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Economia finanziaria - il modello CAPM Appunti scolastici Premium

Appunti di Economia finanziaria per l'esame del professor Saltari sul modello CAPM. Gli argomenti trattati sono i seguenti: il criterio media-varianza, la teoria dell’utilità attesa, la frontiera dei portafogli efficienti, il titolo privo di rischio, il portafoglio di mercato, la linea di valutazione delle attività... Vedi di più

Esame di Economia Finanziaria docente Prof. E. Saltari

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ESTRATTO DOCUMENTO

Due portafogli, il portafoglio A e il portafoglio B, caratterizzati da una media, e

μ

• A

2 2

, e da una varianza, e . Il portafoglio A è preferito o domina il portafoglio

σ σ

μ

B A B

B se A ha un rendimento atteso maggiore di quello di B e una varianza uguale o

minore di B; oppure, se A presenta una varianza minore e insieme un rendimento

atteso uguale o maggiore di B 2 2

e

> μ σ σ

μ ≤

A B A B

oppure 2 2 e

σ < σ μ μ

A B

A B

Il criterio media-varianza e la teoria dell’utilità attesa

In quali casi l’approssimazione non è rilevante sicché il criterio media-varianza e quello

• dell’utilità attesa danno luogo alla medesima scelta? 4

La risposta intuitiva a questa domanda è chiara: il criterio di scelta fondato sull’utilità

• attesa dipende dalla funzione di utilità delle conseguenze e dalla loro distribuzione di

probabilità. Se una di queste due funzioni può essere definita in termini soltanto di

media e varianza, i due criteri conducono alla stessa scelta.

Partiamo dalla funzione di utilità e effettuiamo un’espansione in serie di Taylor di

• questa funzione nell’intorno di (y ) =

E μ

s 1

0 00 2

(y ) = (μ) + (μ) (y + (μ) (y +

U U U μ) μ)

U

− −

s s s

2

1 000 3

+ +

(μ) (y μ)

U − · · ·

s

3! 5

Prendendo l’aspettativa di questa espressione, otteniamo l’utilità attesa

1

0 00 2

)] = (μ) + (μ) (y + (μ) (y +

[U (y U U E μ) E μ)

E U

− −

s s s

2

1 000 3

+ (μ) (y +

E μ)

U − · · ·

s

3! 1 1

00 000 3

2

= (μ) + (μ) + (μ) (y +

U σ E μ)

U U − · · ·

s

2 3!

In quali casi nell’espansione in serie dell’utilità

perché = (y ) = 0.

(y μ) E μ

E − −

s s

attesa contano soltanto media e varianza? I casi possibili sono due.

Funzione di utilità quadratica

Se la funzione di utilità è quadratica

• 1 2

) = +

(y c by

U dy

s s s

2 6

dove e sono delle costanti positive, ovvero

c, b d 1 2

) =

(y y

U ay

s s s

2

dove Prendendo l’aspettativa

=

d/b a. ³ ´ ³ ´

1 1

2 2 2

[U (y )] = (y ) = +

E E y μ σ μ

aE a

− −

s s s

2 2

³ ´ 2

2 2

perché . L’utilità attesa dipende soltanto da media e

= [E (y )]

σ E y − s

s

varianza, proprio come richiede il criterio M-V

La forma delle curve di indifferenza. Differenziando

[U (y )]} = 0 = =⇒

d dμ aμdμ aσdσ

{E − −

s dμ aσ

= 0

>

1

dσ aμ

− 7

Le curve di indifferenza sono crescenti: per mantenere l’utilità attesa costante, ad un

aumento dello scarto quadratico medio deve corrispondere un aumento del rendimento

atteso. Derivando ulteriormente

2 2

(1 + (dμ/dσ)

d a aμ) a

μ σ

= 0

>

2

2

dσ (1 aμ)

Le curve di indifferenza sono convesse, l’aumento di è più che proporzionale rispetto

μ

all’aumento di σ 8

μ

μ B B

C

μ A A σ σ

σ B

A Figura 1:

Lacune della funzione di utilità quadratica.

