Economia monetaria - la curva di Lucas

Economia dei consumatori e dei produttori

I consumatori e i produttori producono un bene e consumano beni prodotti anche da altre imprese. Questo modello è dinamico, ma qui semplificato in un contesto uniperiodale (Romer, 1996). Si assume la presenza di concorrenza perfetta.

L'economia è composta da molti mercati, ma gli agenti possono osservare soltanto un ridotto set di prezzi. I consumatori e i produttori vivono su isole (Phelps, 1969) e possiedono informazioni incomplete sia relativamente ai prezzi dei beni da essi non prodotti, sia relativamente ai prezzi vigenti in altri mercati dove si scambiano beni uguali a quelli da essi offerti.

Differentemente dal mondo Arrow-Debreu, non si ha perfetta conoscenza di tutti i prezzi futuri (incompletezza dei mercati) (Giuseppe Ciccarone, 2007).

Intuizione: Se i soggetti conoscono solo i prezzi di un set limitato di beni, non è agevole distinguere tra variazioni nel livello generale dei prezzi e variazioni nei prezzi relativi. Se c'è un'inflazione imprevista, i lavoratori/imprenditori potrebbero ritenere che sia aumentato il prezzo.

dello stesso bene in altre isole) aumenta la domanda di lavoro e il salario reale. Sostituibilità intertemporale lavoro/ tempo libero: maggiore offerta di lavoro e produzione maggiore di quella normale. Giuseppe Ciccarone 2007

Ancora intuizione

Se le informazioni successive rendono noto che l'aumento del prezzo era in linea con quelli di tutti gli altri, l'occupazione e la produzione diminuiranno, fino a raggiungere nuovamente i valori di equilibrio di lungo periodo.

La ragione ultima delle fluttuazioni nell'occupazione e nella produzione va rintracciata nell'evento che scatena l'inatteso aumento generalizzato dei prezzi.

Accettando l'impostazione di Friedman, questo non potrebbe essere altro che un aumento imprevisto dell'offerta di moneta. Giuseppe Ciccarone 2007

In termini formali

Esiste un solo bene, commerciato in numerosi mercati non comunicanti dal punto di vista informativo; l'agente rappresentativo non distingue tra variazione di P e del

1. Equazione 1: εp = p + (2)zSa

2. Equazione 2: 2p = p* + u dove p* = E[p|Z] e u ~ N(0,σ )

3. Equazione 3: Z è l'informazione comune a tutti gli agenti (contiene la 2 e la 3, ossia la distribuzione di p e p, ma non la serie di valori di p)

4. Equazione 4: p* = media di l.p., nota a tutti (dall'osservazione passata di p): p diverge da questa previsione comune solo per u: p ~ N(p*,σ )

Giuseppe Ciccarone 2007

Disturbi e domanda

La domanda del bene z (ricavabile dall'ottimizzazione del consumatore) dipende dal reddito reale medio, dal prezzo relativo del bene (ξ è l'elasticità) e da una variabile casuale con media zero (legata alla variazione aleatoria della densità della popolazione nelle varie isole, e dunque alle preferenze). In termini logaritmici:

- ( )ξ= - - +y y p p ez z

- è il reddito di equilibrio di lungo periodo (walrasiano). e è un shock idiosincratico (è diverso in ogni isola). ε

Che fa divergere P da p, è legato agli e.zDomanda aggregata (ricavabile dall’ottimizzazione del-consumatore): = -y m p Giuseppe Ciccarone 2007

Offerta di lavoro individuale1/ψ-1Riconsideriamo: L =[E((P /P)|I )] = 0 (1)z z zpassiamo ai logaritmi: l = (1/ψ-1)ln [E((P /P)|I )] (4)z z zHp: la differenza tra ln(P /P) ed E[ln(P /P)|I ] si distribuisce come una z z znormale con media nulla: 2v ~ N(0,σ )v

