Economia dei sistemi industriali parte prof. Nastasi

D ND

D 4,4 2,11*

ND 11*,2 3*,3*

Se nessuna delle due imprese mette il depuratore entrambe le imprese guadagnano 3 perché

guadagnerebbero 10 al netto della multa. Se una delle due imprese mette il depuratore non scatta la multa.

Si dà un vantaggio in termini di costi all’impresa che non istalla il depuratore. La multa è evidente che non

aiuta ad inserire il depuratore, l’equilibrio si ha in 3,3 perché il giocatore di riga ha strategia dominante ND

idem quello di colonna. Delle 4 situazioni strategiche sarebbe opportuno D,D ottimalità parietana.

Gioco della morra cinese: F S C

F 0, 0 0,1 1,0

S 1,0 0,0 0,1

C 0,1 1,0 0,0

Molti giochi di interazione strategica non sono risolvibili con strategia risolutiva strettamente dominata.

Si può arrivare a ridurre la complessità di gioco con questa procedura ma non riuscire ad arrivare alla

casella risolutiva o peggio non riuscire a ridurre affatto la complessità del problema. In questo caso un

nuovo concetto di soluzione è il concetto di equilibrio di Nash.

Negli esempi finora condotti le strategie sono sul discreto. Un esempio sul continuo sono Carnot e Bertrand

dove prezzo e quantità possono essere scelte sul continuo.

∗ ∗

∗ ( )

= ,

Una combinazione di strategie è un equilibrio di Nash se il pay-off associata a tale strategia

−

è ottima rispetto alle scelte ottime degli altri giocatori.

∗ ∗ ∗

( ) ( )

, ≥ ,

− −

Un equilibrio di Nash quindi richiede che la strategia di ogni giocatore “i” sia ottimale rispetto alle strategie

ottimali degli avversari. ∗

( )

max ,

Risolvere il problema −

∈

L’equilibrio di Nash è un self-enforcing, è una predizione sull’esito del gioco strategicamente stabile o

autovincolante .

Riprendendo l’Esempio 2: Sinistra Centro Destra

Su 1,0 1,2 0,1

Giù 0,3 0,1 2,0

La risposta ottima del giocatore di colonna è centro se il giocatore di riga mette su perché 2 è maggiore di 0

e 1. se sceglie giù la risposta ottima è sinistra. Ripeto le considerazioni lungo la colonna. Alla fine se trovo

due caselle con asterisco vuol dire che ho trovato la riposta ottima alla risposta ottima.

se l’eliminazione iterata di strategie strettamente dominate rimuove tutte le strategie tranne una allora

questo è l’unico equilibrio di Nash. Non è detto che una strategia che sopravvive alla strategia di

eliminazione sia un equilibrio di Nash poiché si potrebbe non riuscire a ridurre la complessità del problema

vale invece il viceversa: le strategie corrispondenti ad un equilibrio di Nash sopravvivono all’eliminazione

iterata di strategie strettamente dominate.

Esempio 7: one shot, una sola giocata è statico.

Ci sono due equilibri Partita Balletto

Partita 2,1 0,0

Balletto 0,0 1,2

1950 Nash afferma che ogni gioco finito ammette almeno un equilibrio di Nash. Un gioco è finito quando

il numero di giocatori e strategie pure è finito. = ( , , … , )

Una strategia mista è una strategia con distribuzione di probabilità ha contenuti

1 2

operativi quando il gioco è dinamico non ce ne occuperemo.

Oltre all’esistenza c’è anche il problema dell’unicità.

Numero dei giocatori finito, insieme compatto e convesso

, ∀ ∈

allora ammette equilibrio di Nash. Se è una funzione quasi concava in

allora ammette almeno un equilibrio di Nash in strategie pure.

Ricapitolando: in caso di interazione simultanea è opportuno seguire i seguenti suggerimenti:

1) Individuare ed analizzare le strategie dominanti e ipotizzare un comportamento analogo(scelta

razionale) da parte degli altri giocatori

2) Individuare ed evitare strategie dominate e ipotizzare un comportamento analogo da parte degli altri

giocatori

3) Individuare un equilibrio e cioè una combinazione di strategie ottime.

