Economia finanziaria - l'ottimizzazione intertemporale

Calcolare il limite applicando la regola di De L'Hôpital

Il limite del quoziente delle derivate del numeratore e del denominatore rispetto a θ è uguale al limite del quoziente originale:

∂x ( )θ θ−1 ⎛ ⎞∂ − −∂c c c c ln c c ln c θ−1⎟⎜= = = = − c ln c( )⎜ ⎟ θθθ θ∂ ∂ 2θ⎠⎝ c ccθ θ− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞1 1−c c ln c⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =lim lim ln c⎜ ⎟ ⎜ ⎟θ− −1 1θ θ→ →1 1⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Giuseppe Ciccarone 2007

Problema del consumatore

Determinare il paniere di beni di consumo (corrente e futuro) che massimizza l'utilità dato il vincolo rappresentato dalla curva di trasformazione:

( )=⎧ max U c , c +t t 1⎪c , c +⎨ t t 1 ( )⎪⎩ =s.t . T c , c 0+t t 1

Ricordando che:

[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )β− − = = − = = +f f k

c c T c , c 0 f k c k U c , c u c u c+ + + +t t t 1 t t 1 t t t 1 t t 1 t t 1[ ]( ) ( ) { ( ) }β λ= + + − −L u c u c f f k c cLagrangiana: + +t t 1 t t t 1∂⎧ L ( ) ( )λ= − =u c f k' ' 0⎪ +t t 1∂c t⎪ ∂⎪ L ( )β λ= − =u ' c 0⎨ +t 1∂cCPO: ⎪ +t 1⎪ ∂L ( )= =⎪ T c , c 0+t t 1λ∂⎩ Giuseppe Ciccarone 2007Dalle prime due equazioni, eliminando λ e riordinando, si ricava l’equazione diEulero (descrive la dinamica della variabile di controllo quando la scelta èottimale): ( )u ' c ( )t = f ' k +( ) t 1β [5]u ' c +t 1 , la soluzione del sistema delle tre CPO nelle treUguaglianza tra sms e smt. Dato ktincognite (rispetto ale quali abbiamo calcolato le derivate) identifica la sceltaottima di c * e del risparmio: k* = f(k ) - c *.t t+1 t tPer comprendere meglio il significato economico dell’equazione di Eulero,supponiamo che sia u(c)

= lnc. Ne consegue:( )' 1 /u c c ( )t t= = 'f k +( ) ( ) t 1 L’agente risparmia (c > c ) quando ilβ β' 1 /u c c t+1 t+ +t 1 t 1 rendimento dell’investimento è maggiore( )'c f k( )+ +t 1 t 1β= ='f k del fattore di sconto soggettivo.+t 1 ρ+1ct Giuseppe Ciccarone 2007θ−1c( ) θ−= =u c u ' c otteniamo:Se la funzione di utilità è CRRA: θ−1θ( ) −u ' c c ( )t t( )= = f ' k +( ) t 1θ−β A parità di tasso di rendimento del capitaleu ' c β c+t 1 +t 1 e del fattore di sconto, la dinamica delc [ ] θ( )+ 1 /t 1 β= consumo è una funzione direttaf ' k +1tc dell’elasticità di sostituzionetIl risultato può essere interpretato, non solo come la scelta di un consumatoreisolato, ma anche come la soluzione di un “dittatore benevolente” che, data latecnologia descritta dalla (1) e

k in termini reali, il ricavo. Se fissiamo il prezzo del bene consumato oggi come il numerario, 1/(1 + r) è il prezzo di una unità di consumo futuro e il problema dell'impresa diventa:

1 1 [ ]( )= + = + -max L c c c f f k c+t t 1 t t t+ +r r1 1c , c +t t 1( ) ( )f k' = ++ f ' k 1 rt 1- = 01 +t 1

da cui FOC: + r1 Giuseppe Ciccarone 2007

Se supponiamo che il consumatore sia proprietario di una impresa, la sua dotazione è (y y ) e il suo problema diventa:

t, , t+1 il vincolo esprime la condizione che il( ) ( ) ( )β= = +⎧ U c c u c u cmax , + +t t 1 t t 1 valore attuale della spesa non può superare⎪c , c +t t 1⎨ quello delle entrate (ricorda anche che 1/ (11 1⎪ + = + =s t c c y y. . + r) è il prezzo del bene per il consumo+ +t t 1 t t 1+ +⎩ r r1 1 futuro).

Scrivendo la Lagrangiana, calcolando le FOC, ed eliminando il moltiplicatore λ si ottiene la condizione: ( )u ' ct = +1 r( ) [6]β u ' c +t 1

Giuseppe Ciccarone 2007

Tempo infinito( )β ∈

In generale, dato un numero reale dobbiamo affrontare problemi del tipo:

0,1∞ ( )∑ tβmax r u , xt t∞={ }u =t 0t t 0 ( )=s.t. con datox g x , u x+t 1 t t 0( )⋅,⋅∈ ℜ ∈ ℜ, ; è una funzione continua e concava; l’insiemeru xt t{( ) ( )} n≤ è compatto e convesso (un sottoinsieme X di èx x x g x u, : , R+ +t t t t t1 1compatto se e solo se è chiuso, cioè contiene tutti i suoi punti di accumulazione, elimitato, cioè esiste un numero positivo K > 0 tale che la distanza tra due puntiqualsiasi in X sia sempre minore di K). { }∞=0 che rendonoDobbiamo determinare una o più sequenze di variabili ut t∞ ( )∑ tβ e tali che in ogni t sia rispettata l'equazionemassimo il funzionale r u , xt t=0t( )= .dinamica x g x , u+t 1 t t Giuseppe Ciccarone 2007Dato che gli argomenti sono vettori di funzioni (il dominio è

La variabile tempo), si utilizza un'applicazione che associa un numero ad ogni funzione f A, dove A è ℝ → ℝ (l'integraleun insieme di funzioni f: aventi lo stesso dominio o la sommaassociano un numero ad ogni "percorso" seguito da un sistema dinamiconell'intervallo di tempo considerato). In presenza di un funzionale, l'incognita è rappresentata da una funzione: la soluzione è un insieme di valori per ciascuna variabile endogena che definiscono ilcodominio di una funzione il cui dominio è l'insieme di valori assunti dallavariabile indipendente "tempo". Lo scopo della teoria è quello di individuarequeste funzioni incognite, indipendentemente dai valori assunti dalle variabiliindipendenti presenti nelle stesse funzioni. Giuseppe Ciccarone 20072 (∑ tβ r u , x3 periodi (0, 1 e 2): t t=t 0( ) ( ) ( )2β β+ +max r u , x r u , x r u , x0 0 1 1 t tè dati.s.t. x0

λ∂Il sistema delle CPO può essere risolto per backward induction: vincoli dinamiciGiuseppe Ciccarone 2007( )∂r x , u ( )1. dall'equazione si ottiene una funzione: ;2 2 = =0 u h x2 2∂u 2 ( ( ))∂r x h x,2. la sostituiamo nella così da avere λ in funzioneλ2 2 − = 0 22∂x 2;della sola x23. avendo u e λ come sole funzioni di x , possiamo risolvere la2 2 2( ) ( )β∂ ∂r x , u g x , u , ottenendo una funzione: u = h(x );βλ1 1 1 1+ = 0 1 12∂ ∂u u1 1 ( ) ( )∂∂ , ,r x u g x u4. con u = h(x ) e λ , risolviamo la ,λ βλ1 1 1 1− + = 01 1 2 1 2∂ &p