Economia monetaria - Barro e Gordon

PROBLEMA

Esiste una coppia di strategie di NE per tutto il gioco

ripetuto { }

{ }

 

Nash

Nash

π π

e | |

 

h , h

 

= ∞ = ∞

t t t

t

t 0 ,

1

,... t 0 ,

1

,...

 

tale che: ∞ ( )

δ t − >

P T 0

∑ t t

=

t o

Se esiste, questa coppia di strategie è un equilibrio

reputazionale. Giuseppe Ciccarone 2007

Queste strategie esistono; una è la strategia grim

da parte dei privati. 



π π

e = =

a 0

t

0

, p 

 0

{ } 



Grim

π π π π π

e e e

| = = = 



h se −

= ∞ −

, 1

t t t t p t

t 0

,

1

,... 1

t 



π π π π

e e

= ∀ > ≠

 

T t se −

−

T T , p t 1

 

t 1

- In t = 0, i privati danno fiducia alle AM, scegliendo aspettative

coerenti con la soluzione precommitment;

- se AM nel periodo precedente ha scelto il precommintment, i privati

lo premiano mantenendo le aspettative;

- se AM nel periodo precedente ha tentato il cheating , i privati lo

puniscono, fissando l’aspettativa a per tutti i periodi futuri.

π t,d Giuseppe Ciccarone 2007

Tentazione per la BC con grim

Prima di iniziare a giocare (a t = 0), BC promette di seguire la regola e

in t = 0, 1, 2, ... sceglie il cheating:

∞ ∞

= in t = 1,2, …

T 0

t π π

e =

i privati, ingannati a t = 0, attuano la “rappresaglia”, fissando t t , d

∞

in t = 1,2, … ed eliminando del tutto la tentazione.

La tentazione complessiva per BC è:

Giuseppe Ciccarone 2007

Punizione per la BC con grim

(i privati si fidano a t = 0)

= in t = 0

P 0

t  

 

( ) α α

2 2 2 2 2

k k k in t=1,2,…, (non scontato)

  ∞

= − = + − =

 

P U U 1

 

t t d t p

, , β β

 

2 2 2

 

 

Valore (scontato) della punizione:

Affinché la strategia grim induca come risposta ottimale da parte di BC

π π

=

una strategia per tutti i periodi sin dall’inizio, occorre:

t t , p

Sostituendo i valori delle due sommatorie : Giuseppe Ciccarone 2007

Folk Theorem

La condizione (P-T) può essere espressa come:

δ δ

Quando > * , se i privati adottano la grim, per la BC la strategia

migliore è quella del precommitment: fissare in ogni t un’inflazione pari

a: { }

Commitment

π π

| =

h = ∞

t t , p ∀t.

t t 0 ,

1

,... δ

Come può essere soddisfatta questa condizione? Tanto più ↑

δ

tanto più tende a valere. indica quanto un soggetto valuta il

δ

benessere futuro rispetto al benessere presente: alto =

”lungimiranza”. Giuseppe Ciccarone 2007

δ∗

Effetti di variazioni dei parametri su

β δ

Se diverge, * cresce e tende al limite a ½. Ciò però non vuol

β δ

necessariamente dire che quando cresce occorre un più

“lungimirante” per attuare il precommitment basato sulla reputazione.

β

Se la BC tende al massimo “conservatorismo” (Rogoff), cioè è

→ ∞,

interessata solo a mantenere bassa l’inflazione vicina allo zero: nel

singolo stage game (il gioco di K-P), la sua funzione di reazione sarà:

π e =

La strategia ottimale dei privati sarà e quindi prevarrà una

0

t

soluzione finale identica al precommitment.

Non esiste in tal caso il problema della time inconsistency, alla base

della soluzione cercata tramite il gioco ripetuto e la conquista della

reputazione. Giuseppe Ciccarone 2007

Equilibrio di Nash del supergioco

{ } { }

 

Commitment Grim

π π e

| |

 

Mostrare intuitivamente che la coppia h , h

 

= ∞

= ∞

t t t

t t 0

,

1

,...

0

,

1

,...

t

 

è un equilibrio di Nash del supergioco.

{ }

Grim

π e |

Se i privati adottano la risposta ottimale delle autorità è

h = ∞

t t { }

0 ,

1

,...

t Commitment

π e | h = ∞

t t t 0

,

1

,...

Infatti, se le autorità possono scegliere il cheating all’inizio, ma poi otterranno

sempre la perdita derivante dalla discretion. La loro perdita totale sarà:

Se invece giocano il precommitment sempre la loro perdita sarà:

δ Pr ecom *

Λ < Λ

grande abbastanza, . Dunque, se i privati giocano la grim,

Per un { }

AM

AM Commitment

le autorità non avrebbero incentivi a deviare da π e | h = ∞

t t t 0

,

1

,... Giuseppe Ciccarone 2007

Equilibrio di Nash del supergioco

Se le autorità scelgono il precommitment, i privati trovano sempre

ottimale scegliere grim, poiché fornisce perdita nulla (neanche i

privati hanno incentivi a deviare da grim se le autorità giocano il

precommitment) ∞ δ

Grim t

Λ = =

V 0

∑

P t

=0

t

essendo sempre: e

π π

=

t t Giuseppe Ciccarone 2007

Il gioco della credibilità

Funzione di costo di AM in ciascun periodo in funzione dell’inflazione

( )

(effettiva ed attesa): a π π π

= − − > >

2 e

C b a 0 b 0

t t t t

2 2

I privati esprimono la funzione di costo:  

e

π π

= −

 

J J

t t t

 

BG ipotizzano che i privati scelgano la strategia di minaccia:

e

π π

=

1. se , AM credibile e le aspettative per il periodo corrente

− −

t 1 t 1

saranno in linea con il tasso di inflazione associato alla regola;

e

π π

≠

−

2. se (AM hanno deviato) AM non credibile; aspettative

−

t 1 t 1

per il periodo corrente pari al tasso di inflazione associato alla

politica discrezionale: AM dovranno riacquistare la credibilità

perduta rispettando, nel periodo successivo, la regola annunciata.

Giuseppe Ciccarone 2007

Esempio (forma normale)

I giocatori hanno soltanto due strategie a disposizione: tasso di

inflazione (effettivo e atteso) pari a zero o a uno. a = b = 2

( )

a π π π

= − − > >

2 e

C b a 0 b 0

t t t t

2 2

 

e

π π

= −

 

J J

t t t

 

e e

π π

= =

0 1

t t

π = 0; 0 -2; -1

0

t

π = 1 1 ; -1 -1; 0 NE

t

Se i giocatori fissano le variabili pari a uno: NE subottimale; se AM acquisisce

credibilità: si potrebbe raggiungere una posizione Pareto-superiore, dalla quale AM

avrebbe però incentivo ad allontanarsi. Tentazione = 1, così come la perdità di

δ

payoff futura associata alla punizione; < 1: è sempre conveniente deviare.

Giuseppe Ciccarone 2007