Economia finanziaria - la scelta in condizioni di incertezza

La scelta in condizioni di incertezza

Enrico Saltari

Stati di natura e utilità attesa

L'approccio delle preferenze per gli stati

Il problema posto dall'incertezza viene riformulato con l'approccio delle preferenze per gli stati. L'individuo sceglie tra le diverse azioni; ma tra ciascuna azione e le relative conseguenze si interpone un altro "soggetto" che decide quale particolare evento o stato di natura si verificherà.

Se indichiamo con a le azioni e con s gli stati, le conseguenze sono y_ij = a_i s_j. La matrice con due azioni e due stati si presenta così:

Proprietà degli stati:

• Gli stati descrivono una serie di circostanze che si trovano al di fuori del controllo individuale;
• Almeno uno stato deve verificarsi: esaustività;
• Due o più stati non possono verificarsi simultaneamente: esclusività.

L'individuo indica le probabilità che assegna alla realizzazione dei vari stati:

• s_i è un numero compreso nell'intervallo unitario, ovvero 0 ≤ s_i ≤ 1.
• La somma delle probabilità è pari a uno, ∑s_i = 1.

Le conseguenze che derivano da ciascuna azione e le probabilità attribuite agli stati ci consentono di associare ad ogni azione una distribuzione di probabilità. La scelta tra le diverse azioni corrisponde quindi alla scelta di una distribuzione di probabilità. Se valgono gli assiomi della teoria dell'utilità attesa, l'utilità attesa della generica azione a è data da:

E[U(a)] = U(y_a1) s₁ + ... + U(y_aS) s_S

L'azione a è preferita a b se e solo se la prima presenta una maggiore utilità attesa: U(y_as) > U(y_bs).

L'ottimo individuale: beni contingenti e curve di indifferenza

Un solo bene: tutte le conseguenze delle varie azioni espresse in termini di questo bene. Solo due stati del mondo, s = 1, 2.

L'utilità di un'azione è data da E[U] = U(y₁) s₁ + U(y₂) s₂.

Il bene è contingente o condizionale al verificarsi di un dato stato: y₁ è l'ammontare del bene che si ottiene se e solo se si verifica lo stato 1; y₂ è l'ammontare del bene che si ottiene se e solo se si verifica lo stato 2. I due stati sono esclusivi: si otterrà y₁ oppure y₂, ma non entrambi.

Curve di indifferenza: l'insieme delle distribuzioni, cioè delle azioni, che danno al consumatore la stessa utilità attesa, una costante:

U(y₁) s₁ + U(y₂) s₂ = k

Qual è la forma delle curve di indifferenza? Il saggio marginale di sostituzione è dato da:

-dy₂/dy₁ = U'(y₁)/U'(y₂)

Poiché la pendenza è negativa (il saggio marginale di sostituzione è positivo), le curve di indifferenza sono decrescenti. Se ci muoviamo verso destra e y₁ aumenta, y₂ deve diminuire; altrimenti, ci si trova con una distribuzione migliore (stocasticamente dominante al primo ordine).

Differenziando ulteriormente:

U''(y₁) dy₁ + U''(y₂) dy₂ = 0

Poiché il segno dipende dal segno di U''(y₂). Per un individuo avverso al rischio, è positiva: le curve di indifferenza sono convesse.

Esempio: curve di indifferenza e utilità logaritmica

La funzione di utilità definita sulle conseguenze sia logaritmica, U(y) = ln(y). La famiglia delle curve di indifferenza è definita dalla seguente equazione:

ln(y₁) s₁ + ln(y₂) s₂ = ln(k)

La pendenza delle curve di indifferenza è:

-dy₂/dy₁ = U'(y₁)/U'(y₂)

mentre la convessità è confermata dalla derivata seconda:

U''(y) > 0

Se l'individuo è neutrale al rischio, le curve di indifferenza sono rette inclinate negativamente. Se propenso al rischio, si ha U''(y) > 0 e le curve di indifferenza sono più piatte.