Elementi di Controlli Automatici - Temi Esame

▪ SCHEMA DI CONTROLLO FEEDFORWARD

▪ FUNZIONE DI TRASFERIMENTO

• TENSIONE-POSIZIONE

1 1

o ()

= () =

1 2

2

• SPECIFICHE

o 1. Errore Nullo a Regime

▪ (0) = 1

o 2. Primo Ordine 1

▪ () = +1

o 3. Tempo di Assestamento 1

1

▪ = 5 → = =

1 5 5

• FUNZIONE

o Si ha che con le specifiche sopra

1

▪ () = +1

5

−1

o

Ma dev’essere propria, quindi

1

▪ () =

( +1)( +1)

5 500

18

PRE-APPELLO 31-05-2016

DOMANDA 1

- TESTO

o Dato il sistema 10

▪ () = 2

(100+1)(10+1)

o Si chiede

▪ 1. Calcolare poli, zeri e guadagno

▪ ()

2. Traccia il diagramma di Bode del modulo di

▪ 3. Studiare la stabilità del sistema

▪ 4. Studiare la stabilità del sistema retroazionato

▪ ()

5. Calcolare l’approssimante del primo ordine di

▪ 6. Traccia il diagramma di bode dell’approssimante calcolata al punto 5

▪ ()

7. Calcolare il margine di fase dell’approssimante di

- RISOLUZIONE

o QUESITO 1

▪ Poli 1

• = −

1 100

1

• = −

2,3 10

▪ Zeri • Nessuna

▪ Guadagno

• = (0) = 10

o QUESITO 2

o QUESITO 3

▪ < 0 ⟷

Tutti i poli Sistema Stabile Asintoticamente

o QUESITO 4

▪ La frequenza di taglio è

1

• =

10

▪ A cui corrisponde margine di fase

• = −90° − 45° − 45° = −180° → = 0°

o −90°

Polo 1

o −45° − 45° ,

Poli 2 3

▪ Quindi, il sistema è instabile (ai margini della stabilità)

o QUESITO 5

▪ Il polo dominante è 1

• = −

100

▪ L’approssimante del primo ordine è

10

• ̂ () = 100+1

o QUESITO 6

o QUESITO 7

▪ Il margine di fase è

• = −90° → = 90° > 0

o −90°

Polo

▪ Quindi, l’approssimante mi dà un sistema stabile, quando il sistema reale NON lo è

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DOMANDA 2

- TESTO

o Dato il seguente schema a blocchi

o Si chiede

▪

1. Calcolare la funzione di trasferimento tra (ingresso) e (uscita)

▪

2. Calcolare la funzione di trasferimento tra (disturbo) e (uscita)

▪ 3. Indicare una approssimazione del modulo delle funzioni di trasferimento indicate prima e dopo la pulsazione di taglio del

sistema

- RISOLUZIONE

o QUESITO 1

▪ La funzione di trasferimento è

• = ⋅ = = ( − ) = −

▪ Quindi

• =

1+

o QUESITO 2

▪ La funzione di trasferimento è

• (

= ⋅ = ( + ) = + ( − ) = + ) −

▪ Quindi +

• =

1+

o QUESITO 3

▪ Si ha che <

||

• |1 + | = { >

1

▪ 1° Funzione di Trasferimento <

1

• | | = { >

||

1+

▪ 2° Funzione di Trasferimento

+ <

| + | = | |

+

• | |={ >

1+

|( + )| 20

DOMANDA 3

- TESTO

o Dato il sistema 10+1

▪ () = (5+1)(+1)

o Si chiede

▪ 1. Progettare un controllore analitico tale che

• L’errore a regime a fronte di un riferimento a scalino sia nullo

• La sovraelongazione massima percentuale sia al massimo del 20%

• Il tempo di assestamento al 2% sia pari a 1s

▪ 2. Progettare un controllore analitico tale che

• L’errore a regime a fronte di un riferimento a scalino sia nullo

• Il sistema raggiunga l’equilibrio monotonicamente, in un tempo T di circa 15 s

▪ 3. Progettare un controllore analitico tale che

• L’errore a regime a fronte di un riferimento a scalino sia nullo

• Il sistema raggiunga l’equilibrio monotonicamente, in un tempo T di circa 5 s

• Un ingresso sinusoidale a pulsazione 100 sia attenuato di almeno 20 dB

- RISOLUZIONE

o QUESITO 1

▪ SPECIFICHE

• 1. Errore a Regime Nullo

o = (0) = 1

• 2. Sovraelongazione

o = 0.45

• 3. Tempo di Assestamento

1 1

o = − ln 0.01 → = − ln 0.01 = 8.69

2

2

▪ = 1

2

▪ = 0.45

▪ =2

▪ FUNZIONE DI TRASFERIMENTO

• Si ha che 2

o () = 2

2

+2 +

• Verifica della causalità

o () ≥ () OKAY!

