Economia finanziaria - il modello CAPM

Il criterio media-varianza e il modello CAPM

Enrico Saltari 1

Il criterio media-varianza

Se è la quota della ricchezza destinata all’acquisto del titolo 1 e è la quota α α• 1 2 impiegata nell’acquisto del titolo 2, il valore finale della ricchezza nello stato è s= [α (1 + ) + (1 + )] = (α + )y W r α r W R α Rs 1 1s 2 2s 1 1s 2 2s

Per semplificare, supporremo che la ricchezza iniziale sia pari a 1, = 1.W

Calcoliamo media e varianza di un portafoglio qualsiasi. Prendendo l’aspettativa • (y ) = (R ) + (R ) = +μ E α E α E α μ α μ≡ s 1 1s 2 2s 1 21 2

Il rendimento medio di un portafoglio, è perciò pari alla combinazione lineare dei μ, e , dei due titoli. rendimenti medi, μμ1 2 2

La varianza del portafoglio, , è σ• 22 = [α + (α + )] =⇒σ E R α R μ α μ−1 1s 2 2s 1 21 2 222 = [α (R ) + (R )]σ E μ α μ− −1 1s 2 2s1 2

Svolgendo il quadrato, si ha 2 22 21 22= (R ) + (R )σ α E μ α E μ− −1s 2s1 2 +2α [(R ) (R )]α E μ μ− −1 2 1s 2s1 221 21 22 22= + + 2αα σ α σ α σ1 2 1221 22

e sono le varianze dei rendimenti dei due titoli e è la covarianza. σ σ σ 12

Il criterio media-varianza afferma che le preferenze individuali sono caratterizzate • soltanto da questi due parametri. Gli individui preferiscono quei portafogli che presentano un rendimento atteso maggiore a parità di rischiosità e, al tempo stesso, una rischiosità minore a parità di rendimento atteso³ ´2(U ) = μ, σE V∂V ∂Vcon e0 0.> <2∂μ ∂σ 3

Due portafogli, il portafoglio A e il portafoglio B, caratterizzati da una media, e μ• A2 2, e da una varianza, e . Il portafoglio A è preferito o domina il portafoglio σ σμB A BB se A ha un rendimento atteso maggiore di quello di B e una varianza uguale o minore di B; oppure, se A presenta una varianza minore e insieme un rendimento atteso uguale o maggiore di B 2 2e> μ σ σμ ≤A B A B oppure 2 2 eσ < σ μ μ≥A BA B

Il criterio media-varianza e la teoria dell’utilità attesa

In quali casi l’approssimazione non è rilevante sicché il criterio media-varianza e quello • dell’utilità attesa danno luogo alla medesima scelta? 4

La risposta intuitiva a questa domanda è chiara: il criterio di scelta fondato sull’utilità attesa • dipende dalla funzione di utilità delle conseguenze e dalla loro distribuzione di probabilità. Se una di queste due funzioni può essere definita in termini soltanto di media e varianza, i due criteri conducono alla stessa scelta.

Partiamo dalla funzione di utilità e effettuiamo un’espansione in serie di Taylor di • questa funzione nell’intorno di (y ) =E μs 10 00 2(y ) = (μ) + (μ) (y + (μ) (y +U U U μ) μ)U− −s s s21 000 3+ +(μ) (y μ)U − · · ·s3! 5

Prendendo l’aspettativa di questa espressione, otteniamo l’utilità attesa 10 00 2)] = (μ) + (μ) (y + (μ) (y +[U (y U U E μ) E μ)E U− −s s s21 000 3+ (μ) (y +E μ)U − · · ·s3! 1 100 000 32= (μ) + (μ) + (μ) (y +U σ E μ)U U − · · ·s2 3!

In quali casi nell’espansione in serie dell’utilità perché = (y ) = 0.(y μ) E μE − −s s attesa contano soltanto media e varianza? I casi possibili sono due.

