Economia finanziaria - la scelta in condizioni di incertezza

La scelta in condizioni di incertezza

Enrico Saltari 1

Stati di natura e utilità attesa. L’approccio delle

preferenza per gli stati

Il problema posto dall’incertezza riformulato (state-preference approach).

L’individuo sceglie tra le diverse azioni; ma tra ciascuna azione e le relative

conseguenze si interpone un altro “soggetto” che decide quale particolare

evento o stato di natura si veri…cherà.

Se indichiamo con le azioni e con gli stati, le conseguenze sono =

a s y

i j ij

. La matrice con due azioni e due stati.

c a ; s

i j s s

1 2

stati ( ) ( )

1 2

a y y

1 11 12

azioni a y y

2 21 22 2

Proprietà degli stati:

– gli stati descrivono una serie di circostanze che si trovano al di fuori del

controllo individuale;

– almeno uno stato deve veri…carsi: esaustività

– due o più stati non possono veri…carsi simultaneamente: esclusività

L’individuo indica le probabilità che assegna alla realizzazione dei vari stati:

s

1. è un numero compreso nell’intervallo unitario, ovvero 0 1;

s s

P

2. La somma delle probabilità è pari a uno, = 1.

s

s 3

Le conseguenze che derivano da ciascuna azione e le probabilità attribuite agli

stati ci consentono di associare ad ogni azione una distribuzione di probabilità.

La scelta tra le diverse azioni corrisponde così alla scelta di una distribuzione

di probabilità. Se valgono gli assiomi della teoria dell’utilità attesa, l’utilità

attesa della generica azione a X

[ ( )] = ( ) + + ( ) = ( )

E U a U y U y U y

s as

1 a1 S aS s

L’azione è preferita a se e solo se la prima presenta una maggiore utilità

a b

attesa X X

( ) ( )

a b U y > U y

() s as s bs

s s 4

L’ottimo individuale

Beni contingenti e curve di indi¤erenza

Un solo bene: tutte le conseguenze delle varie azioni espresse in termini di

questo bene.

Solo due stati del mondo, = 1 2.

s ;

L’utilità di un’azione ( ) = ( ) + ( )

E U U y U y

1 1 2 2 5

Il bene è contingente o condizionale al veri…carsi di un dato stato: è

y 1

l’ammontare del bene che si ottiene se e solo se si veri…ca lo stato 1; è

y 2

l’ammontare del bene che si ottiene se e solo se si veri…ca lo stato 2. I due

stati sono esclusivi: si otterrà oppure ma non entrambi.

y y

1 2

Curve di indi¤erenza: l’insieme delle distribuzioni, cioè delle azioni, che danno

al consumatore la stessa utilità attesa

una costante ( )

( ) +

( ) = = U

U

E y

y

U 2

1 2

1

Che forma hanno? Il saggio marginale di sostituzione

0

0 + =

( ) = 0 = )

) (

( dy U y dy

dE U U y )

1 2 2 2

1 1 0 ( )

dy U y

2 1 1

= =

SM S 0 ( )

dy U y

1 2 2

0

Poiché la pendenza è negativa (il sms è positivo):curve di in-

( ) 0

U > ;

di¤erenza decrescenti. Se ci muoviamo verso destra e aumenta, deve

y y

1 2

diminuire; altrimenti, ci si trova con distribuzione migliore (stocasticamente

dominante al primo ordine). 6

Di¤erenziando ancora

2 00 0 0 00

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

U =dy

d y y U y U y U y dy

1 1 2 1 2 2 1

2 = 0

>

2 2

0

dy [ ( )]

U y

2 2

1

0 00

Poiché il segno dipende dal segno di Per un individuo

( ) 0, ( ).

U > U

2 2

00

avverso al rischio, è positiva: le curve di

è negativa, sicché

( )

U y =dy

d 2 1

indi¤erenza sono convesse

Esempio. Curve di indi¤erenza e utilità logaritmica

La funzione di utilità de…nita sulle conseguenze sia logaritmica, La

( ) = ln

U y y:

famiglia delle curve di indi¤erenza è de…nita dalla seguente equazione

k

1 2 1 2

ln + ln = ln = =

( ) = =

E y y y y e y y

U k )

1 1 2 2 1 2 1 2

1

k 2

= =

y e y

) 2

2 1 7

0

La pendenza delle curve di indi¤erenza è (perché = 1 )

U =y

0 ( )

U y y

dy 1 1 1 2

2 = = 0

<

0 ( )

dy U y y

1 2 2 2 1

mentre la convessità è confermata dalla derivata seconda

dy

2

2 y y

d y 1 2

dy

2 1 1

= 0

>

2 2

dy ( )

y

2 1

1

dy

2

positiva perché 0

<

dy

1 8

2

stato − π

40

nello 

 − π

k 1

  ⋅

exp y

1

 

− π

contingente 1

20

Bene 0 2 4 6 8 10

Bene contingente nello stato 1 9

00

Se l’individuo è neutrale al rischio, e le curve di indi¤erenza sono

) = 0

(

U 00

delle rette inclinate negativamente. Se propenso al rischio, si ha ( ) 0

U >

e le curve di