Economia delle aziende di credito - Risk Management

ECONOMIA DELLE AZIENDE DI CREDITO

IL CALCOLO DEL GAP

Il Gap semplice o repricing gap è la differenza tra le attività sensibili e le passività sensibili, infatti

nell’attivo delle banche vi sono determinate attività e passività che vanno rimpiazzate. Per

calcolare il gap dovrò applicare la formula seguente:

GP = AS - PS

Ad esempio il gap a t=6 occorre considerare tutte le attività e le passività a tasso fisso che

scendono entro i prossimi 6 mesi e quelle a tasso variabile che prevedono la revisione entro

massimo sei mesi.

Importante valore è il gap del margine di interesse. Il margine di interesse MI è fato dalla differenza

tra gli interessi attivi IA e gli interessi passivi IP:

i + AFI − i . PFI = i . (AS + A NS ) − i . (PS + PNS )

MI = IA - IP = ,

a p a p

dove: AS = attività sensibili

ANS = attività non sensibili

PS = passività sensibili

PNS = passività non sensibili

Consideriamo la variazione del margine di interesse che sarà data da:

ΔMI = Δi . AS − Δi . PS

a p

Δi = Δi = Δi

ipotizzando che: a p

Si ottiene che:

∆MI = ∆i (AS - PS) = ∆i (∑ as - ∑ps) = ∆i G

Se ho un Gap positivo e una variazione positiva del tasso di interesse avremo un effetto positivo

sul conto economico della banca, mentre se il gap è negativo e ci fosse un aumento del tasso di

interesse, vorrà dire che sul conto economico della banca avremo un effetto negativo.

Quando più alto è il Gap, tanto maggiore sarà l’aumento dei tassi, tanto maggiore sarà l’impatto

positivo del Margine di interesse. Gap > 0 Gap < 0

∆i > 0 ∆MI > 0 ∆MI < 0

∆i < 0 ∆MI < 0 ∆MI > 0

Si possono utilizzare degli indicatori sul Gap:

1) ∆(MI/MP) - G/MP ∆i: valuta l’impatto di una variazione dei tassi sul rapporto fra margine di

interesse e mezzi propri, un indicatore molto utilizzato

2) ∆(MI/AF) - G/AF ∆i : Misura la sensibilità alla variazione dei tassi del rapporto fra margine di

interesse e attività finanziarie

3) Gap Ratio = AS/PS: è particolarmente appropriato per confronti fra banche di dimensioni

differenti essendo insensibile alle dimensioni

IL MATURITY ADJUSTED GAP

Qualora considerassimo Gap con scadenze temporali differenti, è necessario l’utilizzo del maturity

adjusted gap che permette di affrontare il problema della diversa scansione temporale delle

scadenze delle attività e delle passività. Per ogni attività sensibile j che frutta un tasso di interesse

ia = a s xi xs + a s (i + Δi )(1 − s )

i_j, l’ammontare di interessi interessi attivi sarà dato da: j j j j j j j

Ipotizzando una variazione uniforme dei tassi attività e passivi, la variazione del margine di

interesse è stimabile come la differenza tra la variazione complessiva degli interessi attivi connessi

all’insieme delle n attività sensibili, e la variazione complessiva degli interessi passivi all’insieme

delle n passività sensibili, dove:

∑ ∑

ΔI A = a s . Δi . (1 − s ) ΔIP = ps . Δi . (1 − s )

e

j j k k k Pagina 1

s indica la frazione d’anno da oggi fino alla scadenza o data di revisione del tasso dell’attività j-

j

esima. MA

∑ ∑

[ a s . (1 − s ) − ps . (1 − s )] . Δi = G . Δi

Quindi abbiamo che: ∆MI = ∆IA - ∆IP = j j j j

MA

G

dove indica il gap corretto per la scadenza (maturity-adjusted gap).

GAP MARGINALI E CUMULATI

Possiamo distinguere i Gap tra Gap Cumulati e Gap Marginali: I primi sono definiti come la

entro

differenza tra attività e passività che prevedono la rinegoziazione del tasso di interesse una

determinata data futura. Mentre i Gap marginali sono definiti come differenza fra attività e

in

passività che prevedono la rinegoziazione del tasso un particolare periodo futuro. Il gap

cumulato relativo a un certo t non è altro che la somma algebrica di tutti i gap marginali relativi a t

ed ai periodi precedenti. Utilizzando tali gap è possibili ottenere una versione semplificata del

t * = t + t /2

maturity-adjustament gap. Approssimando con .

j j j−1

Rischio e valore nelle banche Il modello del repricing gap

Gap Marginali e cumulati

• I gap marginali e cumulati consentono di prefigurare l’impatto sul margine di più

variazioni infra-annuali nei tassi di interesse:

D

Periodo Livello tassi Livello tassi i rispetto a t0 G’ . Effetto su

t

attivi passivi MI

(basis points) (€ mln)

t 6,0% 3%

0 ò

1 mese 5,5% 2,5% -50 140 ò

3 mesi 6,3% 3,3% +30 -170 ò

6 mesi 5,6% 2,6% -40 120 ò

12 mesi 6,6% 3,6% +60 -90 ò

Totale

• I gap marginali consentono dunque di analizzare l’effetto sul margine di una

possibile traiettoria temporale dei tassi di mercato.

