Economia delle aziende di credito - Risk Management

Economia delle aziende di credito

Il calcolo del Gap

Il Gap semplice o repricing gap è la differenza tra le attività sensibili e le passività sensibili, infatti nell’attivo delle banche vi sono determinate attività e passività che vanno rimpiazzate. Per calcolare il gap dovrò applicare la formula seguente:

GP = AS - PS

Ad esempio il gap a t=6 occorre considerare tutte le attività e le passività a tasso fisso che scendono entro i prossimi 6 mesi e quelle a tasso variabile che prevedono la revisione entro massimo sei mesi.

Importante valore è il gap del margine di interesse. Il margine di interesse MI è fatto dalla differenza tra gli interessi attivi IA e gli interessi passivi IP:

MI = IA - IP = i_a . AFI − i_p . PFI = i_a . (AS + ANS) − i_p . (PS + PNS)

Dove:

• AS = Attività sensibili
• ANS = Attività non sensibili
• PS = Passività sensibili
• PNS = Passività non sensibili

Consideriamo la variazione del margine di interesse che sarà data da:

ΔMI = Δi_a . AS − Δi_p . PS

Ipotizzando che:

Δi_a = Δi_p = Δi

Si ottiene che:

ΔMI = Δi (AS - PS) = Δi (Σas - Σps) = Δi G

Se ho un Gap positivo e una variazione positiva del tasso di interesse avremo un effetto positivo sul conto economico della banca, mentre se il gap è negativo e ci fosse un aumento del tasso di interesse, vorrà dire che sul conto economico della banca avremo un effetto negativo.

Quando più alto è il Gap, tanto maggiore sarà l’aumento dei tassi, tanto maggiore sarà l’impatto positivo del Margine di interesse.

Si possono utilizzare degli indicatori sul Gap:

• Δ(MI/MP) - G/MP Δi: Valuta l’impatto di una variazione dei tassi sul rapporto fra margine di interesse e mezzi propri, un indicatore molto utilizzato.
• Δ(MI/AF) - G/AF Δi: Misura la sensibilità alla variazione dei tassi del rapporto fra margine di interesse e attività finanziarie.
• Gap Ratio = AS/PS: È particolarmente appropriato per confronti fra banche di dimensioni differenti essendo insensibile alle dimensioni.

Il maturity adjusted gap

Qualora considerassimo Gap con scadenze temporali differenti, è necessario l’utilizzo del maturity adjusted gap che permette di affrontare il problema della diversa scansione temporale delle scadenze delle attività e delle passività.

Per ogni attività sensibile j che frutta un tasso di interesse i_j, l’ammontare di interessi attivi sarà dato da:

i_j = a_js_j xi_s + a_js_j (i + Δi )(1 − s_j)

Ipotizzando una variazione uniforme dei tassi attivi e passivi, la variazione del margine di interesse è stimabile come la differenza tra la variazione complessiva degli interessi attivi connessi all’insieme delle n attività sensibili, e la variazione complessiva degli interessi passivi all’insieme delle n passività sensibili, dove:

ΔIA = Σ a_js_j . Δi . (1 − s_j)

ΔIP = Σ p_ks_k . Δi . (1 − s_k)

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s indica la frazione d’anno da oggi fino alla scadenza o data di revisione del tasso dell’attività j-esima.

Quindi abbiamo che:

ΔMI = ΔIA - ΔIP = Σ [a_js_j . (1 − s_j) − p_js_j . (1 − s_j)] . Δi = G_MAG . Δi

Dove indica il gap corretto per la scadenza (maturity-adjusted gap).

Gap marginali e cumulati

Possiamo distinguere i Gap tra Gap Cumulati e Gap Marginali: i primi sono definiti come la differenza tra attività e passività che prevedono la rinegoziazione del tasso di interesse entro una determinata data futura. Mentre i Gap marginali sono definiti come differenza fra attività e passività che prevedono la rinegoziazione del tasso in un particolare periodo futuro.

Il gap cumulato relativo a un certo t non è altro che la somma algebrica di tutti i gap marginali relativi a t ed ai periodi precedenti. Utilizzando tali gap è possibile ottenere una versione semplificata del maturity-adjustment gap. Approssimando con t^*_j = t_j + t_j-1/2.

