Riassunto esame di Econometria, prof. Tivegna, libro consigliato: Introduzione all'econometria, Stock e Watson

Formattazione del testo

PER IL MECCANISMO A CORREZIONE DI ERRORE:

1. Rifaccio la OLS con i valori al massimo grado di integrazione comune,4 per il modello a correzione del breve periodo salvo i residui e vedo se sono stazionari.
2. Se i residui sono stazionari, rifaccio la OLS con le variabili al massimo grado di integrazione COMUNE e i residui ritardati di un periodo con il relativo commento sulla significatività e sulle relazioni di breve e lungo periodo.

Per il GARCH:

1. Faccio il GARCH con i valori al massimo grado di integrazione comune e di conseguenza faccio l'analisi sui coefficienti sulla significatività, guardo che la somma di alpha1+beta1<1,4 salvo la varianza dei residui e vedo il grafico della serie, cercando di dare una spiegazione.

Cosa è un modello a correzione d'errore e per quale motivi si utilizza:

1. Cointegrazione e correzione d'errore: Due o più serie temporali con trend stocastici possono congiuntamente muoversi in modo simile nel lungo periodo.

sembrare caratterizzate dallo stesso trend, cioè sembrano possedere un unico trend comune. Due o più serie che abbiano un trend stocastico comune si dicono cointegrate. ΔYt; Il trend stocastico di una variabile I(1), Yt, è stato eliminato calcolando la differenza prima, iΔYt problemi creati dai trend stocastici erano stati quindi evitati utilizzando invece di Yt all'interno delle regressioni temporali. – Tuttavia, se Xt e Yt sono cointegrate, un altro modo per eliminare il trend è quello di calcolare Yt–BXt. Poiché il termine Yt–BXt è stazionario, esso può essere utilizzato in un'analisi di regressione. La definizione formale di cointegrazione (dovuta a Granger, 1983): si supponga che Xt e Yt siano– integrate di ordine uno. Se, per qualche coefficiente B, Yt–BXt è integrato di ordine zero, allora Xt e Yt sono dette cointegrate. Il coefficiente B è detto coefficiente di cointegrazione.

Abbiamo due serie integrate 1 e cointegrate, dove Y* = B*Xt + Xt, Yt approssimatamente CI(1,1)

Vettore di cointegrazione = [1;-B]

ΔYt = ΔXt - B1 + B2 (Yt-1 - B*Xt-1) + ut

I(0) I(0) (-) I(0) I(0)

La formula è il modello a correzione d'errore: la prima parte è la variazione di breve periodo, B2 è chiamato coefficiente a correzione d'errore, da dopo B2 fino alla parentesi è chiamato correzione di X verso Y.

Il meno sotto B2 significa che ha un valore negativo per comprimere l'overshooting della variabile Y così da correggere l'errore. -B*Xt ΔYt ΔXt.

In un VECM, i valori passati di Yt aiutano a prevedere i valori futuri di e/o.

L'intuizione dietro questi test consiste nel fatto che se le variabili Yt e Xt sono cointegrate con coefficiente di cointegrazione B, allora la serie Yt - B*Xt è stazionaria; nel caso contrario, la serie Yt - B*Xt è non stazionaria (è I(1)).

L'ipotesi che Yt e Xt non siano cointegrate (cioè che Yt - BXt sia I(1)) può quindi essere verificata verificando l'ipotesi nulla che Yt - BXt abbia una radice unitaria; se questa ipotesi è rifiutata, allora Yt e Xt si possono modellare come cointegrate. I dettagli di questo test dipendono dalla conoscenza o meno del parametro B. Per quale motivo si aggiunge il vettore dei residui al termine della stima di un modello di cointegrazione come termine rappresentativo del termine a correzione d'errore? La regressione di cointegrazione considera solo le proprietà di lungo periodo del modello e non quelle di breve periodo. Con lo scopo di descrivere sia le relazioni di breve che di lungo periodo si stimano gli ECM (Error Correction Models). In particolare si può pensare al vettore dei residui come ad un errore di equilibrio o termine di disequilibrio relativo al periodo precedente. Esiste un ordine di integrazione ottimale delle variabili da considerare quando si modella la cointegrazione.

variabili che appaiono in un modello di regressione?

o debbono essere tutte integrate 0;

o debbono essere tutte integrate 1;

non importa qual è l'ordine di integrazione.

Il miglior ordine di integrazione è 0, perché in questo modo la relazione non è di interesse dal punto di vista della cointegrazione, quindi non c'è rischio di cadere in una regressione spuria.

L'ordine di integrazione, nella terminologia è il numero di volte che la serie deve essere differenziata al fine di ottenere una serie stazionaria. ΔYt,

Se Yt è I(1), allora la differenza di Yt, ΔYt, è stazionaria; se Yt è I(2), allora la differenza seconda Δ2Yt, di Yt, è stazionaria. Se Yt è I(0), allora Yt è stazionaria.

Se Yt è integrata di ordine 1, cioè, se Yt è I(1), allora Yt ha una radice auto regressiva unitaria e la sua differenza prima, ΔYt, è stazionaria. ΔYt

Se Yt è integrata

di quel regressore sarà inconsistente e non convergerà alla vera relazione tra le variabili. Per evitare di individuare una regressione spuria, è necessario controllare se le variabili coinvolte hanno un ordine di integrazione diverso da zero. Questo può essere fatto utilizzando il test di Dickey-Fuller aumentato (ADF), che verifica se una serie temporale ha una radice unitaria. Se il test indica che una serie ha una radice unitaria, allora è necessario differenziare la serie per renderla stazionaria prima di utilizzarla nella regressione. In questo modo si evita di individuare una regressione spuria e si ottengono stime consistenti e corrette dei coefficienti.

