Elementi di Controlli Automatici - Temi Esame

E LEMENTI DI

C A

ONTROLLI UTOMATICI

(Temi Esame)

Università degli Studi di Brescia – Dipartimento di Ingegneria Meccanica

Appunti a cura di Ing. Liu Junxiang

PRE-APPELLO 30-05-2018

DOMANDA 1

- TESTO

o Dato il sistema 10

▪ () = 2

(100+1)(10+1)

o Si chiede

▪ 1. Calcolare poli, zeri e guadagno

▪ ()

2. Tracciare il diagramma di Bode del modulo di

▪ 3. Studiare la stabilità del sistema

▪ ()

4. Calcolare il margine di fase di

▪ 5. Studiare la stabilità del sistema retroazionato

▪ 6. Tracciare il diagramma di bode delle funzioni di trasferimento del sistema retroazionato

▪ ()

7. Calcolare l’approssimante del primo ordine di

▪ 7

8. Calcolare il margine di fase dell’approssimante calcolato al punto

- RISOLUZIONE

o QUESITO 1

▪ I poli sono 1 1

• = − , − × 2

100 10

▪ NON ci sono zeri

▪ Il guadagno è

• = 10 NON sbagliare il guadagno, perché serve per le richieste successive! ATTENZIONE!!!

o QUESITO 2

▪ |()|

DIAGRAMMA DI BODE

o QUESITO 3

▪ →

Tutti i poli sono negativi Stabile Asintoticamente

o QUESITO 4 1

▪ =

Si calcola alla frequenza di taglio , quindi

10

• = −90° − 45° − 45° = −180° → = 0°

1

o −90° = Dovuto al polo , effetto esaurito

100 1

o −45° − 45° = Dovuto ai 2 poli , mezza influenza

10

o QUESITO 5

▪ = 0,

Dato che il siamo ai margini della stabilità (oscilla, 2 poli puramente immaginari)

o QUESITO 6

▪ DIAGRAMMA DI BODE FDT SISTEMA RETROAZIONATO

<

1

• | | = | | ≈ { >

||

1+ 1+

o QUESITO 7 1

▪ = − ),

Il polo dominante è (più vicino all’asse l’approssimante del primo ordine è

100

10

• ̃ () = ha solo 1 polo dominante

(100+1)

o QUESITO 8 ̃

▪ Il margine di fase di è

• = 90°

̃ 1

o OSSERVAZIONE FINALE

▪ ≪

Con tale approssimazione, l’approssimazione sembra solida ( , c’è una decade)

_

▪ MA sulla stabilità NON va bene

• In retroazione lo vedo come stabilissimo, quando in realtà NON lo è! (Sfiga Modellistica)

• →

Il sistema passa da un sistema al limite della stabilità ad un sistema perfettamente stabile!!! E non mi accorgo!!!

Sfortuna Modellistica 2

DOMANDA 2

- TESTO

o Dato la seguente funzione di trasferimento

1−

▪ () = 2

(10+1)(5+1)

o Si chiede

▪ 1. Calcolare il valore a regime dell’uscita del sistema a fronte di un ingresso a scalino

▪ 2. Calcolare il valore iniziale della risposta allo scalino

▪ 3. Indicare, motivando la risposta, se il sistema sottoelonga in partenza

- RISOLUZIONE

o QUESITO 1

▪ ()

Verificare prima di tutto la stabilità di

• → ()

Sono tutti poli reali negativi è stabile

▪ Si applica il teorema del valore finale

1 1−

• () = ⋅ () = 2

(10+1)(5+1)

1

o ℒ[()] =

▪ Quindi

• = lim ⋅ () = lim () = (0) = 1

∞ →0 →0

o QUESITO 2

▪ Si applica il teorema del valore iniziale 1−

• (0) = lim ⋅ () = lim = 0

2

(10+1)(5+1)

→+∞ →∞

o QUESITO 3

▪ METODO 1 – INTUIZIONE

• Si nota che in realtà, il teorema del valore iniziale ci dice

−

o lim () = 0

→+∞

• 0

Cioè, arriva a da sotto, ci fa intuire che ha una sottoelongazione (Accettabile come risposta ma NON rigoroso)

