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Se sono l’azienda α e ho potere di mercato posso distribuire D1 e D2 in due aree geografiche diverse, posso praticare

la tariffa in due parti. Questo non va bene. Quando scelgo e1 se sono D1 non

tengo conto dell’effetto positivo

che e1 ha sul mercato dell’altro distributore, lo stesso vale anche per D2. La struttura integrata invece ne tiene

conto, quindi il risultato nei due casi non è lo stesso, è sbagliato dire che con la tariffa in due parti e mercato

segmentato ottengo lo stesso livello di e che otterrei con l’integrazione verticale.

i

Supponiamo di avere un’azienda α e due distributori a valle. Supponiamo invece di non sapere il numero di

distributori, dobbiamo decidere quanti ne dobbiamo mettere a valle.

Due casi:

 un’unica impresa che produce a monte e deve decidere quanti distributori fare

 unica azienda che produce e sotto tanti distributori che devono decidere se entrare o meno

In quale dei due casi ho un numero maggiore di distributori?

Nel primo caso di impresa integrata: per aggiungere un distributore non vado a vedere solo costi e profitti che

genera, devo andare a valutare se il profitto complessivo aumenta (perché il nuovo distributore sottrae clienti a D1 e

D2), il numero di distributori è più basso rispetto a quando ci sono le imprese indipendenti.

Nel secondo caso entrano aziende finché il profitto è maggiore di zero, ma ognuna considera il suo singolo profitto

non anche quello degli altri.

Maggiore eccesso di entrata nel caso delle imprese indipendenti.

20

27 mar 2018

Questa struttura ci permette di mettere in luce un aspetto importante delle relazioni verticali e l’impatto che le esternalità

orizzontali hanno sulla struttura verticale. In particolare abbiamo una domanda a valle che dipende dal prezzo e dagli

sforzi promozionali, beni pubblici. Sarebbe desiderabile sia a valle che a monte che ci fosse lo sforzo promozionale (sia

l’impresa a monte che i distributori a valle venderebbero di più perché aumenterebbe la domanda), se lo sforzo ha la

natura di bene pubblico però prevale l’atteggiamento free rider, nessuno è disposto a sostenere un costo il cui beneficio è

appropriabile anche dall’altro distributore quindi nessuno dei due è disposto a fare lo sforzo.

Per incentivare le imprese a valle affinché eroghino sforzo promozionale l’impresa a monte può dividere il mercato,

attribuendo l’esclusiva territoriale ai distributori, esclusiva a D1 per il mercato 1, a D2 per il mercato 2, quindi entrambi a

quel punto avrebbero interesse ad erogare lo sforzo.

Il produttore a monte oltre all’esclusiva territoriale, altrimenti si avrebbero 2 monopoli, potrebbe decidere il prezzo finale a

cui vendere e lo sforzo. Prezzo e sforzo non saranno ottimali perché ci saranno due esternalità verticali, all’aumentare lo

sforzo aumenta il profitto di α, all’aumentare del prezzo diminusice il profitto di α. Quando i distributori decideranno i prezzi

lo faranno senza tenere conto degli effetti sul profitto di α. Se d1 e d2 sono separati rispetto ad α guardano solo il proprio

profitto. Il prezzo sarà troppo alto e lo sforzo troppo basso rispetto a quello che sarebbe ottimale per l’intera struttura. Se α

fissasse il prezzo finale allora i distributori farebbero le stesse scelte che farebbero se ci fosse la struttura integrata.

Con l’esclusiva territoriale e la tariffa in due parti si risolve il problema. Il prezzo imposto non è sufficiente perché D1 e D2

cercherebbero comunque di massimizzare il proprio profitto. Il livello di sforzo è difficilmente monitorabile dall’impresa a

monte.

Non è detto che con la divisione territoriale lo sforzo di uno dei due distributori non influisca per niente sulle vendite

dell’altro.

Quando c’è un’impresa integrata nel decidere e1 si tiene conto anche degli effetti che ha su D2, idem per e2, questo perché

quello che conta è il profitto complessivo.

Se invece di immaginare un numero di distributori esogenamente dati (che è opportuno avere a valle) un’impresa dovesse

decidere quanti distributori mettere farebbe alcuni ragionamenti: analisi del territorio.

Se devo decidere se aggiungere un distributore dico: aumento un po’ la domanda, valuto quanto costa D3, quanto è la

domanda di D3 ma anche quando D3 sottrae a D2 e a D1. Se sono un’impresa integrata devo vedere quindi come si

distribuisce la domanda complessivamente. Se invece ci sono distributori indipendenti D3 vede solo quanto costa costruirlo,

quale sarà la sua domanda e quindi il suo profitto. Nei casi di distributori indipendenti c’è un eccesso di distributori, gli

acquirenti hanno un beneficio perché li trovano più vicini, ma c’è un incremento di costi fissi, quando vedo il welfare è

possibile che il numero di distributori siano in eccesso rispetto a quello che sarebbe il numero ottimale.

Se ho imprese totalmente indipendenti ottengo che il prezzo è w, D1 e D2 si fanno la concorrenza sul prezzo, strategie di

UNDER CUTTING, nessuno fa sforzo, i profitti saranno nulli per D1 e D2.

Nel caso di struttura integrata accade che il prezzo è v (prezzo di rivendita a valle), la quantità è v-c, gli sforzi saranno

appartenenti ad un’unica impresa integrata, lo sforzo complessivo sarà v-c, il profitto è maggiore della somma dei profitti

che avrebbero le imprese indipendenti (il doppio), il welfare è maggiore, perché anche il surplus dei consumatori è

maggiore. Esclusiva territoriale e tariffa in due parti

Facendo i conti viene che il livello di sforzo ei è minore dello sforzo della struttura integrata

Essendo minore anche i prezzi sono diversi.

Se togliessi uno dei due distributori non funzionerebbe nemmeno questo perché devo vedere come sono fatti gli sforzi

promozionali. L’idea di concentrare tutto su un distributore solo non funziona.

Supponiamo che lo sforzo ottimale sia 10, se ne ho due 5 da una parte 5 dall’altra. Se ho questi sforzi il costo

complessivamente è 5 alla seconda, in tutto per i due 50, se ho un unico distributore allora ho 10 alla seconda, quindi 100,

allora avere un unico distributore fa aumentare i costi. È un problema di come è fatto il costo. Se il numero è esogeno (ne

ho 2) dare tutto a uno non conviene perché fa aumentare lo sforzo, perciò con un solo distributore si avrebbe uno sforzo

minore. Se dovessi decidere quanti distributori mettere dovrei fare diversi conti. L’unico caso in cui funziona avere un solo

distributore è se D1 e D2 appartengono ad un’unica impresa, ovvero ho un’impresa di distribuzione, con a monte un

produttore. α fa la tariffa in due parti e funziona, se c’è un’unica impresa a valle può farla tranquillamente, è una relazione

verticale tra due imprese.

Se non c’è un’unica impresa ma due distributori indipendenti che cosa può fare α? α deve vendere sottocosto, perché

vendendo così dà maggiori incentivi ai distributori quando devono decidere il livello di sforzo e di prezzo compensando

l’esternalità orizzontale tra D1 e D2 poi α si prende la tariffa fissa.

L’impresa a monte α quando c’è esternalità orizzontale per risolvere i problemi

e riprodurre la struttura integrata in termini di profitto deve imporre il prezzo p

a cui vendere il bene finale, se il prezzo della struttura integrata è pint devo

fissare p=pint, cioè D1 e D2 venderanno al prezzo pint. Oltre a questo

impongo anche una tariffa in due parti, il problema di questa è che devo

decidere quanto è v e quanto F.

Se fossi α vorrei che lo sforzo fatto fosse quello della struttura integrata, lo sforzo della struttura integrata è (v-c)/2.

Allora fisso w=pint-2v+2c Nella struttura integrata pint era:

Quindi abbiamo che:

Siccome v>c significa che w deve essere minore di c, cioè il livello che α deve praticare al distributore deve essere inferiore

al costo.

Anche qui vale il ragionamento di prima: fissare solo il prezzo imposto non sarebbe sufficiente perché poi i distributori

(liberi di scegliere e senza altre restrizioni della tariffa in due parti) sceglierebbero un livello di e diverso dalla struttura

verticale integrata. Se vendo sottocosto vado in perdita. Recupero la perdita con la parte fissa della tariffa che diventerà

più alta del profitto della struttura integrata.

