Economia - storia dei giochi e equilibrio di Nash

Insieme di giocatori

• strategie dei giocatori

• payoffs

•

Esempi di gioco:

1) Il Dilemma del prigioniero

I due sospetti sono i giocatori

• le azioni sono, per ciascun giocatore, Confessare o Non confessare

• Le preferenze del primo giocatore sui risultati sono le seguenti

• Non confessare Confessare

3 2 1 0

Non confessare

2,2 0,3

Confessare 3,0 1,1

Il dilemma del prigioniero rappresenta situazioni in cui i giocatori riconoscono

 cooperazione

l’esistenza di guadagni dalla , ma ognuno di essi ha un incentivo a

free rider

comportarsi da :

lavorare ad un progetto comune

– duopolio

– corsa agli armamenti

–

2) Bach e Stravinsky

Nel dilemma del prigioniero i giocatori riconoscono l’esistenza di un risultato

• desiderabile per entrambi (Nc, Nc)

Due amici che vogliono andare insieme a un concerto, ma hanno gusti diversi: non

• sono d’accordo sul risultato desiderabile

La struttura delle preferenze di chi ama Bach è:

• 2 1 0 0

Bach Stravinsky

Bach 2,1 0,0

Stravinsky 0,0 1,2

Nel dilemma del prigioniero i giocatori sono d’accordo su quale sia il risultato

 desiderabile per entrambi, ma hanno un incentivo a deviare: in questo caso,

invece, i giocatori non sono d’accordo sul risultato desiderabile:

esponenti di uno stesso partito politico o coalizione che debbono concordare

– una posizione comune su una legge

due imprese che procedono ad una fusione e scelgono tra le differenti

– tecnologie informatiche utilizzate nel passato

Matching Pennies

3)

Due giocatori scelgono simultaneamente quale faccia di una moneta mostrare

• (Testa o Croce): se scelgono le stesse facce, il giocatore 1 guadagna l’altra

moneta, viceversa se scelgono facce diverse

La struttura delle preferenze del giocatore 1

• è:

1 1 -1 -1

Testa Croce

1, -1 -1, 1 Testa

Croce -1, 1 1,-1

In questo gioco, i giocatori hanno interessi diametralmente opposti:

• due imprese, una già operante nel mercato e una nuova entrante, che debbono

 decidere sul tipo di confezionamento dei prodotti: l’impresa operante nel mercato

preferirebbe che la nuova impresa scelga un confezionamento diverso dal proprio,

mentre la nuova preferisce lo stesso confezionamento

L’equilibrio del dilemma del prigioniero

Ciascun prigioniero, nella scelta tra C e Nc, ipotizzerà il comportamento dell’altro:

• se l’altro sta Confessando, la scelta migliore Confessare (payoff di 1 anziché 0)

è

– se l’altro Non sta Confessando, la scelta migliore Confessare (payoff di 3

è

– anziché 2)

qualunque cosa faccia l’altro prigioniero, la strategia migliore è

Confessare

La strategia C dominante per ciascun giocatore: superiore alle altre, qualsiasi

• è è

azione scelga l’avversario

Quale sarà la scelta dei giocatori ?

Una volta rappresentato il gioco, necessario determinare cosa si verificherà, quale

è

• sarà la scelta dei giocatori

Eliminare tutte le strategie la cui scelta violerebbe l’ipotesi di

• razionalità

STRATEGIE STRETTAMENTE DOMINATE:

s S s S

’

una strategia strettamente dominata se esiste un’altra strategia

è

∈ ∈

i i i i

tale che

u u

(s ,…, s , s ,s , ) < (s ,…, s , s , ) , s =

…,s ’,s …,s ∀

i i

1 i-1 i i+1 n 1 i-1 i i+1 n -i

(s ,…,s , s ,…,s )

1 i-1 i+1 n

se vale che

• u u

(s ,…, s , s ,s , ) (s ,…, s , s , )

…,s < ’,s …,s la strategia s si dice

i i

1 i-1 i i+1 n 1 i-1 i i+1 n i

dominata: essa non escludibile perché può dare dei payoff uguali a quelli di

è

qualche altra strategia, e non esiste alcuna ragione per ritenere che essa non venga

mai scelta

Eliminazione iterata delle strategie strettamente dominate

a b c

2 2 2

a 1,0 1,2 0,1

1 0,3 0,1 3,0

b

1

non esistono strategie strettamente dominate per 1 - per 2, c strettamente

è

2

• dominata da b

2 a b

2 2

a

1 1,0 1,2

b 0,3 0,1

1

b diventa strettamente dominata da a e può essere eliminata: le strategie di

1 1

• equilibrio saranno a e b

1 2

a2 b2 c2 d2 e2

0,7 1,5 7,0 0,1 2,-1

a1 5,2 2,3 5,4 0,1 2,0

b1 7,0 2,5 0,4 0,1 2,-1

c1 0,0 0,2 0,0 10,-1 10,-3

d1 6,0 1,1 -1,5 -1,3 3,-1

e1 è strettamente dominata da d2 e, eliminata questa, e1 è strettamente dominata

•e2

da c1 del solo concetto di eliminazione iterata di strategie strettamente dominate

•L’uso

non conduce necessariamente ad una determinazione di strategie di equilibrio

migliore (per date strategie degli altri giocatori):

•Strategia

la strategia si del giocatore i è la migliore strategia, dato un profilo di strategie di

ui ui

tutti gli altri giocatori s-i,, se (si, s-i) (si s-i),

’, ’∈Si

∀si

>

strategia si non è mai una strategia migliore se non esiste alcun profilo di

–la

strategie di tutti gli altri giocatori s-i, tale che si è una strategia migliore

nell’esempio precedente:

 • per il giocatore 1:

 dato a2,, c1 è la migliore strategia

 dato b2, b1 e c1 sono le migliori strategie