Economia industriale applicata

ESEMPIO 2: GIOCO DI COORDINAMENTO

Due gruppi di consumatori: 60 unità primo gruppo con prezzo di riserva pari a 500 e 120 unità del secondo gruppo con prezzo di riserva pari a 220. Due imprese con costi unitari di produzione pari a 200.

Equilibrio di Nash

Nel caso non vi siano strategie dominanti per un giocatore come è possibile trovare una soluzione (equilibrio) del gioco?

Equilibrio di Nash: situazione in cui ciascun giocatore sceglie la strategia per lui ottimale, date le scelte ottimali degli altri giocatori: nessuno ha convenienza a modificare la strategia prescelta ("la migliore risposta al migliore attacco").

Formalmente, un equilibrio di Nash è il vettore di strategie tale per cui, per ogni giocatore i, risulti: per ogni strategia ai che può scegliere il giocatore i.

È facile verificare come l'equilibrio in strategie dominanti del "dilemma del prigioniero" sia anche un equilibrio di Nash (un equilibrio in strategie dominanti).

domanda inversa del prodotto, il modello di Cournot prevede che le due imprese scelgano la quantità di prodotto da produrre in modo simultaneo e indipendente. Ogni impresa cerca di massimizzare il proprio profitto tenendo conto della quantità prodotta dall'altra impresa. In questo modello, l'equilibrio di Nash si raggiunge quando entrambe le imprese scelgono la quantità di prodotto che massimizza il proprio profitto, data la quantità scelta dall'altra impresa. Questo equilibrio è chiamato "equilibrio di Cournot". Tuttavia, è importante notare che il modello di Cournot non garantisce sempre un equilibrio di Nash unico. In alcuni casi, possono esistere più equilibri di Nash, e la scelta dipende dalla strategia adottata dalle imprese. Quando ci sono più equilibri di Nash, la scelta dipende da vari fattori, come la capacità produttiva delle imprese, i costi di produzione e le aspettative sul comportamento dell'altra impresa. In generale, le imprese tendono a scegliere la quantità di prodotto che massimizza il proprio profitto, tenendo conto delle azioni dell'altra impresa. È importante sottolineare che l'equilibrio di Nash non è sempre garantito. Nel caso delle strategie pure, in cui le imprese scelgono una quantità di prodotto senza considerare le azioni dell'altra impresa, potrebbero non esistere equilibri di Nash. Tuttavia, per le strategie miste, che si basano sulla distribuzione di probabilità delle scelte delle imprese, esiste sempre almeno un equilibrio di Nash. In conclusione, il modello di Cournot nel duopolio prevede che le imprese scelgano la quantità di prodotto in modo simultaneo e indipendente, cercando di massimizzare il proprio profitto. L'equilibrio di Nash si raggiunge quando entrambe le imprese scelgono la quantità di prodotto che massimizza il proprio profitto, data la scelta dell'altra impresa. Tuttavia, possono esistere più equilibri di Nash e la scelta dipende da vari fattori.

quantità prodotta dall'altra impresa, l'impresa 1 sceglierà la quantità ottima (che massimizza i suoi profitti) da produrre in modo che risulti R1' = C1', quest'ultimo supposto costante e uguale a c (< A):

D: funzione di domanda di mercato

D1: Domanda residua dell'impresa 1, considerando data la quantità prodotta e venduta dall'impresa 2. Ci indica, per ogni livello del prezzo, la quantità domandata all'impresa 1, considerata una data quantità venduta dall'impresa 2.

Intercetta A-Bb2

Il punto a rappresenta il punto di intersezione tra la curva dei Cmg e la curva dei Rmg dell'impresa 1, in questo modo l'impresa 1 sceglie la sua quantità (q1) da produrre e vendere nel mercato che le farà massimizzare i profitti (data q2).

