Economia finanziaria - la teoria dell’'utilità attesa

La teoria dell'utilità attesa

Enrico Saltari

Introduzione alla teoria dell'utilità attesa

In un contesto di certezza esiste un legame biunivoco tra azioni e conseguenze: ad ogni azione corrisponde una e una sola conseguenza, e viceversa. Le azioni possono essere perciò ordinate sulla base dell'utilità delle conseguenze.

Esempio certezza 1

Esempio certezza 2

Contesto di incertezza

In un contesto di incertezza, a ciascuna azione corrispondono più conseguenze. La teoria dell'utilità attesa consente di ordinare le azioni quando vi è incertezza.

Esempio incertezza

Fondamenti della teoria

Essa si fonda su due elementi:

• La probabilità attribuita a ciascuna conseguenza di verificarsi: \( p(x_i) \).
• L'utilità assegnata alle conseguenze: \( U(x_i) \).

L'utilità attesa di un'azione è data dalla media ponderata delle utilità delle conseguenze che discendono da quell'azione con un peso pari alla probabilità che hanno di verificarsi: \( E[U(x)] = \sum U(x_i) \cdot p(x_i) \).

Criterio del valore atteso

Il criterio dell'utilità attesa generalizza il criterio del valore atteso: \( E(x) = \sum x \cdot p(x) \).

Un gioco è equo se il guadagno atteso è nullo, ovvero se il prezzo \( x \) che si paga per partecipare al gioco è pari al valore atteso che ci si aspetta di ottenere dal gioco: \( E(x) = x \).

Il paradosso di San Pietroburgo

Il paradosso di S. Pietroburgo mostra come le insufficienze del criterio del valore atteso siano dovute alla valutazione della somma in termini monetari. Il criterio dell'utilità attesa rimuove questa insufficienza valutando le somme vinte in termini di utilità, sicché la valutazione non è più lineare nei payoff \( x_i \). L'utilità attesa continua a essere lineare nelle probabilità.

\( \ldots \)

\( \sum \left(\frac{1}{2}\right)^n = 1 \)

Cosa afferma il teorema dell'utilità attesa

Il teorema dell'utilità attesa afferma che, se il comportamento individuale si conforma a certi assiomi, allora dire che un'azione o una distribuzione di probabilità è preferita ad un'altra distribuzione equivale a dire che ha un'utilità attesa maggiore: \( \sum p(x_i)U(x_i) > \sum q(x_i)U(x_i) \).

Due proprietà dell'utilità attesa

• L'utilità attesa è additiva negli stati. L'utilità che si ottiene in uno stato non influenza l'utilità che si ottiene se si verifica un altro stato: l'utilità dipende solo dalla conseguenza che si verifica ma non dalle altre.
• L'utilità attesa è lineare nelle probabilità. L'utilità attesa è una funzione lineare delle probabilità.

Cosa sono \( p \) e \( q \)

Supponiamo che le distribuzioni abbiano solo due conseguenze, e le distribuzioni \( p \) e \( q \) siano:

• \( c_1 \)
• \( c_2 \)

Gli assiomi dell'utilità attesa

Gli assiomi su cui si fonda la teoria dell'utilità attesa sono i seguenti:

Completezza e coerenza

Tutte le distribuzioni possono essere ordinate e in questo ordinamento non vi è contraddizione: se \( p \geq q \) e \( q \geq r \), allora \( p \geq r \).

Monotonicità

Si preferiscono le distribuzioni che assegnano le conseguenze migliori con la probabilità più elevata: \( m \geq p \) se e solo se \( p_1 \geq p_2 \).

Continuità

Variando la probabilità assegnata alle conseguenze, mutano anche con continuità le preferenze: Esiste un tale \( r \) che \( m = (1 - r)p + r q \).

Esempio

Supponiamo che \( x = 250 \) e \( p = 0.5 \). Qual è la probabilità che rende l'individuo indifferente tra ottenere 250 euro con certezza, e partecipare a un gioco in cui può ottenere 0 o 1000 euro con probabilità \( p \) e \( 1-p \)?

Il grafico mostra il caso di un individuo in cui questa probabilità è \( 0.5 \). Perciò, formalmente, \( u(250) = 0.5 \cdot u(1000) + 0.5 \cdot u(0) \).

Ponendo \( u(1000) = 1 \) e \( u(0) = 0 \). Notare che il valore atteso del gioco è 500.

La funzione di utilità in questo caso è \( u(x) = w(x) \). La funzione ordinale viene "cardinalizzata" fissando l’origine e l’unità di misura.

• Quando \( w = 0 \), nessuna modifica è necessaria.
• Quando \( w = 1000 \), l’utilità deve essere pari a 1. Questo viene ottenuto normalizzando a 1 la ricchezza massima, dividendo cioè per 1000.

\( 0.8, 0.6, 0.4, 0.2 \)