Diviso 2 perché vale metà sul distributore 1 metà sul 2

Prezzo imposto, vendo sottocosto (sovraincentivo i distributori, così quando calcolano lo sforzo ottimale viene più alto),

applico la tariffa fissa. Esercizio RV5

Costo totale di α

Funzione di costo totale dei distributori

α opera in monopolio, vende il suo prodotto a due imprese a valle 1 e 2. Le due imprese a valle rivendono i beni ai prezzi p1

e p2. α produce q, le due imprese vendono q1 e q2.

Le due imprese devono decidere p ed s in base alla domanda. Determinare il profitto di ciascuna impresa in assenza di

restrizioni verticali.

Se le imprese devono decidere il prezzo devono per forza fare un prezzo uguale perché altrimenti una delle due non

venderebe, fanno il prezzo più basso possibile, prezzo uguale al costo

Quindi con le imprese indipendenti ogni impresa guarda il proprio profitto e massimizza il proprio profitto.

Con la struttura integrata:

Integrazione verticale: i 3 soggetti sono controllati da un unico soggetto al vertice che decide, sono 3 unità produttive di

un’unica impresa. Verranno quindi massimizzati i profitti complessivi.

Prezzo meno costo per quantità meno i costi che non dipendono da q

Risolvendo le due condizioni del primo ordine viene fuori che:

Avrò quindi una situazione migliore sia in volume di profitti sia per quanto riguarda il surplus dei

consumatori. Il Welfare ora è più alto.

Si ipotizzi ora che l’impresa conosca la funzione domanda di mercato e le funzioni di costo delle imprese a valle, ipotizzare

che α possa conferire potere in diverse aree, la domanda in ciascuna area dipende comunque da uno sforzo promozionale

di entrambe le imprese. La domanda di 1 dipende anche da s2 (esiste esternalità orizzontale dello sforzo a valle).

Individuare le restrizioni verticali che permetterebbero ad α di conseguire lo stesso profitto che avrebbe nel caso della

struttura integrata.

Posso fare tariffa in due parti con esclusiva territoriale. Se mi accorgo che la domanda da una parte dipende anche dalle

scelte delle altre allora c’è esternalità orizzontale quindi tariffa in due parti ed esclusiva territoriale non basta.

Non funziona perché: Le imprese a valle devono decidere prezzo e sforzo in ciascun segmento di mercato.

Massimizzo il profitto:

Prima lo sforzo era 20 Prima erano 80 Complessiva 80/3, prima era 40

Se metto F=2800/9 ottengo un profitto che è minore di 400 (ho diviso per i due distributori). Se mettessi F grande quanto il

profitto della struttura integrata i distributori andrebbero falliti, F deve essere minore di 2800/9, accade questo perché non ho

riprodotto la struttura integrata, il prezzo è diverso, è tutto diverso. Quindi esclusiva territoriale e tariffa in due parti non è una

restrizione sufficiente.

Due distributori, quando uno dei due decide gli sforzi per massimizzare il profitto ragiona su metà domanda, quando decide

lo sforzo trascura l’eventuale effetto, beneficio ricavato dallo sforzo dell’altro. Quando decide s1 lo sceglie quindi più basso,

la stessa cosa fa l’altro, una struttura integrata tiene conto anche degli effetti che avrebbero gli sforzi sull’altro. Per questo

motivo non funziona.

La risposta all’esercizio è: devo fare prezzo imposto e tariffa in due parti

Associato a questa scelta di prezzo α decide di fare anche una tariffa in due parti:

Il distributore i-esimo deciderà soltanto Si

Mi metto nei panni di α, egli vuole avere le condizioni della struttura integrata, vuole trovare quindi pα e π che gli

consentono di fare un profitto che è pari ad 800.

A questo punto una volta fissato il prezzo uguale a 0 devo decidere

quanto vale F

Ho ottenuto quindi lo stesso profitto che avrei ottenuto con la struttura verticale integrata. Devo dare incentivi ai dstributori,

vendo infatti ad un prezzo uguale a 0.

Devo quindi sovraincentivare, vendo il bene intermedio ad un prezzo più basso del costo, nel caso nostro ad un

prezzo pari a 0.

Si può anche calcolare:

Otteniamo lo stesso risultato che abbiamo visto prima

La soluzione dell’esercizio era prezzo imposto e una tariffa in due parti.

L’impresa a valle utilizza due input che vengono ciascuno

dalle due imprese a monte. Costi costanti, ipotizziamo c1

e c2 costi unitari costanti uguali ai costi marginali. Che

problemi si possono porre in questa situazione?

La funzione di domanda indica che la quantità di domanda

venduta a valle dipende dalle decisioni di B relative al

prezzo, le decisioni di B anche se una trasformazione non

è 1 a 1, influenzeranno la domanda che B avrà di x1 e x2

che gli serviranno per produrre q. Profitti possibilmente

maggiori per 1 e 2. C’è un problema di esternalità

verticale. Quando B decide il prezzo lo fa per massimizzare

i suoi profitti senza tenere conto di 1 e 2. Abbiamo condizioni di mercato diverse per le imprese.

Anche qui si può verificare cosa accade nel caso di

imprese indipendenti.

25

In generale osservazione:

Quando ci sono situazioni di questo tipo (l’impresa 1

è la più forte, 2 in concorrenza e una impresa che usa

entrambi gli input) quella forte cerca di estendere il

proprio potere anche dall’altra parte.

Per esempio 26

Uguagliamo il saggio marginale di sostituzione tecnica fra

gli input e rapporto tra i prezzi

Quando b deve decidere come combinare x1 e x2 lo fa

in base ai costi. Il rapporto tra i prezzi nel caso di

imprese indipendenti è diverso dal caso della struttura

integrata. Ho che il rapporto tra i prezzi è diverso per b

(indipendente) dall’integrata.

Questo vuol dire che siccome la parte sinistra dipende

dalla funzione di produzione (aspetto tecnologico), a

parità di tecnologia l’impresa integrata fa una scelta di

livelli x1 e x2 diversa da quella che farebbe l’impresa

ab. Questo genera una distorsione rispetto al caso

integrato nell’utilizzo degli input. Questi vengono

utilizzati in maniera diversa, ciò genera altri problemi

che si aggiungono al doppio mark up. Le conseguenze di

questa distorsione degli input e della doppia marginalizzazione li vedremo.

27

04/04/2018 L’impresa 1 opera in condizioni di monopolio, la 2 in perfetta

concorrenza. Le due quindi operano in condizioni diverse: ad

una delle due è permesso fare mark up mentre l’altra venderà

x2 al prezzo p2 uguale al costo marginale (costante, pari a c2).

L’impresa a valle utilizza gli input dell’impresa a monte, sono

due.

Problemi:

Confrontiamo le situazioni di imprese indipendenti e struttura

integrata.

Imprese indipendenti: relazione affidata al mercato puro, meccanismo dei prezzi, le imprese massimizzano la propria

funzione obiettivo prendono le proprie decisioni.

Quando esiste una struttura verticale integrata che coinvolge 1,2 e b c’è un unico soggetto, controllo decisionale

centralizzato, 3 unità prodotte nella stessa impresa.

Due differenze tra le due strutture:

! relativa al prezzo: problema di doppia marginalizzazione, la 1 fa mark up, la b ha potere di mercato quindi anche lei

fa mark up. Quando c’è un’esternalità (le decisioni di prezzo influenzano anche le altre imprese) non saranno ottimali

dal punto di vista dell’aggregato delle imprese. Se prendo tutta la filiera il prezzo che massimizza i profitti complessivi

è diverso da quello che fisseranno le imprese in condizioni di totale indipendenza: il prezzo b sarebbe più elevato

rispetto alla struttura integrata, questo perché c’è un’esternalità negativa perché non si tiene conto degli effetti che si

hanno sulle altre imprese.

" l’altro problema che si pone è relativo alla distorsione dell’utilizzazione degli input. L’impresa b quando deve

decidere con quale input x1 x2 produrre lo fa in modo diverso da come lo farebbe nella struttura integrata. Questo

accade perché:

Supponiamo di avere una funzione di produzione cobb-douglas

C’è una costante k che possiamo mettere uguale ad 1, poi abbiamo α e β (esempio capitale e lavoro, o

comunque posso aggregare gli input).

Se voglio vedere quanto input mi serve per un certo output mi metto all’altezza di q che vorrei, vedo allora le

combinazioni di x1 e x2 che posso utilizzare, deve essere una combinazione efficiente, quindi deve stare sulla funzione

di produzione. Trovo gli isoquanti: tutte le combinazioni di x1 e x2 efficienti per produrre una quantità pari ad esempio

a 10.

