Economia delle aziende di credito - Risk Management

F

t

D = ∑ t t

(1 + y)

P

t = scadenza espressa in anni

Ft = flusso di cassa t-esimo

1+y = tasso di rendimento effettivo a scadenza (yield to maturity)

P = prezzo o valore di mercato dello strumento finanziario

Esempio:

nel 1/1/2007 titolo obbligazionario che paga una cedola annuale del 6% con vita residua di

quattro anni (31/12/2010). Il rendimento effettivo a scadenza richiesto del mercato è pari a 6%. Il

prezzo è uguale al valore di rimborso.

31/12/07 31/12/08 31/12/09 31/12/10

6 6 6 106

Flusso

Valore attuale 5,66 5,34 5,037 83,962

Prezzo 100

1 2 3 4

Scadenza a Totale

6 6 6 106

Flusso 5,66 5,34 5,037 83,962 100

VA

Va/prezzo d 0,0566 0,0534 0,05037 0,083962 1

a x d = e 0,0566 0,1068 0,1511 3,3585

Duration 3,6730

Pagina 4

DURATION MODOFICATA

Misurare la sensibilità del suo prezzo a variazioni nel tasso di rendimento di mercato. Partiamo

dalla relazione tra prezzo di un titolo P e il tasso di rendimento a scadenza richiesto dal mercato y.

t

F /(1 + y)

P = ∑ t

faccio la derivata rispetto al tasso di interesse:

−TF TF

−1F −2F F 2F

1

t n

1 2 1 2

+ + = − [ + +

dP/dy = (1 + y) (1 + y) (1 + y) 1 + y (1 + t) (1 + y) (1 + y)

2 3 T+1 2 T

F

dP 1 1 D

t

∑

= t =

Dividendo per il prezzo si ottiene: t

dy P 1+ y 1+ y

1 + y)

P

Da cui si ottiene che la duration modificata è pari a:

D

− dy

1+ y

La duration modificata consente di stimare la variazione percentuale di un determinato strumento,

se aumenta il tasso di interesse i flussi di cassa diminuiranno, inoltre man mano che scorre il

tempo maggiore sarà l’impatto negativo del tasso di interesse ed inoltre la duration modificata

diminuirà.

Dall’esempio precedente sarà pari a: 3,6730 /(1+0,06) = 3,465

DURATION GAP

Con la duration è possibile stimare la variazione che il valore di mercato delle attività e delle

passività della banca subirebbe a seguito di una variazione dei tassi.

Sappiamo che:

ΔVM D

A A

= − Δy = − DM Δy allora posso ricavare che:

A A A

VM (1 + y )

A A

ΔVM = − VM DM Δy DM =

; dove duration modificata dell’attivo

A A A A A

ΔVM D

P P

= − Δy = − DM Δy allora posso ricavare che:

P P P

VM (1 + y )

P P

ΔVM = − VM DM Δy DM =

; dove duration modificata del passivo

P P P P P

Una volta definite le variazione dell’attivo e del passivo, in funzione al modello della duration

modificata, possiamo stimare la variazione di bilancio:

ΔVM = ΔVM − ΔVM = (−VM DM Δy ) − (VM DM Δy )

B A P A A A P P P

Assumiamo per semplicità che le variazioni dei tassi di rendimento medi dell’attivo e del passivo

Δy = Δy = Δy

siano uguali quindi: A B

Otteniamo che:

ΔVM = − (VM DM − VM DM )Δy

B A A P P

Introduciamo la leva finanziaria:

ΔVM = − (DM − L DM )VM Δy = − DGVM Δy

B A P A A

Dove:

DG = duration gap VM /VM

L = leva finanziaria = P A

Secondo il modello del duration gap la variazione del valore di mercato del patrimonio

conseguente a una variazione dei tassi è una funzione di tre elementi:

VM

1) il valore di mercato del totale dell’attivo A

2) la dimensione della variazione dei tassi di interesse ∆y

3) la differenza fra la duration modificata dell’attivo e quella del passivo, corretta per la leva

finanziaria della banca, ovvero il duration gap.

