Appunti del corso Economia dei Sistemi Industriali parte di Nastasi
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Se sono l’azienda α e ho potere di mercato posso distribuire D1 e D2 in due aree geografiche diverse, posso praticare
la tariffa in due parti. Questo non va bene. Quando scelgo e1 se sono D1 non
tengo conto dell’effetto positivo
che e1 ha sul mercato dell’altro distributore, lo stesso vale anche per D2. La struttura integrata invece ne tiene
conto, quindi il risultato nei due casi non è lo stesso, è sbagliato dire che con la tariffa in due parti e mercato
segmentato ottengo lo stesso livello di e che otterrei con l’integrazione verticale.
i
Supponiamo di avere un’azienda α e due distributori a valle. Supponiamo invece di non sapere il numero di
distributori, dobbiamo decidere quanti ne dobbiamo mettere a valle.
Due casi:
un’unica impresa che produce a monte e deve decidere quanti distributori fare
unica azienda che produce e sotto tanti distributori che devono decidere se entrare o meno
In quale dei due casi ho un numero maggiore di distributori?
Nel primo caso di impresa integrata: per aggiungere un distributore non vado a vedere solo costi e profitti che
genera, devo andare a valutare se il profitto complessivo aumenta (perché il nuovo distributore sottrae clienti a D1 e
D2), il numero di distributori è più basso rispetto a quando ci sono le imprese indipendenti.
Nel secondo caso entrano aziende finché il profitto è maggiore di zero, ma ognuna considera il suo singolo profitto
non anche quello degli altri.
Maggiore eccesso di entrata nel caso delle imprese indipendenti.
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27 mar 2018
Questa struttura ci permette di mettere in luce un aspetto importante delle relazioni verticali e l’impatto che le esternalità
orizzontali hanno sulla struttura verticale. In particolare abbiamo una domanda a valle che dipende dal prezzo e dagli
sforzi promozionali, beni pubblici. Sarebbe desiderabile sia a valle che a monte che ci fosse lo sforzo promozionale (sia
l’impresa a monte che i distributori a valle venderebbero di più perché aumenterebbe la domanda), se lo sforzo ha la
natura di bene pubblico però prevale l’atteggiamento free rider, nessuno è disposto a sostenere un costo il cui beneficio è
appropriabile anche dall’altro distributore quindi nessuno dei due è disposto a fare lo sforzo.
Per incentivare le imprese a valle affinché eroghino sforzo promozionale l’impresa a monte può dividere il mercato,
attribuendo l’esclusiva territoriale ai distributori, esclusiva a D1 per il mercato 1, a D2 per il mercato 2, quindi entrambi a
quel punto avrebbero interesse ad erogare lo sforzo.
Il produttore a monte oltre all’esclusiva territoriale, altrimenti si avrebbero 2 monopoli, potrebbe decidere il prezzo finale a
cui vendere e lo sforzo. Prezzo e sforzo non saranno ottimali perché ci saranno due esternalità verticali, all’aumentare lo
sforzo aumenta il profitto di α, all’aumentare del prezzo diminusice il profitto di α. Quando i distributori decideranno i prezzi
lo faranno senza tenere conto degli effetti sul profitto di α. Se d1 e d2 sono separati rispetto ad α guardano solo il proprio
profitto. Il prezzo sarà troppo alto e lo sforzo troppo basso rispetto a quello che sarebbe ottimale per l’intera struttura. Se α
fissasse il prezzo finale allora i distributori farebbero le stesse scelte che farebbero se ci fosse la struttura integrata.
Con l’esclusiva territoriale e la tariffa in due parti si risolve il problema. Il prezzo imposto non è sufficiente perché D1 e D2
cercherebbero comunque di massimizzare il proprio profitto. Il livello di sforzo è difficilmente monitorabile dall’impresa a
monte.
Non è detto che con la divisione territoriale lo sforzo di uno dei due distributori non influisca per niente sulle vendite
dell’altro.
Quando c’è un’impresa integrata nel decidere e1 si tiene conto anche degli effetti che ha su D2, idem per e2, questo perché
quello che conta è il profitto complessivo.
Se invece di immaginare un numero di distributori esogenamente dati (che è opportuno avere a valle) un’impresa dovesse
decidere quanti distributori mettere farebbe alcuni ragionamenti: analisi del territorio.
Se devo decidere se aggiungere un distributore dico: aumento un po’ la domanda, valuto quanto costa D3, quanto è la
domanda di D3 ma anche quando D3 sottrae a D2 e a D1. Se sono un’impresa integrata devo vedere quindi come si
distribuisce la domanda complessivamente. Se invece ci sono distributori indipendenti D3 vede solo quanto costa costruirlo,
quale sarà la sua domanda e quindi il suo profitto. Nei casi di distributori indipendenti c’è un eccesso di distributori, gli
acquirenti hanno un beneficio perché li trovano più vicini, ma c’è un incremento di costi fissi, quando vedo il welfare è
possibile che il numero di distributori siano in eccesso rispetto a quello che sarebbe il numero ottimale.
Se ho imprese totalmente indipendenti ottengo che il prezzo è w, D1 e D2 si fanno la concorrenza sul prezzo, strategie di
UNDER CUTTING, nessuno fa sforzo, i profitti saranno nulli per D1 e D2.
Nel caso di struttura integrata accade che il prezzo è v (prezzo di rivendita a valle), la quantità è v-c, gli sforzi saranno
appartenenti ad un’unica impresa integrata, lo sforzo complessivo sarà v-c, il profitto è maggiore della somma dei profitti
che avrebbero le imprese indipendenti (il doppio), il welfare è maggiore, perché anche il surplus dei consumatori è
maggiore. Esclusiva territoriale e tariffa in due parti
Facendo i conti viene che il livello di sforzo ei è minore dello sforzo della struttura integrata
Essendo minore anche i prezzi sono diversi.
Se togliessi uno dei due distributori non funzionerebbe nemmeno questo perché devo vedere come sono fatti gli sforzi
promozionali. L’idea di concentrare tutto su un distributore solo non funziona.
Supponiamo che lo sforzo ottimale sia 10, se ne ho due 5 da una parte 5 dall’altra. Se ho questi sforzi il costo
complessivamente è 5 alla seconda, in tutto per i due 50, se ho un unico distributore allora ho 10 alla seconda, quindi 100,
allora avere un unico distributore fa aumentare i costi. È un problema di come è fatto il costo. Se il numero è esogeno (ne
ho 2) dare tutto a uno non conviene perché fa aumentare lo sforzo, perciò con un solo distributore si avrebbe uno sforzo
minore. Se dovessi decidere quanti distributori mettere dovrei fare diversi conti. L’unico caso in cui funziona avere un solo
distributore è se D1 e D2 appartengono ad un’unica impresa, ovvero ho un’impresa di distribuzione, con a monte un
produttore. α fa la tariffa in due parti e funziona, se c’è un’unica impresa a valle può farla tranquillamente, è una relazione
verticale tra due imprese.
Se non c’è un’unica impresa ma due distributori indipendenti che cosa può fare α? α deve vendere sottocosto, perché
vendendo così dà maggiori incentivi ai distributori quando devono decidere il livello di sforzo e di prezzo compensando
l’esternalità orizzontale tra D1 e D2 poi α si prende la tariffa fissa.
L’impresa a monte α quando c’è esternalità orizzontale per risolvere i problemi
e riprodurre la struttura integrata in termini di profitto deve imporre il prezzo p
a cui vendere il bene finale, se il prezzo della struttura integrata è pint devo
fissare p=pint, cioè D1 e D2 venderanno al prezzo pint. Oltre a questo
impongo anche una tariffa in due parti, il problema di questa è che devo
decidere quanto è v e quanto F.
Se fossi α vorrei che lo sforzo fatto fosse quello della struttura integrata, lo sforzo della struttura integrata è (v-c)/2.
Allora fisso w=pint-2v+2c Nella struttura integrata pint era:
Quindi abbiamo che:
Siccome v>c significa che w deve essere minore di c, cioè il livello che α deve praticare al distributore deve essere inferiore
al costo.
Anche qui vale il ragionamento di prima: fissare solo il prezzo imposto non sarebbe sufficiente perché poi i distributori
(liberi di scegliere e senza altre restrizioni della tariffa in due parti) sceglierebbero un livello di e diverso dalla struttura
verticale integrata. Se vendo sottocosto vado in perdita. Recupero la perdita con la parte fissa della tariffa che diventerà
più alta del profitto della struttura integrata.
