di causalitá dopo aver determinato il numero di zeri. In particolare, per quanto riguarda

t ŝ,

dinamiche del secondo ordine, dati e si possono determinare direttamente i poli, invertendo

s

ω ζ,

le formule 2.17,2.19 e ottenendo e da cui:

n ∗

2 2 − −

D (s) = s + 2ω ζs + ω = (s p)(s p )

W n n

0 sT {z }

z = e , . . . , z

zeri

la quale va poi discretizzata usando . Gli e il coefficiente di guadagno

c 1 m

K si calcolano imponendo i vincoli derivanti dalla stabiliá interna e dalla precisione statica. In

particolare il numero di zeri necessari ad asservire le specifiche é esattamente pari al numero di

W (z).

condizioni espresse sulla Esse sono:

0

• W (z) = 0 P (z)

per ogni zero a fase non minima di (deve essere una radice del numeratore

0 F (z)). ν,

del guadagno d’anello Se la molteplicitá di tale zero é si deve verificare che:

ν−1

d =0

W (z)

0