Mi metto sul punto di tangenza tra l’isoquanto ed i costi per decidere la combinazione di x1 x2, così risolvo il problema

del minimo costo

Se risolviamo troviamo una soluzione che ci dice

Produttività marginali dei prodotti (effetto che si ha sull’output se vario il livello di impiego

del fattore 1 quando x2 è dato)

Le due distorsioni quindi sono dovute alla doppia

marginalizzazione. Se c’è un’unica impresa in cui ci sono 3 unità

produttive quando devo fare la pendenza tra isoquanti e isocosti

la tecnologia produttiva è data (lo sarebbe in ogni caso) ma se b

è indipendente quando acquista gli input avrà dei prezzi

maggiori dei costi, se invece abbiamo un’unica impresa

integrata i prezzi degli input sono minori (uguali ai costi), quindi i

rapporti sono c1/c2 non p1/p2. La pendenza dell’isoquanto

quindi cambia.

La combinazione ottima degli input è quindi diversa perché

dipende dal rapporto tra i prezzi. Se aumenta il prezzo di x1

l’isocosto si inclina e quindi uso più x2 e diminuisco l’uso di x1.

Conseguenza della doppia distorsione è che i profitti complessivi sono più bassi.

Esercizio

Impresa α in monopolio con una f di produzione cobb-douglas i cui

esponenti sono 1/3 e 2/3. Linput 1 viene fornito dall’impresa 1 che

opera in monopolio con funzione di costo lineare. L’input 2 viene fornito

da un’impresa in perfetta concorrenza, prezzo uguale al costo

marginale. Il costo totale di α è dell’acquisto dei due input. La funzione

di domanda è q, determinare:

A) Il profitto delle 3 imprese quando l’impresa 1 fornisce input 1 a p1=27

B) Profitto nel caso di struttura verticale integrata.

Produttività marginali

Saggio marginale tecnico di sostituzione

Risolviamo il sistema e troviamo il punto a.

Quindi il costo supportato da α è:

A questo punto l’impresa a valle che opera in monopolio per massimizzare il profitto eguaglia il ricavo marginale al

costo marginale Il rapporto di impiego tra i due input è diverso dal caso precedente

Se le imprese si coordinassero tra di loro otterrebbero un profitto maggiore rispetto al caso di imprese indipendenti

Cosa si può fare quando abbiamo di fronte una situazione del

genere:

1) o le imprese coordinano tra di loro le decisioni e replicano la

situazione di struttura verticale integrata e poi si spartiscono il

profitto (questo è possibile quando hanno più o meno lo stesso

potere)

2) oppure c’è un’impresa che se è in posizione di forza impone

delle restrizioni all’altra

Qual è il modo alternativo a quello dell’integrazione verticale in

cui la relazione di mercato sparisce e subentra la gerarchia?

Faccio un accordo con l’impresa a valle per cui questa ha il

divieto di comprare dall’impresa 2. Allora io compro da 2 e poi

rivedo l’input all’impresa a valle α.

Esempio se sono un aeroporto e

c’è una compagnia aerea che usa

le mie piste posso costringere loro

a fare la manutenzione da me,

quindi posso comprare il servizio

da un’altra azienda e rivenderla alla

compagnia aerea.

Questo è diverso dal BUNDLING,

non vendo i prodotti insieme con le

quantità che decido io, è l’impresa

a valle a decidere quanto comprare,

ma per forza da me.

Devo mantenere il rapporto tra i prezzi affinché l’impresa a valle

non si sbagli.

Nel caso dell’esercizio precedente:

α vede i prezzi degli input, sa quanto deve essere il prezzo a cui vendere il prodotto, vede quanto deve produrre con la

funzione di produzione per poter rispettare il prezzo imposto.

Il profitto di α ovviamente è 0.

10/04/2018 Se l’impresa a valle operasse in condizioni perfettamente

concorrenziali non farebbe mark up. Il problema della doppia

marginalizzazione non si porrebbe.

L’impresa a valle però continuerebbe a fare un uso distorto dei

due input.

In questo caso quindi in assenza di restrizioni verticali ci

sarebbe la distorsione sull’utilizzo dei beni intermedi, ma non ci

sarebbe distorsione di prezzo.

Che restrizioni bisogna mettere per non usare in modo

sbagliato gli input?

Tariffa in due parti e vendita collegata le posso utilizzare

entrambe? La tariffa in due parti non sarebbe sufficiente

perché l’impresa finale sceglierebbe un altro prezzo.

La logica della tariffa in due parti è inapplicabile perché se

faccio p1=c1 (per vendergli le cose a prezzo di costo, l’impresa

a valle fa profitti e mi prendo la tariffa), ma se l’impresa a valle

vende a prezzo di costo non fa profitti, per cui i profitti non li fa

nessuno e non posso imporre la tariffa in due parti. La tariffa in

due parti è inapplicabile.

Posso fare la vendita collegata: prezzi p1 e p2 devono

soddisfare delle condizioni, il prezzo imposto non sarebbe

necessario in quanto b sceglierebbe il prezzo senza

aggiungere margini. Per scegliere i prezzi p1 e p2 opportuni

posso utilizzare l’equazione dei rapporti (p1/p2=c1/c2) e

l’equazione p=P imposto della struttura integrata

Se nel problema non va bene qualsiasi combinazione degli input

ma ci sono delle proporzioni fisse (quindi per una certa quantità

l’isoquanto è un punto) allora non c’è distorsione nell’utilizzo

degli input.

Leontief

Tecnologia produttiva a coefficienti fissi

Quando la tecnologia permette input sostituti posso ottenere

le unità di output che vorrei con infinite combinazioni degli

input.

L’isoquanto rappresenta tutte le possibili combinazioni,

abbiamo la pendenza dell’isocosto, prendiamo il punto di

tangenza tra i due così otteniamo la combinazione migliore.

Però non tutte le tecnologie produttive sono fatte così,

nell’esempio:

Per produrre 10 l’isoquanto si riduce ad un punto.

Ovviamente esistono anche situazioni intermedie

Se abbiamo una tecnologia a coefficienti fissi e l’impresa a valle opera in condizioni di perfetta

concorrenza cosa si può fare?

Non ci sono distorsioni né dal punto di vista degli input né dei prezzi. Se c’è la catena

monopolista a monte concorrenza a valle non c’è nemmeno la doppia marginalizzazione. Allora

il monopolista deve solo trovare il prezzo che massimizza il profitto, qualsiasi imposizione non

porterebbe un aumento di profitto. Esercizio RV7

Impresa in monopolio che produce un solo bene, due input provenienti da un monopolio e da un’impresa in

concorrenza perfetta. Ipotizzare che l’impresa 1 conosca le funzioni di costo totale dell’impresa 2 e dell’impresa α a

valle e la funzione di domanda del bene prodotto da α. (Condizioni di informazione completa).

a) Determinare il profitto delle 3 imprese in assenza di restrizioni verticali

b) determinare il profitto nel caso di struttura integrata

Faccio il prezzo massimo Il problema di α lo abbiamo risolto, il prezzo è 10, la quantità è uguale a 100

Se sono l’impresa 1 cerco di fissare il prezzo più alto possibile per fare i massimo profitto possibile per unità.

In assenza di restrizioni verticali c’è un’impresa a monte che fa un profitto di 420, le altre due fanno profitto nullo. Il

problema di capire qual è il profitto in caso di integrazione verticale rimane in piedi perché uno potrebbe essere

portato a pensare: l’impresa 1 fa solo lei profitto quindi non c’è altro profitto da prendere. Questo non è vero perché il

rapporto tra i prezzi è distorto rispetto a quello che si avrebbe con la struttura integrata, la struttura integrata infatti fa

più profitti rispetto alla situazione delle 3 imprese indipendenti.

Con la funzione di domanda che caratterizza il problema abbiamo sempre prezzo 10 e quantità 100. Quello che

cambia con la struttura integrata è che l’unità produttiva a valle sceglie gli input in proporzioni diverse.

STS non cambia perché la tecnologia è sempre la stessa però è uguale ad 1/4, allora:

Cambia l’inclinazione dell’isocosto.

Il ricavo è sempre lo stesso ma il costo è più basso.

La distorsione dell’utilizzazione degli input costa 180.