Modelli di base della competizione oligopolista:

Le più importanti sono Cournot, Bertrand e Stackelberg

Caratteristiche:

- Numero di imprese attive esogenamente dato

- Tecnologie produttive esattamente date

- Prodotto omogeneo: gli acquirenti considerano i prodotti identici

L’aspetto cruciale è l’interdipendenza strategica.

Ipotesi Cournot:

{1,2,

= … , , . . , } ℎ

I1)

I2) ′ ′′

= () < 0; ≤ 0 ∃̅ > 0: () = 0 ≥ ̅

I3) ′ ′′

= () < 0 ≤ 0 = −

Curva di domanda inversa = ∑

′ ′′

( )

= > 0 ≥ 0

I4)

I5)

I6) ℎ =

I7) ∑

Π = () − =

funzione di Pay-off: dove interdipendenza strategica.

Date le ipotesi la funzione di profitto è continua, differenziabile e concava. Il numero di giocatori è finito.

Se valgono queste ipotesi allora sono soddisfatte le condizioni per l’esistenza di un equilibrio di Nash.

Perché funzione concava e numero di giocatori finito.

Il numero di strategie ammissibili per il giocatore è finito dal

∈ [0, ∞]

momento che è vero si che ma data la funzione di

domanda, esiste un prezzo in corrispondenza del quale la domanda

̅

è nulla e un prezzo basso per cui non conviene più produrre

poiché per produrre un’unità aggiuntiva il guadagno che si fa non

supera i costi. Il costo più basso per la sopravvivenza dell’impresa

è il costo variabile medio. L’impresa infatti può resistere sul

mercato se ha un costo affondato ma deve coprire almeno i costi

variabili. Indicando con il minimo del costo medio variabile, si deve avere che il prezzo deve essere

.

almeno pari a Di conseguenza la quantità in corrispondenza di è la massima quantità che l’impresa

può decidere di produrre.

Equilibrio di Nash-Cournot: ∗ ∗

1∗ 2∗

∗ ∗

( ) ( ) )

= , , … , . . Π , ≥ Π( , ∀

−

−

( )

max Π = () −

Soluzione del sistema di disequazioni definito dalle n condizioni del primo ordine

Π =0 = 1…

Dunque nessun impresa singolarmente desidera deviare dalla strategia prescritta dall’equazione di

Cournot.

N.B.= dal punto di vista delle imprese l’equilibrio di cournot non è efficiente nel senso di pareto

Esempio: {1,2}

= = − = +

1 2

= + = 1,2

Si devono risolvere simultaneamente i problemi decisionali delle due imprese:

[ )]

max Π = − ( + − −

1 1 2 1 1 1

1 [ )]

max Π = − ( + − −

2 1 2 2 2 2

2

I problemi di massimo sono contestuali, le scelte sono contemporanee.

Π

1 = − 2 − − = 0

1 2 1

1

Π

2 = − 2 − 2 − = 0

1 2 2

2

Le condizioni del primo ordine definiscono implicitamente le funzioni di risposta ottima delle due imprese:

Funzioni di risposta ottima − −

2 1

( )

= =

1 1 2 2

− −

1 1

( )

= =

2 2 1 2

Importante: nel problema di Cournot le linee sono uno stratagemma tecnico ai fini illustrativi ma i problemi

si risolvono simultaneamente non c’è né un prima, né una reazione, né un dopo.

Il vettore che soddisfa simultaneamente il sistema è l’equilibrio di Cournot.

−2 + −2 +

1∗ 2∗

1 2 2 1

= ; =

3 3 1∗ 2∗

=

Se le imprese dispongono della stessa tecnologia (quindi pari costi) l’equilibrio è simmetrico

2

( )

− 2 +

1 2

1∗

Π = 9 2

( )

− 2 +

2 1

2∗

Π = 9

q1* e q2* sono le quantità che ottimizzano l’equilibrio di Cournot. Qui si è ipotizzato che le imprese

possono avere costi diversi c1 e c2. Il modello di Cournot consente infatti la coesistenza di imprese che

hanno diversa efficienza. Generalizzando ad n imprese con funzione di domanda generica

=− = ∑ = = ⋯ = =

1 2

∗ [

Π = − ] −

Per la massimizzazione del profitto:

Π = − − ⋯ − − 2 − ⋯ − − = 0

1 −1 1

Π

= − ( + 1) − = 0

2

( − )