Diviso 2 perché vale metà sul distributore 1 metà sul 2
Prezzo imposto, vendo sottocosto (sovraincentivo i distributori, così quando calcolano lo sforzo ottimale viene più alto),
applico la tariffa fissa. Esercizio RV5
Costo totale di α
Funzione di costo totale dei distributori
α opera in monopolio, vende il suo prodotto a due imprese a valle 1 e 2. Le due imprese a valle rivendono i beni ai prezzi p1
e p2. α produce q, le due imprese vendono q1 e q2.
Le due imprese devono decidere p ed s in base alla domanda. Determinare il profitto di ciascuna impresa in assenza di
restrizioni verticali.
Se le imprese devono decidere il prezzo devono per forza fare un prezzo uguale perché altrimenti una delle due non
venderebe, fanno il prezzo più basso possibile, prezzo uguale al costo
Quindi con le imprese indipendenti ogni impresa guarda il proprio profitto e massimizza il proprio profitto.
Con la struttura integrata:
Integrazione verticale: i 3 soggetti sono controllati da un unico soggetto al vertice che decide, sono 3 unità produttive di
un’unica impresa. Verranno quindi massimizzati i profitti complessivi.
Prezzo meno costo per quantità meno i costi che non dipendono da q
Risolvendo le due condizioni del primo ordine viene fuori che:
Avrò quindi una situazione migliore sia in volume di profitti sia per quanto riguarda il surplus dei
consumatori. Il Welfare ora è più alto.
Si ipotizzi ora che l’impresa conosca la funzione domanda di mercato e le funzioni di costo delle imprese a valle, ipotizzare
che α possa conferire potere in diverse aree, la domanda in ciascuna area dipende comunque da uno sforzo promozionale
di entrambe le imprese. La domanda di 1 dipende anche da s2 (esiste esternalità orizzontale dello sforzo a valle).
Individuare le restrizioni verticali che permetterebbero ad α di conseguire lo stesso profitto che avrebbe nel caso della
struttura integrata.
Posso fare tariffa in due parti con esclusiva territoriale. Se mi accorgo che la domanda da una parte dipende anche dalle
scelte delle altre allora c’è esternalità orizzontale quindi tariffa in due parti ed esclusiva territoriale non basta.
Non funziona perché: Le imprese a valle devono decidere prezzo e sforzo in ciascun segmento di mercato.
Massimizzo il profitto:
Prima lo sforzo era 20 Prima erano 80 Complessiva 80/3, prima era 40
Se metto F=2800/9 ottengo un profitto che è minore di 400 (ho diviso per i due distributori). Se mettessi F grande quanto il
profitto della struttura integrata i distributori andrebbero falliti, F deve essere minore di 2800/9, accade questo perché non ho
riprodotto la struttura integrata, il prezzo è diverso, è tutto diverso. Quindi esclusiva territoriale e tariffa in due parti non è una
restrizione sufficiente.
Due distributori, quando uno dei due decide gli sforzi per massimizzare il profitto ragiona su metà domanda, quando decide
lo sforzo trascura l’eventuale effetto, beneficio ricavato dallo sforzo dell’altro. Quando decide s1 lo sceglie quindi più basso,
la stessa cosa fa l’altro, una struttura integrata tiene conto anche degli effetti che avrebbero gli sforzi sull’altro. Per questo
motivo non funziona.
La risposta all’esercizio è: devo fare prezzo imposto e tariffa in due parti
Associato a questa scelta di prezzo α decide di fare anche una tariffa in due parti:
Il distributore i-esimo deciderà soltanto Si
Mi metto nei panni di α, egli vuole avere le condizioni della struttura integrata, vuole trovare quindi pα e π che gli
consentono di fare un profitto che è pari ad 800.
A questo punto una volta fissato il prezzo uguale a 0 devo decidere
quanto vale F
Ho ottenuto quindi lo stesso profitto che avrei ottenuto con la struttura verticale integrata. Devo dare incentivi ai dstributori,
vendo infatti ad un prezzo uguale a 0.
Devo quindi sovraincentivare, vendo il bene intermedio ad un prezzo più basso del costo, nel caso nostro ad un
prezzo pari a 0.
Si può anche calcolare:
Otteniamo lo stesso risultato che abbiamo visto prima
La soluzione dell’esercizio era prezzo imposto e una tariffa in due parti.
L’impresa a valle utilizza due input che vengono ciascuno
dalle due imprese a monte. Costi costanti, ipotizziamo c1
e c2 costi unitari costanti uguali ai costi marginali. Che
problemi si possono porre in questa situazione?
La funzione di domanda indica che la quantità di domanda
venduta a valle dipende dalle decisioni di B relative al
prezzo, le decisioni di B anche se una trasformazione non
è 1 a 1, influenzeranno la domanda che B avrà di x1 e x2
che gli serviranno per produrre q. Profitti possibilmente
maggiori per 1 e 2. C’è un problema di esternalità
verticale. Quando B decide il prezzo lo fa per massimizzare
i suoi profitti senza tenere conto di 1 e 2. Abbiamo condizioni di mercato diverse per le imprese.
Anche qui si può verificare cosa accade nel caso di
imprese indipendenti.
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In generale osservazione:
Quando ci sono situazioni di questo tipo (l’impresa 1
è la più forte, 2 in concorrenza e una impresa che usa
entrambi gli input) quella forte cerca di estendere il
proprio potere anche dall’altra parte.
Per esempio 26
Uguagliamo il saggio marginale di sostituzione tecnica fra
gli input e rapporto tra i prezzi
Quando b deve decidere come combinare x1 e x2 lo fa
in base ai costi. Il rapporto tra i prezzi nel caso di
imprese indipendenti è diverso dal caso della struttura
integrata. Ho che il rapporto tra i prezzi è diverso per b
(indipendente) dall’integrata.
Questo vuol dire che siccome la parte sinistra dipende
dalla funzione di produzione (aspetto tecnologico), a
parità di tecnologia l’impresa integrata fa una scelta di
livelli x1 e x2 diversa da quella che farebbe l’impresa
ab. Questo genera una distorsione rispetto al caso
integrato nell’utilizzo degli input. Questi vengono
utilizzati in maniera diversa, ciò genera altri problemi
che si aggiungono al doppio mark up. Le conseguenze di
questa distorsione degli input e della doppia marginalizzazione li vedremo.
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04/04/2018 L’impresa 1 opera in condizioni di monopolio, la 2 in perfetta
concorrenza. Le due quindi operano in condizioni diverse: ad
una delle due è permesso fare mark up mentre l’altra venderà
x2 al prezzo p2 uguale al costo marginale (costante, pari a c2).
L’impresa a valle utilizza gli input dell’impresa a monte, sono
due.
Problemi:
Confrontiamo le situazioni di imprese indipendenti e struttura
integrata.
Imprese indipendenti: relazione affidata al mercato puro, meccanismo dei prezzi, le imprese massimizzano la propria
funzione obiettivo prendono le proprie decisioni.
Quando esiste una struttura verticale integrata che coinvolge 1,2 e b c’è un unico soggetto, controllo decisionale
centralizzato, 3 unità prodotte nella stessa impresa.
Due differenze tra le due strutture:
! relativa al prezzo: problema di doppia marginalizzazione, la 1 fa mark up, la b ha potere di mercato quindi anche lei
fa mark up. Quando c’è un’esternalità (le decisioni di prezzo influenzano anche le altre imprese) non saranno ottimali
dal punto di vista dell’aggregato delle imprese. Se prendo tutta la filiera il prezzo che massimizza i profitti complessivi
è diverso da quello che fisseranno le imprese in condizioni di totale indipendenza: il prezzo b sarebbe più elevato
rispetto alla struttura integrata, questo perché c’è un’esternalità negativa perché non si tiene conto degli effetti che si
hanno sulle altre imprese.
" l’altro problema che si pone è relativo alla distorsione dell’utilizzazione degli input. L’impresa b quando deve
decidere con quale input x1 x2 produrre lo fa in modo diverso da come lo farebbe nella struttura integrata. Questo
accade perché:
Supponiamo di avere una funzione di produzione cobb-douglas
C’è una costante k che possiamo mettere uguale ad 1, poi abbiamo α e β (esempio capitale e lavoro, o
comunque posso aggregare gli input).