1. Graficamente la funzione di utilità quadratica è una parabola con un punto di

• Dopo questo punto l’utilità marginale diviene negativa,

massimo per = 1/a.

y

s

contraddicendo il requisito della monotonicità. 9

2. Il coefficiente di avversione assoluta al rischio è

λ

00 (y ) a

U s =

) =

(y

λ −

s 0 1 ay

(y )

U s

s

Deriviamo rispetto a :

λ y

s 2

a

0 (y ) = 0

λ >

s 2

(1 )

ay

− s

L’avversione assoluta al rischio è crescente, un’implicazione poco plausibile

Distribuzione normale dei rendimenti dei portafogli

Se i rendimenti dei portafogli sono normalmente distribuiti, l’intera distribuzione di

• probabilità dipende soltanto dalla media e dalla varianza (i momenti dispari intorno

alla media sono nulli, mentre quelli pari dipendono dalla varianza). 10

Con l’ipotesi di normalità dei rendimenti l’utilità attesa è funzione soltanto di media

• e varianza, basta fare alcune sostituzioni. Se i rendimenti dei portafogli seguono una

distribuzione normale, l’utilità attesa è " #

+∞

Z 2

1 (y μ)

s

[U (y exp

)] = (y )

E U dy

s s s

2

σ

−∞

Ponendo 1

y μ

s e perciò

= =

v dv dy

s

σ σ

e sostituendo, otteniamo à !

+∞

Z 2

1 v

[U (y exp

)] = (μ +

E U vσ) dv

s 2

−∞

+∞

Z

= (μ + (v)

U vσ) g dv

−∞

dove è la normale standardizzata e l’utilità attesa dipende solo da e

g(v) μ σ.

11

Le curve di indifferenza sono crescenti e convesse.

• Perché i rendimenti dei portafogli dovrebbero essere normalmente distribuiti? Il teo-

• rema del limite centrale. Consideriamo un portafoglio qualsiasi: il rendimento di

questo portafoglio è dato dalla somma dei rendimenti dei singoli titoli, ciascun ad-

dendo essendo pesato con la quota della ricchezza rivolta all’acquisto dei titoli che

entrano nel portafoglio. Naturalmente, se il rendimento di ogni titolo ha una distribu-

zione normale, anche il rendimento del portafoglio seguirà una distribuzione normale

perché una combinazione lineare di variabili normalmente distribuite ha anch’essa una

distribuzione normale.

Ma, in generale, i rendimenti dei titoli non hanno una distribuzione normale. Ed è a

• questo riguardo che possiamo fare appello al teorema del limite centrale. Questo teo-

rema afferma che la somma di un dato numero di variabili casuali ha una distribuzione

che tende alla normale al crescere del numero di variabili casuali considerate. Quanto

maggiore è il numero dei titoli che entrano nel portafoglio tanto più la distribuzione

del rendimento del portafoglio approssima la normale. 12

L’approssimazione dipende da due elementi: (i) dal grado di correlazione tra i ren-

• dimenti dei titoli; quanto minore è la correlazione tanto migliore è l’approssimazione

alla normale; (ii) dalla misura in cui la distribuzione dei rendimenti dei singoli titoli

approssima la distribuzione normale.

La distribuzione normale pone alcuni vincoli alla teoria dell’utilità attesa. In primo

• luogo, occorre che la funzione di utilità sia definita per lo stesso intervallo di variazione

di una variabile con una distribuzione normale, cioè tra e Ma alcune

+∞.

−∞

funzioni di utilità non sono definite per valori negativi: ad esempio, una funzione di

utilità come non siamo liberi di postulare qualsivoglia rappresentazione delle

ln (y ):

s

preferenze. In secondo luogo, è realistico ipotizzare che il rendimento possa assumere

valori negativi e infinitamente elevati o se, viceversa, non è più plausibile ipotizzare

che il rendimento (negativo) non possa eccedere un certo limite, data la possibilità di

fallimento? 13

La frontiera dei portafogli efficienti (solo titoli rischiosi)

Costruiamo ora l’insieme dei portafogli disponibili, ossia l’insieme dei portafogli che

• possono essere formati a partire dal titolo 1 e 2. Se applichiamo a questo insieme il

criterio media-varianza, troveremo che alcuni portafogli risultano dominanti ed altri

sono dominati. I portafogli dominanti in base al criterio media-varianza vengono

definiti portafogli efficienti.

Analiticamente è più semplice determinare il sottoinsieme di quei portafogli che hanno

• la varianza minore a parità di rendimento atteso: questi vengono detti portafogli di

varianza minima. Il sottoinsieme dei portafogli con varianza minima è più ampio di

quello dei portafogli efficienti. Un portafoglio efficiente ha una varianza minore di tutti

gli altri portafogli che hanno lo stesso rendimento atteso, ma non è necessariamente

vero il contrario: un portafoglio con varianza minima potrebbe non essere efficiente.

