Economia finanziaria - l'ottimizzazione intertemporale

Ottimizzazione intertemporale

Introduzione

Giuseppe Ciccarone 2007. Ottimizzazione intertemporale (2 periodi): tecnologia di produzione.

Tecnologia di produzione

La funzione di produzione con un solo input (k) genera un prodotto f(k) che può essere consumato (c) nel primo periodo (t) o risparmiato e usato come capitale (k) nel periodo (t+1). Si assume produttività marginale positiva e decrescente: f‘(k) > 0; f‘‘(k) < 0. Il coefficiente di deprezzamento del capitale è δ = 1. Dunque:

( ) = +⎧ f k c k +t t t 1⎨ [1]( ) =f k c⎩ + +t 1 t 1

• Prima equazione: Equivalente a Y = C + S (o Y = C + I).
• Seconda equazione: la produzione di t+1, che usa l’intero k risparmiato in t (ricorda δ = 1), è integralmente consumata.

Ricavando k dalla prima equazione e sostituendolo nella seconda: c = f[f (k ) -t+1 t+1 tc ]. In forma implicita:

t [ ]( ) ( )− − = =f f k c c T c , c 0 [2]+ +t t t 1 t t 1

Dato k la (2) identifica la curva di trasformazione (concava)

Giuseppe Ciccarone 2007

Preferenze del consumatore

( ) ( ) ( ) ( )β= + β ρU c , c u c u c = + <1 / 1 1 , u’ > 0; u’’ < 0 [3]+ +t t 1 t t 1

CRRA (constant relative risk aversion)

θ−1c( ) =u c [4]θ−1

Il coefficiente di avversione assoluta al rischio è ARA = - u’’/u’. Il coefficiente di avversione relativa è RRA= cARA. Dunque, il coefficiente di avversione relativa al rischio è costante e pari a θ: θ θ− − − −1 1θ θ− c cθ θ− − −1θ θ= = − = − = = =u ' c u ' ' c ARA RRAθ θ− − cc c

Modello deterministico: θ misura la disponibilità alla sostituzione intertemporale tra c e c (si può dimostrare che 1/θ misura il valore dell’elasticità di sostituzionet+1 t =lim u ( c ) ctra consumo corrente e consumo futuro). Se θ → 0: ; la funzione diθ → 0utilità tende ad una retta. Il sms tra consumo corrente e consumo futuro è:

θ−∂ ∂u c c/ 1t t ρ= = = = +sms sms 1 .. Se θ → 0, diventaθ−∂ ∂ βu c/ β c+t 1 +t 1 Giuseppe Ciccarone 2007

Funzione logaritmica

Se θ = 1, la (4) diventa la funzione logaritmica: u(c) = ln c.

Calcolare il limite applicando la regola di De L’Hôpital (il limite del quoziente delle derivate del numeratore e del denominatore rispetto a θ è uguale al limite del x∂a x= a ln aquoziente originale; ricorda che ):

( )θ θ−1 ⎛ ⎞∂ − −∂c c c c ln c c ln c θ−1⎟⎜= = = = − c ln c( )⎜ ⎟ θθθ θ∂ ∂ 2θ⎠⎝ c ccθ θ− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞1 1−c c ln c⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =lim lim ln c⎜ ⎟ ⎜ ⎟θ− −1 1θ θ→ →1 1⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Giuseppe Ciccarone 2007

Problema del consumatore

Determinare il paniere di beni di consumo (corrente e futuro) che massimizza l’utilità dato il vincolo rappresentato dalla curva di trasformazione:

( )=⎧ max U c , c +t t 1⎪c , c +⎨ t t 1 ( )⎪⎩ =s.t . T c , c 0+t t 1

Ricordando che:

[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )β− − = = − = = +f f k c c T c , c 0 f k c k U c , c u c u c+ + + + +t t t 1 t t 1 t t t 1 t t 1 t t 1

[ ]( ) ( ) { ( ) }β λ= + + − −L u c u c f f k c cLagrangiana: + +t t 1 t t t 1

∂⎧ L ( ) ( )λ= − =u c f k' ' 0⎪ +t t 1∂c t⎪ ∂⎪ L ( )β λ= − =u ' c 0⎨ +t 1∂cCPO: ⎪ +t 1⎪ ∂L ( )= =⎪ T c , c 0+t t 1λ∂⎩ Giuseppe Ciccarone 2007

Dalle prime due equazioni, eliminando λ e riordinando, si ricava...