La banca è immunizzata dal rischio di tasso se il duration gap è nullo. Pagina 5

Calcoliamo ora la duration modificata dell’attivo e del passivo e il duration gap della Banca Alfa:

Collochiamoci al 31/12/2007 un attimo prima dell’aumento dei tassi.

Attività Passività

Mutui decennali a tasso fisso (5%) 100 CD a tasso fisso 2 anni (3%) 90

Patrimonio 10

Totale 100 Totale 100

F 5 105

t

∑

D = D = t = +9 = 7,46

A mutuo t t

(1 + y ) (1 + 0,05) 9

(1 + 0,05)

A 100

VM 100

A

D

DM = = 7,11

A (1 + 0,05) F

t

∑

D = D = =1

P CD t

1 + y )

P

VM

P

1

DM = = 0,97

P (1 + 0,03)

VM 90

P

L = = = 0,90

VM 100

A

DG = (DM − L DM ) = [7,11 − (0,90x 0,97)] = 6,23

A P

VM = − DGVM Δy = − 6,23x100x 0,01 = − 6,23

B A

In corrispondenza di un aumento dei tassi di un punto percentuale il valore di mercato della Banca

Alfa subirebbe una riduzione istantanea di 6,23 milioni di euro oltre il 60% del suo valore di

partenza. L’utilizzo della duration per stimare l’effetto sul valore di un’attività finanziaria di

variazioni finite dei tassi di mercato rappresenta un’approssimazione soggetta a errore.

CONVEXITY GAP

La duration presenta differenti problematiche, tra cui il fatto che la relazione tra prezzo e tasso

non sia lineare. Per cercare di allineare questa approssimazione, introduciamo il concetto di

convessità, prendendo la relazione tra rendimento e prezzo.

Il convevity gap permeate una stima più accurata della variazione del valore di mercato del

patrimonio della banca, tenendo in considerazione anche il grado di curvatura della relazione.

2

(Δy)

ΔVM = − (VM DM − VM DM )Δy = (VM CM − M V CM )

B A A P P A A P P 2

C

Dove CM è la convexity modificata data da: (1 + y) 2

F

T

2

∑

C + (t + t )

Con 2

(1 + y)

P Pagina 6

I TASSI INTERNI DI TRASFERIMENTO

Il sistema di tassi interni di trasferimento (TIT) consiste in un insieme di transazioni figurative

interne alla banca che contendono di accettare presso un’unica unità le decisioni relative alla

posizione che la banca intende assumere nei contesti delle variazione dei tassi di mercato. Gli

obiettivi perseguiti sono 4:

1) trasferire il rischio di interesse dalle unità della banca che lo generano a unità centrale che

possa correttamente gestire rischio

2) Valutare l’effettiva redditività della gestione del rischio di interesse nella banca

3) Consentire alle diverse unità della banca di non doversi preoccupare dell’attività…

4) Valutare in modo preciso il contributo offerto da ogni singola unità..

Esempio:

Si consideri una filiale che ha effettuato un’unica operazione di raccolta, emettendo al tasso del

3% un certificato di deposito di 1 milione di euro a un anno e un’unica operazione di impiego a 3

anni, un finanziamento di un milione di euro a un tasso fisso del 6%.

La filiale si trova esposta al rischio di interesse, infatti se durante il primo anno si verificasse un

aumento dei tassi, sarebbe costretta una volta scaduto il CD a raccogliere nuovi fondi a

condizioni più onere, senza un aumento corrispondente del tasso attivo.

Il sistema di TIT evita che il rischio di interesse rimanga in capo alla filiale. La filiale concede un

finanziamento fittizio a un anno alla tesoreria contemporaneamente effettua un’operazione di

raccolta fittizia a tre anni presso la tesoreria. Il livello dei tassi intendi di trasferimenti, TIT, appaiati

alle due operazioni è quello dei tassi di mercato sulle rispettive scadenza (4%-5%).

