Economia monetaria - la funzione lagrangiana

Ottimizzazione intertemporale (discreto, funzione lagrangiana)

Introduzione

Giuseppe Ciccarone 2007

Ottimizzazione intertemporale (2 periodi)

Tecnologia di produzione

Funzione di produzione con un solo input (k) genera un prodotto f(k) che può essere consumato (c) nel primo periodo (t) o risparmiato e usato come capitale (k) nel periodo (t+1). Si assume produttività marginale positiva e decrescente: f'(k) > 0; f''(k) < 0. Il coefficiente di deprezzamento del capitale è δ = 1. Dunque:

( ) = +⎧ f k c k +t t t 1⎨ [1]

( ) =f k c⎩ + +t 1 t 1

Prima equazione: Equivalente a Y = C + S (o Y = C + I).

Seconda equazione: la produzione di t+1, che usa l’intero k risparmiato in t (ricorda δ = 1), è integralmente consumata.

Ricavando k dalla prima equazione e sostituendolo nella seconda: c = f[f (k ) -t+1 t+1 tc ]. In forma implicita:

[ ]( ) ( )− − = =f f k c c T c , c 0 [2]+ +t t t 1 t t 1

Dato k la (2) identifica la curva di trasformazione (concava).

Preferenze del consumatore

( ) ( ) ( ) ( )β= + β ρU c , c u c u c = + <1 / 1 1 , u’ > 0; u’’ < 0 [3]+ +t t 1 t t 1

CRRA (constant relative risk aversion): θ−1c( ) =u c [4]θ−1

Il coefficiente di avversione assoluta al rischio è ARA = - u’’/u’. Il coefficiente di avversione relativa è RRA= cARA. Dunque, il coefficiente di avversione relativa al rischio è costante e pari a θ: θ θ− − − −1 1θ θ θ− c cθ θ− − −1θ θ= = − = − = = =u ' c u ' ' c ARA RRAθ θ− − cc c.

Modello deterministico: θ misura la disponibilità alla sostituzione intertemporale tra c e c (si può dimostrare che 1/θ misura il valore dell’elasticità di sostituzione tra consumo corrente e consumo futuro). Se θ → 0: ; la funzione di utilità tende ad una retta. Il sms tra consumo corrente e consumo futuro è:

θ−∂ ∂u c c/ 1t t ρ= = = = +sms sms 1 .. Se θ → 0, diventaθ−∂ ∂ βu c/ β c+t 1 +t 1

Giuseppe Ciccarone 2007

Se θ = 1, la (4) diventa la funzione logaritmica: u(c) = ln c.

Calcolare il limite

Applicando la regola di De L’Hôpital (il limite del quoziente delle derivate del numeratore e del denominatore rispetto a θ è uguale al limite del quoziente originale; ricorda che ):

x∂a x= a ln a

∂x ( )θ θ−1 ⎛ ⎞∂ − −∂c c c c ln c c ln c θ−1⎟⎜= = = = − c ln c( )⎜ ⎟ θθθ θ∂ ∂ 2θ⎠⎝ c ccθ θ− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞1 1−c c ln c⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =lim lim ln c⎜ ⎟ ⎜ ⎟θ− −1 1θ θ→ →1 1⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Giuseppe Ciccarone 2007

Problema del consumatore

Determinare il paniere di beni di consumo (corrente e futuro) che massimizza l’utilità dato il vincolo rappresentato dalla curva di trasformazione:

( )=⎧ max U c , c +t t 1⎪c , c +⎨ t t 1

( )⎪⎩ =s.t . T c , c 0+t t 1

Ricordando che:

[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )β− − = = − = = +f f k c c T c , c 0 f k c k U c , c u c u c+ + + + +t t t 1 t t 1 t t t 1 t t 1 t t 1

[ ]( ) ( ) { ( ) }β λ= + + − −L u c u c f f k c c

Lagrangiana: + +t t 1 t t t 1

∂⎧ L ( ) ( )λ= − =u c f k' ' 0⎪ +t t 1∂c t⎪

∂⎪ L ( )β λ= − =u ' c 0⎨ +t 1∂cCPO: ⎪ +t 1⎪

∂L ( )= =⎪ T c , c 0+t t 1λ∂⎩

Giuseppe Ciccarone 2007

Dalle prime due equazioni, eliminando λ e riordinando, si ricava.