Economia - storia dei giochi e equilibrio di Nash

TEORIA DEI GIOCHI

Determinare il risultato dell'interazione (dipende dalla sua struttura: la teoria studia possibili strutture di giochi e i suoi risultati equilibri) COOPERATIVI NON COOPERATIVI i giocatori i giocatori NON sottoscrivono accordi vincolanti.

Gli elementi di un gioco:

• un insieme di giocatori
• un insieme di azioni disponibili per ciascun giocatore in ogni momento del gioco
• un ordine del gioco
• una descrizione dell'informazione disponibile per ciascun giocatore in ogni momento del gioco
• il risultato di ogni possibile sequenza di azioni scelte dai vari giocatori
• un payoff per ciascun giocatore: un ordinamento assegnato ai vari risultati sulla base delle preferenze dei giocatori

I giocatori sono i decisori che sono chiamati, ad un certo stadio del gioco, a prendere una decisione. I giocatori decidono razionalmente:

1. un insieme di azioni

disponibili per ogni giocatore, all'interno del quale eglisceglie(2) preferenze complete e transitive sull'insieme di azioni(3) un'ipotesi sul comportamento: il giocatore sceglie un'azione, almeno così buona come qualsiasi altra azione disponibile razionalità di ogni giocatore è conoscenza comune:

• un fatto è di conoscenza comune quando ogni giocatore lo conosce, ogni giocatore sa che ogni altro giocatore lo conosce, ...

L'ordine del gioco:

• E' necessario specificare chi è chiamato a prendere le decisioni, in ogni fase del gioco:
• se i giocatori prendono le loro decisioni in sequenza il gioco sarà a mosse sequenziali
• se i giocatori prendono le loro decisioni allo stesso tempo, il gioco sarà a mosse simultanee

Informazione Perfetta:

• ogni giocatore, in ogni istante del gioco, è interamente a conoscenza della storia passata del gioco (l'intera sequenza di mosse sue)

e degli altri) Simmetrica: • nessuno dei giocatori dispone di informazioni di cui non siano in possesso anche gli altri Completa: • se la Natura (il caso) non muove per prima, o se la sua mossa osservata da tutti i giocatori Azioni, risultati e payoff L'insieme delle scelte disponibili per ogni giocatore in ogni fase del gioco • le azioni vanno tenute distinte dalle STRATEGIE: specificazione completa di ciò che un giocatore farà (quali azioni sceglierà) in ogni fase del gioco, per ogni possibile scelta eventualmente fatta da altri giocatori I risultati sono le combinazioni di azioni scelte dai giocatori, e le loro conseguenze • Dati i possibili risultati del gioco, i giocatori ordineranno tali risultati grazie ad una funzione di utilità (del tipo Von Neumann-Morgenstern, di utilità attesa): i vari ordinamenti sono i payoff del gioco Rappresentazione dei giochi Forma estesa: • utilizzando il modello ad albero mette in evidenza lastrategica (o normale):

• Rappresenta le strategie dei giocatori, e assume che ciascun giocatore scelga la propria strategia senza conoscere quella dell'altro giocatore (come in un gioco a mosse simultanee)

Gioco in forma estesa:

• Una configurazione di nodi (il punto del gioco in cui un giocatore è chiamato a muovere) e archi (azioni disponibili al giocatore nel nodo da cui fuoriescono)
• Un'indicazione dell'appartenenza di ciascun nodo ai giocatori
• Le probabilità che la Natura utilizza per scegliere gli archi che fuoriescono dal proprio nodo
• Gli insiemi informativi nei quali i nodi appartenenti ad un giocatore sono divisi (ciascun insieme deve includere nodi di un solo giocatore, e i nodi devono avere lo stesso numero di archi)
• I payoff dei giocatori ai nodi finali

strategicaInsieme di giocatori• strategie dei giocatori• payoffs•Esempi di gioco:

1. Il Dilemma del prigioniero

   I due sospetti sono i giocatori• le azioni sono, per ciascun giocatore, Confessare o Non confessare• Le preferenze del primo giocatore sui risultati sono le seguenti• Non confessare Confessare3 2 1 0Non confessare2,2 0,3Confessare 3,0 1,1Il dilemma del prigioniero rappresenta situazioni in cui i giocatori riconoscono cooperazionel’esistenza di guadagni dalla , ma ognuno di essi ha un incentivo afree ridercomportarsi da :lavorare ad un progetto comune– duopolio– corsa agli armamenti–

2. Bach e Stravinsky

   Nel dilemma del prigioniero i giocatori riconoscono l’esistenza di un risultato• desiderabile per entrambi (Nc, Nc)Due amici che vogliono andare insieme a un concerto, ma hanno gusti diversi: non• sono d’accordo sul risultato desiderabileLa struttura delle preferenze di chi ama Bach è:• 2 1

0 0Bach StravinskyBach 2,1 0,0Stravinsky 0,0 1,2Nel dilemma del prigioniero i giocatori sono d'accordo su quale sia il risultato desiderabile per entrambi, ma hanno un incentivo a deviare: in questo caso, invece, i giocatori non sono d'accordo sul risultato desiderabile: esponenti di uno stesso partito politico o coalizione che debbono concordare una posizione comune su una legge due imprese che procedono ad una fusione e scelgono tra le differenti tecnologie informatiche utilizzate nel passatoMatching Pennies3)Due giocatori scelgono simultaneamente quale faccia di una moneta mostrare (Testa o Croce): se scelgono le stesse facce, il giocatore 1 guadagna l'altra moneta, viceversa se scelgono facce diverseLa struttura delle preferenze del giocatore 1 è:1 1 -1 -1Testa Croce1, -1 -1, 1 TestaCroce -1, 1 1,-1In questo gioco, i giocatori hanno interessi diametralmente opposti: due imprese, una già operante nel mercato e una nuova entrante,

che debbono decidere sul tipo di confezionamento dei prodotti: l'impresa operante nel mercato preferirebbe che la nuova impresa scelga un confezionamento diverso dal proprio, mentre la nuova preferisce lo stesso confezionamento L'equilibrio del dilemma del prigioniero Ciascun prigioniero, nella scelta tra C e Nc, ipotizzerà il comportamento dell'altro: - se l'altro sta Confessando, la scelta migliore è Confessare (payoff di 1 anziché 0) - se l'altro Non sta Confessando, la scelta migliore è Confessare (payoff di 3 anziché 2) Qualunque cosa faccia l'altro prigioniero, la strategia migliore è Confessare. La strategia C dominante per ciascun giocatore: superiore alle altre, qualsiasi azione scelga l'avversario. Quale sarà la scelta dei giocatori? Una volta rappresentato il gioco, è necessario determinare cosa si verificherà, quale sarà la

scelta dei giocatori

Eliminare tutte le strategie la cui scelta violerebbe l'ipotesi di razionalità

STRATEGIE STRETTAMENTE DOMINATE:

Una strategia s' è una strategia strettamente dominata se esiste un'altra strategia ∈ i i i itale che u u(s ,…, s , s ,s , ) < u(s ,…, s , s , ) , s =…,s ',s …,s ∀i i1 i-1 i i+1 n 1 i-1 i i+1 n -i(s ,…,s , s ,…,s )

se vale che

u u(s ,…, s , s ,s , ) < u(s ,…, s , s ,…,s )…,s ',s …,s

la strategia s si dice dominata: essa non escludibile perché può dare dei payoff uguali a quelli di qualche altra strategia, e non esiste alcuna ragione per ritenere che essa non venga mai scelta

Eliminazione iterata delle strategie strettamente dominate