Economia finanziaria - il modello CAPM

Formattazione del testo

La correlazione tra i rendimenti dei due titoli diminuisce, è possibile ridurre la loro variabilità a parità di rendimento atteso. Quanto più i rendimenti dei due titoli tendono a muoversi in direzione opposta relativamente alle rispettive medie, tanto più è possibile combinarli nel portafoglio in modo da attenuare la loro variabilità.

La frontiera dei portafogli con un titolo privo di rischio è una retta. Componiamo un portafoglio in cui una quota α • 0 della ricchezza è impiegata nel titolo privo di rischio e la quota residua in un portafoglio composto soltanto da titoli rischiosi:

A = α • R + (1 - α) • μ

mentre il suo scarto quadratico medio è:

σ^2 = α^2 • σ^2 + (1 - α)^2 • σ^2

Dall'ultima equazione otteniamo un'espressione per la quota di ricchezza investita nei titoli rischiosi: α = σ / (σ + σ_0)

α− 0 σ A 30Se sostituiamo questa espressione nell’equazione del rendimento attesoà !σ σ1 + == R μμ − 0 Aσ σA Aμ R− 0A+= σR0 σ AIn presenza di un titolo privo di rischio la relazione tra e è una retta.μ σ 31μ TBAR 0 σFigura 7:Tre possibili rette: ciascuna si distingue dalle altre perché combina il titolo privo dirischio con un diverso portafoglio di titoli rischiosi, o . L’equazione che primaA, B Tabbiamo ricavato si riferisce alla retta A.R0Se ci si basa sul criterio media-varianza, si preferiscono i portafogli che si trovano• 32lungo la retta a quelli che si trovano sullaR B R A0 0Se indichiamo questo portafoglio con , la frontiera efficiente in presenza di un titoloT• privo di rischio assume la seguente forma μ R− 0T= +μ R σ0 σ T eL’equazione rimane indeterminata finché non siamo in grado di calcolare σ

lagrangiano1 2 + [μ (α (μ ) + (μ ) + )]= λ R α R Rσ − − −L 1 0 2 0 01 22 34e derivando ⎧ ∂L⎪⎪ 2⎪ = + (μ ) = 0α σ ρα σ σ λ R− −⎪ 1 2 1 2 01⎨ 1∂α1∂L⎪⎪ 2⎪ = + (μ ) = 0ρα σ σ α σ λ R− −⎪ 1 1 2 2 022⎩ ∂α2Determiniamo media e varianza del portafoglio di tangenza dove + = 1.α α• 1 21. Risolviamo le prime due equazioni del sistema per eα α1 2h iλ 2= (μ ) (μ )α σ R ρσ σ R− − −1 0 1 2 01 22∆ h iλ 2= (μ ) (μ )α σ R ρσ σ R− − −2 0 1 2 02 11∆³ ´2 2 2dove .∆ = 1σ σ ρ−1 2 35Sostituiamo nel rendimento atteso del portafoglio di tangenzaα e1 2= + = (μ ) +μ α μ α μ α μ

μ−1 2 11 2 1 2 2T 22 (μ ) (μ )σ R ρσ σ R− − −0 1 2 01 2= (μ ) +μ μ−1 2 2B AR− 0 2(R ) 2BR +C BR A C− −0 0 0= =⇒ =μ R− 0TB AR B AR− −0 02. Determiniamo per il portafoglio di tangenza.

λ(a) Moltiplichiamo la prima equazione per , la seconda per e sommiamoα α1 221 21 22 22+ + 2ρσ = [α (μ ) + (μ )] =⇒α σ α σ σ α α λ R α R− −1 2 1 2 1 0 2 01 22σ2 e perciò= (μ ) =σ λ R λ− 0 μ R− 0 36(b) Nel portafoglio di tangenza le due precedenti soluzioni+α = 1.Sommandoα1 2λ )1= (B AR− 0∆3. Uguagliando le due espressioni per λ2σ ∆T =μ R B AR− −0 0Tovvero B AR− 02=R σμ − 0T T ∆Poiché 2 2(R (R) 2BR + ) 2BR +A AC C− −0 0 0 0= =⇒ =R B

tutta la ricchezza viene investita nei due titoli rischiosi (α = 0);T 0, tutta la ricchezza viene investita nel titolo privo di rischio (α2. In = 1);R0 03. A destra di , vi è una vendita allo scoperto del titolo privo di rischio (α il cui0)T <0ricavato viene investito, in aggiunta alla ricchezza iniziale, nel portafoglio rischioso ;Tvi è una vendita allo scoperto del portafoglio , il cui ricavato viene4. Nel tratto E, TR0investito, in aggiunta alla ricchezza iniziale, nel portafoglio privo di rischio (α 1).>0Il modello CAPMPassiamodall’analisi delle scelte individuali all’analisi del funzionamento del mercato• dei capitali esaminando l’equilibrio attraverso il modello CAPM. 40Il CAPM fa uso di ipotesi semplificatrici•1. Ogni investitore sceglie il proprio portafoglio massimizzando l’utilità attesa. L’utilitàattesa differisce da investitore a investitore ma dipende in ogni caso soltanto

da eμ2 . Ciò equivale ad assumere che i rendimenti dei titoli seguano una distribuzioneσnormale o che la funzione di utilità sia quadratica. Le scelte di portafoglio sonoeffettuate in base al criterio media-varianza.

2. Tutti gli investitori dispongono delle stesse informazioni e hanno le stesse aspettativeriguardo ai rendimenti futuri dei titoli e alla loro variabilità. Tutti gli investitoriconcordano sui rendimenti attesi dei titoli e sulle loro varianze e covarianze.

3. Tutti gli investitori hanno lo stesso orizzonte temporale, ovvero tutte le decisioni diacquisto e vendita dei titoli vengono prese nello stesso istante e hanno la medesimadurata.

4. Tutti gli investitori assumono come dati i prezzi dei titoli.

5. Esiste un titolo non rischioso che può essere venduto o acquistato in quantità illimitate.

6. Non ci sono costi di transazione che gravano sugli scambi né imposte (per esempiosui guadagni in conto capitale).

7.