Se voglio vedere quanto input mi serve per un certo output mi metto all’altezza di q che vorrei, vedo allora le
combinazioni di x1 e x2 che posso utilizzare, deve essere una combinazione efficiente, quindi deve stare sulla funzione
di produzione. Trovo gli isoquanti: tutte le combinazioni di x1 e x2 efficienti per produrre una quantità pari ad esempio
a 10.
Mi metto sul punto di tangenza tra l’isoquanto ed i costi per decidere la combinazione di x1 x2, così risolvo il problema
del minimo costo
Se risolviamo troviamo una soluzione che ci dice
Produttività marginali dei prodotti (effetto che si ha sull’output se vario il livello di impiego
del fattore 1 quando x2 è dato)
Le due distorsioni quindi sono dovute alla doppia
marginalizzazione. Se c’è un’unica impresa in cui ci sono 3 unità
produttive quando devo fare la pendenza tra isoquanti e isocosti
la tecnologia produttiva è data (lo sarebbe in ogni caso) ma se b
è indipendente quando acquista gli input avrà dei prezzi
maggiori dei costi, se invece abbiamo un’unica impresa
integrata i prezzi degli input sono minori (uguali ai costi), quindi i
rapporti sono c1/c2 non p1/p2. La pendenza dell’isoquanto
quindi cambia.
La combinazione ottima degli input è quindi diversa perché
dipende dal rapporto tra i prezzi. Se aumenta il prezzo di x1
l’isocosto si inclina e quindi uso più x2 e diminuisco l’uso di x1.
Conseguenza della doppia distorsione è che i profitti complessivi sono più bassi.
Esercizio
Impresa α in monopolio con una f di produzione cobb-douglas i cui
esponenti sono 1/3 e 2/3. Linput 1 viene fornito dall’impresa 1 che
opera in monopolio con funzione di costo lineare. L’input 2 viene fornito
da un’impresa in perfetta concorrenza, prezzo uguale al costo
marginale. Il costo totale di α è dell’acquisto dei due input. La funzione
di domanda è q, determinare:
A) Il profitto delle 3 imprese quando l’impresa 1 fornisce input 1 a p1=27
B) Profitto nel caso di struttura verticale integrata.
Produttività marginali
Saggio marginale tecnico di sostituzione
Risolviamo il sistema e troviamo il punto a.
Quindi il costo supportato da α è:
A questo punto l’impresa a valle che opera in monopolio per massimizzare il profitto eguaglia il ricavo marginale al
costo marginale Il rapporto di impiego tra i due input è diverso dal caso precedente
Se le imprese si coordinassero tra di loro otterrebbero un profitto maggiore rispetto al caso di imprese indipendenti
Cosa si può fare quando abbiamo di fronte una situazione del
genere:
1) o le imprese coordinano tra di loro le decisioni e replicano la
situazione di struttura verticale integrata e poi si spartiscono il
profitto (questo è possibile quando hanno più o meno lo stesso
potere)
2) oppure c’è un’impresa che se è in posizione di forza impone
delle restrizioni all’altra
Qual è il modo alternativo a quello dell’integrazione verticale in
cui la relazione di mercato sparisce e subentra la gerarchia?
Faccio un accordo con l’impresa a valle per cui questa ha il
divieto di comprare dall’impresa 2. Allora io compro da 2 e poi
rivedo l’input all’impresa a valle α.
Esempio se sono un aeroporto e
c’è una compagnia aerea che usa
le mie piste posso costringere loro
a fare la manutenzione da me,
quindi posso comprare il servizio
da un’altra azienda e rivenderla alla
compagnia aerea.
Questo è diverso dal BUNDLING,
non vendo i prodotti insieme con le
quantità che decido io, è l’impresa
a valle a decidere quanto comprare,
ma per forza da me.
Devo mantenere il rapporto tra i prezzi affinché l’impresa a valle
non si sbagli.
Nel caso dell’esercizio precedente:
α vede i prezzi degli input, sa quanto deve essere il prezzo a cui vendere il prodotto, vede quanto deve produrre con la
funzione di produzione per poter rispettare il prezzo imposto.
Il profitto di α ovviamente è 0.
10/04/2018 Se l’impresa a valle operasse in condizioni perfettamente
concorrenziali non farebbe mark up. Il problema della doppia
marginalizzazione non si porrebbe.
L’impresa a valle però continuerebbe a fare un uso distorto dei
due input.
In questo caso quindi in assenza di restrizioni verticali ci
sarebbe la distorsione sull’utilizzo dei beni intermedi, ma non ci
sarebbe distorsione di prezzo.
Che restrizioni bisogna mettere per non usare in modo
sbagliato gli input?
Tariffa in due parti e vendita collegata le posso utilizzare
entrambe? La tariffa in due parti non sarebbe sufficiente
perché l’impresa finale sceglierebbe un altro prezzo.
La logica della tariffa in due parti è inapplicabile perché se
faccio p1=c1 (per vendergli le cose a prezzo di costo, l’impresa
a valle fa profitti e mi prendo la tariffa), ma se l’impresa a valle
vende a prezzo di costo non fa profitti, per cui i profitti non li fa
nessuno e non posso imporre la tariffa in due parti. La tariffa in
due parti è inapplicabile.
Posso fare la vendita collegata: prezzi p1 e p2 devono
soddisfare delle condizioni, il prezzo imposto non sarebbe
necessario in quanto b sceglierebbe il prezzo senza
aggiungere margini. Per scegliere i prezzi p1 e p2 opportuni
posso utilizzare l’equazione dei rapporti (p1/p2=c1/c2) e
l’equazione p=P imposto della struttura integrata
Se nel problema non va bene qualsiasi combinazione degli input
ma ci sono delle proporzioni fisse (quindi per una certa quantità
l’isoquanto è un punto) allora non c’è distorsione nell’utilizzo
degli input.
Leontief
Tecnologia produttiva a coefficienti fissi
Quando la tecnologia permette input sostituti posso ottenere
le unità di output che vorrei con infinite combinazioni degli
input.
L’isoquanto rappresenta tutte le possibili combinazioni,
abbiamo la pendenza dell’isocosto, prendiamo il punto di
tangenza tra i due così otteniamo la combinazione migliore.
Però non tutte le tecnologie produttive sono fatte così,
nell’esempio:
Per produrre 10 l’isoquanto si riduce ad un punto.
Ovviamente esistono anche situazioni intermedie
Se abbiamo una tecnologia a coefficienti fissi e l’impresa a valle opera in condizioni di perfetta
concorrenza cosa si può fare?
Non ci sono distorsioni né dal punto di vista degli input né dei prezzi. Se c’è la catena
monopolista a monte concorrenza a valle non c’è nemmeno la doppia marginalizzazione. Allora
il monopolista deve solo trovare il prezzo che massimizza il profitto, qualsiasi imposizione non
porterebbe un aumento di profitto. Esercizio RV7
Impresa in monopolio che produce un solo bene, due input provenienti da un monopolio e da un’impresa in
concorrenza perfetta. Ipotizzare che l’impresa 1 conosca le funzioni di costo totale dell’impresa 2 e dell’impresa α a
valle e la funzione di domanda del bene prodotto da α. (Condizioni di informazione completa).
a) Determinare il profitto delle 3 imprese in assenza di restrizioni verticali
b) determinare il profitto nel caso di struttura integrata
Faccio il prezzo massimo Il problema di α lo abbiamo risolto, il prezzo è 10, la quantità è uguale a 100
Se sono l’impresa 1 cerco di fissare il prezzo più alto possibile per fare i massimo profitto possibile per unità.
In assenza di restrizioni verticali c’è un’impresa a monte che fa un profitto di 420, le altre due fanno profitto nullo. Il
problema di capire qual è il profitto in caso di integrazione verticale rimane in piedi perché uno potrebbe essere
portato a pensare: l’impresa 1 fa solo lei profitto quindi non c’è altro profitto da prendere. Questo non è vero perché il
rapporto tra i prezzi è distorto rispetto a quello che si avrebbe con la struttura integrata, la struttura integrata infatti fa
più profitti rispetto alla situazione delle 3 imprese indipendenti.
Con la funzione di domanda che caratterizza il problema abbiamo sempre prezzo 10 e quantità 100. Quello che
cambia con la struttura integrata è che l’unità produttiva a valle sceglie gli input in proporzioni diverse.
STS non cambia perché la tecnologia è sempre la stessa però è uguale ad 1/4, allora:
Cambia l’inclinazione dell’isocosto.
Il ricavo è sempre lo stesso ma il costo è più basso.
La distorsione dell’utilizzazione degli input costa 180.
