Economia monetaria - il risparmio

Allocazione di portafoglio σ σ

> >

La ricchezza iniziale, W, può essere allocata tra due titoli, e , dove e .

B B r r

1 2 2 1 2 1

Il rendimento atteso sul titolo j è una variabile casuale distribuita normalmente con

σ ρ̂

media r e scarto quadratico medio . è il coefficiente di correlazione tra i

j j Î quote dei due titoli su W:

rendimenti. Vincolo delle risorse: W = +

B B

1 2

B B

+ = + =

1 2 b b 1 , da cui b = 1 - b . Rendimento atteso e rischio del portafoglio:

1 2 1 2

W W = + = − + = + −

[10] E ( R ) b r b r (

1 b ) r b r r b ( r r )

1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1

σ σ σ ρ

σ σ

2 2 2 2

= + + ˆ

( ) 2

[11] R b b b b

1 1 2 2 1 2 1 2

σ σ ρ̂

, r , , e si ricava la frontiera rendimento-rischio: relazione tra rischio

Per dati r

1 2 1 2

e rendimento atteso al variare della quota b del titolo più rischioso. L’andamento della

2

ρ̂ . Consideriamo i tre casi rilevanti.

curva dipende dal segno e dal valore di

ρ =

ˆ 1 : rendimenti perfettamente correlati positivamente:

σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ

2 2 2 2 2

= + + = + = + −

[12] ( R ) b b 2

b b (

b b ) b ( )

1

1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2

σ σ

−

( )

R

= 1

b

[13] 2 σ σ

− 1

2

Sostituendo nella [10] si ha una frontiera rendimento-rischio lineare:

σ σ

−

R

( ) σ σ σ

= + − 1

E R r r r per < (R) <

[14] ( ) ( )

1 2 1 1 2

σ σ

−

2 1

σ σ σ

AB

Segmento nel piano [ (R), E(R)], che collega i punti ( ) e ( ).

, r , r

1 1 2 2

8

ρ = −

ˆ 1 : rendimenti perfettamente correlati negativamente:

I due valori per la quota del titolo più rischioso sono: σ σ

Sostituiti nella [10]: due segmenti che passano per i punti ( ) e ( ):

, r , r

1 1 2 2

Esplicitando b = [E(R) – r ]/(r – r ) dalla [10] e sostituendo nella [16]: la retta spezzata

2 1 2 1 σ

(AEB) è crescente prima a sinistra e poi a destra, con l’angolo in corrispondenza di (R)

= 0. ρ̂ .

-1 < < 1 σ σ σ

La frontiera è una funzione non lineare di (R) che passa per i punti ( ) e ( )

, r , r

1 1 2 2

ρ̂ ρ̂

ed è inscritta nello spazio delimitato dalle curve definite per = -1 e per = 1 (nella

σ

ρ̂ = 0): riducendosi la correlazione, si riduce (R) senza

fig. 2 è disegnata quella per < 0

ρ̂ ).

una riduzione del rendimento (frontiera tratteggiata relativa a

9

Scegliere il portafoglio che massimizza l’utilità

Se cresce con il rendimento atteso e decresce con il rischio, per mantenere lo stesso

livello di utilità, al crescere del rischio deve crescere il rendimento. Equilibrio: punto di

tangenza tra la frontiera efficiente e una curva di indifferenza (combinazioni

rendimento/rischio che forniscono la stessa utilità). Frontiera: vincolo al problema di

massimizzazione dell’utilità attesa. [ ]

σ

= , se il sms tra reddito e

Data una funzione di utilità individuale U U E ( R ), ( R )

[ ] [ ]

σ

∂ ∂ ∂ ∂ è maggiore di zero e crescente (curve di indifferenza

rischio U / ( R ) / U / E ( R )

crescenti e concave), l’individuo è : per mantenere lo stesso livello di

avverso al rischio

utilità, al crescere del rischio deve essere compensato da un rendimento crescente.

il sms è positivo ma decrescente (curve di indifferenza crescenti e convesse).

Tuffatori: : il sms è negativo (curve di indifferenza decrescenti).

