Economia finanziaria - l'ottimizzazione intertemporale

OTTIMIZZAZIONE INTERTEMPORALE

(Discreto, Funzione Lagrangiana) Giuseppe Ciccarone 2007

Ottimizzazione intertemporale (2 periodi)

Tecnologia di produzione.

Funzione di produzione con un solo input (k) genera un prodotto f(k) che può

essere consumato (c) nel primo periodo (t) o risparmiato e usato come capitale (k)

nel periodo (t+1). Si assume produttività marginale positiva e decrescente: f‘(k) >

0; f‘’(k) < 0. Il coefficiente di deprezzamento del capitale è δ = 1. Dunque:

( ) = +

⎧ f k c k +

t t t 1

⎨ [1]

( ) =

f k c

⎩ + +

t 1 t 1

Prima equazione: Equivalente a Y = C + S (o Y = C + I).

Seconda equazione: la produzione di t+1, che usa l’intero k risparmiato in t

(ricorda δ = 1), è integralmente consumata.

Ricavando k dalla prima equazione e sostituendolo nella seconda: c = f[f (k ) -

t+1 t+1 t

c ]. In forma implicita:

t [ ]

( ) ( )

− − = =

f f k c c T c , c 0 [2]

+ +

t t t 1 t t 1

Dato k la (2) identifica la curva di trasformazione (concava)

t Giuseppe Ciccarone 2007

Preferenze del consumatore

( ) ( ) ( ) ( )

β

= + β ρ

U c , c u c u c = + <

1 / 1 1 , u’ > 0; u’’ < 0 [3]

+ +

t t 1 t t 1

CRRA (constant relative risk aversion): θ

−

1

c

( ) =

u c [4]

θ

−

1

Il coefficiente di avversione assoluta al rischio è ARA = - u’’/u’. Il coefficiente di

avversione relativa è RRA= cARA. Dunque, il coefficiente di avversione relativa

al rischio è costante e pari a θ: θ θ

− − − −

1 1

θ θ θ

− c c

θ θ

− − −

1

θ θ

= = − = − = = =

u ' c u ' ' c ARA RRA

θ θ

− − c

c c

Modello deterministico: θ misura la disponibilità alla sostituzione intertemporale

tra c e c (si può dimostrare che 1/θ misura il valore dell’elasticità di sostituzione

t+1 t =

lim u ( c ) c

tra consumo corrente e consumo futuro). Se θ → 0: ; la funzione di

θ → 0

utilità tende ad una retta. Il sms tra consumo corrente e consumo futuro è:

θ

−

∂ ∂

u c c

/ 1

t t ρ

= = = = +

sms sms 1 .

. Se θ → 0, diventa

θ

−

∂ ∂ β

u c

/ β c

+

t 1 +

t 1 Giuseppe Ciccarone 2007

Se θ = 1, la (4) diventa la funzione logaritmica: u(c) = lnc.

Calcolare il limite applicando la regola di De L’Hôpital (il limite del quoziente

delle derivate del numeratore e del denominatore rispetto a θ è uguale al limite del

x

∂

a x

= a ln a

quoziente originale; ricorda che ):

∂

x ( )

θ θ

−

1 ⎛ ⎞

∂ − −

∂

c c c c ln c c ln c θ

−

1

⎟

⎜

= = = = − c ln c

( )

⎜ ⎟ θ

θ

θ θ

∂ ∂ 2

θ

⎠

⎝ c c

c

θ θ

− −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

1 1

−

c c ln c

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

= =

lim lim ln c

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

θ

− −

1 1

θ θ

→ →

1 1

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Giuseppe Ciccarone 2007

Problema del consumatore

Determinare il paniere di beni di consumo (corrente e futuro) che massimizza

l’utilità dato il vincolo rappresentato dalla curva di trasformazione:

( )

=

⎧ max U c , c +

t t 1

⎪

c , c +

⎨ t t 1 ( )

⎪⎩ =

s

.

t . T c , c 0

+

t t 1

Ricordando che:

[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

β

− − = = − = = +

f f k c c T c , c 0 f k c k U c , c u c u c

+ + + + +

t t t 1 t t 1 t t t 1 t t 1 t t 1

[ ]

( ) ( ) { ( ) }

β λ

= + + − −

L u c u c f f k c c

Lagrangiana: + +

t t 1 t t t 1

∂

⎧ L ( ) ( )

λ

= − =

u c f k

' ' 0

⎪ +

t t 1

∂

c t

⎪ ∂

⎪ L ( )

β λ

= − =

u ' c 0

⎨ +

t 1

∂

c

CPO: ⎪ +

t 1

⎪ ∂

L ( )

= =

⎪ T c , c 0

+

t t 1

λ

∂

⎩ Giuseppe Ciccarone 2007

Dalle prime due equazioni, eliminando λ e riordinando, si ricav