Economia finanziaria - la teoria dell’'utilità attesa

ALFABETAMM1 1P PContinuità. Variando la probabilità assegnata alle conseguenze, mutano anche con continuità le preferenze

Esiste un tale che (1) r m p 8EsempioSupponiamo che e Qual è la probabilità che rende = 0 = 1000:p ml'individuo indi¤erente tra ottenere euro con certezza, e 250 = 250;xpartecipare a un gioco in cui può ottenere 0 o 1000 euro con probabilità e Il gra…co mostra il caso di un individuo in cui questa probabilità 1 ?1è . Perciò, Formalmente, ( ) = 0 5u x : :2 250 0 5 1000 0 5 0: :ovvero (250) = 0 5 (1000) + 0 5 (0) = 0 5u : u : u : ;ponendo e Notare che il valore atteso del gioco è (1000) = 1 (0) = 0u u :500. r wLa funzione di utilità in questo caso è La funzione ordinale( ) =u :w 1000p viene "cardinalizzata" …ssando l'origine e l'unità di misura.w 9p1. Quando anche è uguale a 0. Nessuna modi…ca è

necessaria.= 0w ; w2. Quando l'utilità deve essere pari a 1. Questo viene ottenuto= 1000w ;normalizzando a 1 la ricchezza massima, dividendo cioè per 1000.w10.80.60.40.2 0 125 250 375 500 625 750 875 1000 10r wLa funzione di utilità ( ) =u w 1000 11Supponiamo che un altro individuo consideri 125 euro con certezza equiv-alenti alla partecipazione al gioco precedente125 0 5 1000 0 5 0: :e quindi (125) = 0 5u :L'individuo ritiene equivalente partecipare a un gioco il cui valore atteso è 500o avere con certezza 125 euro: è perciò più avverso al rischio dell'individuoprima visto. 1=3wLa funzione di utilità in questo caso è ( ) = :u w 1000 1210.80.60.40.2 0 125 250 375 500 625 750 875 10001=3 1=3wwLe funzioni di utilità (in rosso) e ( ) =( ) =u u ww 1000 1000 13Indipendenza o sostituzione. Tra le distribuzioni di probabilità non esistecomplementarità esempio indipendenza:(1 ) (1 )p q p r q r()Riduzione.

x1

x2

p

p

p1

2x1

x2

1

4

[ ( = ( + ()] ) )

E U p p p U p U1 2 1 2x1 x2 x1 x2

1. lineare nelle probabilità.
2. Assioma di continuità. Ciascuna delle due conseguenze può essere riscritta: in termini di (la conseguenza migliore) e (la conseguenza peggiore)

m p( (1 () ))

U x U xm p1 1x1 ( ) (1 ( ))

U x U xm p2 2x2

2. Assioma di indipendenza. Ciascuna delle conseguenze può essere sostituita: nella distribuzione originaria

p p p1 2x1 x2 (1 ([ ( ) )) ]p U xU x pm p1 21 1 x2[ ( ) (1 ( )) ]p U x U xm p1 1 1[ (

(1 () )) ]p U x U xm p2 2 2 153 Assioma di riduzione. La distribuzione ottenuta può essere scritta in termini: delle probabilità totali di em p 0 12 2X X@ A( 1 () )p p U x p U xm pi i i i1 1P24 Assioma di continuità. rappresenta l'utilità attribuita a( ): p U x pii1 2X[ ( )] = ( )E U p p U xi i15 Assioma di monotonicità. Tra due distribuzioni viene preferita quella che ha: probabilità (utilità) più alta. 16( )U x 1! mp1! x1 ! p1 ( )U x 1p ( )U x 2! m! x2p2 ! p1 ( )U x 2 17L'unicità della funzione di utilitàUna distinzione importante tra funzioni di utilità1. La funzione di utilità de…nita sulle conseguenze, ( ) ;U x2. La funzione di utilità riguardante le azioni, [ ( )]E U x :Il teorema di unicità riguarda la prima e afferma che una funzione di utilità ( )U rappresenta le preferenze sulle azioni allo stesso modo di una funzione di utilitàse e solo

è costituito dalla combinazione lineare degli altri due vettori y = a*x + b*z

Questa è l’equazione della retta, scritta in forma vettpriale, che passa per i punti z e s. Si noti che nel gra…co il vettore ha coordinate (a, b).

