Economia monetaria - la funzione lagrangiana

Se la funzione di utilità è CRRA: θ-1θ( ) -u ' c c ( )t t( )= = f ' k +( ) t 1θ-β A parità di tasso di rendimento del capitaleu ' c β c+t 1 +t 1 e del fattore di sconto, la dinamica delc [ ] θ( )+ 1 /t 1 β= consumo è una funzione direttaf ' k +1tc dell'elasticità di sostituzionet

Il risultato può essere interpretato, non solo come la scelta di un consumatoreisolato, ma anche come la soluzione di un "dittatore benevolente" che, data latecnologia descritta dalla (1) e la disponibilità iniziale di capitale k , massimizzatl'utilità dei consumatori.

Lo stesso risultato può essere ottenuto in tanti modi diversi, ma uno dei più comuni è utilizzare i tag <p> per separare i paragrafi e i tag <strong> per evidenziare il testo in grassetto. Ecco come potrebbe apparire il testo formattato:

consumo futuro e il problema dell'impresa diventa: 1 1 [ ]( )= + = + −max L c c c f f k c+t t 1 t t t+ +r r1 1c , c +t t 1( ) ( )f k' = ++ f ' k 1 rt 1− = 01 +t 1da cuiFOC: + r1 Giuseppe Ciccarone 2007

Se supponiamo che il consumatore sia proprietario di una impresa, la sua dotazione è (y y ) e il suo problema diventa:t, , t+1 il vincolo esprime la condizione che il( ) ( ) ( )β= = +⎧ U c c u c u cmax , + +t t 1 t t 1 valore attuale della spesa non può superare⎪c , c +t t 1⎨ quello delle entrate (ricorda anche che 1/ (11 1⎪ + = + =s t c c y y. . + r) è il prezzo del bene per il consumo+ +t t 1 t t 1+ +⎩ r r1 1 futuro).

Scrivendo la Lagrangiana, calcolando le FOC, ed eliminando il moltiplicatore λ si ottiene la condizione: ( )u ' ct = +1 r( ) [6]β u ' c +t 1 Giuseppe Ciccarone 2007

Tempo infinito( )β ∈In generale, dato un numero reale dobbiamo affrontare problemi del tipo:0,1∞ ( )∑

tβmax r u , xt t∞={ }u =t 0t t 0 ( )=s.t. con datox g x , u x+t 1 t t 0( )⋅,⋅∈ ℜ ∈ ℜ, ; è una funzione continua e concava; l’insiemeru xt t{( ) ( )} n≤ è compatto e convesso (un sottoinsieme X di èx x x g x u, : , R+ +t t t t t1 1compatto se e solo se è chiuso, cioè contiene tutti i suoi punti di accumulazione, elimitato, cioè esiste un numero positivo K > 0 tale che la distanza tra due puntiqualsiasi in X sia sempre minore di K). { }∞=0 che rendonoDobbiamo determinare una o più sequenze di variabili ut t∞ ( )∑ tβ e tali che in ogni t sia rispettata l'equazionemassimo il funzionale r u , xt t=0t( )= .dinamica x g x , u+t 1 t t Giuseppe Ciccarone 2007Dato che gli argomenti sono vettori di funzioni (il dominio è la variabile tempo), si∈utilizza un’applicazione che associa un numero ad ogni funzione f A, dove A èℜ → ℜ

(l'integrale è un insieme di funzioni f: aventi lo stesso dominio o la somma associano un numero ad ogni "percorso" seguito da un sistema dinamico nell'intervallo di tempo considerato).

In presenza di un funzionale, l'incognita è rappresentata da una funzione: la soluzione è un insieme di valori per ciascuna variabile endogena che definiscono il codominio di una funzione il cui dominio è l'insieme di valori assunti dalla variabile indipendente "tempo". Lo scopo della teoria è quello di individuare queste funzioni incognite, indipendentemente dai valori assunti dalle variabili indipendenti presenti nelle stesse funzioni. Giuseppe Ciccarone 2007

∑ tβ r u , x3 periodi (0, 1 e 2): t t=t 0( ) ( ) ( )2β β+ +max r u , x r u , x r u , x0 0 1 1 t tè datos.t. x0 ( )= ,x g x u1 0 0( )= ,x g x u2 1 1 βλ

Adottando la convenzione di scontare i allo stesso saggio , la Lagrangiana è:

[ ] [

1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2β β βλ β λ= + + + − + −r u , x r u , x r u , x g x , u x g x , u xL 0 0 1 1 t t 1 0 0 1 2 1 1 2
2. Massimizzando rispetto alle u e alle x otteniamo le FOC (sono condizioni( )( )⋅,⋅ ⋅,⋅sufficienti per un max se e sono concave in x e u):
3. r g( ) ( ) ( ) ( )∂ ∂∂ ∂r x g x r x g xu u u, , u , ,2βλ β βλ β λ0 0 1 10 0 1 1+ = − + =0 01 1 2∂ ∂ ∂ ∂u x xu0 0 1 1( )∂ ∂( ) ( ) ∂ , ur xβ∂ ∂ L Lur x u g x, , 2 2β β λ= =2 2 − =2 0 00β β λ1 1 1 1+ = 0 22 ∂∂ ∂∂ x∂ u xuu 21 1 ( )( ) ∂∂ , ur xr x , u 2 2β β λ2β 2 2 − =2 2 = 00 ∂L2∂∂ xu riproduce i22 λ∂Il sistema delle CPO può essere risolto per backward induction: vincoli dinamici
4. Giuseppe Ciccarone 2007( )∂r x , u ( )

dall'equazione si ottiene una funzione: λ² = 0 u_h(x²)∂u²(∂r x h x)². la sostituiamo nella così da avere λ in funzioneλ² - 0 22∂x²della sola x²3. avendo u e λ come sole funzioni di x , possiamo risolvere la2 2 2(β)(∂∂r x) , u g(x) , ottenendo una funzione: u = h(x );βλ¹ 1+ 0 12∂ ∂u u¹ ( ) ( )∂∂ , ,r x u g(x) u⁴. con u = h(x ) e λ , risolviamo la ,λ βλ¹ 1− + 0 1 2 1 2∂ ∂x x¹come funzione di x ;ottenendo λ¹ 1.5. …e così via fino a ottenere u₀La soluzione tramite le CPO della Lagrangiana conduce alla( )determinazione di funzioni tipo: , (la cosiddetta policy function del=u h(x_t) tmetodo di Bellman). Giuseppe Ciccarone 2007Con la procedura backward bisogna partire dalla FOC relativa all’ultimo periodo=considerato ( ).t 2Se l’orizzonte temporale è infinito, deve valere

Una condizione al limite, detta condizione terminale: condizione di trasversalità, λ = lim x→∞ t t→∞ t. Questa condizione impone un vincolo alla dinamica delle variabili di stato e di stato: il loro prodotto, per t che tende all'infinito, deve essere nullo. Giuseppe Ciccarone 2007

Incertezza & orizzonte infinito ∞ ⎤⎡ ( )∑ t

Problema di ottimo: βmax E r u , x⎢ ⎥t t0 ⎦⎣ =0t ( )s.t. ε= +x g x , u+ +1 1t t t t

• è un dato;

x0 ( )

• : shock aleatorio i.i.d.: .2ε σε ~ N(0,1) t1t ( )

• : aspettativa condizionata all'informazione disponibile a= •E E I0 0: è una AR.=t 0 Giuseppe Ciccarone 2007

Soluzione con il metodo lagrangiano ∞ ∞⎧