Allora l’impresa 1 può evitare il problema della distorsione dell’utilizzazione dell’input inserendo delle restrizioni
verticali?
c) illustrare le restrizioni verticali sufficienti affinché il profitto di 1 sia pari al profitto della struttura integrata
La restrizione che l’impresa 1 può fare è la tariffa in 2 parti:
Quindi l’impresa 1 si prende il profitto che si prenderebbe con la struttura integrata
Potremmo fare una vendita collegata
Dico ad α che deve comprare entrambi gli input da me. Allora l’impresa 1 deve trovare i due prezzi a cui vendere ad α.
Per trovare i prezzi abbiamo bisogno di due condizioni:
I ricavi totali di α devono essere uguali ai costi sostenuti da α
Esercizio RV8
α opera in condizioni di monopolio ecc come prima. La funzione di produzione è diversa da prima, può scegliere tra
due alternative:
1) α produce in proprio x1 e x2 e consegue un profitto pari a 200
In assenza di restrizioni verticali cosa può accadere all’impresa 1? Risolvendo l’esercizio ora devo tenere conto del
fatto che α ha un’alternativa, se azzero il suo profitto come prima α non compra da me, quindi devo lasciare ad α
almeno 200.
α fa lo stesso profitto che farebbe con l’alternativa.
In assenza di restrizioni verticali prima (senza alternativa) erano 420 per l’impresa 1, 0 per gli altri, il profitto
complessivo era 420, adesso il profitto complessivo è 500. 80 in più. Questi vengono fuori dal fatto che questa
situazione è meno distorta della precedente. Se la pendenza è 1/4 è meglio di un rapporto 1/6. Questa situazione
genera un volume di profitti maggiore rispetto alla precedente che era 420.
Determinare il profitto massimo che potrebbe avere 1 imponendo delle restrizioni verticali.
α non accetta una restrizione verticale così perché ha
un’alternativa
Esercizio RV9
C’è un’impresa in monopolio che vende a due imprese a valle.
17/04/2018 Teoria dei giochi
Oggetto di studio: le scelte di agenti razionali in un contesto di interazione strategica
Un contesto di scelta è detto strategico quando le conseguenze di un’azione per un agente dipendono non soltanto
dalle azioni da lui compiute ma anche dalle azioni compiute da altri agenti.
Per gioco si intende un generico contesto di scelta strategica: nei problemi di business moltissime situazioni sono di
interazione strategica.
Nei giochi si distingue tra gioco COOPERATIVO e gioco NON COOPERATIVO
COOPERATIVO: i soggetti nel gioco possono comunica e stabilire accordi vincolanti ancora prima di iniziare a giocare.
Questi non li tratteremo perché nei contesti di oligopolio i giocatori non si possono accordare, è vietato accordarsi tra
imprese per via dell’antitrust.
GICOO NON COOPERATIVO: non è possibile comunicare e accordarsi prima del gioco, quindi i giocatori scelgono
indipendentemente le proprie strategie.
Descrizione di un gioco non cooperativo
➡ Forma normale o strategica
➡ Forma estesa
La prima si usa in genere per le scelte in cui la dimensione temporale
non è rilevante
La seconda quando c’è una dimensione temporale rilevante
Funzione di payoff: cosa guadagnano i diversi giocatori in base alle
scelte che fanno entrambi
Il dilemma del prigioniero Ci sono due prigionieri che vengono messi in due celle diverse e non
possono comunicare, a ciascuno viene detto: se confessi e collabori
prenderai una pena minore, se non confessi e l’altro confessa ti becchi pure
gli aggravanti, se entrambi collaborate prendete 6 anni.
Nell’interazione
strategica non
si ha incertezza
perché tutte le
scelte sono
controllate.
L’incertezza si
ha laddove ci
sono eventi che
non controlla
nessuno.
1
Duopolio di Cournot e Bertrand
Le imprese scelgono quanto produrre, quindi la quantità.
Il prezzo dipende dalle scelte dell’uno e dell’altro, cioè dalla
quantità complessiva
Per Bertrand la scelta delle imprese è sul prezzo, le quantità
vendute da ciascuna dipendono dai prezzi scelti da entrambe.
Una volta esauriti i prodotti dell’impresa con i prezzi più bassi si
venderanno i prodotti con prezzi più alti.
Dilemma del prigioniero Modelli di Cournot e Bertrand
Si dice che tutti questi modelli hanno insieme qualcosa: sono giochi statici con informazione completa. Sono
entrambi due elementi fondamentali per capire come si risolve un gioco.
STATICO: i giocatori scelgono le loro strategie simultaneamente (il tempo non esiste). Il problema è se quando un
soggetto decide conosce la decisione dell’altro o meno, se la conoscesse le decisioni sarebbero in sequenza ed il
secondo si regolerebbe in base alle scelte del primo. Non è importante che dal punto di vista cronologico le scelte
vengano fatte contemporaneamente, quello che conta è che entrambi vengano a conoscenza delle scelte dell’altro
solo dopo aver scelto.
INFORMAZIONE COMPLETA: tutti i giocatori conoscono tutti gli elementi che caratterizzano il gioco: i due prigionieri
sanno cosa succede nei diversi casi, quindi hanno davanti la matrice.
L’informazione completa nel caso delle scelte di prezzo vuol dire che
nel momento in cui i prezzi sono stati scelti sono in grado di calcolare
sia il mio profitto che quello del mio rivale.
Trovare una soluzione vuol dire:
Se sono il soggetto che analizza il contesto di interazione strategica
faccio un ragionamento e faccio una previsione su come il gioco
finisce, se invece sono un giocatore devo trovare la soluzione migliore
per me.
Si ipotizza che ci sia razionalità per i soggetti che partecipano ai
giochi: ogni soggetto massimizza la sua funzione obiettivo
(riconducibile al guadagno).
Diverse modalità di fare una predizione sulla soluzione del gioco.
Posso pormi come problema se c’è una strategia dominante tra le due
o se ce ne è una dominata: c’è una delle due scelte che mi garantisce
un risultato migliore dell’altra qualunque siano le scelte di chi
interagisce con me.
2
Quindi se ho una strategia dominante la scelgo.
Se il giocatore 2 sa che c’è una strategia dominante per il giocatore 1
sa per certo che 1 la sceglierà quindi il giocatore 2 sceglierà la
strategia migliore in base a questo.
Potrebbe esserci anche una strategia DOMINATA: qualsiasi scelta faccio il risultato è peggio di quello che avrei con
un’altra scelta, allora sicuramente la scelta dominata la escludo.
Questa si chiama ELIMINAZIONE ITERATA DI STRATEGIE STRETTAMENTE DOMINATE
Quindi come prima cosa controlliamo se c’è una strategia dominante, sappiamo che l’altro sceglierà quella.
Vediamo se ci sono strategie dominate e le eliminiamo, gli altri sanno che questa verrà eliminata.
Nel dilemma del prigioniero c’è una strategia dominante.
Confessare domina tacere, quindi confessare è la strategia
dominante, tacere è la strategia dominata. Quindi entrambi
confesseranno.
Per il primo giocatore solo 2 scelte, per il secondo 3 scelte.
Non posso dire che su è una strategia dominante. Il giocatore di
riga non può scegliere tra su e giù. Il giocatore di colonna può fare
questo ragionamento: mi accorgo che qualunque cosa faccia il
giocatore di riga per me destra è dominata da centro (destra è
strettamente dominata da centro) allora semplifico il gioco, elimino
la colonna destra.
Il giocatore di riga sa che il giocatore di colonna escluderà l’opzione destra. A questo punto il giocatore di riga ha una
strategia dominata, su garantisce un risultato migliore di giù. Allora il giocatore di colonna sceglierà tra sinistra e
destra solo tra le due caselle riferite a su, allora la soluzione è su-centro
Si procede in modo iterato, si applica solo il ragionamento
Per il giocatore 1 esiste una strategia dominante: qualsiasi cosa
faccia il giocatore 2 e qualunque matrice scelga il giocatore 3 il
giocatore ha il payoff di b1 che è maggiore di a1. Se a1 è
strettamente dominata allora elimino le righe di a1.
Se ragioniamo solo sulla seconda riga delle matrici anche per il
giocatore 2 c’è una strategia dominata e una dominante, allora anche
al giocatore due conviene scartare la colonna 2 perché è
strettamente dominata.