Rischio e valore nelle banche

Il modello del repricing gap

Gap marginali e cumulati

• I gap marginali e cumulati consentono di prefigurare l’impatto sul margine di più variazioni infra-annuali nei tassi di interesse:

• I gap marginali consentono dunque di analizzare l’effetto sul margine di una possibile traiettoria temporale dei tassi di mercato.
• La presenza di gap periodali diversi da zero può quindi generare una variazione del margine di interesse anche in presenza di un gap cumulato nullo.
• La completa eliminazione del rischio di interesse richiederebbe l’azzeramento di tutti i gap marginali, anche giornalieri.

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© Resti e Sironi, 2008

Limiti del modello del repricing gap e il gap standardizzato

• Ipotesi di variazioni uniformi dei tassi attivi e passivi e dei tassi di diversa scadenza: a fronte di una certa variazione nei tassi di mercato, alcune attività o passività della banca in realtà si adeguano in misura più marcata rispetto ad altre ed inoltre i tassi a diversa scadenza non subiscono variazioni uniformi.
• Il trattamento delle poste a vista: i tassi di interesse relativi alle poste a vista non si adeguano immediatamente alle variazioni dei tassi di mercato.
• Manca considerazione degli effetti di variazioni dei tassi di interesse sulla quantità di fondi intermediati: il modello si concentra esclusivamente su dei valori flusso senza alcuna considerazione per gli eventuali effetti sui valori stock.
• Mancata considerazione degli effetti di variazioni dei tassi sui valori di mercato: un rialzo dei tassi, ad esempio, non si limita a esercitare effetti sui flussi reddituali connessi alle attività fruttifere e alle passività onerose, ma modifica anche i valori di mercato di queste ultime. Tale effetto viene ignorato dal repricing gap.

Per superare uno dei limiti del modello del Gap semplice è possibile introdurre il concetto di Gap standardizzato che è pari a:

G_s = Σ a_js_j . beta_j − Σ p_ks_k . gamma_k

e rappresentano la sensibilità delle attività e delle passività.

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Il modello del duration gap

La duration indica la data entro cui il possessore di un titolo obbligazionario rientra in possesso del capitale inizialmente investito, tenendo conto delle cedole. Quanto più alte saranno le cedole, tanto minore sarà la duration, perché il possessore del titolo riuscirà in un tempo sempre minore ad essere ripagato. Maggiore è la duration, maggiore sarà la rischiosità del titolo, essendo più sensibile a variazioni di mercato.

Consideriamo il seguente stato patrimoniale semplificato della banca Alfa nel 2006.

Il margine di interesse sarà:

MI = IA − IP = (5%100) - (3%90) = 5-2,7 = 2,3

2007 2007 2007

Quindi il ROE della banca è 23%

Senza alcuna variazione di tassi il bilancio del 2007 sarebbe:

Supponiamo che al primo gennaio 2007 vi sia un aumento dell’1% dei tassi di interesse. Sul bilancio del 2007 la variazione del tasso di interesse non varia, perché i mutui sono a tasso fisso così come i CD. Quindi il MI risulta 2,3 sia nel 2007 che nel 2008.

Nel 2009 scadono i CD, allora la banca Alfa decide di finanziarsi a nuove condizioni di mercato, rinnovando i certificati di deposito con altri CD, ad un tasso di interesse superiore (3%+1% = 4%). Il margine di interesse varierà:

MI = IA − IP = (5% 100) -(4% 90) = 5-3,6 = 1,4

2009 2009 2009

In questo caso cambierà anche il ROE della banca che è pari a 9,59%

Seguendo la logica del repricing gap, l’effetto di una variazione dei tassi avvenuta all’inizio del 2007 sulla redditività della banca viene riconosciuta solo due esercizi dopo che la variazione ha avuto luogo, mediante una variazione negativa del MI.

Andiamo a valutare il Mutuo nel 2007, subito dopo l’aumento dei tassi di interesse del 1%:

VM_mutuo = 5/(1+6%)^t + 100/(1+6%)⁹ = 93,2

Andiamo anche a calcolare il valore di mercato dei certificati di deposito a fine 2007:

VM_CD = 92,7/(1+4%) = 89,14

In entrambi i casi la variazione in rialzo dei tassi porta ad una riduzione del valore.