• La presenza di gap periodali diversi da zero può quindi generare una variazione

del margine di interesse anche in presenza di un gap cumulato nullo.

• La completa eliminazione del rischio di interesse richiederebbe l’azzeramento di

tutti i gap marginali, anche giornalieri. 15

© Resti e Sironi, 2008

LIMITI DEL MODELLO DEL REPRICING GAP e IL GAP STANDARDIZZATO

1) Ipotesi di variazioni uniformi dei tassi attivi e passivi e dei tassi di diversa scadenza: a fronte di

una certa variazione nei tassi di mercato, alcune attività o passività della banca in realtà si

adeguano in misura più marcata rispetto ad altre ed inoltre i tassi a diversa scadenza non

subiscono variazioni uniformi

2) Il trattamento delle poste a vista: i tassi di interesse relativi alle poste a vista non si adeguano

immediatamente alle variazioni dei tassi di mercato

3) Manca considerazioni degli effetti di variazioni dei tassi di interesse sulla quantità di fondi

intermediati: il modello si concentra esclusivamente su dei valori flusso senza alcuna

considerazione per gli eventuali effetti sui valori stock.

4) Mancata considerazione degli effetti di variazioni dei tassi sui valori di mercato: un rialzo dei

tassi, ad esempio, non si limita a esercitare effetti sui flussi reddituali connessi alle attività

fruttifere e alle passività onerose, ma modifica anche i valori di mercato di queste ultime. Tale

effetto viene ignorato dal repricing gap.

Per superare uno dei limiti del modello del Gap semplice è possibile introdurre il concetto di Gap

standardizzato che è pari a:

s ∑ ∑

G = a s . beta − ps . ga m m a

j j k k

e rappresentano la sensibilità delle attività e delle passività. Pagina 2

IL MODELLO DEL DURATION GAP

La duration indica la data entro cui il possessore di un titolo obbligazionario rientra in possesso

del capitale inizialmente investito, tenendo conto delle cedole. Quanto più alte saranno le cedole,

tanto minore sarà la duration, perchè il possessore del titolo riuscirà in un tempo sempre minore

ad essere ripagato. Maggiore è la duration, maggiore sarà la rischiosità del titolo, essendo più

sensibile a variazioni di mercato.

Consideriamo il seguente stato patrimoniale semplificato della banca Alfa nel 2006

Attività Passività

Mutui decennali a tasso fisso (5%) 100 CD a tasso fisso 2 anni 90

Patrimonio 10

Totale Totale 100

Il margine di interesse sarà:

MI = I A − IP = (5%100) - (3%90) = 5-2,7 = 2,3

2007 2007 2007

Quindi il ROE della banca è 23%

Senza alcuna variazione di tassi il bilancio del 2007 sarebbe:

Attività Passività

Cassa 2,3 CD a tasso fisso 2 anni (3%) 90

Mutuo decennale tasso fisso (5%) 100 Patrimonio 10

Utile netto 2,3

Totale 102,3 Totale 102,3

Supponiamo che al primo gennaio 2007 vi sia un aumento dell’1% dei tassi di interesse. Sul

bilancio del 2007 la variazione del tasso di interesse non varia, perchè i mutui sono a tasso fisso

così come i CD. Quindi il MI risulta 2,3 sia nel 2007 che nel 2008. Nel 2009 scadono i CD, allora la

la banca Alfa decide di finanziarsi nuove condizioni di mercato, rinnovando i certificati di deposto

con altri CD, ad un tasso di interesse superiore (3%+1% = 4%). Il margine di interesse varierà:

MI = I A − IP = (5% 100) -(4% 90) = 5-3,6 = 1,4

2009 2009 2009

In questo caso cambierà anche il ROE della banca che è pari a 9,59%

Seguendo la logica del repricing gap, l’effetto di una variazione dei tassi avvenuta all’inizio del

2007 sulla redditività della banca viene riconosciuta solo due esercizi dopo che la variazione ha

avuto luogo, mediante una variazione negativa del MI.

Andiamo a valutare il Mutuo nel 2007, subito dopo l’aumento dei tassi di interesse del 1%:

VM = 5/(1+6%)^t + 100/(1+6%)^9 = 93,2

mutuo

Andiamo anche a calcolare il valore di mercato dei certificati di deposito a fine 2007:

VM = 92,7/(1+4%) = 89,14

CD

In entrambi i casi la variazione in rialzo dei tassi porta ad una riduzione del valore.

