Riassunto esame di Econometria, prof. Tivegna, libro consigliato: Introduzione all'econometria, Stock e Watson

Esercizio 1

OLS e regressione spuria

Facciamo la OLS e vediamo se c'è la regressione spuria, guardando R² e statistica Durbin-Watson. Se c'è, facciamo test D. Fuller creando le differenze fino alla stazionarietà delle variabili.

Meccanismo a correzione di errore

1. Rifaccio la OLS con i valori al massimo grado di integrazione comune.

2. Per il modello a correzione del breve periodo salvo i residui e vedo se sono stazionari.

3. Se i residui sono stazionari, rifaccio la OLS con le variabili al massimo grado di integrazione comune e i residui ritardati di un periodo, con il relativo commento sulla significatività e sulle relazioni di breve e lungo periodo.

Per il GARCH

1. Faccio il GARCH con i valori al massimo grado di integrazione comune e di conseguenza faccio l'analisi sui coefficienti di significatività, guardando che la somma di alfa1 + beta1 < 1.

2. Salvo la varianza dei residui e vedo il grafico della serie, cercando di dare una spiegazione.

Modello a correzione d'errore

Cointegrazione e correzione d'errore

Due o più serie temporali con trend stocastici possono congiuntamente muoversi in modo così simile nel lungo periodo da sembrare caratterizzate dallo stesso trend, cioè sembrano possedere un unico trend comune. Due o più serie che abbiano un trend stocastico comune si dicono cointegrate.

Il trend stocastico di una variabile I(1), Yt, è stato eliminato calcolando la differenza prima, i problemi creati dai trend stocastici erano stati quindi evitati utilizzando invece di Yt all'interno delle regressioni temporali. Tuttavia, se Xt e Yt sono cointegrate, un altro modo per eliminare il trend è quello di calcolare Yt–BXt. Poiché il termine Yt-BXt è stazionario, esso può essere utilizzato in un'analisi di regressione.

La definizione formale di cointegrazione (dovuta a Granger, 1983): si supponga che Xt e Yt siano integrate di ordine uno. Se, per qualche coefficiente B, Yt-BXt è integrato di ordine zero, allora Xt e Yt sono dette cointegrate. Il coefficiente B è detto coefficiente di cointegrazione.

Vettore di cointegrazione

Se abbiamo due serie integrate 1 e cointegrate, dove Y*=BXt Xt, Yt approssimatamente CI(1,1) Vettore di cointegrazione = [1;-B]

ΔYt ΔXt = B1 + B2 (Yt-1 BXt-1) + ut I(0) I(0) (-) I(0) I(0)

La formula è il modello a correzione d'errore: la prima parte è la variazione di breve periodo, B2 è chiamato coefficiente a correzione d'errore, da dopo B2 fino alla parentesi è chiamato correzione di X verso Y. Il meno sotto B2 significa che ha un valore negativo per comprimere l'overshooting della variabile Y così da correggere l'errore.

In un VECM, i valori passati di Yt aiutano a prevedere i valori futuri di e/o l'intuizione dietro questi test consiste nel fatto che se le variabili Yt e Xt sono cointegrate con coefficiente di cointegrazione B, allora la serie Yt-BXt è stazionaria; nel caso contrario, la serie Yt-BXt è non stazionaria (è I(1)). L'ipotesi che Yt e Xt non siano cointegrate (cioè che Yt-BXt sia I(1)) può perciò essere verificata verificando l'ipotesi nulla che Yt-BXt abbia una radice unitaria; se questa ipotesi è rifiutata, allora Yt e Xt si possono modellare come cointegrate. I dettagli di questo test dipendono dalla conoscenza o meno del parametro B.

Motivo per aggiungere il vettore dei residui

La regressione di cointegrazione considera solo le proprietà di lungo periodo del modello e non quelle di breve periodo. Con lo scopo di descrivere sia le relazioni di breve che di lungo periodo si stimano gli ECM (Error Correction Models). In particolare, si può pensare al vettore dei residui come ad un errore di equilibrio o termine di disequilibrio relativo al periodo precedente.

Ordine di integrazione ottimale

Esiste un ordine di integrazione ottimale delle variabili che appaiono in un modello di regressione? Devono essere tutte integrate 0; devono essere tutte integrate 1; non importa qual è l'ordine di integrazione. Il miglior ordine di integrazione è 0, perché in questo modo la relazione non è di interesse dal punto di vista della cointegrazione, quindi non c'è rischio di cadere in una regressione spuria.

L'ordine di integrazione, nella terminologia è il numero di volte che la serie deve essere differenziata al fine di ottenere una serie stazionaria. Se Yt è I(1), allora la differenza di Yt, è stazionaria; se Yt è I(2), allora la differenza seconda di Yt, è stazionaria. Se Yt è I(0), allora Yt è stazionaria. Se Yt è integrata di ordine 1, cioè, se Yt è I(1), allora Yt ha una radice autoregressiva unitaria e la sua differenza prima, è stazionaria. Se Yt è integrata di ordine 2, cioè se Yt è I(2), allora ha una radice autoregressiva unitaria e la sua differenza seconda, è stazionaria. Se Yt è integrata di ordine d, cioè, se Yt è I(d), allora Yt deve essere differenziata d volte per eliminare il trend stocastico, cioè, è stazionaria.

L'ordine di integrazione potrebbe non essere importante se siamo in grado di identificarlo con il test di ADF.

Spuria regressione

Una regressione spuria è causata da fenomeni statistici che non riflettono una vera relazione tra le variabili. È importante identificarla per garantire che i risultati della regressione siano validi e significativi dal punto di vista statistico.