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Economia finanziaria - la scelta in condizioni di incertezza Appunti scolastici Premium

Appunti di Economia finanziaria per l'esame del professor Saltari sulla scelta in condizioni di incertezza. Gli argomenti trattati sono i seguenti: gli Stati di natura e l'utilità attesa (l'’approccio della preferenza per gli stati), l'’ottimo individuale (i beni contingenti e curve di indifferenza, il vincolo di bilancio e... Vedi di più

Esame di Economia Finanziaria docente Prof. E. Saltari

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ESTRATTO DOCUMENTO

diritto a ricevere una unità di reddito) siano e In questo

= 1 = 2

P P :

1 2

caso 1 1 3

=

P 1

1 = = = = = =

y y y

) 1 2

2 2 3

P =

2 2

Sostituendo nel vincolo di bilancio

+ = = 18 = ( + )

P y P y W P P y

1 1 2 2 1 2

e perciò 18

W

= = =6

y + 3

P P

1 2

Nella posizione di ottimo l’individuo risulta completamente “assicurato”,

riceve lo stesso reddito qualunque stato del mondo si veri…chi.

Intuizione: Tutti gli scambi che comportano l’invarianza del valore atteso

come un gioco equo + = 0

y y

1 1 2 2

In presenza di un gioco equo l’individuo sceglierà di stabilizzare completa-

mente il proprio reddito, . Con un gioco equo il rapporto di scambio

=

y y

1 2 18

tra i redditi contingenti è, in valore assoluto, . Nell’esempio questo

=

1 2

1=3 questo è esattamente il prezzo relativo stabilito dal

rapporto è = 1 2;

=

2=3

mercato per trasferire risorse dallo stato 1 allo stato 2, cioè = 1 2.

P =P =

1 2

Con questi prezzi l’individuo ha perciò la possibilità di partecipare ad un gioco

W

equo e sceglierà così di porre . Perché in questo caso

= = ?

y y y

1 2 +

P P

1 2

Supponiamo di voler acquistare una unità del bene qualunque sia lo stato del

mondo che si veri…chi. Quanto dobbiamo spendere? Risposta: +

P P :

1 2

W

Quindi, con una ricchezza pari a , possiamo acquistare unità.

W +

P P

1 2 19

18

2

contingente 12

Bene 6 0 6 12 18

Bene contingente 1

2. Sia pari a 5. In questo caso il gioco non è equo perché = 1 2

P = = >

2 1 2

. Siccome il gioco non è equo, si potrebbe pensare che un

1 5 =

= P =P

1 2 20

individuo avverso al rischio non vi prenderà parte, non e¤ettuerà cioè scambi.

Così non è. Poiché nel punto di dotazioni iniziali (14, 2), l’utilità marginale

0

0 1=3 (y )

(y ) U

U 2 2

1 1 ) è minore di quella di (

attesa ponderata di ( = =

y

y 2

1 14

P P

1 2

2=3 ), l’individuo vorrà spostare risorse dalla stato 1 allo stato 2. D’altra

2 5

parte, abbiamo visto che il gioco non è equo perché ; in

= > P =P

1 2 1 2

altre parole, costa di meno (in termini relativi) sul mercato di quanto

y 1

non accadrebbe con un gioco equo. Siccome con un gioco equo si avrebbe

, se costa di meno dovrà essere . In e¤etti, si può

=

y y y y > y

1 2 1 1 2

controllare che con e nella posizione di ottimo e

= 1 = 5 = 8

P P y

1 2 1

In generale: se , il rapporto tra le utilità marginali

= 3 2.

y : = > P =P

2 1 2 1 2

0 0

dovrà essere minore di 1, poiché le utilità marginali sono

( ) ( );

U y < U y

1 2

decrescenti, quest’ultima disuguaglianza implica . Un ragionamento

y > y

1 2

analogo permette di concludere che se , nella posizione di

= < P =P

1 2 1 2

ottimo si dovrà avere y < y :

1 2 21

Esercizio

Sia Sia e Le

( ) = exp ( ), = 1 2. = 1 3 = 2 3.

U y y i ; = =

1 2

i i

dotazioni iniziali siano e I prezzi contingenti siano come

= 14 = 2.

y y

1 2

prima e Determinate l’ammontare di beni contingenti che

= 1 = 2

P P :

1 2

l’individuo desidera avere nei due stati. Che cosa cambia rispetto all’esempio

precedente? Che cosa non cambia? Perché?

Sia ora pari a 5. Calcolate la nuova posizione di ottimo.

P

2 22

Ribadiamo la conclusione generale che discende dalla condizione di ottimo

per un individuo avverso al rischio:

– se , il gioco è equo e la posizione preferita è quella di

=

= P =P

1 2 1 2

certezza in cui = ;

y y

1 2

– se , il bene contingente ha un prezzo relativo minore di

= > P =P y

1 2 1 2 1

quello che avrebbe in un gioco equo e la posizione preferita è quella in cui

;

y > y

1 2

– se , il bene contingente ha un prezzo relativo maggiore

= < P =P y

1 2 1 2 1

di quello che avrebbe in un gioco equo e la posizione preferita è quella in cui

y < y

1 2 23

( ) := −

B y1 y

1

P2

P2

16

12.8

2

contingente 9.6

6.4

Bene 3.2 0 8 16

Bene contingente 1

: 24

La domanda di assicurazione

L’assicurazione è una forma di attività economica che deve la sua esistenza

proprio alla presenza dell’incertezza. Essa viene de…nita come il pagamento

di una certa somma di denaro, il premio, in cambio della riscossione di un

indennizzo se un dato evento si realizza.