14

μ M

μ C

Α A

μ Β B ’

M σ

Figura 2:

0

L’intera curva (compresa la parte tratteggiata) rappresenta la frontiera dei

M M 0 troviamo il

portafogli di minima varianza; per ogni dato livello di su

μ, M M

portafoglio che ha uno scarto quadratico medio, e perciò una varianza, minima. La

0 , è la frontiera dei

parte non tratteggiata della curva, il tratto crescente di

AM MM

portafogli efficienti. 15

Supporremo inoltre che il titolo 1 abbia un rendimento atteso più elevato del titolo

• , ma che sia anche più rischioso, . Il rendimento atteso di un

2, > μ σ > σ

μ 1 2

1 2

portafoglio è +

= μ α μ

μ α

1 2

1 2

mentre la varianza è 2 21 21 22 22

= + + 2α =⇒

σ α σ α σ α σ

1 2 12

2 21 21 22 22

= + + 2α

α σ α σ α ρσ σ

σ 1 2 1 2

Il problema di minima varianza

2 21 21 22 22

min = + + 2α

σ α σ α σ α ρσ σ

1 2 1 2

α ,α

1 2

sotto i vincoli che e

= + + = 1

μ α μ α μ α α

1 2 1 2

1 2 16

Dai vincoli possiamo ricavare direttamente i valori di e .

α α

• 1 2

+ (1 ) = (μ ) + =⇒

= μ α μ α μ μ

μ α − −

1 1 1

1 2 1 2 2

μ μ μ μ

− −

2 1

e

= =

α α

1 2

μ μ μ μ

− −

1 2 1 2

2

Sostituendo questi valori di e nell’espressione di

α α σ

1 2 2 2

2 2 2

1

= [σ (μ ) + (μ +

σ μ σ μ)

− −

2 1

1 2

2

(μ )

−μ

1 2

+2ρσ (μ ) (μ

σ μ μ)]

− −

1 2 2 1

³ ´

2 2 2 2 2

1 + 2ρσ 2[σ +

= σ σ σ μ μ σ μ

{ − − −

1 2 2 1

1 2 1 2

2

(μ )

−μ

1 2 ³ ´

2 2 2 2

(μ + )]μ + + 2ρσ

σ μ σ μ σ μ σ μ μ

− }

−ρσ 1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 2 1

ovvero ³ ´

1

2 2

= 2Bμ +

σ Aμ C

2

(μ )

μ

1 2

21 22 21 22

dove ,

= + 2ρσ = + (μ + ), =

A σ σ σ B σ μ σ μ ρσ σ μ C

− −

1 2 1 2

2 1 1 2

21 22 22 21 .

+ 2ρσ

σ μ σ μ σ μ μ

− 1 2 1 2 17

Questa è l’equazione di una parabola. Se prendiamo la radice quadrata

• q

1 2 2Bμ +

= Aμ C

σ −

μ μ

1 2

otteniamo l’equazione di un’iperbole nel piano scarto quadratico medio-rendimento

atteso 18

( )

b

)

( a

σ σ

B

σ 1

σ A

2 M 45°

α σ

1

0 1 ( )

d

)

( c μ

μ μ

B B

μ 1

1 M M

A

μ μ A

2 2

α σ σ σ

1

0 1 2 1 19

Figura 3:

La parte (a): il grafico dello scarto quadratico medio del portafoglio in funzione di α

1

q 2

21 21 22

= + (1 ) + 2α (1 )

σ α σ α σ α ρσ σ

− −

1 1 1 1 2

La parte (c): il grafico dell’equazione .

= (μ ) +

μ α μ μ

1 1 2 2

o

La parte (b) è una retta inclinata a 45

Perfetta correlazione positiva tra i rendimenti

Se i rendimenti sono perfettamente correlati in senso positivo, tra i rendimenti dei

• due titoli in ciascuno stato del mondo esiste una relazione lineare positiva, =

R

1s

, dove e sono delle costanti come pure tra i rendimenti attesi

+ a b

a bR

2s X

= (a + ) = +

μ π bR a bμ

s 2s

1 2 20

Lo scarto quadratico medio del titolo 1 è

• q 2

= [(a + ) (a + )] =

E bR bμ bσ

σ −

1 2s 2

2

mentre per la covarianza 22

= [(a + ) (a + )] [R ] =

σ E bR bμ μ bσ

− −

12 2s 2s

2 2

Il coefficiente di correlazione è 22

σ 12

= = =1

ρ 2

σ σ bσ

1 2 2

Se la varianza del portafoglio è

= 1,

ρ 2

2 21 21 22

= + (1 ) + 2α (1 )

