Riassunto esame Econometria, prof. Fiorentini, libro consigliato Introduzione all'Econometria, Stock Watson

Capitolo 1 Dati Economici Varianza: valore atteso del quadrato della deviazione di Y

Dati sperimentali: osservazione comportamento reale; dalla sua media. Per una variabile casuale di Bernoulli:

( ) ( ).

esperimento controllato casualizzato (gruppo di controllo, v

gruppo di trattamento) ∑(

[( ) ] )

[stimatore dell’effetto causale del trattamento/effetto

atteso trattamento= E(gr.tratt.)-E(gr.control.)] Deviazione standard: radice quadrata della varianza.

Dati non sperimentali: osservazione indagini campionarie. Se : ,

Si dividono in: dati sezionali, serie temporali, dati panel. Altre misure della forma di una distribuzione

1) Dati Sezionali: entità diverse osservati (numero di La media, la varianza, l’asimmetria e la curtosi sono

osservazione) per un solo periodo; analisi delle momenti di una distribuzione.

differenze; Asimmetria

2) Serie Temporali: singola entità raccolti in momenti [( ) ]

diversi; analisi dell’evoluzione delle variabili nel tempo

e predizione;

3) Dati Panel (o longitudinali): più entità n in più periodi Se uguale a zero c’è simmetria.

T; analisi di un fenomeno nelle diverse entità ed Curtosi

evoluzione temporale; Misura di quanto della varianza di Y deriva dai valori

Capitolo 2 Richiami di probabilità estremi outliers, da cui dipendono le code, (probabilità di

Risultati: esiti potenziali di un processo casuale. outliers).

 L’insieme dei risultati compone uno spazio [( ) ]

campionario;

 Sottoinsieme di uno spazio campionario, insieme di

risultati, è l’evento. Le code rappresentano probabili allontanamenti

significativi di Y dalla sua media. La curtosi di una variabile

Probabilità di un risultato: proporzione di volte con cui si casuale che si distribuisce normalmente è 3, se maggiore

verifica il risultato. di 3 è detta leptocurtica.

Variabile casuale: indicatore numerico sintetico di un Momento r-esimo è il valore atteso di .

risultato casuale. Variabili casuali doppie

Variabile casuale discreta Distribuzione di probabilità congiunta di due variabili

Distribuzione di probabilità di una variabile casuale discrete: identifica la probabilità che le variabili X e Y

discreta è l’ elenco di tutti i possibili valori della variabile e assumano simultaneamente certi valori. Espressa come

delle probabilità con cui ciascuno di essi si verifica. Pr(X=x,Y=y), probabilità congiunta.

Distribuzione di probabilità cumulata di una variabile Distribuzione di probabilità marginale: distribuzione di

casuale discreta è la probabilità che una variabile casuale probabilità di una sola delle variabili casuali. Calcolabile

sia minore o uguale ad un particolare valore, indicata come la somma di tutti i suoi possibili risultati.

come funzione di ripartizione o CDF (cumulative Distribuzione condizionata di Y data X: distribuzione di

distribution function). una variabile casuale Y condizionatamente al fatto che

Distribuzione di Bernoulli: distribuzione di probabilità un'altra variabile casuale X assuma un valore specifico, si

cumulata di una variabile casuale binaria, quindi i cui indica con Pr(Y=y|X=x), probabilità condizionata.

risultati possibili sono 0(1-p) e 1(p). (Da cui variabile  Esempio:

casuale e distribuzione Bernoulli). X=0 X=1 Totale

Y=0 0,18 0,37 0,55

Variabile casuale continua Y=1 0,23 0,22 0,45

Funziona di densità di probabilità: rappresentazione di Totale 0,41 0,59 1

una distribuzione di probabilità cumulata di una variabile La probabilità condizionata di Y data X per Pr(Y=0/X=0) è uguale a 0,18/0,41,

casuale continua, la cui area sottostante tra due punti ovvero 43,9%. [distribuzione condizionata di y data x]

[probabilità condizionata=probabilità congiunta/probabilità marginale]

rappresenta la probabilità che la variabile casuale cada tra ( )

Pr(Y=y|X=x)=

quei due punti. Anche chiamata PDF (probability density ( )

function). Aspettativa condizionata di Y data X: è la media della

Analisi della variabile casuale distribuzione condizionata di Y data X, con Y che assume k

Valore atteso: valore medio della variabile casuale, valori e X=x

indicato con E(Y). Indicato anche come “aspettativa” o E(Y|X=x)=∑ Pr(Y= |X=x)

“media” di Y, . Il risultato è moltiplicato per la probabilità condizionata

Per una variabile casuale discreta: è media ponderata dei corrispondente.