Allora l’impresa 1 può evitare il problema della distorsione dell’utilizzazione dell’input inserendo delle restrizioni

verticali?

c) illustrare le restrizioni verticali sufficienti affinché il profitto di 1 sia pari al profitto della struttura integrata

La restrizione che l’impresa 1 può fare è la tariffa in 2 parti:

Quindi l’impresa 1 si prende il profitto che si prenderebbe con la struttura integrata

Potremmo fare una vendita collegata

Dico ad α che deve comprare entrambi gli input da me. Allora l’impresa 1 deve trovare i due prezzi a cui vendere ad α.

Per trovare i prezzi abbiamo bisogno di due condizioni:

I ricavi totali di α devono essere uguali ai costi sostenuti da α

Esercizio RV8

α opera in condizioni di monopolio ecc come prima. La funzione di produzione è diversa da prima, può scegliere tra

due alternative:

1) α produce in proprio x1 e x2 e consegue un profitto pari a 200

In assenza di restrizioni verticali cosa può accadere all’impresa 1? Risolvendo l’esercizio ora devo tenere conto del

fatto che α ha un’alternativa, se azzero il suo profitto come prima α non compra da me, quindi devo lasciare ad α

almeno 200.

α fa lo stesso profitto che farebbe con l’alternativa.

In assenza di restrizioni verticali prima (senza alternativa) erano 420 per l’impresa 1, 0 per gli altri, il profitto

complessivo era 420, adesso il profitto complessivo è 500. 80 in più. Questi vengono fuori dal fatto che questa

situazione è meno distorta della precedente. Se la pendenza è 1/4 è meglio di un rapporto 1/6. Questa situazione

genera un volume di profitti maggiore rispetto alla precedente che era 420.

Determinare il profitto massimo che potrebbe avere 1 imponendo delle restrizioni verticali.

α non accetta una restrizione verticale così perché ha

un’alternativa

Esercizio RV9

C’è un’impresa in monopolio che vende a due imprese a valle.

17/04/2018 Teoria dei giochi

Oggetto di studio: le scelte di agenti razionali in un contesto di interazione strategica

Un contesto di scelta è detto strategico quando le conseguenze di un’azione per un agente dipendono non soltanto

dalle azioni da lui compiute ma anche dalle azioni compiute da altri agenti.

Per gioco si intende un generico contesto di scelta strategica: nei problemi di business moltissime situazioni sono di

interazione strategica.

Nei giochi si distingue tra gioco COOPERATIVO e gioco NON COOPERATIVO

COOPERATIVO: i soggetti nel gioco possono comunica e stabilire accordi vincolanti ancora prima di iniziare a giocare.

Questi non li tratteremo perché nei contesti di oligopolio i giocatori non si possono accordare, è vietato accordarsi tra

imprese per via dell’antitrust.

GICOO NON COOPERATIVO: non è possibile comunicare e accordarsi prima del gioco, quindi i giocatori scelgono

indipendentemente le proprie strategie.

Descrizione di un gioco non cooperativo

➡ Forma normale o strategica

➡ Forma estesa

La prima si usa in genere per le scelte in cui la dimensione temporale

non è rilevante

La seconda quando c’è una dimensione temporale rilevante

Funzione di payoff: cosa guadagnano i diversi giocatori in base alle

scelte che fanno entrambi

Il dilemma del prigioniero Ci sono due prigionieri che vengono messi in due celle diverse e non

possono comunicare, a ciascuno viene detto: se confessi e collabori

prenderai una pena minore, se non confessi e l’altro confessa ti becchi pure

gli aggravanti, se entrambi collaborate prendete 6 anni.

Nell’interazione

strategica non

si ha incertezza

perché tutte le

scelte sono

controllate.

L’incertezza si

ha laddove ci

sono eventi che

non controlla

nessuno.

1

Duopolio di Cournot e Bertrand

Le imprese scelgono quanto produrre, quindi la quantità.

Il prezzo dipende dalle scelte dell’uno e dell’altro, cioè dalla

quantità complessiva

Per Bertrand la scelta delle imprese è sul prezzo, le quantità

vendute da ciascuna dipendono dai prezzi scelti da entrambe.

Una volta esauriti i prodotti dell’impresa con i prezzi più bassi si

venderanno i prodotti con prezzi più alti.

Dilemma del prigioniero Modelli di Cournot e Bertrand

Si dice che tutti questi modelli hanno insieme qualcosa: sono giochi statici con informazione completa. Sono

entrambi due elementi fondamentali per capire come si risolve un gioco.

STATICO: i giocatori scelgono le loro strategie simultaneamente (il tempo non esiste). Il problema è se quando un

soggetto decide conosce la decisione dell’altro o meno, se la conoscesse le decisioni sarebbero in sequenza ed il

secondo si regolerebbe in base alle scelte del primo. Non è importante che dal punto di vista cronologico le scelte

vengano fatte contemporaneamente, quello che conta è che entrambi vengano a conoscenza delle scelte dell’altro

solo dopo aver scelto.

INFORMAZIONE COMPLETA: tutti i giocatori conoscono tutti gli elementi che caratterizzano il gioco: i due prigionieri

sanno cosa succede nei diversi casi, quindi hanno davanti la matrice.

L’informazione completa nel caso delle scelte di prezzo vuol dire che

nel momento in cui i prezzi sono stati scelti sono in grado di calcolare

sia il mio profitto che quello del mio rivale.

Trovare una soluzione vuol dire:

Se sono il soggetto che analizza il contesto di interazione strategica

faccio un ragionamento e faccio una previsione su come il gioco

finisce, se invece sono un giocatore devo trovare la soluzione migliore

per me.

Si ipotizza che ci sia razionalità per i soggetti che partecipano ai

giochi: ogni soggetto massimizza la sua funzione obiettivo

(riconducibile al guadagno).

Diverse modalità di fare una predizione sulla soluzione del gioco.

Posso pormi come problema se c’è una strategia dominante tra le due

o se ce ne è una dominata: c’è una delle due scelte che mi garantisce

un risultato migliore dell’altra qualunque siano le scelte di chi

interagisce con me.

2

Quindi se ho una strategia dominante la scelgo.

Se il giocatore 2 sa che c’è una strategia dominante per il giocatore 1

sa per certo che 1 la sceglierà quindi il giocatore 2 sceglierà la

strategia migliore in base a questo.

Potrebbe esserci anche una strategia DOMINATA: qualsiasi scelta faccio il risultato è peggio di quello che avrei con

un’altra scelta, allora sicuramente la scelta dominata la escludo.

Questa si chiama ELIMINAZIONE ITERATA DI STRATEGIE STRETTAMENTE DOMINATE

Quindi come prima cosa controlliamo se c’è una strategia dominante, sappiamo che l’altro sceglierà quella.

Vediamo se ci sono strategie dominate e le eliminiamo, gli altri sanno che questa verrà eliminata.

Nel dilemma del prigioniero c’è una strategia dominante.

Confessare domina tacere, quindi confessare è la strategia

dominante, tacere è la strategia dominata. Quindi entrambi

confesseranno.

Per il primo giocatore solo 2 scelte, per il secondo 3 scelte.

Non posso dire che su è una strategia dominante. Il giocatore di

riga non può scegliere tra su e giù. Il giocatore di colonna può fare

questo ragionamento: mi accorgo che qualunque cosa faccia il

giocatore di riga per me destra è dominata da centro (destra è

strettamente dominata da centro) allora semplifico il gioco, elimino

la colonna destra.

Il giocatore di riga sa che il giocatore di colonna escluderà l’opzione destra. A questo punto il giocatore di riga ha una

strategia dominata, su garantisce un risultato migliore di giù. Allora il giocatore di colonna sceglierà tra sinistra e

destra solo tra le due caselle riferite a su, allora la soluzione è su-centro

Si procede in modo iterato, si applica solo il ragionamento

Per il giocatore 1 esiste una strategia dominante: qualsiasi cosa

faccia il giocatore 2 e qualunque matrice scelga il giocatore 3 il

giocatore ha il payoff di b1 che è maggiore di a1. Se a1 è

strettamente dominata allora elimino le righe di a1.

Se ragioniamo solo sulla seconda riga delle matrici anche per il

giocatore 2 c’è una strategia dominata e una dominante, allora anche

al giocatore due conviene scartare la colonna 2 perché è

strettamente dominata.

Con la procedura dell’eliminazione iterata andiamo a trovare una soluzione: giocatore 1 sceglie B1, il 2 b3, il 3 b3, i

payoff saranno 2,2,2. 3

Tutti gli elementi del gioco sono conoscenza comune e tutti

sanno che tutti sanno che questo è vero.

