Appunti del corso Economia dei Sistemi Industriali parte di Nastasi

S

D 2 1 0 0 2 1 0 0

Prima di giocare devo cercare di ipotizzare la scelta fatta dall’altro

Gioco in informazione

perfetta:

Tutti i giochi statici (simultanei) sono ad informazione imperfetta.

Giochi dinamici con informazione completa e perfetta

Si perfeziona il concetto di equilibrio di Nash e si applica ai giochi

dinamici. Ho due giocatori A e B

Posso dire che la soluzione del sottogioco sotto è

(3,0), quindi posso riscrivere l’albero come:

Andando avanti si vede che la soluzione del sottogioco sarà (1,1) e si

ottiene quindi che

La soluzione ottima per A allora sarà s, che gli permette di massimizzare il suo payoff. Quindi conviene sempre isolare

i sottogiochi più semplici che stanno in basso nell’albero.

Esempi Parto dai nodi terminali, risolvo i sottogiochi e vado verso l’alto,

risolvo dal basso verso l’alto e poi vedo il percorso

SEMRE S IMITA CONTRARIO SEMPRE D

3 1 3 1 1 2 1 2

S 2 1 0 0 2 1 0 0

D

Abbiamo due equilibri di Nash ma c’è un problema di credibilità, sempre destra

porterebbe a guadagnare 0 quindi non si sceglierà sempre destra.

Modello di Stackelberg

Nel modello di Stackelberg abbiamo un gioco ad informazione

completa e perfetta. Le ipotesi che vedremo sono esattamente

identiche al modello di Cournot. L’unica cosa che cambia è l’ipotesi 5,

che è il timing di gioco. In questo caso l’impresa 1 chiamata L sceglie il

livello di output e in t1 l’impresa due prende la scelta sul livello di output

dopo aver osservato la scelta fatta dal giocatore 1. L’impresa 2 deve

avere ovviamente una strategia follower. Deve scegliere il livello di

output che è la risposta ottima alla scelta fatta dall’impresa leader.

L’impresa leader sceglierà la propria opzione guardando alla risposta

ottima dell’impresa follower

24/04/2018

Lancio Evento Probabilità Vincita Valore atteso

T 1/2 1 1/2

1 CT 1/4 2 1/2

2

3 CCT 1/8 4 1/2

CCCT 1/16 8 1/2

4 CCCCT 1/32 16 1/2

5

Consideriamo il seguente esempio con i dati nella tabella sopra. Il valore atteso di tale lotteria è infinito teoricamente,

perché potrei andare avanti all’infinito fino a quando non esce testa. A tale gioco la probabilità di perdita è pari a

15/16, quindi non conviene giocare in quanto è quasi uno la probabilità di perdere.

È un gioco in cui comincio a guadagnare solo quando arrivo al quinto lancio, la probabilità di perdere è 15/16.

Von Neumann e Morgenstern

Hanno scritto nel 1944 un libro che si chiama Teoria dei giochi e comportamento economico in cui parlavano di

solzioni di interazione strategica

L’idea introdotta è:

Ho due possibilità:

1) scatola con probabilità 1/2 ha 100 mila € dentro (cioè 1/2 è vuota, 1/2 è piena)

2) scatola che con probabilità 1 ha 50 mila €

A 50 mila attribuiamo un’utilità, questa la confrontiamo con l’utilità dell’evento 0 e dell’evento 100 ponderata

Una LOTTERIA L è un qualsiasi contesto in cui il payoff (profitto, guadagno, vincita, retribuzione, perdita ecc) che si

realizza dipende dal verificarsi di circostanze non controllate da nessun soggetto.

Il valore atteso di una lotteria è definito dalla sommatoria in i di yi per hi dove yi è il payoff se si verifica l’evento i, hi è

la probabilità con cui esso si verifica Valore atteso di una lotteria

Somma delle utilità che un soggetto associa ai diversi payoff ponderate con la probabilità della realizzazione degli

eventi che danno luogo ai payoff stessi. Utilità attesa di una lotteria

Utilità del valore atteso di una lotteria

Equivalente certo

Se preferisco prendere la scatola con 50 senza partecipare al gioco testa o croce vuol dire che per me la u(50) è

maggiore dell’utilità attesa della lotteria.

Ognuno ha un valore u(segnato) per cui u(y)=E(u(L)).

L’equivalente certo è il valore certo al quale si attribuisce la stessa utilità della lotteria.

Queste relazioni servono a caratterizzare un decisore economico dal punto di vista del suo comportamento verso il

rischio.

Neutralità

Un soggetto neutrale rispetto al rischio è un soggetto per il quale l’utilità del

valore atteso di una lotteria coincide con il valore atteso dell’utilità della lotteria.

L’utilità di avere 50 certi è la stessa del valore atteso della lotteria. Il soggetto è

neutrale rispetto al rischio. Se tutti i soggetti fossero così si potrebbe ragionare

solo con i valori attesi.

Avversione al rischio

Il soggetto avverso al rischio preferisce il valore certo piuttosto che partecipare

alla lotteria. L’utilità del valore atteso della lotteria è maggiore del valore atteso

dell’utilità della lotteria.

Il mercato delle assicurazioni si basa sul fatto che ci sono dei soggetti che hanno

un grado di avversione al rischio elevato.

Propensione al rischio

Un soggetto propenso al rischio preferisce giocare 0-100 piuttosto che prendersi

50.