σ α σ α σ α ρσ σ

− −

1 1 1 1 2

2

= [α + (1 ) ]

σ α σ

1 1 1 2

e perciò lo scarto quadratico medio del portafoglio è

= + (1 )

σ α σ α σ

1 1 1 2 21

Sostituendo dalla prima equazione

α

1 μ μ

− 2

= (σ ) +

σ σ σ

1 2 2

μ μ

1 2

La frontiera dei portafogli efficienti è una retta 22

( )

a ( b)

σ

σ B

σ 1 A

σ 2 45° σ

α

1

0 1 ( )

d

( c)

μ μ

μ

B B

μ 1

1 A

μ μ A

2 2 σ

σ

σ

α

1

0 1

2

1 23

Figura 4:

Unica differenza: nella parte (a) è rappresentata una retta invece che un’iperbole. Se

• tra i rendimenti dei due titoli esiste una perfetta correlazione positiva, ogni aumento di

comporta un aumento del rendimento atteso del portafoglio ma anche un aumento

α

1

della variabilità

Perfetta correlazione negativa tra i rendimenti

Tra i rendimenti dei due titoli in ciascuno stato del mondo esiste una relazione lineare

• . Il rendimento atteso del titolo 1 è

negativa, = a bR

R −

1s 2s X

= (a ) =

μ π bR a bμ

− −

s 2s

1 2

mentre il suo scarto quadratico medio è

q 2

= [(a ) (a )] =

E bR bμ bσ

σ − − −

1 2s 2

2 24

La differenza importante rispetto all’altro caso polare è data dalla covarianza

22

= [(a ) (a )] [R ] =

σ E bR bμ μ

− − − − −bσ

12 2s 2s

2 2

Quando il rendimento di un titolo si trova al di sopra della propria media, il rendimento

dell’altro titolo è minore della sua media.

Il coefficiente di correlazione

• 22

−bσ

σ 12 = =

=

ρ −1

2

σ σ bσ

1 2 2

Se la varianza del portafoglio è

=

ρ −1, 2

2 21 21 22

= + (1 ) + 2α (1 )

α σ α σ α ρσ σ

σ − −

1 1 1 1 2

2

= [α (1 ) ]

σ α σ

− −

1 1 1 2

Dobbiamo prendere il valore assoluto del termine in parentesi. Per definizione lo scarto

quadratico medio è positivo = (1 )

σ σ α σ

|α − − |

1 1 1 2 25

Se e perciò se

(1 ) 0

α σ α σ >

− −

1 1 1 2 σ 2

α >

1 +

σ σ

1 2

lo scarto quadratico medio è

= (1 ) = (σ + )

σ α σ α σ σ α σ

− − −

1 1 1 2 1 2 1 2

σ 2

mentre per valori di , lo scarto quadratico medio è

α <

1 +σ

σ 1 2

= (1 ) = (σ + )

σ α σ α σ σ σ α

− − −

1 2 1 1 2 1 2 1

Queste due rette si trovano nella parte (a) 26

( )

a ( b)

σ

σ B

σ 1 A

σ 2 45°

M

0 σ

α

1

0 1 ( )

d

( c) μ

μ μ

B B

μ 1

1 M M

A μ

μ A

2

2 σ

α σ

σ

1

0 1 1

2 27

Figura 5:

In questo caso è possibile ridurre a zero lo scarto quadratico medio del portafoglio. Il

per cui ciò avviene è

valore di α

1 σ 2

+

σ σ

1 2

La possibilità di azzerare la variabilità dei rendimenti è dovuta alla loro perfetta cor-

relazione negativa. Anche la parte (d) è costituita da una spezzata la cui equazione

è ¯ ¯

¯ ¯

μ μ

¯ ¯

2

= (1 ) = (σ + )

σ σ α σ σ σ

|α − − | −

¯ ¯

1 1 1 2 1 2 2

¯ ¯

μ μ

1 2

La frontiera dei portafogli efficienti è data dal tratto continuo MB. Tutti i casi

intermedi per cui sono compresi tra i due analizzati.

1

< ρ <

−1 28

μ A

−1

=

ρ ,5

R 0,5

0

0

μ 1

=

R =

=

ρ

= ρ

ρ

ρ B σ

Figura 6:

A mano a mano che la correlazione tra i rendimenti dei due titoli diminuisce, è possibile

ridurre la loro variabilità a parità di rendimento atteso. Quanto più i rendimenti dei

due titoli tendono a muoversi in direzione opposta relativamente alle rispettive medie,

tanto più è possibile combinarli nel portafoglio in modo da attenuare la loro variabilità.