Funzione di utilità quadratica

Se la funzione di utilità è quadratica • 1 2) = +(y c byU dy−s s s2 6

dove e sono delle costanti positive, ovvero c, b d 1 2) =(y yU ay−s s s2 dove Prendendo l’aspettativa=d/b a. ³ ´ ³ ´1 12 2 2[U (y )] = (y ) = +E E y μ σ μaE a− −s s s2 2³ ´ 22 2 perché . L’utilità attesa dipende soltanto da media e = [E (y )]σ E y − s s varianza, proprio come richiede il criterio M-V

La forma delle curve di indifferenza. Differenziando [U (y )]} = 0 = =⇒d dμ aμdμ aσdσ{E − −s dμ aσ= 0>1dσ aμ− 7

Le curve di indifferenza sono crescenti: per mantenere l’utilità attesa costante, ad un aumento dello scarto quadratico medio deve corrispondere un aumento del rendimento atteso. Derivando ulteriormente 2 2(1 + (dμ/dσ)d a aμ) aμ σ−= 0>22dσ (1 aμ)−

Le curve di indifferenza sono convesse, l’aumento di è più che proporzionale rispetto μ all’aumento di σ 8μμ B BCμ A A σ σσ BA Figura 1:

Lacune della funzione di utilità quadratica.

• Graficamente la funzione di utilità quadratica è una parabola con un punto di • Dopo questo punto l’utilità marginale diviene negativa, massimo per = 1/a.ys contraddicendo il requisito della monotonicità. 9
• Il coefficiente di avversione assoluta al rischio è λ00 (y ) aU s =) =(yλ −s 0 1 ay−(y )U ss

Deriviamo rispetto a :λ ys 2a0 (y ) = 0λ >s 2(1 )ay− s

L’avversione assoluta al rischio è crescente, un’implicazione poco plausibile.

Distribuzione normale dei rendimenti dei portafogli

Se i rendimenti dei portafogli sono normalmente distribuiti, l’intera distribuzione di • probabilità dipende soltanto dalla media e dalla varianza (i momenti dispari intorno alla media sono nulli, mentre quelli pari dipendono dalla varianza). 10

Con l’ipotesi di normalità dei rendimenti l’utilità attesa è funzione soltanto di media • e varianza, basta fare alcune sostituzioni. Se i rendimenti dei portafogli seguono una distribuzione normale, l’utilità attesa è " #+∞Z 21 (y μ)−s√[U (y exp)] = (y )E U dy−s s s22σ2πσ−∞

Ponendo 1y μ−s e perciò= =v dv dysσ σ e sostituendo, otteniamo à !+∞Z 21 v√[U (y exp)] = (μ +E U vσ) dv−s 22π−∞ +∞Z= (μ + (v)U vσ) g dv−∞

dove è la normale standardizzata e l’utilità attesa dipende solo da e g(v) μ σ.11

Le curve di indifferenza sono crescenti e convesse. •

Perché i rendimenti dei portafogli dovrebbero essere normalmente distribuiti? Il teorema del limite centrale. Consideriamo un portafoglio qualsiasi: il rendimento di • questo portafoglio è dato dalla somma dei rendimenti dei singoli titoli, ciascun addendo essendo pesato con la quota della ricchezza rivolta all’acquisto dei titoli che entrano nel portafoglio. Naturalmente, se il rendimento di ogni titolo ha una distribuzione normale, anche il rendimento del portafoglio seguirà una distribuzione normale perché una combinazione lineare di variabili normalmente distribuite ha anch’essa una distribuzione normale.

Ma, in generale, i rendimenti dei titoli non hanno una distribuzione normale. Ed è a • questo riguardo che possiamo fare appello al teorema del limite centrale. Questo teorema afferma che la somma di un dato numero di variabili casuali ha una distribuzione che tende alla normale al crescere del numero di variabili casuali considerate. Quanto maggiore è il numero dei titoli che entrano nel portafoglio tanto più la distribuzione del rendimento del portafoglio approssima la normale. 12

L’approssimazione dipende da due elementi: (i) dal grado di correlazione tra i rendimenti dei titoli; quanto minore è la correlazione tanto migliore è l’approssimazione • alla normale; (ii) dalla misura in cui la distribuzione dei rendimenti dei singoli titoli approssima la distribuzione normale.

