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r w

La funzione di utilità ( ) =

u w 1000 11

Supponiamo che un altro individuo consideri 125 euro con certezza equiv-

alenti alla partecipazione al gioco precedente

125 0 5 1000 0 5 0

: :

e quindi (125) = 0 5

u :

L’individuo ritiene equivalente partecipare a un gioco il cui valore atteso è 500

o avere con certezza 125 euro: è perciò più avverso al rischio dell’individuo

prima visto. 1=3

w

La funzione di utilità in questo caso è ( ) = :

u w 1000 12

1

0.8

0.6

0.4

0.2 0 125 250 375 500 625 750 875 1000

1=3 1=3

w

w

Le funzioni di utilità (in rosso) e ( ) =

( ) =

u u w

w 1000 1000 13

Indipendenza o sostituzione. Tra le distribuzioni di probabilità non esiste

complementarità esempio indipendenza:

(1 ) (1 )

p q p r q r

()

Riduzione. Ai …ni del giudizio di preferenza conta soltanto la probabilità totale

assegnata alle conseguenze e non come essa si forma.

Il teorema dell’utilità attesa

Per dimostrare il teorema dell’utilità attesa, prendiamo in considerazione una

distribuzione che prevede solo due conseguenze certe, e :

p x1 x2

=

p p p

1 2

x1 x2 14

La dimostrazione richiede che

[ ( = ( + (

)] ) )

E U p p p U p U

1 2 1 2

x1 x2 x1 x2

L’utilità attesa ha due proprietà: è additiva nell’utilità delle conseguenze e

1)

lineare nelle probabilità.

2)

1 Assioma di continuità. Ciascuna delle due conseguenze può essere riscritta

: in termini di (la conseguenza migliore) e (la conseguenza peggiore)

m p

( (1 (

) ))

U x U x

m p

1 1

x1 ( ) (1 ( ))

U x U x

m p

2 2

x2

2 Assioma di indipendenza. Ciascuna delle conseguenze può essere sostituita

: nella distribuzione originaria

=

p p p

1 2

x1 x2 (1 (

[ ( ) )) ]

p U x

U x p

m p

1 2

1 1 x2

[ ( ) (1 ( )) ]

p U x U x

m p

1 1 1

[ ( (1 (

) )) ]

p U x U x

m p

2 2 2 15

3 Assioma di riduzione. La distribuzione ottenuta può essere scritta in termini

: delle probabilità totali di e

m p 0 1

2 2

X X

@ A

( 1 (

) )

p p U x p U x

m p

i i i i

1 1

P

2

4 Assioma di continuità. rappresenta l’utilità attribuita a

( )

: p U x p

i

i

1 2

X

[ ( )] = ( )

E U p p U x

i i

1

5 Assioma di monotonicità. Tra due distribuzioni viene preferita quella che ha

: probabilità (utilità) più alta. 16

( )

U x 1

! m

p

1

! x1 ! p

1 ( )

U x 1

p ( )

U x 2

! m

! x2

p

2 ! p

1 ( )

U x 2 17

L’unicità della funzione di utilità

Una distinzione importante tra funzioni di utilità

1. La funzione di utilità de…nita sulle conseguenze, ( ) ;

U x

2. La funzione di utilità riguardante le azioni, [ ( )]

E U x :

Il teorema di unicità riguarda la prima e a¤erma che una funzione di utilità ( )

U x

rappresenta le preferenze sulle azioni allo stesso modo di una funzione di utilità

se e solo se fra le due esiste una relazione lineare: ,

( ) ( ) = + ( )

V x V x a bU x

con 0.

b >

Supponiamo che l’azione sia preferita all’azione – – e che

( ) ( )

p q E U > E U

p q

tra le due funzioni di utilità riguardanti le conseguenze esista una relazione lineare,

. Allora

= +

V a bU

( ) = [ + ] = + ( ) + ( ) = ( )

E V E a bU a bE U > a bE U E V

p p p q q 18

Per converso, supponiamo che e rappresentino le preferenze sulle azioni allo

U V

stesso modo, cioè ( ) ( ) ( ) ( )

E U > E U E V > E V

()

p q p q

Allora, date tre conseguenze x y z

per l’assioma di continuità (1 )

y x z

In termini di utilità e

U V (1)

( ) = ( ) + (1 ) ( )

U y U x U z

( ) = ( ) + (1 ) ( )

V y V x V z

Ricavando ( ) ( ) ( ) ( )

U y U z V y V z

= =

( ) ( ) ( ) ( )

U V

x U z x V z 19

si vede che ( ) ( )

V x V z ( ( ) ( )) + ( )

( ) =

V U y U z V z

y ( ) ( )

