Economia monetaria - la funzione lagrangiana

Produzione nella produzione (e

L’impresa deve decidere come distribuire la quantità di k t

vendita) del bene da consumare nel periodo corrente c e di quello da consumare

t

nel periodo futuro c : produce f(k ), ne vende ai consumatori c e ne destina la

t+1 t t

quantità restante k = f(k )–c alla produzione del bene da vendere ai consumatori

t+1 t t

nel periodo successivo: c = f(k ). L’insieme delle possibilità produttive è

t+1 t+1

rappresentato dalla curva di trasformazione (2).

L’impresa massimizza il profitto, ossia, nel nostro caso, dove il costo totale è un

dato pari a k in termini reali, il ricavo. Se fissiamo il prezzo del bene consumato

t

oggi come il numerario, 1/(1 + r) è il prezzo di una unità di consumo futuro e il

problema dell’impresa diventa: 1 1 [ ]

( )

= + = + −

max L c c c f f k c

+

t t 1 t t t

+ +

r r

1 1

c , c +

t t 1

( ) ( )

f k

' = +

+ f ' k 1 r

t 1

− = 0

1 +

t 1

da cui

FOC: + r

1 Giuseppe Ciccarone 2007

Se supponiamo che il consumatore sia proprietario di una impresa, la sua

dotazione è (y y ) e il suo problema diventa:

t, , t+1 il vincolo esprime la condizione che il

( ) ( ) ( )

β

= = +

⎧ U c c u c u c

max , + +

t t 1 t t 1 valore attuale della spesa non può superare

⎪

c , c +

t t 1

⎨ quello delle entrate (ricorda anche che 1/ (1

1 1

⎪ + = + =

s t c c y y

. . + r) è il prezzo del bene per il consumo

+ +

t t 1 t t 1

+ +

⎩ r r

1 1 futuro).

Scrivendo la Lagrangiana, calcolando le FOC, ed eliminando il moltiplicatore λ si

ottiene la condizione: ( )

u ' c

t = +

1 r

( ) [6]

β u ' c +

t 1 Giuseppe Ciccarone 2007

Tempo infinito

( )

β ∈

In generale, dato un numero reale dobbiamo affrontare problemi del tipo:

0

,

1

∞ ( )

∑ t

β

max r u , x

t t

∞=

{ }

u =

t 0

t t 0 ( )

=

s.t. con dato

x g x , u x

+

t 1 t t 0

( )

⋅,

⋅

∈ ℜ ∈ ℜ

, ; è una funzione continua e concava; l’insieme

r

u x

t t

{

( ) ( )

} n

≤ è compatto e convesso (un sottoinsieme X di è

x x x g x u

, : , R

+ +

t t t t t

1 1

compatto se e solo se è chiuso, cioè contiene tutti i suoi punti di accumulazione, e

limitato, cioè esiste un numero positivo K > 0 tale che la distanza tra due punti

qualsiasi in X sia sempre minore di K). { }

∞=0 che rendono

Dobbiamo determinare una o più sequenze di variabili u

t t

∞ ( )

∑ t

β e tali che in ogni t sia rispettata l'equazione

massimo il funzionale r u , x

t t

=0

t

( )

= .

dinamica x g x , u

+

t 1 t t Giuseppe Ciccarone 2007

Dato che gli argomenti sono vettori di funzioni (il dominio è la variabile tempo), si

∈

utilizza un’applicazione che associa un numero ad ogni funzione f A, dove A è

ℜ → ℜ (l’integrale

un insieme di funzioni f: aventi lo stesso dominio o la somma

associano un numero ad ogni “percorso” seguito da un sistema dinamico

nell’intervallo di tempo considerato).

In presenza di un funzionale, l’incognita è rappresentata da una funzione: la

soluzione è un insieme di valori per ciascuna variabile endogena che definiscono il

codominio di una funzione il cui dominio è l’insieme di valori assunti dalla

variabile indipendente «tempo». Lo scopo della teoria è quello di individuare

queste funzioni incognite, indipendentemente dai valori assunti dalle variabili

indipendenti presenti nelle stesse funzioni. Giuseppe Ciccarone 2007

2 ( )

∑ t

β r u , x

3 periodi (0, 1 e 2): t t

=

t 0

( ) ( ) ( )

