Elementi di Controlli automatici

ANALISI dei SISTEMI

con essa si va a caratterizzare ed a esaminare il comportamento di un sistema dato

• il PUNTO di PARTENZA per l’ANALISI è una RAPPRESENTAZIONE IMPLICITA del sistema

  { x(t) = Ax(t) + Bu(t){ y(t) = Cx(t) + Du(t)

  -> in cui le dimensioni delle matrici sono tali da permettere il prodotto fra esse

• la SOLUZIONE di questa RAPPRESENTAZIONE è data dalla FORMA ESPLICITA

  { x(t) = Φ(t-t₀)x₀ + ∫[t₀,t] H(t-τ)u(τ)dτ -> EVOLUZIONE dello STATO descritta da Φ e H{ y(t) = Ψ(t-t₀)x₀ + ∫[t₀,t] W(t-τ)u(τ)dτ -> RISPOSTA caratterizzata da Ψ e W

  _{RISPOSTA LIBERA RISPOSTA FORZATA}

CALCOLO della RISPOSTA

si va a caratterizzare il sistema in cui Bu(t) non c’è in quanto l’ingresso è nullo

quindi avremo che:

RISPOSTA LIBERA è data dalla soluzione del sistema:

con u(t) = 0

equivalentemente x_e(t) = Φ(t-t₀)x₀

per conoscere questa quantità, si pone la STAZIONARIETA:

-> t₀ = 0

Φ(t) = ∑_k=0,∞ (A^kt^k/k!)

è la MATRICE DINAMICA del SISTEMA

-> in cui questa sommatoria, per definizione è:

una volta definito Φ(t), possiamo determinare le altre 3 come:

H(t)=Φ(t)B, Ψ(t)=CΦ(t), W(t)=CΦ(t)B+DS(t)

ANALISI dei SISTEMI

con essa si va a caratterizzare ed a esaminare il comportamento di un sistema dato

il PUNTO di PARTENZA per l'ANALISI è una RAPPRESENTAZIONE IMPLICITA del sistema

{ x(t)=Ax(t)+Bu(t) y(t)=Cx(t)+Du(t)

in cui le dimensioni delle matrici sono tali da permettere il prodotto fra esse

la SOLUZIONE di questa RAPPRESENTAZIONE è data dalla FORMA ESPLICITA

{ x(t)=Φ(t-t₀)x₀ + ∫_t0^t H(t-τ)u(τ)dτ y(t)=Ψ(t-t₀) x₀ + ∫_t0^t W(t-τ) u(τ) dτ

EVOLUZIONE dello STATO descritta da Φ e H

RISPOSTA caratterizzata da Ψ e W

CALCOLO della RISPOSTA

si va a caratterizzare il sistema in cui Bu(t) non c'é in quanto l'ingresso è nullo

quindi avremo che:

RISPOSTA LIBERA è data dalla soluzione del sistema:

{ẋ(t)=Ax(t) x(t₀)=x₀

con u(t)=0

equivalentemente x_e(t)=Φ(t-t₀)x₀

per conoscere questa quantità, si pone la STAZIONARIETÁ t₀=0

Φ(t)=∑_k=0^∞ A^k t^k/k!

è la MATRICE DINAMICA del SISTEMA

Φ(t)=e^At ∀t∈ℝ

una volta definito Φ(t), possiamo determinare le altre 3 come:

H(t)=Φ(t)B , Ψ(t)=CΦ(t) , W(t)=CΦ(t)B + Dδ(t)

quindi con la CARATTERIZZAZIONE della RISPOSTA LIBERAsi va a caratterizzare il contributo che si ottiene per le solecondizioni iniziali

sapendo che

si dice che φ(t) ammette unaRAPPRESENTAZIONE SPETTRALE

dalla quale - quindi - possiamo studiare al variare deltempo "t", come varia questo termine

NOTI che siano però, gli autovalori della matrice Aed i relativi autovettori dx e sx

RAPPRESENTAZIONE SPETTRALE di e^At

è una RAPPRESENTAZIONE SEMPLIFICATA della RISPOSTA LIBERAdello STATO ed usa gli autovalori e gli autovettori di Aa patto che questi siano REALI e DISTINTI

quindi abbiamo che:

è dato dalla SOMMA di k TERMINI, tanti quanti sono gliautovalori di A

da qui avremo:

chiamando concioè

la RISPOSTA LIBERA nello STATO è data dalla somma di N termini:

i quali prendono ilnome di

SE A è una matrice n x ncon n autovaloriREALI e DISTINTI, possiamocalcolare, partendo daciascuno di essi, i relativiautovettori dx e sxtra i quali vale laRELAZIONE:

MODI NATURALI APERIODICI

• si ha a che fare con autovalori reali e distinti
• la risposta libera è rappresentata come

  x_L(t) = N ∑ _k=1 e^λ_kt c_k u_k

  nella quale ogni modo naturale evolve nel tempo la quale evoluzione è dettata dal termine esponenziale e dal termine vettoriale u_k, il quale ci fornisce la traiettoria di dove evolverà il modo.
• traiettoria è il luogo dei punti nello spazio di stato in cui lo stato si può trovare nella sua evoluzione libera
• graficamente questi modi si presentano come:
  • esponenziale crescente se λ_i>0
  • decrescente se λ_i<0
  • costante pari a 1 se λ_i=0
  per quanto riguarda la legge temporale per la quale verrà percorsa la traiettoria si ha che nello spazio di stato evolve lungo