Riassunto esame Econometria, Prof. Billio Monica, libro consigliato Introduzione all'econometria, Stock, J. and Watson, M.

econometria

serie storiche interpretate

vanno con

Processo

probabilistico

un modello → stocastico

Successione infinita di variabili casuali, caratterizzata da un asse reale

Definizione 1 Processo Stocastico) = e da una distribuizione di probabilità (densità di probabilità)

T

t T T

T t t X t

o

determinazioni misure

osservazioni Spazio Campionario

X t X t

T T

X t

T

X t

t realizzazione del

processo stocastico T

t

Figura 1

X . Facendo un taglio

t riesco a visualizzare

Come si una sola variabile

il

rappresenta un casuale tra le infinite

processo e riesco a

stocastico? visualizzare in un

certo momento le

Immagineremo realizzazioni della

sempre che una variabile casuali. In

estrazione sia ogni t è possibile

indipendente da immaginare una

unaltr estrazione. distribuzione

Se le estrazione normale che va da

provengono tutte -a + infinito.

dalla x

Figura 1: Segmenti di 10 realizzazioni del processo stocastico t

* !

' O

estrazioni +0

di da a

vanno

M che -

Figura 2

X X X X X X , Figura 2

Il

Qui sono Le distribuzioni in

rappresentate le ogni taglio

intercette che le potrebbero

essere diverse!!!

variabili casuali

incontrano il

taglio in vari t… x x x x x x

Figura 2: Determinazioni di 6 variabili casuali

matrimaICALE OGNI PUNTO è stocasticamente INDIPENDENTE dagli altri Perché immagino che ogni v.c sia

stocasticamente indipendente ma in ORIZZONTALE OGNI PUNTO è dipendente dagli altri perché stiamo ragionando

a livello temporale °

X Y

X Y

F x F y identicamente distribuite

'

densita X Y

congiunta F x F y quasi certamente

X Y X Y

X Y se a x b esame !

f x b a estremi

X ← densità

altrove

[ )

/

- : :

"

: : ""

: "

'

stessa insieme

densita nuuoai

✗ a ☐ se a y b PROB di

INCLUDE estrarre

f y b a → Umestremoèzero

ESTREMI

Y altrove a b

X Y X

Y

ab ab

DENSITÀ CONGIUNTA variabili

tutte

tra le

+

DENSITÀ MARGINALI variabile

ogni

di

? variata

uni

✗

descrivere

come → variata

Di

?

✗ 4

e →

? trivariata

Ye 2-

e

✗ → ?

Sono indipendenti

legate tra loro

loro o

tra

( variabili

Se casuali

ho a)

MOLTE da 1 :

a INFINITE )

COWEZZIONE

( MULTIVARIATA di V. C.

PROCESSO STOCASTICO

es : distribuzione uniforme

continua 1

densità =

-

. b- a

✗ b

a densita cui

ha b

includo

in

✗ ' e

a .

.

densita cui

y ha b

in

' e

escludo a o_0

PROBABILISTICO

Pdv perche

dal ZCY sono '

=

be

probabilità

la si estragga 0 '

a zero

che

mentre MATEMATICO diverse

sono

PDV

dal y

Z e .

. .

DEVO PROCESSO

SAPER STOCASTICO

DISTINGUERE le del

C.

v.

lfe

Et Z

ls oppure ?

Ye

¥

e

: = X Y X Y

→ Y

Y a Y b

X Y sono uguali in distribuzione a meno di un insieme finito a misura nulla di probabilità,

d T Teorema Fondamentale dei processi stocastici

F x x x X x X x X x

X X X n n n

n n (1)

Simmetria

F x x x F x x x

X X X i i i X X X n

i i i n n

n n

i i i

n

Compatibilità

F x x x F x x x

X X X X X m X X X m

m m n m

m n

X X

m n X x

i i

t t

X X

F x x x

X X X X X m

m m n F x x x x x

X X X X X m m n

m m n

x x x

m m n X X X m

Devo immaginare che la mia serie storica sia generata da un processo

(un solo colore delle curve del grafico sopra) e che sia solamente un

segmento di una realizzazione.

Devo immaginare che dietro di essa vi sia un modello probabilistico che

la ha originata e devo capire di che modello si tratta.

Definizione 2 Serie storica) 4

teoremi ergodici .

Sul modello che interpreta il processo stocastico, posso calcolare la

media del processo o della V.c., la varianza del processo o della V.c.

(Momenti del processo stocastico sono descrizioni parametriche del

comportamento del processo stocastico)

E momento di ordine r-esimo ' delle

te Una

Definizione 3 momento di ordine r-esimo) del

atteso

valore BARRE VERTICALI

✓ stocastico 7

alla

Processo

r grafico

,

me

interi E X

numeri

i

tutti

✓ = rt t

CI

1 NOI

??

0

da a ← tempo

te 2

FERMIAMO a T

X N t

Esempio 1 t t t

MOLTIPLICO LA MEDIA TEORICA NON È UGUALE ALLA

, -

PUNTI

Tutti i r MEDIA CAMPIONARIA SUGLI x numeri

- x f x dx

ascissa

in =

| _ rt t t t estratti: quando parliamo dei momenti parliamo

CON LA -

PROBABILITÀ ~ solamente di caratteristiche del processo che

_

1- FREQUENZE

cinesi generano le serie storiche e non al valore

realizzi RELATIVE teorico che ha originato la serie???

rpy

F

X X X m

F x x x k m

k m

X X X

x m

k x

t t

f x

t t

t

r t t

t

f x r

t r t

r

rt

varianza

Definizione 4 varianza di un processo stocastico) Sarà sempre positiva o al più nulla…

E X

t t t

t t t t funzione di

autocovarianza funzione di autocorrelazione.