2

β β

+ +

max r u , x r u , x r u , x

0 0 1 1 t t

è dato

s.t. x

0 ( )

= ,

x g x u

1 0 0

( )

= ,

x g x u

2 1 1 β

λ

Adottando la convenzione di scontare i allo stesso saggio , la Lagrangiana è:

[ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

β β βλ β λ

= + + + − + −

r u , x r u , x r u , x g x , u x g x , u x

L 0 0 1 1 t t 1 0 0 1 2 1 1 2

Massimizzando rispetto alle u e alle x otteniamo le FOC (sono condizioni

( )

( )

⋅,

⋅ ⋅,

⋅

sufficienti per un max se e sono concave in x e u):

r g

( ) ( ) ( ) ( )

∂ ∂

∂ ∂

r x g x r x g x

u u u

, , u , ,

2

βλ β βλ β λ

0 0 1 1

0 0 1 1

+ = − + =

0 0

1 1 2

∂ ∂ ∂ ∂

u x x

u

0 0 1 1

( )

∂ ∂

( ) ( ) ∂ , u

r x

β

∂ ∂ L L

u

r x u g x

, , 2 2

β β λ

= =

2 2 − =

2 0 0

0

β β λ

1 1 1 1

+ = 0 2

2 ∂

∂ ∂

∂ x

∂ u x

u

u 2

1 1 ( )

( ) ∂

∂ , u

r x

r x , u 2 2

β β λ

2

β 2 2 − =

2 2 = 0

0 ∂L

2

∂

∂ x

u riproduce i

2

2 λ

∂

Il sistema delle CPO può essere risolto per backward induction: vincoli dinamici

Giuseppe Ciccarone 2007

( )

∂

r x , u ( )

1. dall'equazione si ottiene una funzione: ;

2 2 = =

0 u h x

2 2

∂

u 2 ( ( )

)

∂

r x h x

,

2. la sostituiamo nella così da avere λ in funzione

λ

2 2 − = 0 2

2

∂

x 2

;

della sola x

2

3. avendo u e λ come sole funzioni di x , possiamo risolvere la

2 2 2

( ) ( )

β

∂ ∂

r x , u g x , u , ottenendo una funzione: u = h(x );

βλ

1 1 1 1

+ = 0 1 1

2

∂ ∂

u u

1 1 ( ) ( )

∂

∂ , ,

r x u g x u

4. con u = h(x ) e λ , risolviamo la ,

λ βλ

1 1 1 1

− + = 0

1 1 2 1 2

∂ ∂

x x

1 1

come funzione di x ;

ottenendo λ

1 1

.

5. …e così via fino a ottenere u

0

La soluzione tramite le CPO della Lagrangiana conduce alla

( )

determinazione di funzioni tipo: , (la cosiddetta policy function del

=

u h x

t t

metodo di Bellman). Giuseppe Ciccarone 2007

Con la procedura backward bisogna partire dalla FOC relativa all’ultimo periodo

=

considerato ( ).

t 2

Se l’orizzonte temporale è infinito, deve valere una condizione al limite, detta

o condizione terminale:

condizione di trasversalità, λ =

lim x 0

t t

→ ∞

t

Questa condizione impone un vincolo alla dinamica delle variabili di stato e di

costato: il loro prodotto, per t che tende all’infinito, deve essere nullo.

Giuseppe Ciccarone 2007

Incertezza & orizzonte infinito

∞ ⎤

⎡ ( )

∑ t

Problema di ottimo: β

max E r u , x

⎢ ⎥

t t

0 ⎦

⎣ =0

t ( )

s.t. ε

= +

x g x , u

+ +

1 1

t t t t

• è un dato;

x

0 ( )

• : shock aleatorio i.i.d.: .

2

ε σ

ε ~ N 0,

+ t

1

t ( )

• : aspettativa condizionata all’informazione disponibile a

= ⋅

E E I

0 0

: è una AR.

=

t 0 Giuseppe Ciccarone 2007

Appunti di Economia monetaria per l'esame del professor Ciccarone sulla funzione Lagrangiana. Gli argomenti trattati sono i seguenti: l' ottimizzazione intertemporale, il discreto, la tecnologia di produzione, il consumatore, i beni di consumo, la dinamica del consumo, i mercati perfettamente concorrenziali, la condizione di trasversalità, l'applicazione al problema del consumo ottimo, l'equazione di Eulero.