Se si fosse considerata una quantità maggiore prodotta dall'impresa 2, la curva residua dell'impresa 1 si sarebbe abbassata e di conseguenza

anche la curva dei Rmg1, facendo spostare le q1 a sinistra del punto a. La funzione di risposta ottima “di reazione” delle imprese, infatti, ci evidenzia questa relazione negativa tra la q1 e la data q2. Questa retta rappresenta la funzione di risposta ottima dell’impresa 1, data q2. (rappresentazione grafica di questa formula) Come si determina l’equilibrio? Bisogna rappresentare anche la funzione di risposta ottima dell’impresa 2, data q1. (rappresentazione grafica di questa formula) Equilibrio di Cournot, solo in quel punto vale che, per ciascuna impresa, la quantità che produce e vende è quella per lei ottimale data la quantità venduta e prodotta dell’altra impresa. (Equilibrio Nash-Cournot) Equilibrio del modello di Cournot Per trovare l’equilibrio del modello di Cournot (corrispondente al punto E della figura precedente) occorre risolvere il sistema rappresentato dalle due funzioni di risposta ottima:   (PASSAGGI) In termini dile imprese i. In altre parole, ogni impresa produrrà la quantità che massimizza i suoi profitti, tenendo conto delle quantità prodotte dalle altre imprese. Per determinare il prezzo di equilibrio di mercato, possiamo sostituire le quantità ottimali delle imprese nella funzione di domanda di mercato. La funzione di domanda inversa sarà quindi: P = D(Q) = a - bQ Dove a è il coefficiente dell'intercetta e b è il coefficiente angolare della retta di domanda. Estensioni del modello di Cournot possono includere un numero diverso di imprese sul mercato. Ad esempio, con N imprese identiche sul mercato, la funzione di domanda inversa diventa: P = D(Q) = a - bQ Dove Q è la somma delle quantità prodotte da tutte le imprese, tranne l'impresa i. Per ogni impresa i, i ricavi saranno dati da: Ri = P * qi = (a - bQ) * qi L'impresa i produrrà la quantità che massimizza i suoi profitti, quindi avremo: Max Ri = (a - bQ) * qi - Ci(qi) Dove Ci(qi) rappresenta i costi dell'impresa i in funzione della quantità prodotta. Risolvendo questa equazione rispetto a qi, otteniamo la quantità ottimale prodotta dall'impresa i. Nell'equilibrio di Cournot-Nash, questa condizione dovrà essere soddisfatta per tutte le imprese i.

le imprese che, essendo omogenee, produrranno tutte la stessa quantità q*, per cui:

Si noti che, oltre a ritrovare (ovviamente) i risultati del duopolio di Cournot con N = 2, abbiamo anche che: se N = 1, ritroviamo i risultati del monopolio; se N -> ∞, ritroviamo i risultati della concorrenza perfetta

Imprese eterogenee (con CMg diversi) Supponiamo un duopolio come nel caso iniziale, ma adesso i costi marginali delle imprese sono rispettivamente c1 e c2, con c1 > c2 = c. Le funzioni di risposta ottima sono quindi:

Mentre, analogamente, la quantità ottima dall'impresa 2 è q2 * = (A + c1 – 2c2)/3B

Funzioni di risposta ottima delle imprese con costi diversi Prodotto differenziato duopolio) Si consideri un mercato con due imprese (identiche) che producono però un prodotto differenziato. Per concentrarsi sul ruolo della differenziazione del prodotto, poniamo per semplicità A = B = 1 e assumiamo che c = 0. La funzione di domanda

(inversa) per l'impresa 1 (e, invertendo gli indici, per l'impresa 2) è adesso:

Il parametro d ∈ (-1, 1) esprime quindi il grado di differenziazione (orizzontale) del prodotto tra le imprese e vale in particolare:

• se -1 < d < 0 prodotti complementari
• se d = 0 indipendenti
• se 0 < d < 1 prodotti sostituti (tanto più piccolo è d tanto più differenziati sono i prodotti)

Differenziazione orizzontale: più imprese producono differenti tipi di prodotti, non ordinabili, dei consumatori preferiranno un prodotto piuttosto che l'altro (la qualità non è percepita univocamente).

Differenziazione verticale: prodotti con qualità differente e questa qualità è percettibile univocamente da tutti i consumatori, è evidente a tutti il prodotto con maggiore qualità. Non implica che tutti acquistino il

prodotto di qualità più alta. Per l'impresa 1 (e, invertendo gli indici, per l'impresa 2) i ricavi sono uguali a:

per cui i suoi ricavi marginali sono:

e dalla scelta della quantità che massimizza i profitti (R' = c = 0), otteniamo:

Funzioni di risposta ottima delle imprese con prodotti differenziati (sostituti) In equilibrio di Cournot-Nash, otteniamo:

quantità

prezzo

profitti

Se i prodotti fossero stati complementari, il coefficiente angolare sarebbe stato positivo e le curve di risposta ottima sarebbero state positive (impresa 1 aumenta q, impresa 2 aumenta q).

