Economia Industriale

Equilibrio di Cournot-Nash con più imprese

Ipotizziamo che ci siano "N" imprese identiche che producono uno stesso bene.

(1) indica la quantità prodotta dall'impresa 1 in questione.

(-1) indica invece la somma delle quantità prodotte da tutte le altre imprese presenti sul mercato.

La curva di reazione dell'impresa 1 per data la congettura delle altre imprese.

Vediamo che la quantità ottimale di 1 non dipende esattamente da cosa fanno tutte le altre imprese, ma dipende solo dalle quantità da esse prodotte. Quando la Q (-1) = 0, l'impresa 1 produce una quantità di monopolio.

Le imprese identiche (a livello di costi che affrontano) operano le stesse scelte in equilibrio, e quindi imponiamo questa condizione. Uguagliamo la quantità ottimale (di equilibrio) prodotta da tutte le restanti imprese alla quantità ottimale prodotta dall'impresa 1, per il numero delle imprese (N-1).

Sostituiamo poi Q*(-1) nella...

funzione di reazione di 1 e risolviamo, trovandola quantità di equilibrio.

EQUILIBRIO DI COURNOT-NASH CON COSTI DIFFERENTI:

Se i costi marginali di 2 diminuiscono, la funzione di reazione della 2 cambia, perché ora la 2 può abbassare i prezzi e quindi aumentare la quantità (perché si uguagliano ricavi marginali a costi che sono ora più bassi).

Se c (2) < c (1), allora q (2) > q (1).

La quantità prodotta dall'impresa 2 aumenta per ogni data quantità prodotta dalla 1.

Lo spostamento della curva 2 significa che a seguito di un efficientamento della 2, l'impresa 2 aumenta la quantità prodotta (quindi ottiene una nuova fetta di mercato), mentre l'impresa 1 riduce la sua quantità. La risposta strategica dell'impresa 1 all'aumento di quantità della 2 è una riduzione della quantità.

Questo accade tramite due effetti: effetto diretto: una riduzione del costo induce la 2 a produrre

Ci sono consumatori identici che comprano dal miglior offerente. La domanda è discontinua, e questo comporta una discontinuità anche nei profitti. Qual è il riflesso della discontinuità sugli incentivi di queste due imprese?

Se l'impresa 1 sceglie un prezzo maggiore del prezzo di monopolio, come risposta ottima, l'impresa 2 sceglierà il prezzo di monopolio perché serve tutta la domanda. Questa situazione non può determinare l'equilibrio concorrenziale perché l'impresa 1, sapendo che se scegliesse un prezzo così alto darebbe tutto il mercato al rivale, è incentivata ad abbassare il suo prezzo. Già se scegliesse un prezzo uguale al monopolio, avrebbe la metà della domanda. Ma a quel punto, se la 2 scegliesse un prezzo leggermente inferiore al Pm avrebbe la meglio, e così via. Questo processo andrà avanti fino al punto in cui si raggiungerà l'equilibrio. L'unico

Questo perché vogliamo trovare un punto (stazionario) in cui la funzione obiettivo non cresce né decresce: è piatta. P* è infatti un prezzo in cui il profitto non cresce né decresce.

FUNZIONI DI REAZIONE:

Le funzioni di reazione sono inclinate positivamente e sono piatte verso la fine: questo perché più si alza il prezzo dell'impresa 1, andando oltre quello di monopolio (ci spostiamo verso destra sull'asse delle ascisse), più il prezzo della 2 si mantiene costante e pari a quello di monopolio (in quanto già così serve tutta la domanda: non gli serve alzare il prezzo). C'è un unico equilibrio, che è il punto in cui entrambe le imprese pongono P = MC, cioè il punto in cui si incrociano le due curve.

La funzione di Bertrand implica una certa discontinuità (anche nel profitto): quando c'è discontinuità non per forza la derivata della funzione ci fa trovare dei

punti di max omin. Questo è il motivo per cui non abbiamo utilizzato le derivate per trovare il puntostazionario.