Con la procedura dell’eliminazione iterata andiamo a trovare una soluzione: giocatore 1 sceglie B1, il 2 b3, il 3 b3, i
payoff saranno 2,2,2. 3
Tutti gli elementi del gioco sono conoscenza comune e tutti
sanno che tutti sanno che questo è vero.
Immaginiamo che ci siano due imprese che fanno attività su un lago,
entrambe inquinano, entrambe fanno profitto pari a 10. Se il lago è
inquinato alle imprese viene fatta una multa pari a 7. Allora le imprese
possono scegliere se installare il depuratore oppure no, strategia
ecologica e non ecologica. Quindi se nessuna delle due mette il
depuratore prendono 3 invece di 10.
Il costo del depuratore è pari a 6, se entrambi installano il depuratore i profitti sono 4. Se però una delle due non
installa il depuratore ha un vantaggio rispetto a quella che lo installa e guadagna 11. Dalla tabella risulta quindi che la
multa pari a 7 non è sufficiente per incentivare entrambe le imprese ad installarlo. Alla fine accade che nessuna delle
due installa il depuratore.
Dal punto di vista paretiano sarebbe meglio la soluzione DD ma dal punto di vista dell’interazione strategica la
soluzione diventa ND-ND, inefficiente.
F S C Rappresentazione della morra cinese
F 0 0 0 1 1 0 Non c’è una soluzione che prevale sulle altre
1 0 0 0 0 1
S 0 1 1 0 0 0
C Non ci sono strategie da eliminare, il procedimento no fornisce
alcuna predizione sull’esito del gioco
Bisogna allora introdurre un nuovo concetto di soluzione che
fornisce predizioni più accurate sull’esito di una classe molto
ampia di giochi
Equilibrio di Nash
Una strategia è un equilibrio di Nash se il payoff di quella
strategia è maggiore di tutte le altre scelte se gli altri hanno già
fatto la scelta ottima.
4
Di fatto devo massimizzare il payoff del giocatore i quando tutti
gli altri giocatori hanno fatto le loro scelte ottimali.
Nessun giocatore preso singolarmente desidera cambiare la
strategia.
La soluzione DD sarebbe meglio per entrambe rispetto a ND-ND.
Se ci fosse un contratto che obbligasse entrambi ad installare il
depuratore prima di iniziare a giocare andrebbe bene, se invece
non si può fare non si ha nessuna garanzia che poi il soggetto
installi il depuratore, quindi non si può fare l’accordo D-D.
Deviazioni unilaterali non sono convenienti vuol dire che nessuno dei due preso singolarmente desidera deviare dalla
strategia prescritta
S C D La risposta ottima è SU-C.
1 0 1 2 0 1
Su Equilibrio di Nash risposta ottima alla risposta ottima, se colonna si sposta peggiora, se
0 3 0 1 2 0
Giù riga si sposta peggiora. Se nella tabella precedente eliminassimo le opzioni dominate
dovremmo eliminare D. Sul sottoinsieme rimasto vediamo che giù
è strettamente dominato da su, allora cancello la riga giù, alla fine
sopravvive solo su-C, quindi questo è un equilibrio di Nash.
Naturalmente non è vero il contrario
F S C Qui non c’è nessuna casella in cui
0 0 0 1 1 0
F becco due punti, l’equilibrio di Nash
1 0 0 0 0 1
S infatti non c’è.
0 1 1 0 0 0
C
Ci sono situazioni in cui esistono più di un punto di equilibrio,
bisogna poi capire se è possibile selezionarne qualcuno.
In questo caso il gioco non si ripete, si gioca una sola volta.
Rappresentazione statica, quindi non si può andare una volta da
una parte una volta dall’altra.
Qui si hanno 4 situazioni possibili, 2 ottime. 5
Una strategia mista è una distribuzione di probabilità sulle
strategie pure.
S è l’insieme delle strategie disponibili
Entrambi ammettono equilibri di Nash in strategie pure
3 suggerimenti di cui si può tenere conto
Posso procedere anche con i passi 1,2,3 in modo da trovare
l’equilibrio su un insieme più facile. Seguendo questi 3 posso
individuare soluzioni e un insieme di situazioni diverse.
6
I modelli di base della competizione oligopolistica
Sono 3:
➡ Modello di Cournot
➡ Bertrand
➡ Stackelberg
Sono situazioni semplificate, caratterizzate tutte da:
➡ numero di imprese dato esogenamente (quindi non mi preoccupo che qualcun’altra impresa possa entrare nel
settore)
➡ le tecnologie produttive sono anche esse esogenamente date: non c’è innovazione tecnologica quindi i processi
produttivi e i costi sostenuti dalle imprese sono sempre gli stessi, allora sto eliminando l’innovazione tecnologica, le
strategie di ricerca e sviluppo, valutare se aggiungere o togliere dei prodotti ecc
➡ prodotto omogeneo: gli acquirenti considerano i beni prodotti dalle imprese del tutto identici, quindi non distinguo
tra prodotti di aziende diverse, allora non c’è neanche la pubblicità.
➡ ulteriori ipotesi che caratterizzano i diversi modelli
L’aspetto cruciale è l’INTERDIPENDENZA STRATEGICA, ovvero sono i primi modelli che tengono conto
dell’interazione strategica tra soggetti. I 3 modelli sono stati proposti molto prima dell’equilibrio di Nash.
Il modello di Cournot
Diverse ipotesi:
" I={1,2,3,...i,...,n} insieme delle imprese che operano sul mercato
# prodotti omogenei, i consumatori li reputano identici
Le imprese scelgono la variabile q, cioè la quantità da produrre. Q
è la variabile strategica
Il meccanismo di mercato decide il prezzo in base alle curve di
domanda e offerta.
La funzione di payoff è ricavi meno costi. I profitti di ciascuna
impresa dipendono anche dalle scelte delle altre imprese
7
Date le ipotesi la funzione di payoff è continua, differenziabile, concava (la funzione di domanda inversa è lineare
mentre la funzione di costo è convessa quindi la funzione di profitto è concava).
Le condizioni sono soddisfatte perché funzione di payoff
concava, numero di imprese finito, però teoricamente le
soluzioni potrebbero essere infinite perché ogni impresa può
scegliere un’infinita quantità. In realtà esiste un prezzo al di
sopra del quale la domanda è nulla, quindi abbiamo un prezzo
massimo. Funzione di domanda decrescente. La quantità che
ciascuna impresa sceglie di produrre teoricamente è da 0 a
infinito ma so che esiste un prezzo basso al di sotto del quale
l’impresa non scenderà mai perché non recupererebbe
nemmeno il costo variabile medio. L’impresa sta sul mercato se
copre almeno i costi variabili.
Se indico con c il minimo del costo variabile (data la tecnologia
ipotizzata è un dato del problema) allora devo avere un prezzo
che è almeno pari a c per stare sul mercato.
Allora se il costo variabile ha un punto di minimo il prezzo deve essere almeno pari a quello. Se il costo variabile c è
ad esempio 3, in corrispondenza di 3 c’è una certa quantità richiesta, che corrisponde alla domanda D(3) quando
devo scegliere il livello di output devo scegliere da 0 a D(c ).
Allora l’insieme delle strategie disponibili è finito, quindi ci sono le condizioni affinché esista un equilibrio di Nash in
strategie pure.
L’equilibrio di Nash-Cournot risolve il problema, il profitto dell’impresa i in corrispondenza di q* è maggiore del profitto
che otterrebbe in tutte le altre scelte Dal punto di vista strategico il punto è ottimale ma se considero
le singole imprese quello è un punto inefficiente.
Faccio una derivata parziale, massimizzo rispetto a qi e metto
uguale a 0.
8
Le due imprese scelgono simultaneamente, cioè scelgono senza
sapere cosa hanno scelto gli atri.
9
18/04/2018
Se generalizzo il modello di Cournot per n imprese
Se n aumenta il prezzo tende ad essere uguale al costo marginale ed il profitto pari a 0. Se prendiamo le assunzioni di
Cournot (funzioni di costo dato, beni omogenei, tutte le imprese accedono alla medesima tecnologia) vediamo che
sono le stesse ipotesi che si fanno nella concorrenza perfetta solo che le n imprese invece di essere infinite sono in
numero ridotto. Se andiamo però ad aumentare n progressivamente la quantità si fa sempre più piccola perché la
quota di mercato di ogni impresa diminuisce. La concorrenza perfetta è un caso limite del modello di Cournot in cui n
tende all’infinito. I prezzi tendono al costo marginale ed i profitti tendono a 0.