possibile risultati, con pesi pari alle rispettive probabilità; Legge delle aspettative iterate: la media di Y è la media

ponderata delle aspettative condizionate di Y data X, con

( ) ∑ pesi dati dalla distribuzione di probabilità di X. Con x che

può assumere l valori:

Per una variabile casuale Bernoulli: il valore atteso è la

probabilità che questa assuma valore 1, ; Distribuzione t di Student : è la distribuzione del

( ) ( | )

∑ ( ) rapporto di due variabili casuali indipendenti, la prima

delle quali è una normale standard e l’altra è la radice

Detto anche: l’aspettativa di y è l’aspettativa quadrata di una variabile casuale chi-quadrato(W) con m

( )

dell’aspettativa condizionata di y data x: gradi di libertà divisa per m.

( )

| La variabile casuale ha una distribuzione t student. Per

Varianza condizionata: varianza della distribuzione √

condizionata di Y data X. Var(Y|X=x)= distribuzioni con m uguale o maggiore a 30, si approssima

ad una normale standard. Se minore essa ha code più

∑ ( | ) ( | ) pesanti.

Distribuzione F: è la distribuzione del rapporto di una

Indipendenza: X e Y sono indipendenti se la distribuzione variabile casuale chi-quadrato(W) con m gradi di libertà,

condizionata di Y data X è uguale alla distribuzione divisa per m, con una variabile casuale chi-quadrato(V)

marginale di Y. Se per tutti i valori di x e y: indipendentemente distribuita con n gradi di libertà, divisa

( ) ( ) ( ) per n.

( | ) ( ) ( )

La distribuzione congiunta è uguale al prodotto delle La variabile casuale ha una distribuzione .

distribuzioni marginali.

Somme di variabili casuali Capitolo 3 Richiami di statistica

X, Y e V sono variabili casuali. Dal campionamento casuale ottengo la distribuzione di

( ) probabilità di alcuni valori i.i.d., da questi valori posso

( ) ricavarmi le variabili casuali che sintetizzano la

( ) distribuzione campionaria e stimano la distribuzione della

popolazione. Esempio:

( )

( ) ̅)

( ∑ ( )

( )

| ( )| | | √ ; (disuguaglianza della ̅)

( ( ∑ )

correlazione)

( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ( ) ∑ ∑ ( )

̅

( ) ( ) ( ) Legge dei grandi numeri

Distribuzioni Con n grande, con probabilità molto alta lo stimatore

( ): convergerà in probabilità al valore reale, consistenza.

Distribuzione normale ha una forma ̅ ( )

campanulare, è simmetrica attorno alla sua media e Teorema del limite centrale

concentra il 95% della sua probabilità tra µ-1,96σ e Quando n è grande, lo stimatore tenderà a distribuirsi

µ+1,96σ. La normale standard ha µ=0 e σ=1 N(0,1) , con secondo una normale asintoticamente. Anche tramite

distribuzione indicata da Z, quindi Pr(Z≤c)=φ(c), φ è la standardizzazione, con n 100.

funzione di ripartizione normale standard . La Stima della media di una popolazione

standardizzazione avviene sottraendo prima la media e Uno stimatore è una funzione di un campione di dati

dividendo poi il risultato per la deviazione standard: estratti casualmente da una popolazione. La stima è il

( ) valore numerico dello stimatore, quando questo viene

calcolato usando i dati di uno specifico campione. Uno

Calcolo della probabilità con variabili casuali normali: stimatore è una variabile casuale, mentre la stima è un

( ) ( ) ( ) numero. Le tre caratteristiche desiderabili per un

( ) ( ) ( ) campione sono:

( ) ( ) ( ) ( ) ̂)

(

 Non distorsione (correttezza): ;

Distribuzione normale multivariata: descrive la ̅

 Consistenza: , per la legge dei grandi numeri;

distribuzione congiunta di un gruppo di variabili casuali. Se  Varianza ed efficienza: tra due stimatori si sceglie

due variabili X e Y sono bivariate, con covarianza e se quello con varianza minore, perché più efficiente.

a e b sono due costanti, allora aX+bY ha una distribuzione ( ̂ ) ( ̃ )

normale. ̅ è lo stimatore della media meno distorto, consistente e

( ) più efficiente. Si dice che è il miglior stimatore non

Distribuzione normale chi-quadrato : è la distorto o BLUE (Best Linear Unbiased Estimator). Inoltre,

distribuzione della somma dei quadrati di m variabili la media campionaria minimizza la differenza quadratica

casuali indipendenti, ognuna con una distribuzione ̅

media tra le osservazioni e (stimatore dei minimi

normale standard, con m gradi di libertà. quadrati). ̅