Immaginiamo che ci siano due imprese che fanno attività su un lago,

entrambe inquinano, entrambe fanno profitto pari a 10. Se il lago è

inquinato alle imprese viene fatta una multa pari a 7. Allora le imprese

possono scegliere se installare il depuratore oppure no, strategia

ecologica e non ecologica. Quindi se nessuna delle due mette il

depuratore prendono 3 invece di 10.

Il costo del depuratore è pari a 6, se entrambi installano il depuratore i profitti sono 4. Se però una delle due non

installa il depuratore ha un vantaggio rispetto a quella che lo installa e guadagna 11. Dalla tabella risulta quindi che la

multa pari a 7 non è sufficiente per incentivare entrambe le imprese ad installarlo. Alla fine accade che nessuna delle

due installa il depuratore.

Dal punto di vista paretiano sarebbe meglio la soluzione DD ma dal punto di vista dell’interazione strategica la

soluzione diventa ND-ND, inefficiente.

F S C Rappresentazione della morra cinese

F 0 0 0 1 1 0 Non c’è una soluzione che prevale sulle altre

1 0 0 0 0 1

S 0 1 1 0 0 0

C Non ci sono strategie da eliminare, il procedimento no fornisce

alcuna predizione sull’esito del gioco

Bisogna allora introdurre un nuovo concetto di soluzione che

fornisce predizioni più accurate sull’esito di una classe molto

ampia di giochi

Equilibrio di Nash

Una strategia è un equilibrio di Nash se il payoff di quella

strategia è maggiore di tutte le altre scelte se gli altri hanno già

fatto la scelta ottima.

4

Di fatto devo massimizzare il payoff del giocatore i quando tutti

gli altri giocatori hanno fatto le loro scelte ottimali.

Nessun giocatore preso singolarmente desidera cambiare la

strategia.

La soluzione DD sarebbe meglio per entrambe rispetto a ND-ND.

Se ci fosse un contratto che obbligasse entrambi ad installare il

depuratore prima di iniziare a giocare andrebbe bene, se invece

non si può fare non si ha nessuna garanzia che poi il soggetto

installi il depuratore, quindi non si può fare l’accordo D-D.

Deviazioni unilaterali non sono convenienti vuol dire che nessuno dei due preso singolarmente desidera deviare dalla

strategia prescritta

S C D La risposta ottima è SU-C.

1 0 1 2 0 1

Su Equilibrio di Nash risposta ottima alla risposta ottima, se colonna si sposta peggiora, se

0 3 0 1 2 0

Giù riga si sposta peggiora. Se nella tabella precedente eliminassimo le opzioni dominate

dovremmo eliminare D. Sul sottoinsieme rimasto vediamo che giù

è strettamente dominato da su, allora cancello la riga giù, alla fine

sopravvive solo su-C, quindi questo è un equilibrio di Nash.

Naturalmente non è vero il contrario

F S C Qui non c’è nessuna casella in cui

0 0 0 1 1 0

F becco due punti, l’equilibrio di Nash

1 0 0 0 0 1

S infatti non c’è.

0 1 1 0 0 0

C

Ci sono situazioni in cui esistono più di un punto di equilibrio,

bisogna poi capire se è possibile selezionarne qualcuno.

In questo caso il gioco non si ripete, si gioca una sola volta.

Rappresentazione statica, quindi non si può andare una volta da

una parte una volta dall’altra.

Qui si hanno 4 situazioni possibili, 2 ottime. 5

Una strategia mista è una distribuzione di probabilità sulle

strategie pure.

S è l’insieme delle strategie disponibili

Entrambi ammettono equilibri di Nash in strategie pure

3 suggerimenti di cui si può tenere conto

Posso procedere anche con i passi 1,2,3 in modo da trovare

l’equilibrio su un insieme più facile. Seguendo questi 3 posso

individuare soluzioni e un insieme di situazioni diverse.

6

I modelli di base della competizione oligopolistica

Sono 3:

➡ Modello di Cournot

➡ Bertrand

➡ Stackelberg

Sono situazioni semplificate, caratterizzate tutte da:

➡ numero di imprese dato esogenamente (quindi non mi preoccupo che qualcun’altra impresa possa entrare nel

settore)

➡ le tecnologie produttive sono anche esse esogenamente date: non c’è innovazione tecnologica quindi i processi

produttivi e i costi sostenuti dalle imprese sono sempre gli stessi, allora sto eliminando l’innovazione tecnologica, le

strategie di ricerca e sviluppo, valutare se aggiungere o togliere dei prodotti ecc

➡ prodotto omogeneo: gli acquirenti considerano i beni prodotti dalle imprese del tutto identici, quindi non distinguo

tra prodotti di aziende diverse, allora non c’è neanche la pubblicità.

➡ ulteriori ipotesi che caratterizzano i diversi modelli

L’aspetto cruciale è l’INTERDIPENDENZA STRATEGICA, ovvero sono i primi modelli che tengono conto

dell’interazione strategica tra soggetti. I 3 modelli sono stati proposti molto prima dell’equilibrio di Nash.

Il modello di Cournot

Diverse ipotesi:

" I={1,2,3,...i,...,n} insieme delle imprese che operano sul mercato

# prodotti omogenei, i consumatori li reputano identici

Le imprese scelgono la variabile q, cioè la quantità da produrre. Q

è la variabile strategica

Il meccanismo di mercato decide il prezzo in base alle curve di

domanda e offerta.

La funzione di payoff è ricavi meno costi. I profitti di ciascuna

impresa dipendono anche dalle scelte delle altre imprese

7

Date le ipotesi la funzione di payoff è continua, differenziabile, concava (la funzione di domanda inversa è lineare

mentre la funzione di costo è convessa quindi la funzione di profitto è concava).

Le condizioni sono soddisfatte perché funzione di payoff

concava, numero di imprese finito, però teoricamente le

soluzioni potrebbero essere infinite perché ogni impresa può

scegliere un’infinita quantità. In realtà esiste un prezzo al di

sopra del quale la domanda è nulla, quindi abbiamo un prezzo

massimo. Funzione di domanda decrescente. La quantità che

ciascuna impresa sceglie di produrre teoricamente è da 0 a

infinito ma so che esiste un prezzo basso al di sotto del quale

l’impresa non scenderà mai perché non recupererebbe

nemmeno il costo variabile medio. L’impresa sta sul mercato se

copre almeno i costi variabili.

Se indico con c il minimo del costo variabile (data la tecnologia

ipotizzata è un dato del problema) allora devo avere un prezzo

che è almeno pari a c per stare sul mercato.

Allora se il costo variabile ha un punto di minimo il prezzo deve essere almeno pari a quello. Se il costo variabile c è

ad esempio 3, in corrispondenza di 3 c’è una certa quantità richiesta, che corrisponde alla domanda D(3) quando

devo scegliere il livello di output devo scegliere da 0 a D(c ).

Allora l’insieme delle strategie disponibili è finito, quindi ci sono le condizioni affinché esista un equilibrio di Nash in

strategie pure.

L’equilibrio di Nash-Cournot risolve il problema, il profitto dell’impresa i in corrispondenza di q* è maggiore del profitto

che otterrebbe in tutte le altre scelte Dal punto di vista strategico il punto è ottimale ma se considero

le singole imprese quello è un punto inefficiente.

Faccio una derivata parziale, massimizzo rispetto a qi e metto

uguale a 0.

8

Le due imprese scelgono simultaneamente, cioè scelgono senza

sapere cosa hanno scelto gli atri.

9

18/04/2018

Se generalizzo il modello di Cournot per n imprese

Se n aumenta il prezzo tende ad essere uguale al costo marginale ed il profitto pari a 0. Se prendiamo le assunzioni di

Cournot (funzioni di costo dato, beni omogenei, tutte le imprese accedono alla medesima tecnologia) vediamo che

sono le stesse ipotesi che si fanno nella concorrenza perfetta solo che le n imprese invece di essere infinite sono in

numero ridotto. Se andiamo però ad aumentare n progressivamente la quantità si fa sempre più piccola perché la

quota di mercato di ogni impresa diminuisce. La concorrenza perfetta è un caso limite del modello di Cournot in cui n

tende all’infinito. I prezzi tendono al costo marginale ed i profitti tendono a 0.