[ ]( )P P- = - - - =z zln E ln | I p p E p | I E p | I v

P PExp a entrambi i membri: P P v=z zexp E ln | I e

Sostituiamo nella (4): { l ln E exp E ln | I e | I ψ - }

Giuseppe Ciccarone 2007Offerta di lavoro individuale{ l ln E exp E ln | I e | I ψ - }

Il primo exp è una media; il secondo è una variabile casuale: sono indipendenti; la media del loro prodotto è pari al prodotto delle medie:

( )

   P1 v= z  l ln E exp E ln | I | I E e | I z z z zψ −   1 P ( )

vMa è la media di una variabile casuale (una costante C che possiamo porre pari a 1) e:

    P P=z z   E exp E ln | I | I exp E ln | I z z z    P P

Dunque, essendo p noto all'agente (mentre di p conosce solo la distribuzione):

 ( ) ( )      P P1 1= = +   v vz z   l ln E exp E ln | I | I E e | I E ln | I ln E e | I ψ ψ− −z z z z z z      1 P 1 P 

   [ ]P ( ) ( )1 1 1= + = − = − z E ln | I ln 1 E p p | I p E p | Iψ ψ ψ− − −z z z z z  1 P 1 1

Giuseppe Ciccarone 2007

Offerta di lavoro individuale

1= −l p E p | Iz z zψ − 1

Ogni funzione individuale di offerta di lavoro dipende dalle previsioni individuali sul prezzo medio, pari alla media di p condizionata all’insieme informativo individuale, non al valore atteso comune:

( ) ( ) ( )= = + =E p E p | Z E p * u p *

Problema: prevedere p conoscendo p e le due distribuzioni: zε ε 2p = p + dove ~ N(0,τ ) (2) z 2p = p* + u dove p* = E[p|Z] e u ~ N(0,σ ) (3)

L’agente determina la migliore stima di p attraverso una proiezione lineare sui minimi quadrati (sia p che p sono normalmente distribuite)

z Giuseppe Ciccarone 2007

Proiezione lineare

( ) = +

L’agente effettua una stima lineare: , determinando E p | I a a pz 0 1 zi coefficienti con il metodo dei minimi quadrati:

[ ]( ) ( )2 2− = − −min E p E p | I min E p a a p0 1z z, 1a a0

Foc: ( )−− − =2 E p a a p 00 1 z

[ ]( )− − − =2 E p a a

p p 00 1 z z

Dalla prima: ( ) ( )( ) ( )− = −− =E EE p a a p 0 a E p a p⇒0 1 z 0 1 z

Dalla seconda: ( ) ( ) ( )2⋅ −− =E EE p p a p a p 0z 0 z 1 z( ) ( )( ) ( )⋅ − E E cov ,E p p p p p p

Sostituendo la prima nella seconda: = =z z za [ ]( )( ) −1 2 2 var pE Ep p zz z[ ] [ ]( ) ( ) ( )( ) ( )ε= − + = + − + +E p | I E * u E pE p a p a p E p a a pz z z z1 1 1 1( ) ( )= + −E dunque: | * *E p I p a p p ( )z z cov ,p p= = za a1 var p z

Giuseppe Ciccarone 2007( )cov ,p pCoefficiente a = = za a1 var p z( ) ε= + =Si può dimostrare che: cov , cov( p , p ) var( p )p p zE che: ( ) ε ε σ τ2 2= + = + = +var var( p ) var( p ) var( )p zDa cui:  σ σ σ2 2 2( ) ( )  = + − = − +E p | I p * * 1 p *p p p z z zσ τ σ τ σ τ2 2 2 2 2 2+ + + La previsione del prezzo medio p condizionata a I è pari ad una

Media ponderata dei dati disponibili:

Il prezzo "storico": p*;

Il prezzo del proprio bene: p_z( ) = E[p | Iτ p]

Se E[p] = 0, la migliore previsione di p è il proprio prezzo