La distribuzione normale pone alcuni vincoli alla teoria dell’utilità attesa. In primo • luogo, occorre che la funzione di utilità sia definita per lo stesso intervallo di variazione di una variabile con una distribuzione normale, cioè tra e Ma alcune +∞.−∞ funzioni di utilità non sono definite per valori negativi: ad esempio, una funzione di utilità come non siamo liberi di postulare qualsivoglia rappresentazione delle ln (y ):s preferenze. In secondo luogo, è realistico ipotizzare che il rendimento possa assumere valori negativi e infinitamente elevati o se, viceversa, non è più plausibile ipotizzare che il rendimento (negativo) non possa eccedere un certo limite, data la possibilità di fallimento? 13

La frontiera dei portafogli efficienti (solo titoli rischiosi)

Costruiamo ora l’insieme dei portafogli disponibili, ossia l’insieme dei portafogli che • possono essere formati a partire dal titolo 1 e 2. Se applichiamo a questo insieme il criterio media-varianza, troveremo che alcuni portafogli risultano dominanti ed altri sono dominati. I portafogli dominanti in base al criterio media-varianza vengono definiti portafogli efficienti.

Analiticamente è più semplice determinare il sottoinsieme di quei portafogli che hanno • la varianza minore a parità di rendimento atteso: questi vengono detti portafogli di varianza minima. Il sottoinsieme dei portafogli con varianza minima è più ampio di quello dei portafogli efficienti. Un portafoglio efficiente ha una varianza minore di tutti gli altri portafogli che hanno lo stesso rendimento atteso, ma non è necessariamente vero il contrario: un portafoglio con varianza minima potrebbe non essere efficiente.14

μ Mμ CΑ Aμ Β B ’M σFigura 2:0

L’intera curva (compresa la parte tratteggiata) rappresenta la frontiera dei M M 0 troviamo il portafogli di minima varianza; per ogni dato livello di suμ, M M portafoglio che ha uno scarto quadratico medio, e perciò una varianza, minima. La 0 , è la frontiera dei parte non tratteggiata della curva, il tratto crescente diAM MM portafogli efficienti. 15

Supporremo inoltre che il titolo 1 abbia un rendimento atteso più elevato del titolo • , ma che sia anche più rischioso, . Il rendimento atteso di un 2, > μ σ > σμ 1 21 2 portafoglio è += μ α μμ α1 21 2 mentre la varianza è 2 21 21 22 22= + + 2α =⇒σ α σ α σ α σ1 2 122 21 21 22 22= + + 2αα σ α σ α ρσ σσ 1 2 1 2

Il problema di minima varianza

2 21 21 22 22min = + + 2ασ α σ α σ α ρσ σ1 2 1 2α ,α1 2 sotto i vincoli che e= + + = 1μ α μ α μ α α1 2 1 21 2 16

Dai vincoli possiamo ricavare direttamente i valori di e .α α• 1 2 + (1 ) = (μ ) + =⇒= μ α μ α μ μμ α − −1 1 11 2 1 2 2μ μ μ μ− −2 1 e= =α α1 2μ μ μ μ− −1 2 1 22

Sostituendo questi valori di e nell’espressione di α α σ1 2 2 22 2 21= [σ (μ ) + (μ +σ μ σ μ)− −2 11 22(μ )−μ1 2 +2ρσ (μ ) (μσ μ μ)]− −1 2 2 1³ ´2 2 2 2 21 + 2ρσ 2[σ += σ σ σ μ μ σ μ{ − − −1 2 2 11 2 1 22(μ )−μ1 2 ³ ´2 2 2 2(μ + )]μ + + 2ρσσ μ σ μ σ μ σ μ μ− }−ρσ 1 2 1 21 2 1 21 2 2 1

ovvero ³ ´12 2= 2Bμ +σ Aμ C−2(μ )μ−1 221 22 21 22