U x U z

= + ( )

a bU y

V X

Y

Z X-Z

α

(X-Z) U 20

Perché tra e esiste una relazione lineare

( ) ( )

U : V :

Nel gra…co il vettore è costituito dalla combinazione lineare degli altri due vettori

y = + ( ) = + (1 )

y z x z x z

Questa è l’equazione della retta, scritta in forma vettpriale, che passa per i punti z

e Si noti che nel gra…co il vettore ha coordinate Le coordinate

( ( ) ( ))

x: y U y ; V y :

dei vettori e vanno intese in modo analogo. Se scriviamo per esteso il vettore

x z

come somma degli altri due vettori, otteniamo il sistema di equazioni (1).

y

Esempio

Un individuo a¤erma di scegliere le proprie azioni massimizzando la seguente

funzione 1 2

( ) = (1 + ) (1 + )

E V y y

1 2 21

Possiamo considerarlo un individuo che massimizza l’utilità attesa?

Poiché la scelta riguarda le azioni e non le conseguenze, possiamo adottare una

trasformazione non lineare di Prendendo i logaritmi di ambo i lati, si ha

( )

E V :

ln (1 + + ln (1 +

) )

y y

1 1 2 2

che ha le caratteristiche tipiche (additività, linearità nelle probabilità) dell’utilità

attesa. 22

La scelta in condizioni di certezza

A ogni azione corrisponde una e una sola conseguenza.

Esempio = ( )

a c F a

! 23

Insieme delle conseguenze

Insieme delle decisioni c(a )

a 2

2 c(a )

a 3

3

a c(a )

1

1

Esempio ( ) = ( )

l p f l w l

p ,

= = 2 = 1

p l w l p ; w 24

Insieme delle conseguenze

Insieme delle decisioni π (l )=1

1

1 =1

1 π (l )=0

2

1 =4

2

La scelta in condizioni di incertezza

A ogni azione corrispondono più conseguenze. Di qui le di¢ coltà di ordina-

mento in base alle funzioni di utilità tradizionali. 25

Esempio ( ) = ( )

a; s c F a; s

! Insieme delle conseguenze

Insieme delle decisioni s c(a ,s )

2

a 1 2

1 c(a ,s )

s s 2 2

1 2 c(a ,s )

1 1 c(a ,s )

a 2 1

s

2 1 26

Esempio: Incertezza e pro…tto

L’esempio che segue mostra nell’ambito della teoria dell’impresa che, in presenza

di incertezza, il pro…tto non dipende solo dalle azioni poste in atto, il lavoro

impiegato, ma anche dallo stato del mondo, nell’esempio dal valore dello shock,

che si veri…ca.

2 stati: cattivo tempo bel tempo In‡uenzano il prodotto attraverso

= =

s ; s :

1 2

un disturbo moltiplicativo.

( ) = ( )

l; s p f s; l w l

p ,

= = 2 = 1

p s l w l p ; w ;

( p

p , =

l s s 1

p

s l ,

2 =

l s s 2

Prendiamo in considerazione quattro valori possibili del pro…tto corrispondenti ai

due livelli di impiego di lavoro (1 e 4) che massimizzano il pro…tto per i due valori

dello shock (1 e 2). E’ importante osservare che non esiste il livello ottimo di

impiego di lavoro, perché il pro…tto dipende anche dallo shock. Per esempio, se 27

conviene impiegare una quantità di lavoro pari a 1 (perché

= 1 (1 1) = 1)

s ;

e non a 4 (perché Viceversa, se conviene impiegare una

(4 1) = 0). = 2

; s

quantità di lavoro pari a 4 (perché e non a 1 (perché

(4 2) = 4) (1 2) = 3).

; ;

Il gra…co successivo illustra l’andamento del pro…tto per tutti i valori di e .

L s

Alle stessi conclusioni si giunge se guardiamo all’uguaglianza tra prodotto mar- 28

d 1

1 ) nei due stati del mondo

ginale del lavoro (indicato con ( ) =

f L l 2

2

dL

w

( e salario reale (

= 1 2) = 0 5).

s ; :

p

Non esiste perciò, come invece accade nel caso di certezza, un impiego ottimale

di lavoro indipendentemente dallo stato del mondo. 29


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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti di Economia finanziaria per l'esame del professor Saltari sulla teoria dell'’utilità attesa. Gli argomenti trattati sono i seguenti: le proprietà dell'’utilità attesa, gli assiomi dell’'utilità attesa, l'unicità della funzione di utilità, il paradosso di Allais, la scelta in condizioni di certezza e incertezza.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e commercio (POMEZIA, ROMA)
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher valeria0186 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Economia Finanziaria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Saltari Enrico.

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