Per convincerlo a non giocare gli si dovrebbe dare una somma più grande di 50

Se avessi una funzione di utilità lineare averei un soggetto neutrale rispetto al rischio

Il grado di concavità descrive il grado di avversione al rischio

Se avessi una funzione di utilità convessa allora avrei un soggetto propenso al rischio

Arrow Pratt

Quanto maggiore è il premio per il rischio tanto maggiore è l’avversione al rischio, ma non è un numero puro, quindi

non è un indice del grado di avversione al rischio.

L’indice di Arrow è il rapporto tra la derivata seconda e la derivata prima, questo mi dà una indicazione sul grado di

avversione al rischio.

Tanto più è alto tanto più il soggetto è avverso.

Esempio

L’atteggiamento rispetto al rischio possiamo dirlo da subito, abbiamo una funzione concava quindi siamo in presenza

di un soggetto avverso al rischio

Il valore atteso E(L) sarà uguale 30*1/3 + 9*2/3 = 16

U(30)=2,5

U(9)=1

Utilità attesa E(u(L))= 2,5*1/3 + 1*2/3 = 1,5

L’utilità del valore atteso sarebbe l’utilità di 16, deve venire maggiore dell’utilità attesa (funzione concava),

u(E(L))=u(16)=1,65>1,5

L’equivalente certo sarà minore di 16, devo trovare la somma disponibile con certezza che mi dà la stessa utilità della

lotteria (cioè l’utilità attesa che è 1,5). Allora devo imporre u(Y)=1,5 esce fuori che Ysegnato=14

L’equivalente certo (14) ha la stessa utilità dell’utilità attesa. 14<16 per cui il premio per il rischio sarà 2: E(L)-

Ysegnato=2

Se aggiungo un altro soggetto che ha una funzione di utilità u(Y)=radice di y, mi chiedo questo soggetto è più o meno

avverso al rischio rispetto al precedente?

E(L)=16

E(u(L))=u(30)*1/3 + u(9)*2/3 = 3,826 (utilità attesa)

Equivalente certo devo trovare Ysegnato che rende l’utilità uguale a quella della lotteria, quindi u(Ysegnato)=3,826 che

è uguale a 14,638

Nel secondo caso ho un premio per il rischio minore del primo caso, per cui sembrerebbe che il primo soggetto ha un

grado di avversione al rischio maggiore del secondo. Se andiamo a vedere però con l’indice di Arrow pratt:

Per tutti i payoff maggiori di 5 il primo soggetto ha un’avversione al rischio maggiore del secondo.

08/05/2018

Esempio valore auto 100. 0,1 probabilità furto 0,9 probabilità no furto

Se pago un premio assicurativo pari al danno atteso si dice che il premio è caratterizzato da equità (probabilità di

subire il danno per il valore dell’automobile). Se pago 10 e subisco il furto l’assicurazione mi restituirà 100, se non

subisco il furto ho comunque pagato 10 all’assicurazione. Assicurandomi elimino tutti i rischi perché sono sicuro che

anche se mi rubano la macchina rimango con 90 (100-10pagati). Allora il mio valore certo è 90. Il valore atteso che ho

se non stipulo nessun accordo è comunque pari a 90. Se fossi neutrale rispetto al rischio sarei indifferente tra

assicurazione e non assicurazione.

Supponiamo che ci sia un soggetto avverso al rischio che abbia funzione di utilità u=radice di y (funzione concava, è

più contento di un payoff maggiore ma l’utilità marginale del reddito è decrescente). Se la funzione è fatta così allora si

è avverso al rischio, se ho una funzione di questo genere e ho stipulato un contratto con l’assicurazione avrò una utilità

che è radice di 90 (cioè 9,487), questa è l’utilità del valore atteso della lotteria (cioè della stipula dell’assicurazione). Se

invece non faccio il contratto l’utilità attesa della lotteria è 9, siccome 9 è minore dell’utilità del valore atteso ovviamente

preferisco stipulare un accordo con l’assicurazione.

L’equivalente certo di questa lotteria è 81. Invece di avere una polizza pari a 10 si può alzare a 11,12,13 e il soggetto la

paga comunque perché ha un’utilità attesa minore di quella che corrisponde ad avere 85,86. Per l’assicurazione si

generano profitti.

Nell’assicurare per i terremoti i rischi sono molto elevati, se capita il danno bisogna remunerare tutti i soggetti dell’area.

Altro esempio: Dispongo di una somma pari a 1000, questa somma può essere investita in un’attività

1000 rischiosa che chiamiamo L (lotteria) che dà una probabilità di avere o un guadagno del

100% o una perdita del 90%, questi due eventi hanno uguale probabilità (1/2)

Bisogna capire qual è la quota di 1000 che un soggetto avverso al rischio investe in L.

Impostiamo il problema così: siamo di fronte ad una situazione di incertezza, abbiamo una funzione di utilità. Il

soggetto ha una funzione di utilità che è la funzione obiettivo da massimizzare, se sono questo signore devo decidere

qual è la quota di 1000 che investo nell’attività rischiosa.

Chiamiamo X la frazione di 1000 da investire

Se dobbiamo risolvere quel problema dobbiamo ottenere il massimo della funzione di utilità attesa rispetto a X,

troveremo la soluzione:

In questa lotteria investirò 1/9 di 1000 Dobbiamo fare riferimento alle restrizioni

verticali e capire cosa succede in un contesto

caratterizzato da incertezza. Abbiamo sempre

fatto l’ipotesi che prevedeva assenza di

incertezza.

Caso di domanda alta 60-p

Come si calcola F?

Faccio una tariffa in due parti in cui la parte fi