ΔVM_B = ΔVM_A − ΔVM_P = (100 − 93,2) − (90 − 89,12) = 5,93

Il bilancio a valori di mercato alla fine 2007 allora cambierà e sarà pari a:

Seguendo la logica di mercato l’utile/perdita di esercizio sarà:

U₂₀₀₇ = MI + ΔVM_B = MI + ΔVM_A − ΔVM_P = (5 − 2,7) + [(93,2 − 100) − (89,13 − 90)] = − 3,63

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La perdita di 3,63 rappresenta quindi la risultante tra una minusvalenza netta di 5,6 (data dal saldo tra la variazione dell’attivo e quella del passivo) e ricavi netti da interessi 2,3. L’effetto della variazione al rialzo di un punto percentuale dei tassi, verificatasi nel 2007, viene ora riconosciuto nello stesso esercizio in cui essa si è verificata.

Consideriamo ora cosa succede a fine 2008:

Il valore del CD essendo a scadenza 2 anni, è 90, mentre il valore di mercato del mutuo sarà:

VM_mutuo = 5/(1+6%)^t + 100/(1+6%)⁸ = 93,79

Lo stato patrimoniale sarà:

U₂₀₀₈ = MI + ΔVM_B = MI + ΔVM_A − ΔVM_P = (5 − 2,7) + [(93,79 − 93,2) − (90 − 89,13)] = 2,02

Duration

La duration di uno strumento finanziario è data dalla media aritmetica delle scadenze dei flussi di cassa ad esso associati, dove ogni scadenza viene ponderata per il rapporto fra il valore attuale del flusso associato a quella scadenza e il prezzo dello strumento finanziario.

D = Σ t F_t /(1 + y)^t / P

• t = Scadenza espressa in anni
• F_t = Flusso di cassa t-esimo
• 1+y = Tasso di rendimento effettivo a scadenza (yield to maturity)
• P = Prezzo o valore di mercato dello strumento finanziario

Esempio:

Nel 1/1/2007 titolo obbligazionario che paga una cedola annuale del 6% con vita residua di quattro anni (31/12/2010). Il rendimento effettivo a scadenza richiesto del mercato è pari a 6%. Il prezzo è uguale al valore di rimborso.

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Duration modificata

Misurare la sensibilità del suo prezzo a variazioni nel tasso di rendimento di mercato. Partiamo dalla relazione tra prezzo di un titolo P e il tasso di rendimento a scadenza richiesto dal mercato y.

P = Σ F_t /(1 + y)^t

Faccio la derivata rispetto al tasso di interesse:

dP/dy = − [F₁ /(1 + y)² + 2F₂ /(1 + y)³ + ... + TF_T /(1 + y)^T+1]

Dividendo per il prezzo si ottiene:

dP/dy / P = − 1/(1+y) Σ t F_t /(1 + y)^t / P = − D_t /(1+y)

Da cui si ottiene che la duration modificata è pari a:

D_M = D/(1+ y)

La duration modificata consente di stimare la variazione percentuale di un determinato strumento, se aumenta il tasso di interesse i flussi di cassa diminuiranno, inoltre man mano che scorre il tempo maggiore sarà l’impatto negativo del tasso di interesse ed inoltre la duration modificata diminuirà.

Dall’esempio precedente sarà pari a: 3,6730 /(1+0,06) = 3,465

Duration gap

Con la duration è possibile stimare la variazione che il valore di mercato delle attività e delle passività della banca subirebbe a seguito di una variazione dei tassi.