Tutte le imprese fanno la massimizzazione del profitto simultaneamente. Dalle condizioni del primo ordine

Se l’elasticità della domanda aumenta diminuisce il mark up. Per le imprese che hanno Si

alto (quota di mercato) si ha un incremento del mark up. Se la quota di mercato diventa

sempre più piccola anche il mark up tende ad essere piccolo

La quota di mercato di un’impresa può essere maggiore di zero anche se ci sono differenti costi. Non è detto che

l’impresa più efficiente venda più dell’altra. Le imprese con costi più bassi avranno quote di mercato più grandi.

Il modello di Bertrand

Dal punto di vista dell’analisi strategica intesa come teoria dei

giochi il modello di Bertrand continua ad essere un modello

statico ad informazione completa, così come Cournot. Le

imprese scelgono simultaneamente (non c’è sequenza nel

processo decisionale) ma rispetto a Cournot la variabile

decisionale è il prezzo non più la quantità.

Se i consumatori ritengono i prodotti equivalenti compreranno

dall’impresa che vende al prezzo più basso.

Se il mio prezzo è più basso degli altri allora mi prendo tutta la

domanda

Se il mio prezzo è uguale agli altri allora la domanda si ripartisce

Se il mio prezzo è più alto non vendo nulla

Il costo diventa infinito se qi è maggiore di ki.

Esiste una capacità produttiva massima che è k. Se ho una

capacità produttiva limitata ad un certo punto quando devo

produrre più di quello che posso il costo è infinito perché è

come dire che è irrealizzabile.

In Cournot non c’è la funzione di costo totale perché la variabile strategica è la quantità prodotta quindi viene

rispettata nel momento della scelta. In Bertrand è necessaria perché devo avere la capacità produttiva per soddisfare

la domanda che voglio soddisfare col prezzo che decido.

Nel caso di Bertrand si deve ipotizzare che la capacità produttiva di ciascuna impresa sia maggiore di D( c), cioè il

prezzo più basso che un’impresa può praticare deve essere compatibile con profitti almeno pari a -F.

Devo ipotizzare che ciascuna impresa sia in grado di coprire da

sola l’intera domanda di mercato.

Common Knowledge

Nel modello di Bertrand non posso fare come in Cournot la

massimizzazione. Nn posso applicare teoremi generali per

l’esistenza dell’equilibrio.

Ci sono 4 casi possibili.

Caso 1 tutti i prezzi uguali, mi accorgo che non è un equilibrio

perché appena una delle imprese fissa un prezzo di un ε più

basso allora assorbe tutta la domanda.

Il profitto evidenziato è maggiore dell’altro perché la funzione di

risposta ottima è quella di fissare un prezzo leggermente più

basso di quello dell’avversario. Questo si chiama undercutting:

fissare un prezzo leggermente più basso del rivale.

Quindi questa soluzione non è un equilibrio di Nash

Non è un equilibrio di Nash perché se fisso un prezzo maggiore

del rivale faccio profitto nullo. Mi conviene trovare il prezzo pj

dell’avversario e abbassarlo di un ε.

Non è un equilibrio perché a j conviene fare un pi-ε

L’unico caso di equilibrio è il quarto, equilibrio di Bertrand. Tutti i

prezzi uguali ai costi. Entrambe le imprese conseguono profitti

nulli, coprono i costi, se una delle due riducesse il prezzo

otterrebbe profitti negativi, se una alzasse il prezzo uscirebbe

dal mercato perché non venderebbe nulla.

Di fatto bastano due imprese per replicare la situazione di

concorrenza perfetta. Se queste si fanno la guerra di prezzo si

ottiene lo stesso risultato della concorrenza perfetta: prezzo

uguale al costo marginale.

Il profitto è maggiore o uguale del profitto che farebbe se

scegliesse un prezzo diverso.

Modello di Bertrand. Questa accanto non è una situazione di equilibrio.

Se una delle due abbassasse il prezzo farebbe profitto maggiore di 0,

ma allora anche l’altra impresa abbasserebbe il prezzo.

Se vendessi un prodotto omogeneo (esempio spostamento

roma Milano sulla linea alta velocità) una scelta che non sarebbe

strategicamente corretta è che tutti aumentassero il numero di

treni perché si arriverebbe al modello di Bertrand. Avendo

capacità molto grande per spostare i passeggeri da una parte

all’altra bisognerebbe abbassare i prezzi, alla fine si arriverebbe

alla competizione di Bertrand. Quindi aumentare la capacità

produttiva non è una buona strategia (finché la capacità totale di

tutte le imprese è bassa allora si possono alzare i prezzi).

In questo caso bisogna ragionare alla Cournot, cioè bisogna

decidere la capacità produttiva non il prezzo.

Dal punto di vista delle imprese il punto di equilibrio di Bertrand

non è efficiente.

Le imprese dovrebbero ragionare in questo modo: date le

funzioni di domanda e di costo, il monopolista metterebbe

ricavo marginale uguale al costo marginale, sceglierebbe la

quantità che uguaglia ricavi e costi, allora le imprese dovrebbero

vedere qual è il prezzo corrispondente e fare il prezzo di

monopolio, dovrebbero mettersi d’accordo. A quel punto si

generano i profitti di monopolio che le imprese possono

spartirsi.

Gli accordi però non si possono fare per via dell’antitrust.

La soluzione ottimale dal punto di vista delle imprese sarebbe

mettersi d’accordo, massimizzare il bottino e poi spartirlo. Con

Bertrand questo non avviene.

Le imprese fanno di tutto per non essere messe in queste condizioni.

Se posso differenziare il prodotto posso fare prezzi diversi dagli altri senza perdere la domanda.

Se l’unica cosa che conta è il prezzo allora si cade nel modello di Bertrand e quindi la vita delle imprese è messa a

rischio a meno che non ci siano accordi taciti.

23/04/18

Se in qualche esercizio di giochi dovessi avere più di un equilibrio di Nash la risposta ottima è indifferente. Mi accorgo

che per il giocatore di colonna c’è una strategia debolmente dominata, per cui il giocatore di colonna tende a scegliere

la strategia che domina, per cui di quei due equilibri di Nash sopravvive il secondo m-d

S D

0 0 0 1

A 1 0 0 0

M 0 1 1 0

B

Qui abbiamo due equilibri, tra questi due entrambi i giocatori tendono a selezionare l’equilibrio a-s perché genera dei

payoff che sono maggiori per entrambi, è un equilibrio focale. Ne posso scegliere quindi uno sulla base di alcuni

ragionamenti.

S D

25 25 3 4

A 4 3 7 7

B

I giochi statici con informazione completa avvengono in dimensioni temporali non rilevanti, ha come esempi di

oligopolio i modelli di Cournot e Bertrand. In entrambi i casi le imprese decidono quantità e prezzo senza sapere quali

sono le scelte degli altri.

Il modello di Bertrand mette in luce come sia importante il problema di convivenza nell’oligopolio. Se le imprese sono

aggressive nella competizione alla fine fanno profitti nulli o addirittura negativi, quindi le imprese non devono mettersi

nelle condizioni di Bertrand, devono fare in modo che non siano verificate. Possibilità:

➡ Bene omogeneo: le imprese devono decidere che tipo di prodotto vendere, la tipologia deve essere diversa da

quella che fa il rivale, così da evitare la strategia di under cutting.

➡ la capacità produttiva non deve essere infinita, se tutte le imprese avessero capacità produttiva tale da soddisfare

da sole tutta la domanda allora arriverebbero a fare profitti nulli perché i prezzi scenderebbero.

➡ le imprese possono colludere, anche nel caso in cui la capacità produttiva non è illimitata, potrebbero scegliere di

replicare la situazione di monopolio e poi spartirsi il volume di profitto. Il problema di queste strategie è che sono

vietate, possono essere solo collusioni tacite, senza contratti.

➡ Fare in modo che ci siano asimmetrie di costo. Se un’impresa è più efficiente dell’altra a questo punto quella più

efficiente può eliminare l’altra.

Giochi dinamici con informazione completa

L’aspetto rilevante è l’informazione che ciascun giocatore possiede

quando è il suo turno di scegliere.

Come si rappresentano le situazioni in cui l’elemento tempo è

rilevante? Si possono rappresentare con la matrice (forma normale o

strategica) oppure in forma estesa (si utilizza più spesso quando

l’elemento tempo è rilevante).

Quando ho rappresentazioni ad albero molto ordinate è facile risolvere il

gioco.