Esiste una probabilità che si veri…chi la stato del mondo 1 in cui l’individuo

1

disporrà del reddito ; ed esiste una probabilità che si veri…chi lo stato

y 2

del mondo 2 in cui l’individuo subirà un danno e vedrà pertanto ridotto il

D

suo reddito a y D = =

y y; y y D

1 2

il suo reddito atteso è

+ = + ( ) =

y y y y D y D

1 2 1 2 2

1 2 25

y 2 E Linea di certe zza

B y * -

y y

^

y D

- B

°

45 E

π y y

y - D 1

2

Se può muoversi lungo la di uguale valore atteso

EE

+ = +

y y y y

1 2 1 1 2 2

1 2 26

Sceglierà quella combinazione che giace sulla linea di certezza, = =

y y y

1 2

+ =

+ = = y y y D

y y y 2 2

1 1 2 2 1 1 2

La posizione preferita dall’individuo nel caso in cui possa e¤ettuare scambi

secondo il rapporto è quella che comporta con certezza (non come

=

1 2

valore atteso) un reddito =

y y D

2

Supponiamo ora che l’individuo possa entrare in un contratto assicurativo

dietro il pagamento di un premio unitario : l’individuo paga come

p p I

premio complessivo e riceve in cambio un indennizzo se l’evento contro

I

cui si è assicurato si veri…ca. È chiaro che deve essere minore di 1.

p p

e

rappresenta quanto occorre pagare per avere 1 di indennizzo. Il mercato

assicurativo sia concorrenziale e quindi il premio costituisca un dato

p

Se l’individuo accetta il contratto, il reddito contingente nello stato 1 e quello

nello stato 2 sono e

= = +

y y pI y y D pI I

1 2 27

Variando l’indennizzo, si può spostare reddito dallo stato 1 allo stato 2. Il

rapporto di scambio tra e è

y y

1 2 1

dy =dI p

dy 2

2 = =

dy dy =dI p

1 1

Si noti che se poniamo 1 p P

1

=

p P

2

otteniamo che P

2

=

p +

P P

1 2

Questo rapporto ci dice che è un prezzo relativo: è quanto occorre pagare

p

con certezza ( ) per ottenere una unità di reddito nello stato in cui

+

P P

1 2

si veri…ca il danno ( ).

P

2

Qual è l’ammontare dell’indennizzo che l’individuo sceglierà? Se l’assicu-

razione è equivalente ad un gioco equo, cioè se , l’in-

= (1 )

= p =p

1 2

dividuo sceglierà un indennizzo pari all’ammontare del danno, cioè :

=

I D 28

assicurazione è completa. In presenza di un gioco equo, l’individuo preferirà

la combinazione di redditi contingenti per cui =

y y

1 2

e = = = =

= = + y y I D

) )

y y pI y y D pI I 1 2

1 2

Un’assicurazione è equa se il premio che si paga è uguale al valore atteso

dell’indennizzo, e quindi . Con un’assicurazione equa

= =

pI I p

2 2

l’individuo vorrà avere un reddito certo : l’unico

= =

y y D y pD

2

modo di ottenere questo reddito con certezza è di porre . Il vincolo

=

I D

di bilancio coincide con la retta e la combinazione scelta di redditi

EE

contingenti è .

y

Quale indennizzo verrà scelto se ? Poiché questa disug-

(1 )

= > p =p

1 2

uaglianza implica , l’assicurazione non è equa e l’individuo sceglierà

p > 2

un indennizzo parziale, . Gra…camente, un assicurazione non equa

I < D

comporta che la pendenza del vincolo di bilancio sia minore (in valore asso-

luto) di quella della retta di uguale valore atteso e che la posizione di

EE

b

ottimo sia ora situata in y 29

Obiettivo dell’individuo è di massimizzare la propria utilità attesa scegliendo

opportunamente I max ( )

( ) +

( ) = U

U

E y

y

U 2

1 2

1

I

max ( ) = ( ) + ( + )

E U U y pI U y D pI I

1 2

I

La condizione del primo ordine è

0 0

( ) + ( ) (1 ) = 0 =

U y p U y p )

1 1 2 2

0 1

( )

U p

y

1 1 =

0 p

( )

U y

2 2 30


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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti di Economia finanziaria per l'esame del professor Saltari sulla scelta in condizioni di incertezza. Gli argomenti trattati sono i seguenti: gli Stati di natura e l'utilità attesa (l'’approccio della preferenza per gli stati), l'’ottimo individuale (i beni contingenti e curve di indifferenza, il vincolo di bilancio e il mercato dei beni contingenti), la domanda di assicurazione.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e commercio (POMEZIA, ROMA)
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher valeria0186 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Economia Finanziaria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Saltari Enrico.

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