▪ METODO 2 – NON PERCORRIBILE

• Si ha o 1. Ho uno zero instabile, MA non è del 2° ordine

1

o = −

2. Dinamica dominante è 10

1−

̅

▪ ()

() ≈ = 10+1

• E applicando il teorema del valore iniziale (ingresso scalino)

1

̅(0) ̅

o = lim () = − ≠0 Attenzione, NON mi dice ancora nulla

10

→+∞

▪ METODO 3 – RIGOROSO

• ° 0 = − 1)

Si calcola la derivata prima (so già che nullo, perché

̇(0) 2

o = lim ⋅ () = lim () = 0 NON dice ancora niente

→+∞ →∞

• Si calcola la derivata seconda 2 3

−

̈(0) 3 2

o = lim ⋅ () = lim ⋅ () = < 0 Ho la sottoelongazione

2

(10+1)(5+1)

→+∞ →+∞

• Graficamente 3

DOMANDA 3

- TESTO

o Dato il sistema 5+1

▪ () = (10+1)(+1)

o Si chiede

▪ 1. Progettare un controllore analitico tale che

• L’errore a regime a fronte di un riferimento a scalino sia nullo

• 20%

La sovraelongazione massima percentuale NON superiore al

• 2% 1

Il tempo di assestamento al sia pari a

▪ 2. Progettare un controllore analitico tale che

• L’errore a regime a fronte di un riferimento a scalino sia nullo

• 5

Il sistema raggiunga l’equilibrio senza nessuna possibilità di oscillare, in un tempo di circa

• = 100 60

Una sinusoide a pulsazione sia attenuata di almeno

- RISOLUZIONE

o CONTROLLO ANALITICO

▪ La formula del controllore è

1

•

= ⋅

1−

▪

Di fatto, progetto che è

• = Funzione di Sensitività Complementare

1+

o 1° CONTROLLORE

▪ SPECIFICHE

• 1. Errore a Regime Nullo

o (0)

= 1

• 2. Sovraelongazione Accetto 2 poli complessi-coniugati

o ≈ 0.45 (Grafico)

• 3. Tempo di Assestamento

4 4

o = = = 1 → = 8.9

2

0.45⋅

▪ OSSERVAZIONE

• Quindi, la nostra funzione è

2

o =

2

2

+2 +

• Verifico che

o )

2 = ( ≥ () = 2 OKAY! ATTENZIONE a NON DIMENTICARE questo passaggio

• Quindi 1

o = ⋅ NON calcolarlo all’esame, basta la formula

1−

o 2° CONTROLLORE

▪ SPECIFICHE

• 1. Errore a regime

o (0)

= 1

• 5

2. NON oscilla, converge in

o ≈

o 5 = = 5 → = 1

▪ CANDIDATO

• Già dalle prime 2 specifiche, posso dire che

1

̂

o =

+1

▪ SPECIFICHE

• 3. Diagramma di Bode ̂

o = 100 −40 ,

Scopro che per sono a quindi, NON rispetta la 3° specifica

o 10 −60 = 100

Metto un altro polo a così

da avere un’attenuazione di a

1

▪ =

(+1)( +1)

10

o Verifico

▪ )

2 = ( ≥ () = 2 OKAY!

4

DOMANDA 4

- TESTO

o Dato il motore c.c. avente la seguente caratteristica tensione-velocità

10 Ω

▪ () = =

(+1)( +1)

100

o Si chiede

▪ 1. Individuare il polo meccanico e quello elettrico del sistema, motivando la risposta

▪

2. Supponendo di controllare la velocità con un controllore proporzionale, indicare se è possibile trovare un tale che l’anello

= 100

di velocità possa avere banda pari a e un comportamento dell’uscita assimilabile a quello di un sistema del primo

ordine. Motivare la risposta

▪ 3. Presentare lo schema di controllo in cascata per la posizione in un motore c.c. controllato in tensione e indicare la procedura

per la progettazione dei rispettivi controllori

▪ 4. Presentare lo schema di controllo feedforward per il controllo della posizione in un motore c.c. controllato in tensione e

indicare all’interno di esso il ruolo del controllore

- RISOLUZIONE

o QUESITO 1

▪ = −1, −100

I poli sono:

• → = −1 → =1

Il polo più lento è quello meccanico 1

• → = −100 → =

Il polo più veloce è quello elettrico 100

o QUESITO 2

▪ OSSERVAZIONE

• Si traccia il diagramma di bode

• = 1 = 10

La banda per è pari a 10, cioè la

o || = |1 ⋅ |

• = 100, = 100

Per avere banda pari a bisogna traslare verso l’alto, in modo che

• = 10

Dal diagramma, si capisce che è

▪ OSSERVAZIONE

• > 75°,

In più, vogliamo che l’uscita assimilabile a quello di un sistema del primo ordine, cioè soddisfare ma con

= 10 NON ce la facciamo, abbiamo

o (()) = −90° − 45° ≈ −135° → = 45°

▪ −90° −1,

Polo in effetto totale

▪ −45° −100,

Polo in effetto parziale

• 30° ≥ 75°

Quindi, servono minimo un in più, cioè, per avere un’uscita assimilabile al 1° ordine, serve

▪ OSSERVAZIONE

•

Attenzione, in realtà, questa domanda non vuole sapere il valore esatto di , NON è necessario calcolarlo

▪ RISPOSTA FINALE

• = 100,

Con banda passate pari a NON esiste che mi garantisce l’uscita assimilabile al 1° ordine

o QUESITO 3

▪ SCHEMA A BLOCCHI – CONTROLLO IN CASCATA

▪ PROCEDURA

• 1. Si parte a progettare dall’anello più interno (Nessuno ci vieta a sfruttare il diagramma di bode che sappiamo)

o SPECIFICHE DELL’ANELLO INTERNO

▪ 1. Stabile

▪ 2. Veloce (Impone un vincolo sull’anello esterno)

▪

3. Comportamento ordine (se possibile)

5

o SCELTE ̅

▪ Ω ( ≠ 0)

Scelta 1 – NON INSEGUIRE ∞

• ̅

Ω

Se ci accontentiamo di NON inseguire il setpoint nell’anello interno, va bene

anche un controllore ̅

o Ω

Il controllore (che fornisce il setpoint ) fa più lavoro per

compensare l’ di velocità

∞

• = 1, = 10 = 90°

Per esempio, con mi dà banda passante e , posso

=

̅ = 75°

alzarlo un po’ fino a tale che

̅

▪ (

Ω = 0)

Scelta 2 – INSEGUIRE ∞

• ̅

Ω

L’anello interno deve seguire il setpoint , allora devo utilizzare

1

o = (1 + )

• −20 /,

Però attenzione che così

facendo, parto con però posso sfruttare lo

ZERO per togliere il polo

• −1)

In conclusione, se scelto bene (deve compensare l’effetto del polo in

o = 1

In questo caso (Compensa sempre il primo polo)

•

Poi scegliere in modo da rispettare le altre specifiche (ho ancora gli stessi limiti

= 1,

sulla banda, come il caso precedente: partire con provare ad alzare un po’)

▪ Extra • ,

Se scelgo cioè uso anche il derivatore

1

o = (1 + + )

1+

• , −1 −100

Posso scegliere bene in modo da eliminare il polo a e il polo

• Così, riesco ad allargare addirittura la banda

• Cerco cioè in qualche modo di controllare anche il polo elettrico

• 2. Si progetta poi l’anello di posizione

o SCHEMA A BLOCCHI

▪ Adesso, l’anello interno ho un sistema del primo ordine

1

• ()

=

che ha il polo dominante in

+1

▪

Si nota che il guadagno dell’anello interno è 1, ciò implica che necessariamente dev’essere

almeno

o OSSERVAZIONE

▪

Il controllore di posizione vede

1

•

Cioè, deve controllare

( +1)

()

▪ vede un sistema del 2° ordine, c’è già un integratore, NON devo più inserirlo (anzi, se lo

inserisco, mi dà più problemi), basta un proporzionale

o VINCOLI 1

() ()

▪ ≤

1. Controllo Esterno più LENTO del controllo interno ( )

10

• Anello interno è un sistema in equilibrio, la sua dinamica NON interessa all’anello

esterno

• 90°

Quindi, ho un almeno pari a

• Se NON rispetto tale vincolo, rischio di NON avere le due dinamiche separate, si

intersecano tra di loro ()

o

Più avvicino le frequenze di taglio , più perdo il