Quando c’è una situazione in cui c’è chi decide prima e chi dopo si può

sbagliare immaginando che colui che sceglie per secondo è in

vantaggio perché sa già cosa ha scelto il primo, in informazione

completa in realtà chi gioca per primo ha un vantaggio.

Quando un giocatore sta nell’insieme informativo vuol dire che i due

decidono simultaneamente, nell’albero sopra il 2 non sa esattamente in

che nodo si trova perché non sa cosa ha scelto l’altro, l’informazione

non è completa.

Il dilemma del prigioniero in forma estesa può essere rappresentato

così:

Se mi metto in un insieme informativo devo vedere quali sono le mosse

a disposizione di ciascun giocatore, le mosse a disposizione devono

essere identiche in tutti i nodi perché altrimenti potrei capire dove mi

trovo.

In un gioco dinamico le mosse sono tacere o confessare.

Supponiamo di voler rappresentare in forma normale l’albero sopra

SEMRE S IMITA CONTRARIO SEMPRE D

3 1 3 1 1 2 1 2

S

D 2 1 0 0 2 1 0 0

Prima di giocare devo cercare di ipotizzare la scelta fatta dall’altro

Gioco in informazione

perfetta:

Tutti i giochi statici (simultanei) sono ad informazione imperfetta.

Giochi dinamici con informazione completa e perfetta

Si perfeziona il concetto di equilibrio di Nash e si applica ai giochi

dinamici. Ho due giocatori A e B

Posso dire che la soluzione del sottogioco sotto è

(3,0), quindi posso riscrivere l’albero come:

Andando avanti si vede che la soluzione del sottogioco sarà (1,1) e si

ottiene quindi che

La soluzione ottima per A allora sarà s, che gli permette di massimizzare il suo payoff. Quindi conviene sempre isolare

i sottogiochi più semplici che stanno in basso nell’albero.

Esempi Parto dai nodi terminali, risolvo i sottogiochi e vado verso l’alto,

risolvo dal basso verso l’alto e poi vedo il percorso

SEMRE S IMITA CONTRARIO SEMPRE D

3 1 3 1 1 2 1 2

S 2 1 0 0 2 1 0 0

D

Abbiamo due equilibri di Nash ma c’è un problema di credibilità, sempre destra

porterebbe a guadagnare 0 quindi non si sceglierà sempre destra.

Modello di Stackelberg

Nel modello di Stackelberg abbiamo un gioco ad informazione

completa e perfetta. Le ipotesi che vedremo sono esattamente

identiche al modello di Cournot. L’unica cosa che cambia è l’ipotesi 5,

che è il timing di gioco. In questo caso l’impresa 1 chiamata L sceglie il

livello di output e in t1 l’impresa due prende la scelta sul livello di output

dopo aver osservato la scelta fatta dal giocatore 1. L’impresa 2 deve

avere ovviamente una strategia follower. Deve scegliere il livello di

output che è la risposta ottima alla scelta fatta dall’impresa leader.

L’impresa leader sceglierà la propria opzione guardando alla risposta

ottima dell’impresa follower

24/04/2018

Lancio Evento Probabilità Vincita Valore atteso

T 1/2 1 1/2

1 CT 1/4 2 1/2

2

3 CCT 1/8 4 1/2

CCCT 1/16 8 1/2

4 CCCCT 1/32 16 1/2

5

Consideriamo il seguente esempio con i dati nella tabella sopra. Il valore atteso di tale lotteria è infinito teoricamente,

perché potrei andare avanti all’infinito fino a quando non esce testa. A tale gioco la probabilità di perdita è pari a

15/16, quindi non conviene giocare in quanto è quasi uno la probabilità di perdere.

È un gioco in cui comincio a guadagnare solo quando arrivo al quinto lancio, la probabilità di perdere è 15/16.

Von Neumann e Morgenstern

Hanno scritto nel 1944 un libro che si chiama Teoria dei giochi e comportamento economico in cui parlavano di

solzioni di interazione strategica

L’idea introdotta è:

Ho due possibilità:

1) scatola con probabilità 1/2 ha 100 mila € dentro (cioè 1/2 è vuota, 1/2 è piena)

2) scatola che con probabilità 1 ha 50 mila €

A 50 mila attribuiamo un’utilità, questa la confrontiamo con l’utilità dell’evento 0 e dell’evento 100 ponderata

Una LOTTERIA L è un qualsiasi contesto in cui il payoff (profitto, guadagno, vincita, retribuzione, perdita ecc) che si

realizza dipende dal verificarsi di circostanze non controllate da nessun soggetto.

Il valore atteso di una lotteria è definito dalla sommatoria in i di yi per hi dove yi è il payoff se si verifica l’evento i, hi è

la probabilità con cui esso si verifica Valore atteso di una lotteria

Somma delle utilità che un soggetto associa ai diversi payoff ponderate con la probabilità della realizzazione degli

eventi che danno luogo ai payoff stessi. Utilità attesa di una lotteria

Utilità del valore atteso di una lotteria

Equivalente certo

Se preferisco prendere la scatola con 50 senza partecipare al gioco testa o croce vuol dire che per me la u(50) è

maggiore dell’utilità attesa della lotteria.

Ognuno ha un valore u(segnato) per cui u(y)=E(u(L)).

L’equivalente certo è il valore certo al quale si attribuisce la stessa utilità della lotteria.

Queste relazioni servono a caratterizzare un decisore economico dal punto di vista del suo comportamento verso il

rischio.

Neutralità

Un soggetto neutrale rispetto al rischio è un soggetto per il quale l’utilità del

valore atteso di una lotteria coincide con il valore atteso dell’utilità della lotteria.

L’utilità di avere 50 certi è la stessa del valore atteso della lotteria. Il soggetto è

neutrale rispetto al rischio. Se tutti i soggetti fossero così si potrebbe ragionare

solo con i valori attesi.

Avversione al rischio

Il soggetto avverso al rischio preferisce il valore certo piuttosto che partecipare

alla lotteria. L’utilità del valore atteso della lotteria è maggiore del valore atteso

dell’utilità della lotteria.

Il mercato delle assicurazioni si basa sul fatto che ci sono dei soggetti che hanno

un grado di avversione al rischio elevato.

Propensione al rischio

Un soggetto propenso al rischio preferisce giocare 0-100 piuttosto che prendersi

50.

Per convincerlo a non giocare gli si dovrebbe dare una somma più grande di 50

Se avessi una funzione di utilità lineare averei un soggetto neutrale rispetto al rischio

Il grado di concavità descrive il grado di avversione al rischio

Se avessi una funzione di utilità convessa allora avrei un soggetto propenso al rischio

Arrow Pratt

Quanto maggiore è il premio per il rischio tanto maggiore è l’avversione al rischio, ma non è un numero puro, quindi

non è un indice del grado di avversione al rischio.

L’indice di Arrow è il rapporto tra la derivata seconda e la derivata prima, questo mi dà una indicazione sul grado di

avversione al rischio.

Tanto più è alto tanto più il soggetto è avverso.

Esempio

L’atteggiamento rispetto al rischio possiamo dirlo da subito, abbiamo una funzione concava quindi siamo in presenza

di un soggetto avverso al rischio

Il valore atteso E(L) sarà uguale 30*1/3 + 9*2/3 = 16

U(30)=2,5

U(9)=1

Utilità attesa E(u(L))= 2,5*1/3 + 1*2/3 = 1,5

L’utilità del valore atteso sarebbe l’utilità di 16, deve venire maggiore dell’utilità attesa (funzione concava),

u(E(L))=u(16)=1,65>1,5

L’equivalente certo sarà minore di 16, devo trovare la somma disponibile con certezza che mi dà la stessa utilità della

lotteria (cioè l’utilità attesa che è 1,5). Allora devo imporre u(Y)=1,5 esce fuori che Ysegnato=14

L’equivalente certo (14) ha la stessa utilità dell’utilità attesa. 14<16 per cui il premio per il rischio sarà 2: E(L)-

Ysegnato=2

Se aggiungo un altro soggetto che ha una funzione di utilità u(Y)=radice di y, mi chiedo questo soggetto è più o meno

avverso al rischio rispetto al precedente?

E(L)=16

E(u(L))=u(30)*1/3 + u(9)*2/3 = 3,826 (utilità attesa)

Equivalente certo devo trovare Ysegnato che rende l’utilità uguale a quella della lotteria, quindi u(Ysegnato)=3,826 che

è uguale a 14,638

Nel secondo caso ho un premio per il rischio minore del primo caso, per cui sembrerebbe che il primo soggetto ha un

grado di avversione al rischio maggiore del secondo. Se andiamo a vedere però con l’indice di Arrow pratt:

Per tutti i payoff maggiori di 5 il primo soggetto ha un’avversione al rischio maggiore del secondo.

