Elementi di Algebra lineare e geometria

Formula di De Moivre

KK 3-2 oK- - ]t to KK =3 4-È ÈZITK/ È" K unitàdell'leK radici seste6sono0,1 n= e= -., .. ENNESIMA DIRADICE 2ESTRAGGOFORMULA DI DE MOIVREion " Serve a calcolare le radici ennesime di qualsiasi numero complesso" ¥r.ie -0 è'r.ci ?-0 )è [D-" ena v. = r ea. qui== . - scritto in notazione esponenziale.)¥-1(ei" K ogni Kr 0,1 -1= ti. =per . ,., .MODULO RADICITROVARE LEFORMULA PERESERCIZI APPLICATIVIfq.ci/I-+E'tk=z.eiE'tk4eijI2 )K-1=-3( Èi} # i3 ITKeiit gg. = @@ z. . )È'ZÈTK) / K) 2¥55 5# TKZgittjeitk(/ èi 5'f-ei 'Èei 52-1Git' -z e= z= = 2.@z ,. ..SOMMA DI NUMERI COMPLESSIEÉ Si tratta di una somma0 ABELIANA quindiCARTESIANARAPPRESENTAZIONEE→ E commutativaE ))Reit InraIÉ z = ;ZeÈZz Andiamo a calcolare le componenti,ÈZi N B- . COMPONENTE ORIZZONTALE: PARTE REALE DI ZRett) REALEPARTE COMPONENTE VERTICALE: PARTE

IMMAGINARIA DIZ con queste due parti Formiamo la RAPPRESENTAZIONE ESERCIZIO APPLICATIVO CARTESIANA. DESCRIVIAMO Z con le sue coordinate.

La parte reale è quella immaginaria sono numeri reali. Possono essere positivi o negativi ma sono numeri reali-Ez ( )ba{Zn 2-= an=i ,, § ({ )ba2- Zz al= <= ,, )( )(1+53) )( -1-22=14+22Ttt bntbz{{ Z2- -172 = ,a , , i)(1-

RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA 1,0[ -7 4( )introdurre 0¢ elemento neutro sommaalla0,0 risp=posso : .) ib) fa( b2-2- a.ogni esiste=per =- -, - Supponiamo di avere un segmento, raggio di unacirconferenza, questo segmento avrà lunghezza r, uneeiit numero reale positivo e creerà un angolo sull’asse

ESPONENZIALE ROTAZIONE→ = orizzontale. Le funzioni seno e coseno sono definite dallea)f l' dell' unità] opposto7- =- ¢ , proiezioni sull’asse orizzontale e sull’asse verticale diquesto segmento. La proiezione sull’asse orizzontale a, èFi"" icoefficiente

L'argomento di Zeno. Per trovare la parte immaginaria dir.ci -0 larghi)Retz ) 12-1cosa usa invece il seno. Queste formule ci permettono di passare dalla rappresentazionez r-= cos=- - esponenziale alla rappresentazione cartesiana.)

INIZI r-sina-lzt.sn/argl7l= Da esponenziale a cartesiana è possibile tramite leformule scritte precedentemente.

☒ )c') (( cartesiana) INIZIRett rcoso.rs/n0-Dacoordinate →→ esponenticartesiane alla r2- :;= -.( ) IRb;D o r' modulo-152Da /IZ2- adC- =esponenzialea cartesiana aa. := , Da cartesiana ad esponenziale, dobbiamo trovare quanto vale il modulo di z, che è effettivamente laI./ cosa2-a = lunghezza di un segmento, che nel piano cartesianoARGOMENTO Arg0 si trova con il teorema di Pitagora. Per trovareD= IZI Sina- l'argomento dobbiamo risolvere un sistema diequazioni; come quello a lato.ci ①alibi ① ( )2- = con dell'soluzione sistemoargomento.

RAPPRESENTAZIONE ALGEBRICAb)) la( 11,0) )-1510,11¢

avederlo2-se= 1,0 == com eposso, Ci sono ben altre sue rappresentazioni, abbiamo visto quellaIo )i. b. i grafica, quella esponenziale è quella cartesiana. Tuttavia esiste-1a. 1¢= ], = anche una rappresentazione algebrica. Ricordiamo cheib possiamo rappresentare L’Unità dei numeri complessi con ia += numeri (1;0) e poi possiamo rappresentare L’Unità immaginaria i,in notazione cartesiana con la coppia (0;1).)Retz ) Innlzi inigiadadi 1-polinomio+=ESEMPIO : (3+41)=55)( il 1) Se z in notazione cartesiana è uguale alla coppia a,b, questo possoi2- + + -I vederlo come il numero reale a che moltiplica componente perI componente la coppia 1, 0 + il numero reale B che moltiplica la coppia= 5 - 0,1. C’è un prodotto dello scalare per ognuna delle componenti dellaQuando abbiamo una potenza pari della i, coppia.è questo da esattamente la coppia a,b.(3+41)=2.3--153+2( 5) 4i-i5.iqi2- questa finisce in un numero reale, se la-I potenza