Dei suoi coefficienti e la sua statistica t possono avere distribuzioni non standard (cioè, non normali) anche per grandi campioni. Ad esempio, l'inflazione degli USA stava crescendo rapidamente dalla metà degli anni Sessanta fino agli inizi degli anni Ottanta, e allo stesso tempo anche il PIL giapponese stava crescendo velocemente. Questi due trend finirono per produrre una regressione che sembra essere significativa utilizzando le misure convenzionali. È stato dimostrato che questi due trend non erano collegati, quindi erano regressioni spurie.

Un esempio estremo dei rischi posti dai trend stocastici è che due serie indipendenti sembreranno, con alta probabilità, erroneamente in relazione se entrambe hanno un trend stocastico, una situazione conosciuta come regressione spuria.

Per prassi sospettiamo che ci sia una relazione spuria quando i valori t sono altamente significativi mentre sia l'R2 che la statistica di DW hanno valori bassi, se ciò

Avviene si prendono le variabili inserite e le sottoponiamo al test di ADF per stabilire quale ipotesi accettare. È minore di 0,05 accettiamo l'ipotesi alternativa di stazionarietà della variabile. Se il p-value altrimenti si accetta l'ipotesi nulla di Yt con trend stocastico (ha delle radici unitarie).

Il modo migliore per trattare un trend in una serie è quello di trasformare la serie in modo che essa non abbia un trend. Se la serie ha un trend stocastico, cioè se la serie ha una radice unitaria, allora la differenza prima della serie non ha un trend. Ad esempio, se Yt segue una passeggiata aleatoria, e ΔYt quindi Yt = B0 + Yt-1 + ut, allora ΔYt = B0 + ut è stazionaria. Perciò, utilizzare le differenze prime elimina il trend presente in una passeggiata aleatoria.

5. Nei test di Dickey-Fuller standard e aumentati, per quale motivo si ipotizzano diversi meccanismi di generazione dei dati? Quali utilizzi se ne possono fare in caso di

risultati contrastanti dei test? Le serie storiche economiche sono generalmente non stazionarie almeno per tre motivi: - popolazione; - progresso tecnico; - inerzia. Nei test di Dickey-Fuller standard e aumentati si ipotizzano diversi meccanismi di generazione dei dati perché essi si basano su serie non stazionarie che vengono generate da modelli della passeggiata aleatoria per il trend: l'idea di base è che il valore di una serie domani sia pari al suo valore oggi più un cambiamento imprevedibile: poiché il percorso seguito da Yt è formato da passi aleatori ut il suo percorso è detto passeggiata aleatoria. Alcune serie hanno una tendenza a crescere, in questo caso la migliore previsione della serie deve includere un aggiustamento che porta ad una estensione del modello con passeggiata aleatoria per includere una tendenza a muoversi o deriva o drift in una direzione o nell'altra. Questa estensione viene detta passeggiata aleatoria con drift.drift. Inoltre se si ha una deviazione dal trend si passa ad un processo successivo detto processo polinomiale in media (PPM). In corrispondenza di questi sono stati realizzati da DF vari test di stazionarietà per verificare l'esistenza di radice unitaria (presenza di radice unitaria) con la "t" stampata dal programma di regressione.

Nella RW si testa H0e utilizzando le tavole di DF. Nella RWD si testa H0 con la "t" del coefficiente del drift e le tavole DF, si può anche testare l'ipotesi congiunta del drift e dell'alfa con il test "f" usando il programma di regressione e le tavole DF. Nella PPM si usa la "t" per testare disgiuntamente la H0 di radice unitaria verificata per drift = 0 e B = 0 e alfa = 1, oppure la "f" per testare congiuntamente e con le tavole di DF.

I processi stocastici generati dalle osservazioni Yt possono essere estesi a modelli più complessi. Il modello RW può essere

la stima dei parametri del modello, mentre la previsione è calcolata per osservazioni esterne al campione utilizzato per la stima dei parametri. L'uso delle autoregressioni nei modelli per la previsione presenta alcuni vantaggi. Innanzitutto, permette di catturare la dinamica temporale della variabile di interesse, considerando l'effetto dei suoi valori passati sulla sua variazione futura. Inoltre, l'autoregressione può essere utilizzata per modellare relazioni non lineari tra le variabili, consentendo di catturare eventuali non linearità nel processo generatore dei dati. Tuttavia, l'uso delle autoregressioni presenta anche alcuni svantaggi. Uno dei principali è rappresentato dalla presenza di multicollinearità, ovvero la correlazione tra i valori passati della variabile di interesse. Questo può rendere difficile l'interpretazione dei coefficienti stimati e può portare a problemi di instabilità nelle previsioni. Inoltre, l'autoregressione assume che la variabile di interesse segua un processo stazionario, ovvero che la sua media e varianza siano costanti nel tempo. Se la variabile presenta una radice unitaria, cioè una radice del suo polinomio caratteristico pari a 1, l'autoregressione può produrre previsioni non affidabili. In conclusione, l'uso delle autoregressioni nei modelli per la previsione presenta vantaggi e svantaggi. È importante valutare attentamente questi aspetti prima di utilizzare l'autoregressione come metodo di previsione.