• Quindi, il controllore è

1

o = 1−

o QUESITO 2

▪ SPECIFICHE

• 1. Errore a regime nullo

o = (0) = 1

• 2. Tempo di Assestamento

1

o = 5 → = =3

1 5

▪ = 15

1

▪ FUNZIONE DI TRASFERIMENTO

• Si ha che 1 1

̂

o () = =

+1 3+1

• Verifica della causalità

o () ≥ () NO!

• Quindi 1

o () = (3+1)(0.03+1)

• Quind, il controllore è

1

o = 1− 21

o QUESITO 3

▪ SPECIFICHE

• 1. Errore a regime nullo

o = (0) = 1

• 2. Tempo di Assestamento

1

o = 5 → = =1

1 5

▪ = 5

1

• 3. Frequenza di taglio

o Con le prime 2 specifiche ho

1

̂

▪ () = +1

o Il cui diagramma di bode è

o La funzione di trasferimento già soddisfa tale requisito

▪ FUNZIONE DI TRASFERIMENTO

• Si ha che 1

̂

o () = +1

• Verifica della causalità

o () ≥ () NO!

• Quindi 1

o () = (+1)(0.01+1)

• Quind, il controllore è

1

o = 1−

- 22

DOMANDA 4

- TESTO

o Dato il motore c.c. avente la seguente caratteristica velocità-coppia

1 Ω

▪ () = =

0.5

o Si chiede

▪ 1. Schematizzare uno schema di controllo feedforward per il controllo della posizione, supponendo il controllore dato e che sia

in grado di garantire che la funzione di trasferimento complessiva in anello chiuso sia pari a

1

• () = 2

+1.8+1

▪ 2% %

2. Indicare il tempo di assestamento al e la sovraelongazione massima nel caso in esame

▪ 3. Supporre ora che il motore sia alimentato in corrente, che l’anello di velocità sia controllato da un controllore proporzionale

e che gli azionamenti possano essere rappresentati come

1

• ()

=

+1

1000

Indicare in questo caso il limite massimo che la banda dell’anello di controllo di velocità può avere per garantire che l’effetto

degli azionamenti sia (totalmente trascurabile)

▪ 4. Presentare le tecniche utilizzate (motivando la risposta) per il controllo in doppio loop della posizione per un motore

alimentato in corrente

- RISOLUZIONE

o QUESITO 1

▪ POSIZIONE COPPIA 1 1

• ()

= () =

1 2

2

▪ SCHEMA DI CONTROLLO FEEDFORWARD

▪ FUNZIONE DI TRASFERIMENTO

• Si ha 1

o = () = ∀, ∀

̅ 2

+1.8+1

• ()

I vincoli su sono

o () ≥ ( )

1. SI!

o → < 0

2. Stabile Poli a SI!

2

−1.8±√1.8 −4

▪ = → < 0

1,2 2

• 2 − 4 = √|Δ| Puramente Immaginaria

√1.8

o QUESITO 2

▪ SOVRAELONGAZIONE MASSIMA

•

Bisogna trovare e

2 = 1.8 = 0.9

o { → {

2 = 1

= 1

• = 0.9,

Quindi, con entro nella figura

• % = 0%

Di fatto, NON ho sovraelongazione, cioè

▪ TEMPO DI ASSESTAMENTO AL 2%

1

• = − ln 0.02 = 4.35

2

o = 0.9

o = 1

23

o QUESITO 3

▪ OSSERVAZIONE

• Sia la curva caratteristica del motore Ω

o Ω = → = = ()

• Lo schema a blocchi è

• La funzione da controllare è

o () =

0.5( +1)

1000

• Il controllore proporzionale fornisce

o () = ⋅ () =

0.5( +1)

1000

▪ OSSERVAZIONE

•

L’effetto di è

o Trasla verso l’alto il diagramma di Bode del modulo

o NON modifica il diagramma di Bode della fase

• Quindi

• Si nota che

o Il limite massimo della banda dell’anello di controllo

1

▪ = ⋅ 1000 = 100

10

o > 75°,

O comunque posso spingermi un po’ oltre, con il vincolo che rimanga in tal caso però l’effetto

degli azionamenti inizia a farsi sentire un po’…

o QUESITO 4

▪ CONTROLLO DOPPIO LOOP

• OSSERVAZIONE

o Tale tecnica di progettazione disaccoppia il controllo di posizione a quella di velocità, realizzando

quest’ultimo in modo che sia rapido, così che il primo agisce su di esso sempre a regime

o L’ordine di taratura è

▪ 1. L’anello interno, più veloce (velocità)

▪ 2. L’anello esterno, più lento (posizione)

• OSSERVAZIONE

o

Il dev’essere tale per cui l’anello di velocità sia

▪ Stabile

▪ Rapido 24

o

Se è richiesto inseguimento del setpoint di velocità, si può utilizzare un

▪ = 0

L&rs