Economia finanziaria - la scelta in condizioni di incertezza

Che forma hanno? Il saggio marginale di sostituzione

UE yyU 21 21Che forma hanno? Il saggio marginale di sostituzione00 + =( ) = 0 = )) (( dy U y dydE U U y )1 2 2 21 1 0 ( )dy U y2 1 1= =SM S 0 ( )dy U y1 2 20Poiché la pendenza è negativa (il sms è positivo):curve di in-( ) 0U > ;di¤erenza decrescenti. Se ci muoviamo verso destra e aumenta, devey y1 2diminuire; altrimenti, ci si trova con distribuzione migliore (stocasticamentedominante al primo ordine). 6Di¤erenziando ancora2 00 0 0 00( ) ( ) ( ) ( ) ( )U =dyd y y U y U y U y dy1 1 2 1 2 2 12 = 0>2 20dy [ ( )]U y2 210 00Poiché il segno dipende dal segno di Per un individuo( ) 0, ( ).U > U2 200avverso al rischio, è positiva: le curve diè negativa, sicché( )U y =dyd 2 1indi¤erenza sono convesseEsempio. Curve di indi¤enza e utilità logaritmicaLa funzione di utilità de…nita sulle conseguenze sia logaritmica, La( ) = lnU y y:famiglia delle curve di indi¤erenza è

y y U y U y1 2 1 2 1 2curve di indi¤erenza lungo la linea di certezza è sempre pari a .=1 2Il punto delle dotazioni iniziali giace su di una linea di uguale valoreyatteso con equazione + = +y y y y1 1 2 2 1 21 2Se indichiamo le variazioni che hanno luogo nelle disponibilità iniziali per, si hae¤etto degli scambi con = yy yi i i+ = 0y y1 1 2 2In tal modo l’individuo prende parte ad un gioco equo perché il valore attesodi ciò che riceve è uguale al valore atteso di ciò che cede. La pendenza dellaè .EE =1 2 12Quale delle combinazioni che si trovano sulla è preferita dall’individ-EEuo? Quella per cui si ha tangenza tra curva di indi¤erenza e la retta .EEQuest’ultima ha pendenza ; lungo la linea di certezza le curve di=1 2indi¤erenza hanno pendenza pari a .=1 2Intuizione: muovendosi verso sinistra lungo la , l’individuo si sposta versoEEcombinazioni di redditi contingenti che hanno

lo stesso valore atteso ma unaminore variabilità. Essendo avverso al rischio, preferirà quella combinazioneche si trova all’intersezione della con la linea di certezza.

EELungo la linea di certezza e l’equazione della diviene= =y y y EE1 2+ = + =y y y y y1 1 2 2 1 21 2dove . Un individuo avverso al rischio preferisce la certezza= =y y y1 2di ad un gioco equo che ha lo stesso valore atteso (preferisce ad uny ypunto qualsiasi sulla diverso da ) perchéEE y( ) + ( ) = ( ) ( )U y U y E U < U y1 1 2 2Un individuo avverso al rischio con una situazione di certezza come nonyprenderà parte ad un gioco equo. 13Vincolo di bilancio e mercato dei beni contingentiSia possibile scambiare con secondo il prezzo relativo : quantoy y P =P1 2 1 2costa all’individuo “spostare” risorse da uno stato all’altro. Non possibileper il singolo individuo (disporrà di oppure di ), ma con mercati pery y1 2beni contingenti è possibile

Attraverso lo scambio è possibile mutare la propria posizione iniziale. Esempio: mercato assicurativo. Assicurandoci, noi paghiamo un prezzo certo, il cosiddetto premio assicurativo, per ricevere in cambio un dato compenso se e solo se si verifica un determinato evento.

Qual è il vantaggio? Il vantaggio consiste nel fatto che mediante lo scambio è possibile mutare la propria posizione iniziale. Se questa situazione è tale che il mio reddito è elevato se si verifica lo stato 1 e basso se si verifica lo stato 2, se sono avverso al rischio è probabile che desideri una situazione più "bilanciata", meno volatile.