Amanti del rischio

In equilibrio, l’individuo uguaglia il suo sms tra rendimento e rischio con il smt tra

rendimento e rischio risultante dalla frontiera dei portafogli efficienti. Portafoglio

: combinazione rendimento-rischio per la quale il sms è uguale alla pendenza

ottimo

della frontiera: in quel punto si ha il massimo rendimento per un dato rischio.

Le preferenze nei confronti del rischio sono soggettive, ma anche la frontiera dei

portafogli efficienti è influenzata da valutazioni individuali, dipendendo dal modo in cui

il soggetto raccoglie le informazioni e le tratta per ricavare le sue valutazioni sui

rendimenti attesi e sulla probabilità che si realizzino.

Il portafoglio ottimale esprime le quantità desiderate sulla base di un dato insieme

informativo; ne deriva una domanda per le diverse attività patrimoniali: quantità di

ciascuna di esse che il risparmiatore è disposto a detenere in portafoglio (acquistandole o

vendendole sul mercato a seconda che la quantità disponibile sia inferiore o superiore a

quella ora desiderata) alle condizioni esistenti (a lui note).

10

La domanda di moneta come fondo di valore

La teoria delle scelte di portafoglio spiega perché la è domandata come attività

moneta

finanziaria, anche se non fornisce reddito (o in misura ridotta rispetto ai titoli).

Un titolo privo di rischio e di interesse (la moneta) e un titolo rischioso: la frontiera dei

portafogli efficienti è la retta passante per l’origine; l’inclinazione, che dipende dal

rapporto tra r e rischio del titolo, determina un rendimento del portafoglio tanto

maggiore quanto maggiore è il rischio che l’investitore si assume. Portafoglio ottimo:

proporzione di titoli rischiosi ( ) che è disposto a detenere (1- è la quota di m).

b

b 2

2 ≥

La moneta è caratterizzata da una varianza nulla: rendimento r 0 conosciuto con

M

= 1 - m è determinata dal

certezza. La quota non trattenuta in forma monetaria b 2

rendimento atteso e dal rischio del portafoglio:

= + = − + = + −

E ( R ) mr b r (

1 b ) r b r r b ( r r )

[18] M M M M

2 2 2 2 2 2 2

σ σ σ

2 2

= =

( R ) b b

[19] 2 2 2 2

σ σ σ

=

Dato , il rischio del portafoglio dipende da . Sostituendo nella [18]

b ( R ) /

2 2

2

otteniamo una frontiera rendimento-rischio lineare: segmento che congiunge il punto

σ

(r , 0) di rischio nullo con il punto (r , ) di rischio massimo (Figura 3).

M 2 2 11

r

Aumento di : rotazione verso l’alto della frontiera rendimento-rischio determina – per

2

curve di indifferenza “normali” – un aumento della quota di titoli rischiosi e una

riduzione della moneta: un aumento del tasso d’interesse riduce la domanda di moneta.

σ

Stesso risultato con una riduzione di ; frontiera ruota verso l’alto + rotazione della

2

retta del quadrante inferiore (quota di titoli rischiosi compatibile con il rischio di

portafoglio accettabile): l’aumentato rendimento del portafoglio ottimale è dovuto alla

maggiore disponibilità a detenere titoli più redditizi, ora ritenuti meno rischiosi.

Se i risparmiatori avessero una conoscenza precisa degli eventi futuri, non deterrebbero

moneta in eccedenza alla necessità di effettuare transazioni; se sono incerti sul

rendimento futuro dei titoli, detenere moneta può risultare conveniente: domanda di

attività liquide il cui inserimento in un portafoglio riduce la variabilità dei rendimenti e

permette ad investitori avversi al rischio di ampliare la gamma dei portafogli possibili.

12

Appunti di Economia monetaria per l'esame del professor Ciccarone sul risparmio. Gli argomenti trattati sono i seguenti: i flussi di risparmio, il tasso di interesse, la scelta relativa ad un singolo titolo, il premio per il rischio, la teoria delle scelte di portafoglio, l'allocazione di portafoglio, scegliere il portafoglio che massimizza l’utilità.