Sappiamo che:

ΔVM_A / VM_A = − D_A Δy_A /(1 + y_A) = − DM_A Δy_A

Allora posso ricavare che:

ΔVM_A = − VM_A DM_A Δy_A; dove duration modificata dell’attivo

ΔVM_P / VM_P = − D_P Δy_P /(1 + y_P) = − DM_P Δy_P

Allora posso ricavare che:

ΔVM_P = − VM_P DM_P Δy_P; dove duration modificata del passivo

Una volta definite le variazioni dell’attivo e del passivo, in funzione al modello della duration modificata, possiamo stimare la variazione di bilancio:

ΔVM_B = ΔVM_A − ΔVM_P = (−VM_A DM_A Δy_A) − (VM_P DM_P Δy_P)

Assumiamo per semplicità che le variazioni dei tassi di rendimento medi dell’attivo e del passivo siano uguali quindi:

Δy_A = Δy_B = Δy

Otteniamo che:

ΔVM_B = − (VM_A DM_A − VM_P DM_P)Δy

Introduciamo la leva finanziaria:

ΔVM_B = − (DM_A − L DM_P)VM_A Δy = − DGVM_AΔy

Dove:

DG = duration gap

L = leva finanziaria = VM_P / VM_A

Secondo il modello del duration gap la variazione del valore di mercato del patrimonio conseguente a una variazione dei tassi è una funzione di tre elementi:

• Il valore di mercato del totale dell’attivo VM_A.
• La dimensione della variazione dei tassi di interesse Δy.
• La differenza fra la duration modificata dell’attivo e quella del passivo, corretta per la leva finanziaria della banca, ovvero il duration gap.

La banca è immunizzata dal rischio di tasso se il duration gap è nullo.

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Calcoliamo ora la duration modificata dell’attivo e del passivo e il duration gap della Banca Alfa:

Collochiamoci al 31/12/2007 un attimo prima dell’aumento dei tassi.

D_A = D_mutuo = Σ t F_t /(1 + y_A)^t / VM_A = 5/(1 + 0,05) + 9[105/(1 + 0,05)⁹] / 100 = 7,46

DM_A = D_A /(1 + 0,05) = 7,11

D_P = D_CD = Σ t F_t /(1 + y_P)^t / VM_P = 1

DM_P = 1/(1 + 0,03) = 0,97

L = VM_P / VM_A = 90/100 = 0,90

DG = (DM_A − L DM_P) = [7,11 − (0,90x 0,97)] = 6,23

VM_B = − DGVM_A Δy = − 6,23x100x 0,01 = − 6,23

In corrispondenza di un aumento dei tassi di un punto percentuale il valore di mercato della Banca Alfa subirebbe una riduzione istantanea di 6,23 milioni di euro oltre il 60% del suo valore di partenza. L’utilizzo della duration per stimare l’effetto sul valore di un’attività finanziaria di variazioni finite dei tassi di mercato rappresenta un’approssimazione soggetta a errore.

Convexity gap

La duration presenta differenti problematiche, tra cui il fatto che la relazione tra prezzo e tasso non sia lineare. Per cercare di allineare questa approssimazione, introduciamo il concetto di convessità, prendendo la relazione tra rendimento e prezzo.

Il convexity gap permette una stima più accurata della variazione del valore di mercato del patrimonio della banca, tenendo in considerazione anche il grado di curvatura della relazione.

ΔVM_B = − (VM_A DM_A − VM_P DM_P)Δy = (VM_A CM_A − VM_P CM_P) (Δy)² / 2

Dove CM è la convexity modificata data da:

CM = Σ [F_t t² + t] / [2(1 + y)²P]

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I tassi interni di trasferimento

Il sistema di tassi interni di trasferimento (TIT) consiste in un insieme di transazioni figurative interne alla banca che consentono di accettare presso un’unica unità le decisioni relative alla posizione che la banca intende assumere nei contesti delle variazioni dei tassi di mercato.

Gli obiettivi perseguiti sono 4:

• Trasferire il rischio di interesse dalle unità della banca che lo generano a unità centrale che possa correttamente gestire rischio.
• Valutare l’effettiva redditività della gestione del rischio di interesse nella banca.
• Consentire alle diverse unità della banca di non doversi preoccupare dell’attività…
• Valutare in modo preciso il contributo offerto da ogni singola unità..

Esempio:

Si consideri una filiale che ha effettuato un’unica operazione di raccolta, emettendo al tasso del 3% un certificato di deposito di 1 milione di euro a un anno e un’unica operazione di impiego a 3 anni, un finanziamento di un milione di euro a un tasso fisso del 6%.

La filiale si trova esposta al rischio di interesse, infatti se durante il primo anno si verificasse un aumento dei tassi, sarebbe costretta una volt