Tutte le imprese fanno la massimizzazione del profitto simultaneamente. Dalle condizioni del primo ordine
Se l’elasticità della domanda aumenta diminuisce il mark up. Per le imprese che hanno Si
alto (quota di mercato) si ha un incremento del mark up. Se la quota di mercato diventa
sempre più piccola anche il mark up tende ad essere piccolo
La quota di mercato di un’impresa può essere maggiore di zero anche se ci sono differenti costi. Non è detto che
l’impresa più efficiente venda più dell’altra. Le imprese con costi più bassi avranno quote di mercato più grandi.
Il modello di Bertrand
Dal punto di vista dell’analisi strategica intesa come teoria dei
giochi il modello di Bertrand continua ad essere un modello
statico ad informazione completa, così come Cournot. Le
imprese scelgono simultaneamente (non c’è sequenza nel
processo decisionale) ma rispetto a Cournot la variabile
decisionale è il prezzo non più la quantità.
Se i consumatori ritengono i prodotti equivalenti compreranno
dall’impresa che vende al prezzo più basso.
Se il mio prezzo è più basso degli altri allora mi prendo tutta la
domanda
Se il mio prezzo è uguale agli altri allora la domanda si ripartisce
Se il mio prezzo è più alto non vendo nulla
Il costo diventa infinito se qi è maggiore di ki.
Esiste una capacità produttiva massima che è k. Se ho una
capacità produttiva limitata ad un certo punto quando devo
produrre più di quello che posso il costo è infinito perché è
come dire che è irrealizzabile.
In Cournot non c’è la funzione di costo totale perché la variabile strategica è la quantità prodotta quindi viene
rispettata nel momento della scelta. In Bertrand è necessaria perché devo avere la capacità produttiva per soddisfare
la domanda che voglio soddisfare col prezzo che decido.
Nel caso di Bertrand si deve ipotizzare che la capacità produttiva di ciascuna impresa sia maggiore di D( c), cioè il
prezzo più basso che un’impresa può praticare deve essere compatibile con profitti almeno pari a -F.
Devo ipotizzare che ciascuna impresa sia in grado di coprire da
sola l’intera domanda di mercato.
Common Knowledge
Nel modello di Bertrand non posso fare come in Cournot la
massimizzazione. Nn posso applicare teoremi generali per
l’esistenza dell’equilibrio.
Ci sono 4 casi possibili.
Caso 1 tutti i prezzi uguali, mi accorgo che non è un equilibrio
perché appena una delle imprese fissa un prezzo di un ε più
basso allora assorbe tutta la domanda.
Il profitto evidenziato è maggiore dell’altro perché la funzione di
risposta ottima è quella di fissare un prezzo leggermente più
basso di quello dell’avversario. Questo si chiama undercutting:
fissare un prezzo leggermente più basso del rivale.
Quindi questa soluzione non è un equilibrio di Nash
Non è un equilibrio di Nash perché se fisso un prezzo maggiore
del rivale faccio profitto nullo. Mi conviene trovare il prezzo pj
dell’avversario e abbassarlo di un ε.
Non è un equilibrio perché a j conviene fare un pi-ε
L’unico caso di equilibrio è il quarto, equilibrio di Bertrand. Tutti i
prezzi uguali ai costi. Entrambe le imprese conseguono profitti
nulli, coprono i costi, se una delle due riducesse il prezzo
otterrebbe profitti negativi, se una alzasse il prezzo uscirebbe
dal mercato perché non venderebbe nulla.
Di fatto bastano due imprese per replicare la situazione di
concorrenza perfetta. Se queste si fanno la guerra di prezzo si
ottiene lo stesso risultato della concorrenza perfetta: prezzo
uguale al costo marginale.
Il profitto è maggiore o uguale del profitto che farebbe se
scegliesse un prezzo diverso.
Modello di Bertrand. Questa accanto non è una situazione di equilibrio.
Se una delle due abbassasse il prezzo farebbe profitto maggiore di 0,
ma allora anche l’altra impresa abbasserebbe il prezzo.
Se vendessi un prodotto omogeneo (esempio spostamento
roma Milano sulla linea alta velocità) una scelta che non sarebbe
strategicamente corretta è che tutti aumentassero il numero di
treni perché si arriverebbe al modello di Bertrand. Avendo
capacità molto grande per spostare i passeggeri da una parte
all’altra bisognerebbe abbassare i prezzi, alla fine si arriverebbe
alla competizione di Bertrand. Quindi aumentare la capacità
produttiva non è una buona strategia (finché la capacità totale di
tutte le imprese è bassa allora si possono alzare i prezzi).
In questo caso bisogna ragionare alla Cournot, cioè bisogna
decidere la capacità produttiva non il prezzo.
Dal punto di vista delle imprese il punto di equilibrio di Bertrand
non è efficiente.
Le imprese dovrebbero ragionare in questo modo: date le
funzioni di domanda e di costo, il monopolista metterebbe
ricavo marginale uguale al costo marginale, sceglierebbe la
quantità che uguaglia ricavi e costi, allora le imprese dovrebbero
vedere qual è il prezzo corrispondente e fare il prezzo di
monopolio, dovrebbero mettersi d’accordo. A quel punto si
generano i profitti di monopolio che le imprese possono
spartirsi.
Gli accordi però non si possono fare per via dell’antitrust.
La soluzione ottimale dal punto di vista delle imprese sarebbe
mettersi d’accordo, massimizzare il bottino e poi spartirlo. Con
Bertrand questo non avviene.
Le imprese fanno di tutto per non essere messe in queste condizioni.
Se posso differenziare il prodotto posso fare prezzi diversi dagli altri senza perdere la domanda.
Se l’unica cosa che conta è il prezzo allora si cade nel modello di Bertrand e quindi la vita delle imprese è messa a
rischio a meno che non ci siano accordi taciti.
23/04/18
Se in qualche esercizio di giochi dovessi avere più di un equilibrio di Nash la risposta ottima è indifferente. Mi accorgo
che per il giocatore di colonna c’è una strategia debolmente dominata, per cui il giocatore di colonna tende a scegliere
la strategia che domina, per cui di quei due equilibri di Nash sopravvive il secondo m-d
S D
0 0 0 1
A 1 0 0 0
M 0 1 1 0
B
Qui abbiamo due equilibri, tra questi due entrambi i giocatori tendono a selezionare l’equilibrio a-s perché genera dei
payoff che sono maggiori per entrambi, è un equilibrio focale. Ne posso scegliere quindi uno sulla base di alcuni
ragionamenti.
S D
25 25 3 4
A 4 3 7 7
B
I giochi statici con informazione completa avvengono in dimensioni temporali non rilevanti, ha come esempi di
oligopolio i modelli di Cournot e Bertrand. In entrambi i casi le imprese decidono quantità e prezzo senza sapere quali
sono le scelte degli altri.
Il modello di Bertrand mette in luce come sia importante il problema di convivenza nell’oligopolio. Se le imprese sono
aggressive nella competizione alla fine fanno profitti nulli o addirittura negativi, quindi le imprese non devono mettersi
nelle condizioni di Bertrand, devono fare in modo che non siano verificate. Possibilità:
➡ Bene omogeneo: le imprese devono decidere che tipo di prodotto vendere, la tipologia deve essere diversa da
quella che fa il rivale, così da evitare la strategia di under cutting.
➡ la capacità produttiva non deve essere infinita, se tutte le imprese avessero capacità produttiva tale da soddisfare
da sole tutta la domanda allora arriverebbero a fare profitti nulli perché i prezzi scenderebbero.
➡ le imprese possono colludere, anche nel caso in cui la capacità produttiva non è illimitata, potrebbero scegliere di
replicare la situazione di monopolio e poi spartirsi il volume di profitto. Il problema di queste strategie è che sono
vietate, possono essere solo collusioni tacite, senza contratti.
➡ Fare in modo che ci siano asimmetrie di costo. Se un’impresa è più efficiente dell’altra a questo punto quella più
efficiente può eliminare l’altra.
Giochi dinamici con informazione completa
L’aspetto rilevante è l’informazione che ciascun giocatore possiede
quando è il suo turno di scegliere.
Come si rappresentano le situazioni in cui l’elemento tempo è
rilevante? Si possono rappresentare con la matrice (forma normale o
strategica) oppure in forma estesa (si utilizza più spesso quando
l’elemento tempo è rilevante).
Quando ho rappresentazioni ad albero molto ordinate è facile risolvere il
gioco.