ΔVM = ΔVM − ΔVM = (100 − 93,2) − (90 − 89,12) = 5,93

B A P

Il bilancio a valori di mercato alla fine 2007 allora cambierà e sarà pari a:

Attività Passività

Cassa 2,3 CD a tasso fisso (3%) 89,13

Mutuo a tasso fisso (5%) 93,20 Utile (3,63)

Patrimonio 10

Totale 95,5 95,5

Seguendo la logica di mercato l’utile/perdita di esercizio sarà:

U = MI + ΔVM = MI + ΔVM − ΔVM = (5 − 2,7) + [(93,2 − 100) − (89,13 − 90)] = − 3,63

2007 B A P Pagina 3

La perdita di 3,63 rappresenta quindi la risultante tra una minusvalenza netta di 5,6(data dal saldo

tra la variazione dell’attivo e quella del passivo) e ricavi netti da interessi 2,3. L’effetto della

variazione al rialzo di un punto percentuale dei tassi, verificatasi nel 2007, viene ora riconosciuto

nello stesso esercizio in cui essa si è verificata.

Consideriamo ora cosa succede a fine 2008:

Il valore del CD essendo a scadenza 2 anni, è 90, mentre il valore di mercato del mutuo sarà:

VM = 5/(1+6%)^t + 100/(1+6%)^8 = 93,79

mutuo

Lo stato patrio tale sarà:

Attivo Passivo

Cassa 4,6 CD a taso fisso (3%) 90

Mutuo a tasso fisso (5%) 93,79 Utile di es 2,02

Patrimonio 6,37

Totale 98,39 Totale 98,39

U = MI + ΔVM = MI + ΔVM − ΔVM = (5 − 2,7) + [(93,79 − 93,2) − (90 − 89,13)] = 2,02

2008 B A P

DURATION

La duration di uno strumento finanziario è data dalla media aritmetica delle scadenze dei flussi di

cassa ad esso associati, dove ogni scadenza viene ponderata per il rapporto fra il valore attuale

del flusso associato a quella scadenza e il prezzo dello strumento finanziario.

F

t

D = ∑ t t

(1 + y)

P

t = scadenza espressa in anni

Ft = flusso di cassa t-esimo

1+y = tasso di rendimento effettivo a scadenza (yield to maturity)

P = prezzo o valore di mercato dello strumento finanziario

Esempio:

nel 1/1/2007 titolo obbligazionario che paga una cedola annuale del 6% con vita residua di

quattro anni (31/12/2010). Il rendimento effettivo a scadenza richiesto del mercato è pari a 6%. Il

prezzo è uguale al valore di rimborso.

31/12/07 31/12/08 31/12/09 31/12/10

6 6 6 106

Flusso

Valore attuale 5,66 5,34 5,037 83,962

Prezzo 100

1 2 3 4

Scadenza a Totale

6 6 6 106

Flusso 5,66 5,34 5,037 83,962 100

VA

Va/prezzo d 0,0566 0,0534 0,05037 0,083962 1

a x d = e 0,0566 0,1068 0,1511 3,3585

Duration 3,6730

Pagina 4

DURATION MODOFICATA

Misurare la sensibilità del suo prezzo a variazioni nel tasso di rendimento di mercato. Partiamo

dalla relazione tra prezzo di un titolo P e il tasso di rendimento a scadenza richiesto dal mercato y.

t

F /(1 + y)

P = ∑ t

faccio la derivata rispetto al tasso di interesse:

−TF TF

−1F −2F F 2F

1

t n

1 2 1 2

+ + = − [ + +

dP/dy = (1 + y) (1 + y) (1 + y) 1 + y (1 + t) (1 + y) (1 + y)

2 3 T+1 2 T

F

dP 1 1 D

t

∑

= t =

Dividendo per il prezzo si ottiene: t

dy P 1+ y 1+ y

1 + y)

P

Da cui si ottiene che la duration modificata è pari a:

D

− dy

1+ y

La duration modificata consente di stimare la variazione percentuale di un determinato strumento,

se aumenta il tasso di interesse i flussi di cassa diminuiranno, inoltre man mano che scorre il

tempo maggiore sarà l’impatto negativo del tasso di interesse ed inoltre la duration modificata

diminuirà.

Dall’esempio precedente sarà pari a: 3,6730 /(1+0,06) = 3,465

DURATION GAP

Con la duration è possibile stimare la variazione che il valore di mercato delle attività e delle

passività della banca subirebbe a seguito di una variazione dei tassi.

