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Economia finanziaria - l'ottimizzazione intertemporale Appunti scolastici Premium

Appunti di Economia finanziaria per l'esame del professor Saltari sull'ottimizzazione intertemporale. Gli argomenti trattati sono i seguenti: il discreto, la funzione lagrangiana, la tecnologia di produzione, le preferenze del consumatore, il problema del consumatore, il tempo infinito, l'incertezza e l'orizzonte infinito, la soluzione... Vedi di più

Esame di Economia Finanziaria docente Prof. E. Saltari

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ESTRATTO DOCUMENTO

Problema del consumatore

Determinare il paniere di beni di consumo (corrente e futuro) che massimizza

l’utilità dato il vincolo rappresentato dalla curva di trasformazione:

( )

=

⎧ max U c , c +

t t 1

c , c +

⎨ t t 1 ( )

⎪⎩ =

s

.

t . T c , c 0

+

t t 1

Ricordando che:

[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

β

− − = = − = = +

f f k c c T c , c 0 f k c k U c , c u c u c

+ + + + +

t t t 1 t t 1 t t t 1 t t 1 t t 1

[ ]

( ) ( ) { ( ) }

β λ

= + + − −

L u c u c f f k c c

Lagrangiana: + +

t t 1 t t t 1

⎧ L ( ) ( )

λ

= − =

u c f k

' ' 0

⎪ +

t t 1

c t

⎪ ∂

⎪ L ( )

β λ

= − =

u ' c 0

⎨ +

t 1

c

CPO: ⎪ +

t 1

⎪ ∂

L ( )

= =

⎪ T c , c 0

+

t t 1

λ

⎩ Giuseppe Ciccarone 2007

Dalle prime due equazioni, eliminando λ e riordinando, si ricava l’equazione di

Eulero (descrive la dinamica della variabile di controllo quando la scelta è

ottimale): ( )

u ' c ( )

t = f ' k +

( ) t 1

β [5]

u ' c +

t 1 , la soluzione del sistema delle tre CPO nelle tre

Uguaglianza tra sms e smt. Dato k

t

incognite (rispetto ale quali abbiamo calcolato le derivate) identifica la scelta

ottima di c * e del risparmio: k* = f(k ) - c *.

t t+1 t t

Per comprendere meglio il significato economico dell’equazione di Eulero,

supponiamo che sia u(c) = lnc. Ne consegue:

( )

' 1 /

u c c ( )

t t

= = '

f k +

( ) ( ) t 1 L’agente risparmia (c > c ) quando il

β β

' 1 /

u c c t+1 t

+ +

t 1 t 1 rendimento dell’investimento è maggiore

( )

'

c f k

( )

+ +

t 1 t 1

β

= =

'

f k del fattore di sconto soggettivo.

+

t 1 ρ

+

1

c

t Giuseppe Ciccarone 2007

θ

1

c

( ) θ

= =

u c u ' c otteniamo:

Se la funzione di utilità è CRRA: θ

1

θ

( ) −

u ' c c ( )

t t

( )

= = f ' k +

( ) t 1

θ

β A parità di tasso di rendimento del capitale

u ' c β c

+

t 1 +

t 1 e del fattore di sconto, la dinamica del

c [ ] θ

( )

+ 1 /

t 1 β

= consumo è una funzione diretta

f ' k +

1

t

c dell’elasticità di sostituzione

t

Il risultato può essere interpretato, non solo come la scelta di un consumatore

isolato, ma anche come la soluzione di un “dittatore benevolente” che, data la

tecnologia descritta dalla (1) e la disponibilità iniziale di capitale k , massimizza

t

l’utilità dei consumatori.

Lo stesso risultato può essere ottenuto in un equilibrio di lungo periodo con

mercati perfettamente concorrenziali (dove il tasso di interesse è un dato) in cui le

imprese utilizzano la tecnologia (1) e i consumatori hanno le preferenze (3).

Giuseppe Ciccarone 2007

Produzione nella produzione (e

L’impresa deve decidere come distribuire la quantità di k t

vendita) del bene da consumare nel periodo corrente c e di quello da consumare

t

nel periodo futuro c : produce f(k ), ne vende ai consumatori c e ne destina la

t+1 t t

quantità restante k = f(k )–c alla produzione del bene da vendere ai consumatori

t+1 t t

nel periodo successivo: c = f(k ). L’insieme delle possibilità produttive è

t+1 t+1

rappresentato dalla curva di trasformazione (2).

L’impresa massimizza il profitto, ossia, nel nostro caso, dove il costo totale è un

dato pari a k in termini reali, il ricavo. Se fissiamo il prezzo del bene consumato

t

oggi come il numerario, 1/(1 + r) è il prezzo di una unità di consumo futuro e il

problema dell’impresa diventa: 1 1 [ ]

( )

= + = + −

max L c c c f f k c

+

t t 1 t t t

+ +

r r

1 1

c , c +

t t 1

( ) ( )

f k

' = +

+ f ' k 1 r

t 1

− = 0

1 +

t 1

da cui

FOC: + r

1 Giuseppe Ciccarone 2007

Se supponiamo che il consumatore sia proprietario di una impresa, la sua

dotazione è (y y ) e il suo problema diventa:

t, , t+1 il vincolo esprime la condizione che il

( ) ( ) ( )

β

= = +

⎧ U c c u c u c

max , + +

t t 1 t t 1 valore attuale della spesa non può superare

c , c +

t t 1

⎨ quello delle entrate (ricorda anche che 1/ (1

1 1

⎪ + = + =

s t c c y y

. . + r) è il prezzo del bene per il consumo

+ +

t t 1 t t 1

+ +

⎩ r r

1 1 futuro).