CONCLUSIONI SUL MODELLO DI BERTRAND: La competizione sul prezzo è molto forte: questo lo si vede perché non vengono lasciati margini alle imprese (tutte le imprese sono costrette a settare prezzi pari al costo di produzione). Il prezzo in equilibrio di Bertrand è anche il prezzo che massimizza il benessere sociale, perché fa sì che tutti quelli che hanno una disponibilità a pagare > di quanto costa produrlo alla società, accedono a quel bene o servizio. Bastano due imprese per arrivare all’equilibrio.

Paradosso di Cournot: è possibile che per distruggere il potere di mercato basta che ci siano due sole imprese? Quali sono le ipotesi forti di questo modello che rendono la competizione così efficace?

1. Prima ipotesi: nel modello assumiamo che i beni siano perfettamente identici (consumatori indifferenti),

PRODOTTO IN BERTRAND: Sappiamo che le imprese hanno un incentivo ad offrire prodotti diversi sia per soddisfare le preferenze dei consumatori, sia per ricavarsi una nicchia di consumatori fedeli. Un modo per catturare queste preferenze è il modello di Hotelling. Utilizziamo questo modello per capire qual è l'effetto della competizione sui prezzi: ricordiamo che le ideologie dietro questo modello sono molto importanti: ad ogni consumatore che possiede una coordinata, viene assegnata una preferenza diversa.

Modello di Hotelling in duopolio:

Ipotesi: consumatori equamente distribuiti su uno spazio lungo 1.

V = utilità dal consumo

P = Prezzo del bene offerto dall'impresa 1

1P = prezzo del bene offerto da 2

2t = costo di trasporto unitario

x = coordinata che caratterizza il consumatore. Quindi x non rappresenta più la distanza, ma rappresenta ora quella che nel modello in monopolio veniva rappresentata dalla z.

V - p - t x =

Utilità che il consumatore x ottiene dal consumo del bene offerto:

1. Impresa 1: V - p - t (1-x) = utilità che il consumatore x ottiene dal consumo del bene
2. Impresa 2: utilità che il consumatore x ottiene dal consumo del bene offerto dall'impresa 2

Le linee azzurre indicano quali sono i costi totali per i consumatori: il consumatore che si trova in corrispondenza di 2, pagherà solo il prezzo; poi man mano che si allontana avrà un costo da sostenere pari a p (2) + t (1-x). L'incrocio delle linee identificano il consumatore indifferente.

Per trovare la coordinata del consumatore indifferente uguaglio le espressioni: V - p - t x = V - p - t(1-x) e ottengo: p + t x = p + t(1-x) p + t x = p + t-x t 2tx = p - 2 1 2 1 2 2mp +t x = ½ - (p1-p2)/2t1 m

Negozio 1: x (p ,p )= ½ - (p -p )/2t che indica la frazione dei consumatori che1 2 1 2compra da 1.

Domanda totale di 1: D1(p1,p2) = N*x m(p1, p2)= N(p2-p1+t)/2t N per la frazione

Negozio 2: 1- x (p , p )

Che indica la frazione dei consumatori che compra da 2.1 2 2 m

Domanda totale di 2: D (p , p ) = N*(1- x (p , p )) = N(p -p +t) / 2t 2 1 1 2 1 2

LA DOMANDA è PARI A X(m) PER N (NUMERO TOT DI CONSUMATORI)

Nel caso in cui entrambi i negozi scelgano lo stesso prezzo (p1=p2), x = ½ e quindi il consumatore indifferente si troverà esattamente al centro. La derivata dell’impresa 1 rispetto al suo prezzo sarà 1 2

Calcoliamo i profitti: profitto (p , p ) = (p -c) D (p , p ) profitto (p , p ) = (p -c) D (p ,1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1p )2

Ci chiediamo ora qual è il prezzo ottimo di un’impresa dato il prezzo dell’altra, quindi calcoliamoci le curve di reazione delle due imprese.

L’impresa 1 sceglie un prezzo tale che la derivata del profitto rispetto a p sia =01∂ π 1∂D1 1 ( )