29

La frontiera dei portafogli con un titolo privo di rischio

La frontiera efficiente è una retta. Componiamo un portafoglio in cui una quota α

• 0

della ricchezza è impiegata nel titolo privo di rischio e la quota residua in un

1 α

− 0

portafoglio composto soltanto da titoli rischiosi

A = + (1 )

μ α R α μ

0 0 0 A

mentre il suo scarto quadratico medio è

q 2 2

= (1 ) = (1 )

σ α σ α σ

− −

0 0 A

A

Dall’ultima equazione otteniamo un’espressione per la quota di ricchezza investita nei

titoli rischiosi: σ

=

1 α

− 0 σ A 30

Se sostituiamo questa espressione nell’equazione del rendimento atteso

à !

σ σ

1 + =

= R μ

μ − 0 A

σ σ

A A

μ R

− 0

A

+

= σ

R

0 σ A

In presenza di un titolo privo di rischio la relazione tra e è una retta.

μ σ 31

μ T

B

A

R 0 σ

Figura 7:

Tre possibili rette: ciascuna si distingue dalle altre perché combina il titolo privo di

rischio con un diverso portafoglio di titoli rischiosi, o . L’equazione che prima

A, B T

abbiamo ricavato si riferisce alla retta A.

R

0

Se ci si basa sul criterio media-varianza, si preferiscono i portafogli che si trovano

• 32

lungo la retta a quelli che si trovano sulla

R B R A

0 0

Se indichiamo questo portafoglio con , la frontiera efficiente in presenza di un titolo

T

• privo di rischio assume la seguente forma μ R

− 0

T

= +

μ R σ

0 σ T e

L’equazione rimane indeterminata finché non siamo in grado di calcolare σ ,

μ T

T

finché cioè non conosciamo la composizione del portafoglio di tangenza.

La derivazione formale della frontiera

Se accanto ai due titoli rischiosi ce n’è un terzo che offre un rendimento certo, , il

R

• 0

rendimento atteso di un portafoglio è

= + + = + (μ ) + (μ )

μ α R α μ α μ R α R α R

− −

0 0 1 2 0 1 0 2 0

1 2 1 2 33

P

perché = 1.

α

i

L’equazione della varianza rimane tuttavia inalterata perché la varianza del titolo con

• il rendimento certo è ovviamente nulla.

La ricerca del portafoglio con varianza minima a parità di rendimento atteso si traduce

• nella soluzione del seguente problema di minimo

³ ´

1

1 2 2 2 2 2

min = + + 2ρσ

α σ α σ σ α α

σ 1 2 1 2

1 1 2 2

α ,α 2 2

1 2

con il vincolo (μ ) + (μ ) +

= R α R R

μ α − −

1 0 2 0 0

1 2

Formando il lagrangiano

1 2 + [μ (α (μ ) + (μ ) + )]

= λ R α R R

σ − − −

L 1 0 2 0 0

1 2

2 34

e derivando ⎧ ∂L

⎪ 2

⎪ = + (μ ) = 0

α σ ρα σ σ λ R

− −

⎪ 1 2 1 2 0

1

⎨ 1

∂α

1

∂L

⎪ 2

⎪ = + (μ ) = 0

ρα σ σ α σ λ R

− −

⎪ 1 1 2 2 0

2

2

⎩ ∂α

2

Determiniamo media e varianza del portafoglio di tangenza dove + = 1.

α α

• 1 2

1. Risolviamo le prime due equazioni del sistema per e

α α

1 2

h i

λ 2

= (μ ) (μ )

α σ R ρσ σ R

− − −

1 0 1 2 0

1 2

2

∆ h i

λ 2

= (μ ) (μ )

α σ R ρσ σ R

− − −

2 0 1 2 0

2 1

1

³ ´

2 2 2

dove .

∆ = 1

σ σ ρ

1 2 35


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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti di Economia finanziaria per l'esame del professor Saltari sul modello CAPM. Gli argomenti trattati sono i seguenti: il criterio media-varianza, la teoria dell’utilità attesa, la frontiera dei portafogli efficienti, il titolo privo di rischio, il portafoglio di mercato, la linea di valutazione delle attività (SML).


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e commercio (POMEZIA, ROMA)
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher valeria0186 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Economia Finanziaria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Saltari Enrico.

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