Quando c’è una situazione in cui c’è chi decide prima e chi dopo si può
sbagliare immaginando che colui che sceglie per secondo è in
vantaggio perché sa già cosa ha scelto il primo, in informazione
completa in realtà chi gioca per primo ha un vantaggio.
Quando un giocatore sta nell’insieme informativo vuol dire che i due
decidono simultaneamente, nell’albero sopra il 2 non sa esattamente in
che nodo si trova perché non sa cosa ha scelto l’altro, l’informazione
non è completa.
Il dilemma del prigioniero in forma estesa può essere rappresentato
così:
Se mi metto in un insieme informativo devo vedere quali sono le mosse
a disposizione di ciascun giocatore, le mosse a disposizione devono
essere identiche in tutti i nodi perché altrimenti potrei capire dove mi
trovo.
In un gioco dinamico le mosse sono tacere o confessare.
Supponiamo di voler rappresentare in forma normale l’albero sopra
SEMRE S IMITA CONTRARIO SEMPRE D
3 1 3 1 1 2 1 2
S
D 2 1 0 0 2 1 0 0
Prima di giocare devo cercare di ipotizzare la scelta fatta dall’altro
Gioco in informazione
perfetta:
Tutti i giochi statici (simultanei) sono ad informazione imperfetta.
Giochi dinamici con informazione completa e perfetta
Si perfeziona il concetto di equilibrio di Nash e si applica ai giochi
dinamici. Ho due giocatori A e B
Posso dire che la soluzione del sottogioco sotto è
(3,0), quindi posso riscrivere l’albero come:
Andando avanti si vede che la soluzione del sottogioco sarà (1,1) e si
ottiene quindi che
La soluzione ottima per A allora sarà s, che gli permette di massimizzare il suo payoff. Quindi conviene sempre isolare
i sottogiochi più semplici che stanno in basso nell’albero.
Esempi Parto dai nodi terminali, risolvo i sottogiochi e vado verso l’alto,
risolvo dal basso verso l’alto e poi vedo il percorso
SEMRE S IMITA CONTRARIO SEMPRE D
3 1 3 1 1 2 1 2
S 2 1 0 0 2 1 0 0
D
Abbiamo due equilibri di Nash ma c’è un problema di credibilità, sempre destra
porterebbe a guadagnare 0 quindi non si sceglierà sempre destra.
Modello di Stackelberg
Nel modello di Stackelberg abbiamo un gioco ad informazione
completa e perfetta. Le ipotesi che vedremo sono esattamente
identiche al modello di Cournot. L’unica cosa che cambia è l’ipotesi 5,
che è il timing di gioco. In questo caso l’impresa 1 chiamata L sceglie il
livello di output e in t1 l’impresa due prende la scelta sul livello di output
dopo aver osservato la scelta fatta dal giocatore 1. L’impresa 2 deve
avere ovviamente una strategia follower. Deve scegliere il livello di
output che è la risposta ottima alla scelta fatta dall’impresa leader.
L’impresa leader sceglierà la propria opzione guardando alla risposta
ottima dell’impresa follower
24/04/2018
Lancio Evento Probabilità Vincita Valore atteso
T 1/2 1 1/2
1 CT 1/4 2 1/2
2
3 CCT 1/8 4 1/2
CCCT 1/16 8 1/2
4 CCCCT 1/32 16 1/2
5
Consideriamo il seguente esempio con i dati nella tabella sopra. Il valore atteso di tale lotteria è infinito teoricamente,
perché potrei andare avanti all’infinito fino a quando non esce testa. A tale gioco la probabilità di perdita è pari a
15/16, quindi non conviene giocare in quanto è quasi uno la probabilità di perdere.
È un gioco in cui comincio a guadagnare solo quando arrivo al quinto lancio, la probabilità di perdere è 15/16.
Von Neumann e Morgenstern
Hanno scritto nel 1944 un libro che si chiama Teoria dei giochi e comportamento economico in cui parlavano di
solzioni di interazione strategica
L’idea introdotta è:
Ho due possibilità:
1) scatola con probabilità 1/2 ha 100 mila € dentro (cioè 1/2 è vuota, 1/2 è piena)
2) scatola che con probabilità 1 ha 50 mila €
A 50 mila attribuiamo un’utilità, questa la confrontiamo con l’utilità dell’evento 0 e dell’evento 100 ponderata
Una LOTTERIA L è un qualsiasi contesto in cui il payoff (profitto, guadagno, vincita, retribuzione, perdita ecc) che si
realizza dipende dal verificarsi di circostanze non controllate da nessun soggetto.
Il valore atteso di una lotteria è definito dalla sommatoria in i di yi per hi dove yi è il payoff se si verifica l’evento i, hi è
la probabilità con cui esso si verifica Valore atteso di una lotteria
Somma delle utilità che un soggetto associa ai diversi payoff ponderate con la probabilità della realizzazione degli
eventi che danno luogo ai payoff stessi. Utilità attesa di una lotteria
Utilità del valore atteso di una lotteria
Equivalente certo
Se preferisco prendere la scatola con 50 senza partecipare al gioco testa o croce vuol dire che per me la u(50) è
maggiore dell’utilità attesa della lotteria.
Ognuno ha un valore u(segnato) per cui u(y)=E(u(L)).
L’equivalente certo è il valore certo al quale si attribuisce la stessa utilità della lotteria.
Queste relazioni servono a caratterizzare un decisore economico dal punto di vista del suo comportamento verso il
rischio.
Neutralità
Un soggetto neutrale rispetto al rischio è un soggetto per il quale l’utilità del
valore atteso di una lotteria coincide con il valore atteso dell’utilità della lotteria.
L’utilità di avere 50 certi è la stessa del valore atteso della lotteria. Il soggetto è
neutrale rispetto al rischio. Se tutti i soggetti fossero così si potrebbe ragionare
solo con i valori attesi.
Avversione al rischio
Il soggetto avverso al rischio preferisce il valore certo piuttosto che partecipare
alla lotteria. L’utilità del valore atteso della lotteria è maggiore del valore atteso
dell’utilità della lotteria.
Il mercato delle assicurazioni si basa sul fatto che ci sono dei soggetti che hanno
un grado di avversione al rischio elevato.
Propensione al rischio
Un soggetto propenso al rischio preferisce giocare 0-100 piuttosto che prendersi
50.
Per convincerlo a non giocare gli si dovrebbe dare una somma più grande di 50
Se avessi una funzione di utilità lineare averei un soggetto neutrale rispetto al rischio
Il grado di concavità descrive il grado di avversione al rischio
Se avessi una funzione di utilità convessa allora avrei un soggetto propenso al rischio
Arrow Pratt
Quanto maggiore è il premio per il rischio tanto maggiore è l’avversione al rischio, ma non è un numero puro, quindi
non è un indice del grado di avversione al rischio.
L’indice di Arrow è il rapporto tra la derivata seconda e la derivata prima, questo mi dà una indicazione sul grado di
avversione al rischio.
Tanto più è alto tanto più il soggetto è avverso.
Esempio
L’atteggiamento rispetto al rischio possiamo dirlo da subito, abbiamo una funzione concava quindi siamo in presenza
di un soggetto avverso al rischio
Il valore atteso E(L) sarà uguale 30*1/3 + 9*2/3 = 16
U(30)=2,5
U(9)=1
Utilità attesa E(u(L))= 2,5*1/3 + 1*2/3 = 1,5
L’utilità del valore atteso sarebbe l’utilità di 16, deve venire maggiore dell’utilità attesa (funzione concava),
u(E(L))=u(16)=1,65>1,5
L’equivalente certo sarà minore di 16, devo trovare la somma disponibile con certezza che mi dà la stessa utilità della
lotteria (cioè l’utilità attesa che è 1,5). Allora devo imporre u(Y)=1,5 esce fuori che Ysegnato=14
L’equivalente certo (14) ha la stessa utilità dell’utilità attesa. 14<16 per cui il premio per il rischio sarà 2: E(L)-
Ysegnato=2
Se aggiungo un altro soggetto che ha una funzione di utilità u(Y)=radice di y, mi chiedo questo soggetto è più o meno
avverso al rischio rispetto al precedente?