Scrivendo la Lagrangiana, calcolando le FOC, ed eliminando il moltiplicatore λ si

ottiene la condizione: ( )

u ' c

t = +

1 r

( ) [6]

β u ' c +

t 1 Giuseppe Ciccarone 2007

Tempo infinito

( )

β ∈

In generale, dato un numero reale dobbiamo affrontare problemi del tipo:

0

,

1

∞ ( )

∑ t

β

max r u , x

t t

∞=

{ }

u =

t 0

t t 0 ( )

=

s.t. con dato

x g x , u x

+

t 1 t t 0

( )

⋅,

∈ ℜ ∈ ℜ

, ; è una funzione continua e concava; l’insieme

r

u x

t t

{

( ) ( )

} n

≤ è compatto e convesso (un sottoinsieme X di è

x x x g x u

, : , R

+ +

t t t t t

1 1

compatto se e solo se è chiuso, cioè contiene tutti i suoi punti di accumulazione, e

limitato, cioè esiste un numero positivo K > 0 tale che la distanza tra due punti

qualsiasi in X sia sempre minore di K). { }

∞=0 che rendono

Dobbiamo determinare una o più sequenze di variabili u

t t

∞ ( )

∑ t

β e tali che in ogni t sia rispettata l'equazione

massimo il funzionale r u , x

t t

=0

t

( )

= .

dinamica x g x , u

+

t 1 t t Giuseppe Ciccarone 2007

Dato che gli argomenti sono vettori di funzioni (il dominio è la variabile tempo), si

utilizza un’applicazione che associa un numero ad ogni funzione f A, dove A è

ℜ → ℜ (l’integrale

un insieme di funzioni f: aventi lo stesso dominio o la somma

associano un numero ad ogni “percorso” seguito da un sistema dinamico

nell’intervallo di tempo considerato).

In presenza di un funzionale, l’incognita è rappresentata da una funzione: la

soluzione è un insieme di valori per ciascuna variabile endogena che definiscono il

codominio di una funzione il cui dominio è l’insieme di valori assunti dalla

variabile indipendente «tempo». Lo scopo della teoria è quello di individuare

queste funzioni incognite, indipendentemente dai valori assunti dalle variabili

indipendenti presenti nelle stesse funzioni. Giuseppe Ciccarone 2007

2 ( )

∑ t

β r u , x

3 periodi (0, 1 e 2): t t

=

t 0

( ) ( ) ( )

2

β β

+ +

max r u , x r u , x r u , x

0 0 1 1 t t

è dato

s.t. x

0 ( )

= ,

x g x u

1 0 0

( )

= ,

x g x u

2 1 1 β

λ

Adottando la convenzione di scontare i allo stesso saggio , la Lagrangiana è:

[ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

β β βλ β λ

= + + + − + −

r u , x r u , x r u , x g x , u x g x , u x

L 0 0 1 1 t t 1 0 0 1 2 1 1 2

Massimizzando rispetto alle u e alle x otteniamo le FOC (sono condizioni

( )

( )

⋅,

⋅ ⋅,

sufficienti per un max se e sono concave in x e u):

r g

( ) ( ) ( ) ( )

∂ ∂

∂ ∂

r x g x r x g x

u u u

, , u , ,

2

βλ β βλ β λ

0 0 1 1

0 0 1 1

+ = − + =

0 0

1 1 2

∂ ∂ ∂ ∂

u x x

u

0 0 1 1

( )

∂ ∂

( ) ( ) ∂ , u

r x

β

∂ ∂ L L

u

r x u g x

, , 2 2

β β λ

= =

2 2 − =

2 0 0

0

β β λ

1 1 1 1

+ = 0 2

2 ∂

∂ ∂

∂ x

∂ u x

u

u 2

1 1 ( )

( ) ∂

∂ , u

r x

r x , u 2 2

β β λ

2

β 2 2 − =

2 2 = 0

0 ∂L

2

∂ x

u riproduce i

2

2 λ

Il sistema delle CPO può essere risolto per backward induction: vincoli dinamici

Giuseppe Ciccarone 2007


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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti di Economia finanziaria per l'esame del professor Saltari sull'ottimizzazione intertemporale. Gli argomenti trattati sono i seguenti: il discreto, la funzione lagrangiana, la tecnologia di produzione, le preferenze del consumatore, il problema del consumatore, il tempo infinito, l'incertezza e l'orizzonte infinito, la soluzione con il metodo lagrangiano.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e commercio (POMEZIA, ROMA)
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher valeria0186 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Economia Finanziaria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Saltari Enrico.

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