è dispari si varrà qualcosa di!iii -7. |-20= 6 proporzionale ad i. Tutte le potenze pari-- diventano numeri reali. La rappresentazione algebrica di z è uguale ad a per 1 + i volte B. Significai26 7-= - parte reale di zeta + i volte la parte immaginaria di zeta. La rappresentazionealgebrica descrive co,e poi nomi di grado 1, in i, come se i fosse l’incognita, ilcoefficiente del termine di grado 1 in i è la parte immaginaria. Questa notazioneè comoda per i prodotti e non solo per le forme.

RAPPRESENTAZIONE TRIGONOMETRICAi.rs/-n0 r=lz V0- Argl7)usanor=-zle0-=ArgH La rappresentazione trigonometrica è un’ulteriore rappresentazione, che prende la rappresentazione)) -11mRetz ( cosa2- = f.= -1t algebrica e scrive la parte reale ed immaginaria in funzione di r e teta. Unisce proprietà dellarappresentazione algebrica in quanto si ha parte reale più i volte quella immaginariaperò scritta in terminidei Parametri r e

Rappresentazioni numeri complessi:

• Rappresentazione rettangolare (Z): utilizzano la forma "a + bi"
• Rappresentazione polare (θ): utilizzano la forma "r(cosθ + isinθ)"

Rappresentazione cartesiana:

• Rappresentazione esponenziale: Z = re^(iθ)

Rappresentazione trigonometrica:

• Rappresentazione algebrica: Z = a + bi

Grafica:

• Rappresentazione dall'origine: segmento spezzato

Il passaggio da una rappresentazione all'altra:

• Rettangolare a polare: r = √(a^2 + b^2), θ = arctan(b/a)
• Polare a rettangolare: a = r*cos(θ), b = r*sin(θ)

Esercizio:

Dare le 5 rappresentazioni di Z = 2 - i:

1. Rettangolare: Z = 2 - i
2. Polare: Z = √(2^2 + (-1)^2)(cos(arctan(-1/2)) + isin(arctan(-1/2)))
3. Cartesiana: Z = 2e^(-i(arctan(-1/2)))
4. Trigonometrica: Z = 2 - i
5. Grafica: segmento spezzato che parte dall'origine e arriva al punto (2, -1)

Esercizio tipo esame:

Calcolare il modulo, l'argomento e la parte reale e immaginaria di Z = 253.1(cos(42°) + isin(31°)):

• Modulo: |Z| = 253.1
• Argomento: Arg(Z) = 42°
• Parte reale: Re(Z) = 253.1*cos(42°)
• Parte immaginaria: Im(Z) = 253.1*sin(42°)

Notazione:

• Notazione esponenziale: Z = 253.1e^(i31°)

Esponenti algebrici:

• Z^2 = (253.1e^(i31°))^2 = 253.1^2e^(2i31°)

zeiit' - L'OPERAZIONE DEL CONIUGIO corrisponde alla riflessione rispetto all'asse orizzontale, l'asse della parte< 32= >=e= IN reale, nel piano di Gauss. Dato un numero complesso z, nel piano, il suo numero complesso coniugato è 23zeiitg /( ) @zzei.lt/6Relt)--32cosI. denotato con la barra, e lo si ottiene andando a calcolare la riflessione del numero z, rispetto all'asse= orizzontale.1m17 ) La lunghezza del segmento rimane invariata, la proiezione sull'asse orizzontale rimane la stessa, la parteIsin'32= -6| i reale rimane la stessa, quella immaginaria cambia di segno.16lb= 76=OPERAZIONE DEL CONIUGIO PROPRIETÀRiflessione rispetto all'asse orizzontale che è l'asse della parte reale nel piano di Gauss. prodottoRispetta esommanumeridei complessiNOTAZIONE CARTESIANA In -17-2=72 ÈatibÈ =/ b)at +complesso coniugato 2- a. ,= ZTZLZ ZT-2JE) la ibb))Retz è/Re .a- === =-,a ÈE)/ /Im 7)

2-NOTAZIONEInn =Esponenziale= -a- -1<=25r.ci EQ 2-21T / 2-=