Sappiamo che:

ΔVM D

A A

= − Δy = − DM Δy allora posso ricavare che:

A A A

VM (1 + y )

A A

ΔVM = − VM DM Δy DM =

; dove duration modificata dell’attivo

A A A A A

ΔVM D

P P

= − Δy = − DM Δy allora posso ricavare che:

P P P

VM (1 + y )

P P

ΔVM = − VM DM Δy DM =

; dove duration modificata del passivo

P P P P P

Una volta definite le variazione dell’attivo e del passivo, in funzione al modello della duration

modificata, possiamo stimare la variazione di bilancio:

ΔVM = ΔVM − ΔVM = (−VM DM Δy ) − (VM DM Δy )

B A P A A A P P P

Assumiamo per semplicità che le variazioni dei tassi di rendimento medi dell’attivo e del passivo

Δy = Δy = Δy

siano uguali quindi: A B

Otteniamo che:

ΔVM = − (VM DM − VM DM )Δy

B A A P P

Introduciamo la leva finanziaria:

ΔVM = − (DM − L DM )VM Δy = − DGVM Δy

B A P A A

Dove:

DG = duration gap VM /VM

L = leva finanziaria = P A

Secondo il modello del duration gap la variazione del valore di mercato del patrimonio

conseguente a una variazione dei tassi è una funzione di tre elementi:

VM

1) il valore di mercato del totale dell’attivo A

2) la dimensione della variazione dei tassi di interesse ∆y

3) la differenza fra la duration modificata dell’attivo e quella del passivo, corretta per la leva

finanziaria della banca, ovvero il duration gap.

La banca è immunizzata dal rischio di tasso se il duration gap è nullo. Pagina 5

Calcoliamo ora la duration modificata dell’attivo e del passivo e il duration gap della Banca Alfa:

Collochiamoci al 31/12/2007 un attimo prima dell’aumento dei tassi.

Attività Passività

Mutui decennali a tasso fisso (5%) 100 CD a tasso fisso 2 anni (3%) 90

Patrimonio 10

Totale 100 Totale 100

F 5 105

t

∑

D = D = t = +9 = 7,46

A mutuo t t

(1 + y ) (1 + 0,05) 9

(1 + 0,05)

A 100

VM 100

A

D

DM = = 7,11

A (1 + 0,05) F

t

∑

D = D = =1

P CD t

1 + y )

P

VM

P

1

DM = = 0,97

P (1 + 0,03)

VM 90

P

L = = = 0,90

VM 100

A

DG = (DM − L DM ) = [7,11 − (0,90x 0,97)] = 6,23

A P

VM = − DGVM Δy = − 6,23x100x 0,01 = − 6,23

B A

In corrispondenza di un aumento dei tassi di un punto percentuale il valore di mercato della Banca

Alfa subirebbe una riduzione istantanea di 6,23 milioni di euro oltre il 60% del suo valore di

partenza. L’utilizzo della duration per stimare l’effetto sul valore di un’attività finanziaria di

variazioni finite dei tassi di mercato rappresenta un’approssimazione soggetta a errore.

CONVEXITY GAP

La duration presenta differenti problematiche, tra cui il fatto che la relazione tra prezzo e tasso

non sia lineare. Per cercare di allineare questa approssimazione, introduciamo il concetto di

convessità, prendendo la relazione tra rendimento e prezzo.

Il convevity gap permeate una stima più accurata della variazione del valore di mercato del

patrimonio della banca, tenendo in considerazione anche il grado di curvatura della relazione.

2

(Δy)

ΔVM = − (VM DM − VM DM )Δy = (VM CM − M V CM )

B A A P P A A P P 2

C

Dove CM è la convexity modificata data da: (1 + y) 2

F

T

2

∑

C + (t + t )

Con 2

(1 + y)

P Pagina 6

I TASSI INTERNI DI TRASFERIMENTO

Il sistema di tassi interni di trasferimento (TIT) consiste in un insieme di transazioni figurative

interne alla banca che contendono di accettare presso un’unica unità le decisioni relative alla

posizione che la banca intende assumere nei contesti delle variazione dei tassi di mercato. Gli

obiettivi perseguiti sono 4:

1) trasferire il rischio di interesse dalle unità della banca che lo generano a unità centrale che

possa correttamente gestire rischio

2) Valutare l’effettiva redditività della gestione del rischio di interesse nella banca

3) Consentire alle diverse unità della banca di non doversi preoccupare dell’attività…

4) Valutare in modo preciso il contributo offerto da ogni singola unità..

Esempio:

Si consideri una filiale che ha effettuato un’unica operazione di raccolta, emettendo al tasso del

3% un certificato di deposito di 1 milione di euro a un anno e un’unica operazione di impiego a 3

anni, un finanziamento di un milione di euro a un tasso fisso del 6%.

La filiale si trova esposta al rischio di interesse, infatti se durante il primo anno si verificasse un

aumento dei tassi, sarebbe costretta una volt