Riassunto esame Econometria, prof. Fiorentini, libro consigliato Introduzione all'Econometria, Stock Watson

E(Y)=∑

variabile casuale che si distribuisce normalmente

è 3, se maggiore di 3 è detta leptocurtica. Varianza condizionata: varianza della

distribuzione condizionata di Y data X.

Momento r-esimo è il valore atteso di . Var(Y|X=x)=

Variabili casuali doppie

Distribuzione di probabilità congiunta di due -

( | ( | )

∑,

variabili discrete: identifica la probabilità che le

variabili X e Y assumano simultaneamente certi Indipendenza: X e Y sono indipendenti se la

valori. Espressa come Pr(X=x, Y=y). distribuzione condizionata di Y data X è uguale

Distribuzione di probabilità marginale: alla distribuzione marginale di Y. Se per tutti i

distribuzione di probabilità di una sola delle valori di x e y:

variabili casuali. Calcolabile come la somma di ( | ) ( ) ( )

tutti i suoi possibili risultati. Covarianza: misura l’intensità con cui le due

Distribuzione condizionata di Y data X: variabili casuali si muovono insieme.

distribuzione di una variabile casuale Y

condizionatamente al fatto che un'altra variabile ( )

casuale X assuma un valore specifico, si indica )(

[( )]

con Pr(Y=y|X=x). ∑ ∑( )( ) ( )

- Esempio:

X=0 X=1 Totale Se X è maggiore della propria media, X-µx è

Y=0 0,18 0,37 0,55

Y=1 0,23 0,22 0,45 positivo. Da cui la concordanza di segni tra X e Y

Totale 0,41 0,59 1 darà positività alla covarianza.

La probabilità condizionata di Y data X per Pr(Y=0/X=0) è uguale a

0,18/0,41, ovvero 43,9%. Correlazione: misura alternativa di dipendenza

tra X e Y che risolve il problema dell’unità di

(Probabilità congiunta/probabilità marginale) misura della covarianza.

( )

Pr(Y=y|X=x)= ( ) ( )

( ) ( ) ( )

√

Aspettativa condizionata di Y data X: è la media

della distribuzione condizionata di Y data X, con Y E’ compresa tra -1 e 1.

che assume k valori e X=x 2 Distribuzione normale chi-quadrato : è la

Somme di variabili casuali distribuzione della somma dei quadrati di m

X, Y e V sono variabili casuali. variabili casuali indipendenti, ognuna con una

distribuzione normale standard, con m gradi di

( ) libertà.

( )

( ) Distribuzione t di Student : è la

distribuzione del rapporto di due variabili casuali

( ) indipendenti, la prima delle quali è una normale

( ) standard e l’altra è la radice quadrata di una

variabile casuale chi-quadrato(W) con m gradi di

( ) libertà divisa per m.

| ( )| | | √ ; (disuguaglianza La variabile casuale ha una distribuzione t

della correlazione) √

student. Per distribuzioni con m uguale o

Distribuzioni maggiore a 30, si approssima ad una normale

( ): standard. Se minore essa ha code più pesanti.

Distribuzione normale ha una forma

campanulare, è simmetrica attorno alla sua Distribuzione F: è la distribuzione del rapporto di

media e concentra il 95% della sua probabilità tra una variabile casuale chi-quadrato(W) con m

µ-1,96σ e µ+1,96σ. La normale standard ha µ=0 e gradi di libertà, divisa per m, con una variabile

σ=1, con distribuzione indicata da Z, quindi casuale chi-quadrato(V) indipendentemente

Pr(Z≤c)=φ(c). La standardizzazione avviene distribuita con n gradi di libertà, divisa per n.

sottraendo prima la media e dividendo poi il

risultato per la deviazione standard: La variabile casuale ha una distribuzione .

( ) Capitolo 3 Richiami di statistica

Calcolo della probabilità con variabili casuali Stima della media di una popolazione

normali: Uno stimatore è una funzione di un campione di

( ) ( ) ( ) dati estratti casualmente da una popolazione. La

( ) ( ) ( ) stima è il valore numerico dello stimatore,

quando questo viene calcolato usando i dati di

( ) ( ) uno specifico campione. Uno stimatore è una

( ) ( ) variabile casuale, mentre la stima è un numero.

Le tre caratteristiche desiderabili per un

Distribuzione normale multivariata: descrive la campione sono:

distribuzione congiunta di un gruppo di variabili

casuali. Se due variabili X e Y sono bivariate, con - Non distorsione (correttezza):

covarianza e se a e b sono due costanti, ̂)

( ;

allora aX+bY ha una distribuzione normale. ̅

- Consistenza: , per la legge dei

( grandi numeri;

) 3 ̅ ̅

- Varianza ed efficienza: tra due stimatori *| | | |+

si sceglie quello con varianza minore, ̅ ̅

̅

perché più efficiente. | |)

( ̅

̅ è lo stimatore della media meno distorto,

consistente e più efficiente. Si dice che è il miglior = funzione di ripartizione di una distribuzione

stimatore non distorto o BLUE (Best Linear normale standard; cioè il valore-p è l’area nelle

Unbiased Estimator). Inoltre, la media code di una distribuzione normale standard al di

̅

campionaria minimizza la differenza quadratica ( )

fuori dell’intervallo ̅

̅

media tra le osservazioni e (stimatore dei Altri stimatori

minimi quadrati). Varianza campionaria

Verifica d’ipotesi circa la media della

popolazione ̅)

∑(

Ipotesi nulla: ipotesi da verificare, che la media

della popolazione assuma un valore specifico. Da cui è possibile ottenere la deviazione

Ipotesi alternativa: confronto di ipotesi, cosa è standard campionaria operando la radice

vero se la nulla viene rifiutata. Ovvero, nel caso si quadrata. In distribuzione di Bernoulli: p(1-p)/n.

ipotizza solo che la media della popolazione non

assuma quel valore specifico, si parla di ipotesi Errore standard campionario

alternativa bilaterale. ̅

È uno stimatore della deviazione standard di ,

̅

Valore-p dei test (o livello di significatività indicato con SE( ).

osservato): è la probabilità di ottenere un valore ̅)

( ̂ √

̅ ̅

di che, sotto l’ipotesi nulla, sia lontano dalle

code della distribuzione almeno quanto la media In distribuzione di Bernoulli:

campionaria effettivamente calcolata. ̅) ̅( ̅)

√

( .

̅ ̅

[| | | |] Covarianza campionaria

̅ =valore che assume la media campionaria

calcolata sui dati disponibili; =probabilità ̅ ̅)

)(

∑(

calcolata sull’ipotesi nulla. Se il valor-p è elevato

̅

allora il valore è coerente con l’ipotesi nulla. Correlazione campionaria

Calcolo del valore-p con nota

Il valore-p è la probabilità sotto l’ipotesi nulla di

̅

ottenere un valore di distante da almeno

̅ Varia tra -1 e 1. Se uguale ad 1 Xi=Yi, se uguale a -

quanto , o equivalentemente è la probabilità

̅ ̅ 1 sarà Xi=-Yi. In questi due casi il diagramma a

di ottenere un valore maggiore di

̅ ̅ nuvola di punti è una linea retta. Se il coefficiente

in valore assoluto, rappresentata dall’area è positivo la retta avrà un inclinazione positiva, e

ombreggiata delle code. viceversa.

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