Per effettuare questi scambi, occorre che ci siano tanti mercati condizionali per quanti sono gli stati di natura, occorre cioè che ogni bene condizionale abbia un prezzo. I mercati condizionali sono completi se esiste un mercato per ciascun bene in ogni stato di natura. Se nell'economia vi sono

beni Inizialmente, i mercati sono fisicamente diversi tra loro e stati di natura, ma per la completezza dei mercati è necessaria l'esistenza di mercati in cui sia possibile scambiare beni e ai corrispondenti prezzi. Dati i beni y e i prezzi P, l'individuo ha un vincolo di bilancio che è dato da:

P1y1 + P2y2 = P1y1 + P2y2

I mercati contingenti sono concorrenziali. Se P1 = P2, la retta del vincolo di bilancio coincide con quella di uguale valore atteso. Se P1 < P2, il vincolo di bilancio ha una pendenza minore della linea di uguale valore atteso (la nel grafico). Se P1 > P2, il vincolo di bilancio ha una pendenza maggiore.

La posizione di ottimo individuale si trova nel punto in cui il vincolo di bilancio e la curva di indifferenza sono tangenti. Ci sono due versioni:

Versione 1: U(y1, y2) = U(y1, y2)

Versione 2: P1U(y1) + P2U(y2) = P1U(y1) + P2U(y2)

Queste equazioni rappresentano l'uguaglianza in tutti gli stati tra le utilità marginale attese di ciascun bene contingente ponderate con i prezzi.

rispettivi prezzi.

Alla condizione di ottimo (CO) va aggiunto il vincolo di bilancio (VB):

CO + VB

Perciò: Due equazioni, CO+VB, e due incognite, ey y1 2

Tre situazioni possibili in equilibrio:

1. P1 1 = y y) 1 2 P2 2
2. P1 1 > y y) 1 2 P2 2
3. P1 1 < y y) 1 2 P2 2

Esempio. L’ottimo individuale con utilità logaritmica

1. Sia , Sia e Le dotazioni iniziali( ) = ln = 1 2. = 1 3 = 2 3.
2. U y y i ; = =1 2i isiano e I prezzi contingenti (quanto occorre pagare per il diritto a ricevere una unità di reddito) siano e In questo caso 1 1 3=P 11 = = = = = =y y y) 1 22 2 3P =2 2
3. Sostituendo nel vincolo di bilancio+ = = 18 = ( + )P y P y W P P y1 1 2 2 1 2e perciò 18W= = =6y + 3P P1 2

Nella posizione di ottimo l’individuo risulta completamente “assicurato”, riceve lo stesso reddito qualunque stato del mondo si verifichi.

Intuizione: Tutti gli scambi che comportano

L'invarianza del valore atteso come un gioco equo è data da:

+ = 0y y1 1 2

In presenza di un gioco equo, l'individuo sceglierà di stabilizzare completamente il proprio reddito. Con un gioco equo, il rapporto di scambio tra i redditi contingenti è, in valore assoluto, . Nell'esempio, questo =1 21=3, questo è esattamente il prezzo relativo stabilito dal mercato per trasferire risorse dallo stato 1 allo stato 2, cioè = 1 2.

Con questi prezzi, l'individuo ha quindi la possibilità di partecipare ad un gioco equo e sceglierà così di porre . Perché in questo caso = = ?y y y1 2 +P P1 2

Supponiamo di voler acquistare una unità del bene qualunque sia lo stato del mondo che si verifichi. Quanto dobbiamo spendere? Risposta: +P P :1 2

Quindi, con una ricchezza pari a , possiamo acquistare unità.

W +P P1 2 19182contingente 12Bene 6 0 6 12 18Bene contingente 12. Sia

pari a 5. In questo caso il gioco non è equo perché ¹_2P = >2¹₂. Siccome il gioco non è equo, si potrebbe pensare che un individuo avverso al rischio non vi prenderà parte, non effettuerà cioè scambi. Così non è. Poiché nel punto di dotazioni iniziali (14, 2), l'utilità marginale ⁰₀ ¹₂ (y ⁰₁)(y ⁰₂) ^U₁ ^U₂). è minore di quella di (attesa ponderata di ( ¹₂ = ³), l'individuo vorrà spostare risorse dalla stato 1 allo stato 2. D'altra parte, abbiamo visto che il gioco non è equo perché ¹_2P = >2¹₂; in altre parole, costa di meno (in termini relativi) sul mercato di quanto y ¹non accadrebbe con un gioco equo. Siccome con un gioco equo si avrebbe, se costa di meno dovrà essere ^y₁ ^y₂ > ^y₁ ^y₂. In effetti, si può controllare che con e nella posizione di ottimo ^e = ¹ = 5 = 8P ^y₁ ^y₂ ¹ In generale: se ,