Le coordinate dei vettori u e v vanno intese in modo analogo. Se scriviamo per esteso il vettore x come somma degli altri due vettori, otteniamo il sistema di equazioni (1).

Esempio

Un individuo a¤erma di scegliere le proprie azioni massimizzando la seguentefunzione f(x, y) = (1 + x) * (1 + y)

Possiamo considerarlo un individuo che massimizza l’utilità attesa? Poiché la scelta riguarda le azioni e non le conseguenze, possiamo adottare una trasformazione non lineare di V. Prendendo i logaritmi di ambo i lati, si ha V: ln(1 + x) + ln(1 + y)

che ha le caratteristiche tipiche (additività, linearità nelle probabilità) dell’utilità attesa.

scelta in condizioni di certezza

A ogni azione corrisponde una e una sola conseguenza.

Esempio = ( )a c F a! 23

Insieme delle conseguenze

Insieme delle decisioni c(a )a 22 c(a )a 33a c(a )11

Esempio ( ) = ( )l p f l w lp ,= = 2 = 1p l w l p ; w 24

Insieme delle conseguenze

Insieme delle decisioni π (l )=111 =11 π (l )=021 =42

La scelta in condizioni di incertezza

A ogni azione corrispondono più conseguenze. Di qui le di¢ coltà di ordina-mento in base alle funzioni di utilità tradizionali. 25

Esempio ( ) = ( )a; s c F a; s! Insieme delle conseguenzeInsieme delle decisioni s c(a ,s )2a 1 21 c(a ,s )s s 2 21 2 c(a ,s )1 1 c(a ,s )a 2 1s2 1 26

Esempio: Incertezza e pro…ttoL’esempio che segue mostra nell’ambito della teoria dell’impresa che, in presenzadi incertezza, il pro…tto non dipende solo dalle azioni poste in atto, il lavoroimpiegato, ma anche dallo stato del mondo, nell’esempio dal valore dello shock,che si veri…ca.2

stati: cattivo tempo bel tempo In‡uenzano il prodotto attraverso= =s ; s :1 2un disturbo moltiplicativo.( ) = ( )l; s p f s; l w lp ,= = 2 = 1p s l w l p ; w ;( pp , =l s s 1ps l ,2 =l s s 2Prendiamo in considerazione quattro valori possibili del pro…tto corrispondenti aidue livelli di impiego di lavoro (1 e 4) che massimizzano il pro…tto per i due valoridello shock (1 e 2). E’ importante osservare che non esiste il livello ottimo diimpiego di lavoro, perché il pro…tto dipende anche dallo shock. Per esempio, se 27conviene impiegare una quantità di lavoro pari a 1 (perché= 1 (1 1) = 1)s ;e non a 4 (perché Viceversa, se conviene impiegare una(4 1) = 0). = 2; squantità di lavoro pari a 4 (perché e non a 1 (perché(4 2) = 4) (1 2) = 3).; ;Il gra…co successivo illustra l’andamento del pro…tto per tutti i valori di e .L sAlle stessi conclusioni si giunge se guardiamo all’uguaglianza

tra prodotto mar- 28d 11 ) nei due stati del mondo ginale del lavoro (indicato con ( ) =f L l 22dLw( e salario reale (= 1 2) = 0 5). s ; :pNon esiste perciò, come invece accade nel caso di certezza, un impiego ottimale di lavoro indipendentemente dallo stato del mondo. 29 Insieme delle conseguenze Insieme delle decisioni π (s ,l )=4s 2 21 =1 21 π (s ,l )=32 1s s2 1 π (s ,l )=11 =4 1 12 πs (s ,l )=01 1 2 30 Due modi di guardare all’utilità attesa 1. Come scelta tra conseguenze che dipendono dallo stato, = (a;c F s) :Scegliendo un’azione, si sceglie una conseguenza per ciascuno stato del mondo. La conseguenza viene interpretata come una variabile casuale, le cui realizzazioni csono “stato–contingenti”. L’utilità attesa è una funzione di utilità de…nita sui consumi contingenti [ ( )] = [ ( )]E U c E U c ; c ; ; c n1 2. Nell’esempio della tabella, si sceglie tra due variabili casuali: e= =( ) ( ) ( ) ( )c c

:c a ; s ; c a ; s c a ; s c a ; s1 21 1 1 2 2 1 2 2s s1 2( () )a c a ; s c a ; s1 1 1 1 2( ) ( )a c ; s ; sa c a2 2 1 2 2 31Insieme delle conseg