E(L)=16
E(u(L))=u(30)*1/3 + u(9)*2/3 = 3,826 (utilità attesa)
Equivalente certo devo trovare Ysegnato che rende l’utilità uguale a quella della lotteria, quindi u(Ysegnato)=3,826 che
è uguale a 14,638
Nel secondo caso ho un premio per il rischio minore del primo caso, per cui sembrerebbe che il primo soggetto ha un
grado di avversione al rischio maggiore del secondo. Se andiamo a vedere però con l’indice di Arrow pratt:
Per tutti i payoff maggiori di 5 il primo soggetto ha un’avversione al rischio maggiore del secondo.
08/05/2018
Esempio valore auto 100. 0,1 probabilità furto 0,9 probabilità no furto
Se pago un premio assicurativo pari al danno atteso si dice che il premio è caratterizzato da equità (probabilità di
subire il danno per il valore dell’automobile). Se pago 10 e subisco il furto l’assicurazione mi restituirà 100, se non
subisco il furto ho comunque pagato 10 all’assicurazione. Assicurandomi elimino tutti i rischi perché sono sicuro che
anche se mi rubano la macchina rimango con 90 (100-10pagati). Allora il mio valore certo è 90. Il valore atteso che ho
se non stipulo nessun accordo è comunque pari a 90. Se fossi neutrale rispetto al rischio sarei indifferente tra
assicurazione e non assicurazione.
Supponiamo che ci sia un soggetto avverso al rischio che abbia funzione di utilità u=radice di y (funzione concava, è
più contento di un payoff maggiore ma l’utilità marginale del reddito è decrescente). Se la funzione è fatta così allora si
è avverso al rischio, se ho una funzione di questo genere e ho stipulato un contratto con l’assicurazione avrò una utilità
che è radice di 90 (cioè 9,487), questa è l’utilità del valore atteso della lotteria (cioè della stipula dell’assicurazione). Se
invece non faccio il contratto l’utilità attesa della lotteria è 9, siccome 9 è minore dell’utilità del valore atteso ovviamente
preferisco stipulare un accordo con l’assicurazione.
L’equivalente certo di questa lotteria è 81. Invece di avere una polizza pari a 10 si può alzare a 11,12,13 e il soggetto la
paga comunque perché ha un’utilità attesa minore di quella che corrisponde ad avere 85,86. Per l’assicurazione si
generano profitti.
Nell’assicurare per i terremoti i rischi sono molto elevati, se capita il danno bisogna remunerare tutti i soggetti dell’area.
Altro esempio: Dispongo di una somma pari a 1000, questa somma può essere investita in un’attività
1000 rischiosa che chiamiamo L (lotteria) che dà una probabilità di avere o un guadagno del
100% o una perdita del 90%, questi due eventi hanno uguale probabilità (1/2)
Bisogna capire qual è la quota di 1000 che un soggetto avverso al rischio investe in L.
Impostiamo il problema così: siamo di fronte ad una situazione di incertezza, abbiamo una funzione di utilità. Il
soggetto ha una funzione di utilità che è la funzione obiettivo da massimizzare, se sono questo signore devo decidere
qual è la quota di 1000 che investo nell’attività rischiosa.
Chiamiamo X la frazione di 1000 da investire
Se dobbiamo risolvere quel problema dobbiamo ottenere il massimo della funzione di utilità attesa rispetto a X,
troveremo la soluzione:
In questa lotteria investirò 1/9 di 1000 Dobbiamo fare riferimento alle restrizioni
verticali e capire cosa succede in un contesto
caratterizzato da incertezza. Abbiamo sempre
fatto l’ipotesi che prevedeva assenza di
incertezza.
Caso di domanda alta 60-p
Come si calcola F?
Faccio una tariffa in due parti in cui la parte fissa è il valore atteso dei profitti che si avrebbero nel caso della struttura
integrata
Questo non è accettabile per l’impresa β in quanto nel momento in cui si firma il contratto α non rischia nulla perché
vende a prezzo di costo e ha con certezza il valore F (sia che A è 40 sia che A è 60) ma β partecipa ad una lotteria in
cui se A è 40 va in perdita, se A è 60 fa profitti positivi, il problema è che sono eventi equiprobabili, il valore atteso dei
profitti di β sarà esattamente 0. Siccome si ha un soggetto avverso al rischio allora si ha un’utilità attesa minore di 0.
Se la domanda è bassa
Valore atteso del profitto
Utilità attesa della lotteria
Vediamo che l’utilità attesa è negativa. Allora l’impresa se decide di stare fuori che utilità consegue?
Se β non fa nulla è sicuro di fare 0
In una situazione caratterizzata da incertezza α deve abbasare la parte fissa della tariffa in due parti, deve abbassarla
fino al punto in cui il soggetto è indifferente tra partecipare e non partecipare.
Punto d:
Devo verificare l’utilità attesa ed assicurarmi che sia almeno pari a 0
Nel punto d il motivo per cui è accettabile si spiega dicendo che l’utilità attesa della lotteria è uguale alla utilità che
ricaverebbe con certezza se non partecipasse alla relazione.
In pratica avere profitto 0 è la stessa cosa che guadagnare 281,25 o perdere 168,75. 0 è l’equivalente certo della
lotteria.
56,25 è la differenza E(L)-ysegnato (cioè valore atteso della lotteria ed equivalente certo della lotteria). Questo è il
premio per il rischio, se c’è un soggetto avverso al rischio lo devo premiare se partecipa. Questo premio di 56,25 è la
stessa cosa che avere 0, dà la stessa utilità.
Rispetto ad una situazione caratterizzata da certezza chi perde è l’impresa α perché deve rinunciare ad una parte dei
suoi profitti.
Incertezza e avversione al rischio di β creano dei problemi, non si può replicare la situazione di struttura verticale
integrata.
Dobbiamo decidere qual è la parte fissa F della tariffa in due parti
Caso a: ragiono sempre su valori attesi, semplice da trattare.
Caso b siamo in condizioni di avversione al rischio. Vediamo la situazione generale
Devo rendere le due cose uguali
Supponiamo di dover trovare F se β è un soggetto avverso al rischio
Ci aspettiamo che il valore sia più basso, dovrà esserci un premio per il rischio
Guadagnare 100 con certezza ha un indice di soddisfazione che è 30, lo stesso lo devo avere nel caso di incertezza
Facendo i conti ci viene che F=395,556
Con il valore di F così determinato l’utilità attesa è uguale all’utilità alternativa che è pari a 100
E(L) è maggiore di 100. Allora 100 è l’equivalente certo della lotteria.
13,44 sarà il premio per il rischio. Bisogna dare a β 13,44 per farlo partecipare alla lotteria.
Esercizio 3 (esame dell’anno scorso)
Punto a) indicare se il rischio è a carico di una sola impresa o di entrambe le imprese, spiegare la risposta
È chiaro che la restrizione su F rende per l’impresa β la tariffa in due parti accettabile. Il premio per il rischio è pari alla
differenza tra valore atteso ed equivalente certo.
Il valore atteso per l’impresa β della lotteria è 187,9422 quindi questo - profitto dell’equivalente certo che è 121,
siccome 121 dà esattamente la stessa utilità della lotteria la differenza tra questi due valori è 66,9422 che è il premio
per il rischio che devo dare all’impresa β.
Si supponga ora che α venda a prezzo di costo e che la parte fissa della tariffa sia 288, cosa accade in questo caso?
La tariffa è accettabile perché dà un’utilità attesa 11.
Il premio per il rischio in questo caso è 221-121=100 perché 121 è l’equivalente certo, il valore atteso è 221, la
differenza è 100. Il premio per il rischio prima era 66, in questo caso è maggiore perché mentre prima i rischi erano
condivisi per cui una parte del rischio se la prendeva α in questo caso tutti i rischi sono a carico di β. β rischia più di
prima quindi bisogna premiarlo, si passa da 66 a 100.
09/05/2018 Se non ci fosse alcuna incertezza e le due imprese non avessero restrizioni di
alcun tipo farebbero profitti la cui somma sarebbe inferiore rispetto al profitto che
si avrebbe nel caso di struttura integrata. Il motivo per cui accade questo è che
abbiamo un’esternalità verticale a valle legata al prezzo.
α può applicare delle restrizioni verticali. Con la tariffa in due parti α vende al
prezzo pα, β ha gli incentivi per fare il prezzo della struttura integrata.
Se la domanda è incerta accade che non si possono applicare le restrizioni
verticali riproducendo la struttura verticale integrata. Se ho una domanda incerta
anche il profitto della struttura integrata avrà un valore atteso, in particolare
dipenderà da come la domanda si realizzerà.
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher CSY di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Economia dei sistemi industriali e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Nastasi Alberto.
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