Tanto più il prodotto è differenziato, tanta più alta sarà la quantità da loro prodotta, tanto più alto sarà il prezzo di equilibrio e di conseguenza i loro profitti. (PASSAGGI)

Competizione nei prezzi: il modello di Bertrand duopolio)

Si consideri un mercato con due imprese (identiche) che competono nella scelta dei prezzi e producono un prodotto omogeneo,

la cui domanda di mercato è: funzione diretta della quantità rispetto al prezzo

dove a = A/B e b = 1/B. In particolare, per l'impresa 1 la domanda è data da:

La curva di domanda di un'impresa nel modello di Bertrand

Curva di domanda dell'impresa prendendo come dato il prezzo dell'altra.

Funzioni di risposta ottima delle imprese

Le imprese adesso competono nei prezzi e scelgono il prezzo del proprio prodotto

considerando dato il prezzo dell'impresa concorrente. In particolare, la funzione di

risposta ottima dell'impresa 1 (e, invertendo gli indici, dell'impresa 2) è:

1. ipotesi in cui l'impresa 2 fissasse un p2> al prezzo che fisserebbe il

monopolista, l'impresa 1, per massimizzare i propri profitti, dovrebbe fissare il

prezzo del monopolista (tutto il mercato si rivolgerebbe a lei in quanto p2>pM(p1)

2. Ipotesi in cui l'impresa 2 fissi un prezzo minore o uguale a quello del

monopolista ma più alto

del CMg, all'impresa 1 converrebbe fissare un prezzo che eguagli il prezzo dell'impresa 2 meno il margine che c'è tra il p2 e CMg. Soddisferebbe in questo modo tutta la domanda al prezzo più alto possibile (p>CMg). 3) Nell'ipotesi in cui l'impresa 2 fissi un prezzo pari al CMg, l'impresa 1 potrebbe fissare qualsiasi prezzo al di sopra (o uguale) a p2, anche se non vende niente non otterrà profitti come nel caso in cui vendesse ad un prezzo uguale al CMg. 4) Ipotesi in cui l'impresa 2 fissasse un prezzo minore a CMg (perdite), all'impresa 1 converrebbe comunque fissare un prezzo superiore all'impresa 2 (non vendere). Equilibrio di Nash del modello di Bertrand Il modello di Bertrand ha uno e un solo equilibrio di Nash (in cui ciascuna impresa non è incentivata a cambiare prezzo), ossia la coppia di prezzi (p1* = Cmg; p2* = Cmg) e, nell'equilibrio di Nash, i profitti delle imprese sono nulli.ntemente piccolo, l’impresa 2 non ha interesse a competere e sceglierà un prezzo leggermente superiore a quello dell’impresa 1. In questo modo, l’impresa 1 guadagna tutto il mercato e l’impresa 2 non ha alcun incentivo a ridurre il proprio prezzo. Questo risultato è noto come "paradosso di Bertrand con imprese eterogenee". Estensioni del modello di Bertrand con prodotti differenziati  Nel caso in cui le imprese producano beni differenziati, il modello di Bertrand può essere esteso per tener conto di questa caratteristica. In particolare, si possono introdurre parametri che rappresentano la differenziazione dei prodotti, come ad esempio la qualità o le caratteristiche distintive. In questo caso, le imprese possono competere non solo sui prezzi, ma anche sulle caratteristiche dei prodotti. Questo tipo di estensione del modello di Bertrand è utile per analizzare settori in cui la differenziazione dei prodotti è un elemento chiave, come ad esempio l'industria automobilistica o quella dei prodotti di lusso. Conclusioni Il modello di Bertrand è uno strumento utile per analizzare la concorrenza tra imprese e i risultati che si possono ottenere in diversi contesti. Sebbene sia un modello semplificato, può fornire importanti intuizioni sul comportamento delle imprese e sulle dinamiche di mercato. Tuttavia, è importante considerare che il modello di Bertrand ha alcune limitazioni e non è in grado di rappresentare completamente la complessità del mondo reale. Pertanto, è necessario integrarlo con altri modelli e strumenti analitici per ottenere una visione più completa e accurata della realtà economica.