Il profitto della filiale diminuisce da 30.000 a 20.000 euro. La differenza viene allocata alla tesoreria

per la gestione del rischio di interesse.

Filiale Tesoreria

impieghi impieghi depositi

depositi 1 mln € 1 mln

1 mln € 1 mln€ 3 anni 1 anno

3 anni 1 anno 5% 4%

6% 3% 10.000

1 mln€ 1 mln

1 anno 3 anni

4% 5%

Se la tesoreria volesse decidere di coprirsi totalmente al tasso di interesse dovrebbe impiegare ad

un anno al 4% ed raccogliere a 3 anni al tasso del 5%, annullando il rischio di tasso. Qualunque

sia la politica adottata dalla tesoreria e l’evoluzione futura dei tassi di interesse, alla filiale è

garantito un margine di interesse passivo pari a 20.000.

Il sistema appena visto è un sistema con un TIT multiplo, che prevede che le operazioni figurative

con la tesoreria avvenga a tassi differenziati a seconda della scadenza.

Un’alternativa è quella di prendere un TIT unico, cioè le operazioni tra filiali e tesoreria avvengono

ad un unico tasso, indipendentemente dalla loro durata. L'utilizzo di un TIT unico implica che

molte operazioni tra filiale tesoreria vengano regolate a un tasso arbitrario e diverso da quello di

mercato. Questi sistemi funzionano afflussi netti, Nella quale ogni unità operativa trasferisce alla

tesoreria unicamente lo sbilancio fra raccolta E impieghi restando responsabile di gestire una

parte del rischio di tasso, differentemente da quello che accade in un sistema flussi lordi nella

quale tutti flussi di cassa trovano riscontro in operazioni fittizie verso la tesoreria. Pagina 7

Esempio:

Filiale A Importo Scadenza Tasso

50.000 3%

Raccolta 1 anno

150.000 6%

Impieghi 3 anni

Margine d’interesse con 7500

clientela

Filiale B

Raccolta 1 anno

150.000 3%

Impieghi 3 anni

50.000 6%

Margine d’interesse con -1500

clientela

Banca

Raccolta 1 anno

200.000 3%

Impieghi 3 anni

200.000 6%

Margine d’interesse con 6000

clientela

Sistemi a TIT multipli:

Rischio e valore nelle banche I tassi interni di trasferimento

TIT unici e TIT multipli: un esempio

Importo Scadenza Tasso

Filiale A

Margine d’interesse con clientela 7.500

Impieghi a tesoreria 50.000 1 anno 4,00%

Raccolta da tesoreria 150.000 3 anni 5,00%

Margine d’interesse con tesoreria -5.500

Margine d’interesse totale 2.000 e TIT

Filiale B flussi

Margine d’interesse con clientela -1.500

Impieghi a tesoreria 150.000 1 anno 4,00% multipli

Raccolta da tesoreria 50.000 3 anni 5,00%

Margine d’interesse con tesoreria 3.500

Margine d’interesse totale 2.000 lordi

Tesoreria

Raccolta da filiali 200.000 3 anni 5,00%

Impieghi a filiali 200.000 1 anno 4,00%

Margine di interesse con filiali 2.000

Banca

Raccolta 200.000 1 anno 3%

Impieghi 200.000 3 anni 6%

Margine di interesse con clientela 6.000

Le filiali sono immunizzate e il rischio di interesse è trasferito alla tesoreria 9

© Resti e Sironi, 2008 Pagina 8

Rischio e valore nelle banche I tassi interni di trasferimento

TIT unici e TIT multipli: un esempio

Importo Scadenza Tasso • Nel caso di un TIT unico

Filiale A procedere a flussi lordi o

Margine d’in