08/05/2018

Esempio valore auto 100. 0,1 probabilità furto 0,9 probabilità no furto

Se pago un premio assicurativo pari al danno atteso si dice che il premio è caratterizzato da equità (probabilità di

subire il danno per il valore dell’automobile). Se pago 10 e subisco il furto l’assicurazione mi restituirà 100, se non

subisco il furto ho comunque pagato 10 all’assicurazione. Assicurandomi elimino tutti i rischi perché sono sicuro che

anche se mi rubano la macchina rimango con 90 (100-10pagati). Allora il mio valore certo è 90. Il valore atteso che ho

se non stipulo nessun accordo è comunque pari a 90. Se fossi neutrale rispetto al rischio sarei indifferente tra

assicurazione e non assicurazione.

Supponiamo che ci sia un soggetto avverso al rischio che abbia funzione di utilità u=radice di y (funzione concava, è

più contento di un payoff maggiore ma l’utilità marginale del reddito è decrescente). Se la funzione è fatta così allora si

è avverso al rischio, se ho una funzione di questo genere e ho stipulato un contratto con l’assicurazione avrò una utilità

che è radice di 90 (cioè 9,487), questa è l’utilità del valore atteso della lotteria (cioè della stipula dell’assicurazione). Se

invece non faccio il contratto l’utilità attesa della lotteria è 9, siccome 9 è minore dell’utilità del valore atteso ovviamente

preferisco stipulare un accordo con l’assicurazione.

L’equivalente certo di questa lotteria è 81. Invece di avere una polizza pari a 10 si può alzare a 11,12,13 e il soggetto la

paga comunque perché ha un’utilità attesa minore di quella che corrisponde ad avere 85,86. Per l’assicurazione si

generano profitti.

Nell’assicurare per i terremoti i rischi sono molto elevati, se capita il danno bisogna remunerare tutti i soggetti dell’area.

Altro esempio: Dispongo di una somma pari a 1000, questa somma può essere investita in un’attività

1000 rischiosa che chiamiamo L (lotteria) che dà una probabilità di avere o un guadagno del

100% o una perdita del 90%, questi due eventi hanno uguale probabilità (1/2)

Bisogna capire qual è la quota di 1000 che un soggetto avverso al rischio investe in L.

Impostiamo il problema così: siamo di fronte ad una situazione di incertezza, abbiamo una funzione di utilità. Il

soggetto ha una funzione di utilità che è la funzione obiettivo da massimizzare, se sono questo signore devo decidere

qual è la quota di 1000 che investo nell’attività rischiosa.

Chiamiamo X la frazione di 1000 da investire

Se dobbiamo risolvere quel problema dobbiamo ottenere il massimo della funzione di utilità attesa rispetto a X,

troveremo la soluzione:

In questa lotteria investirò 1/9 di 1000 Dobbiamo fare riferimento alle restrizioni

verticali e capire cosa succede in un contesto

caratterizzato da incertezza. Abbiamo sempre

fatto l’ipotesi che prevedeva assenza di

incertezza.

Caso di domanda alta 60-p

Come si calcola F?

Faccio una tariffa in due parti in cui la parte fissa è il valore atteso dei profitti che si avrebbero nel caso della struttura

integrata

Questo non è accettabile per l’impresa β in quanto nel momento in cui si firma il contratto α non rischia nulla perché

vende a prezzo di costo e ha con certezza il valore F (sia che A è 40 sia che A è 60) ma β partecipa ad una lotteria in

cui se A è 40 va in perdita, se A è 60 fa profitti positivi, il problema è che sono eventi equiprobabili, il valore atteso dei

profitti di β sarà esattamente 0. Siccome si ha un soggetto avverso al rischio allora si ha un’utilità attesa minore di 0.

Se la domanda è bassa

Valore atteso del profitto

Utilità attesa della lotteria

Vediamo che l’utilità attesa è negativa. Allora l’impresa se decide di stare fuori che utilità consegue?

Se β non fa nulla è sicuro di fare 0

In una situazione caratterizzata da incertezza α deve abbasare la parte fissa della tariffa in due parti, deve abbassarla

fino al punto in cui il soggetto è indifferente tra partecipare e non partecipare.

Punto d:

Devo verificare l’utilità attesa ed assicurarmi che sia almeno pari a 0

Nel punto d il motivo per cui è accettabile si spiega dicendo che l’utilità attesa della lotteria è uguale alla utilità che

ricaverebbe con certezza se non partecipasse alla relazione.

In pratica avere profitto 0 è la stessa cosa che guadagnare 281,25 o perdere 168,75. 0 è l’equivalente certo della

lotteria.

56,25 è la differenza E(L)-ysegnato (cioè valore atteso della lotteria ed equivalente certo della lotteria). Questo è il

premio per il rischio, se c’è un soggetto avverso al rischio lo devo premiare se partecipa. Questo premio di 56,25 è la

stessa cosa che avere 0, dà la stessa utilità.

Rispetto ad una situazione caratterizzata da certezza chi perde è l’impresa α perché deve rinunciare ad una parte dei

suoi profitti.

Incertezza e avversione al rischio di β creano dei problemi, non si può replicare la situazione di struttura verticale

integrata.

Dobbiamo decidere qual è la parte fissa F della tariffa in due parti

Caso a: ragiono sempre su valori attesi, semplice da trattare.

Caso b siamo in condizioni di avversione al rischio. Vediamo la situazione generale

Devo rendere le due cose uguali

Supponiamo di dover trovare F se β è un soggetto avverso al rischio

Ci aspettiamo che il valore sia più basso, dovrà esserci un premio per il rischio

Guadagnare 100 con certezza ha un indice di soddisfazione che è 30, lo stesso lo devo avere nel caso di incertezza

Facendo i conti ci viene che F=395,556

Con il valore di F così determinato l’utilità attesa è uguale all’utilità alternativa che è pari a 100

E(L) è maggiore di 100. Allora 100 è l’equivalente certo della lotteria.

13,44 sarà il premio per il rischio. Bisogna dare a β 13,44 per farlo partecipare alla lotteria.

Esercizio 3 (esame dell’anno scorso)

Punto a) indicare se il rischio è a carico di una sola impresa o di entrambe le imprese, spiegare la risposta

È chiaro che la restrizione su F rende per l’impresa β la tariffa in due parti accettabile. Il premio per il rischio è pari alla

differenza tra valore atteso ed equivalente certo.

Il valore atteso per l’impresa β della lotteria è 187,9422 quindi questo - profitto dell’equivalente certo che è 121,

siccome 121 dà esattamente la stessa utilità della lotteria la differenza tra questi due valori è 66,9422 che è il premio

per il rischio che devo dare all’impresa β.

Si supponga ora che α venda a prezzo di costo e che la parte fissa della tariffa sia 288, cosa accade in questo caso?

La tariffa è accettabile perché dà un’utilità attesa 11.

Il premio per il rischio in questo caso è 221-121=100 perché 121 è l’equivalente certo, il valore atteso è 221, la

differenza è 100. Il premio per il rischio prima era 66, in questo caso è maggiore perché mentre prima i rischi erano

condivisi per cui una parte del rischio se la prendeva α in questo caso tutti i rischi sono a carico di β. β rischia più di

prima quindi bisogna premiarlo, si passa da 66 a 100.

09/05/2018 Se non ci fosse alcuna incertezza e le due imprese non avessero restrizioni di

alcun tipo farebbero profitti la cui somma sarebbe inferiore rispetto al profitto che

si avrebbe nel caso di struttura integrata. Il motivo per cui accade questo è che

abbiamo un’esternalità verticale a valle legata al prezzo.

α può applicare delle restrizioni verticali. Con la tariffa in due parti α vende al

prezzo pα, β ha gli incentivi per fare il prezzo della struttura integrata.

Se la domanda è incerta accade che non si possono applicare le restrizioni

verticali riproducendo la struttura verticale integrata. Se ho una domanda incerta

anche il profitto della struttura integrata avrà un valore atteso, in particolare

dipenderà da come la domanda si realizzerà.


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CSY

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in ingegneria gestionale
SSD:
A.A.: 2018-2019

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher CSY di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Economia dei sistemi industriali e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Nastasi Alberto.

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