È la covarianza tra elementi dello stesso

Definizione 5 funzione di autocovarianza) processo ovvero tra x1 e x2 nello stesso t

( )

Cov X X E X EX X EX EX X EX EX k

tk t t k t t t k t k t t k t t k

se Xtflttk ( Xt

E e) E

✗ ( ) )

ECXE

te

→ • =

[ + -1k

.

T

X t

t

La correlazione è la covarianza standardizzata.

Definizione 6 funzione di autocorrelazione) Ha un campo di variazione da -1 a 1.

Serve per confrontare la correlazione di due V.c. Correlate

FORMULA tra loro

GENERALE

µ tk

' modificata

poi sara

( tk

)

Stazionarietà

hpdi

la

✗ COVCXC tt t kt k

e)

✗ (

COV Xttk )

Xttk

, ← ,

→

( ✗ )

var un mmm Varcxttk)

t

= t t k

tt t kt k tk

tt ASIMMETRIA temporale della

funzione autocorrelazione

di covarianza

auto e

tk t k tk t k

7 relazione

in

mette Xt

e

✗ con K

-

passato

( nel )

Definizione 7: (Stazionarietà in senso forte o stretto)

T

X t

t stocastico

SCRITTURA '

processo RIPARTIZIONE

COMPLETA del e 1 Funzione di

Non varia rispetto alla transazione

F x x x F x x x k nel tempo: tutti i momenti sono

t kt k t k n t t t n

n n indipendenti dal tempo

F

n COMÉDIE )

-1T

t k tk

k perdita memoria

della del temporale

punto I primi due momenti sono

imcuisononnamoula " "

finestra temporale

Presa considerazione

in costanti rispetto al tempo: la

TUMII " UTAZIONARIETÀIN Cov X X k

MOMENTI funzione di covarianza perde

t t k k

SENSO Stretto la traslazione

PERDONO '

variabilita

rispetto al

tempo . . . Definizione 8: (Stazionarietà in senso debole o in covarianza)

PROPRIETÀ T

X t

che definiscono t

'

eaitazionarieta T

E X t

STAZIONARIETÀ sempre costante

t ⑧ T

E X t tempo

DEBOLE dal

nanaipende

t ④

& T

E X X t k considerata

dalla

solo

dipende finestra "

" temporale

t t k k

Rispetto alla

stazionarietà in senso

stretto, sono coinvolti

solamente i momenti 1

e 2, mentre tutti gli altri

momenti potrebbero

variare rispetto al

tempo ASIMMETRIA text

✗ -1k

visto tra

avevamo

prima

☐

[ simmetria, la funzione è pari

Xt Xttk

k k Xt Xt K

- - - s t k

E X E X X E X

k t t t k t k

E

E X E X X E X

I •

k s k s k s s k

④

→ ? ? ? k¥0

covarianza disuguaglianza di Cauchy-Schwartz

per Nik Tt

k -1K

e

=

una

maggiore

mai di ,

.eu?=I

!

+em

! !

varianza ( È t-t.tk

Allora

n n ttk

( )

t K

ttk

? ? ?

NON - =

funzione positiva semi-definita a.e.ae

? • a. ,

i j i j

SPIEGATA VAR

MODULO

sempre

MODULO COV

i j D +

n

Y X

t j t j

j n

Y Var Y Var X

t t j t j

j

n n n n n

Var X Cov X X i j

j t j i j t i t j i j

j i j i j

k k

k

n n i j i j

i j f x f x

f x f x

Proposizione 1 Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz)

EXY EX EY

Dimostrazione. E X Y E X E XY E Y

E X Y E XY E X E Y

E XY E X E Y

E XY E X E Y

X EX X EX

t t t k t k

E X EX X EX E X EX E X EX

t t t k t k t t t k t k

k

k k

NOV

3. 2021 y variabile dipendente,

x x x variabili esplicative

k osservabili )

sono (

y f x x x u ✗ dati

' Yl

COMPLETAMENTE

spiegata

ye k

dan )

osservabile

dati Xrnnaanohl ' rumore

(

muone

, f

u x x x

k

u

→ variabile non osservabile

Figura 1 – Grafico delle tre serie (cons_f, inv. Pil) sulla stessa scala

COMANDI SU

E VIEWS :

View GRAPH

→ tempo

dal' 96 2020

al

Figura 2– Grafico delle tre serie (cons_f, inv. Pil) su grafici separati

SINGLE GRAPH

→ Fig. 3 - Grafico delle tre serie (cons_f, inv. Pil) con diversa scala

GRAPH

MULTIPLE

→

views

e fa bidimensionali

grafici

solo

e Figura 4 - Grafico a dispersione Cons_f /PIL

SCATER

→ ordinamento

Non c' '

e !

temporale vista della

di

Dal punto tipo

questo di

regressione

grafico importante

molto

'

e Figura 4

Figura 5 - Scatter plot Cons_f / INV

variano

come

i consumi al

variare degli

investimenti ??

A parità di reddito (cioè di PIL) cosa succede ai consumi se aumentano gli investimenti?

\ ↳ RESIDUO INVESTIMENTI

DEGLI ( depurato )

Pil

dal

RESIDUO DEL CONSUMO ( )

depurato dal Pil

Figura 6 - Scatter plot CONS_PIL / INV_PIL

linea

la

di regressione '

e

negativa ovvero

,

A PARITÀ REDDITO

DI

consumo e

investimento

prelati

sono

negativamente Figura 8

Figura 7 - Superficie in 3D di CONS, PIL e INV

Figura 8 - Grafico a dispersione in 3D di CONS, PIL e INV e relative proiezioni in 2D

consumo rispetto

consumo

Pil

rispetto al [ agli investimenti

✓

-

sospesi

punti

( di tra

incontro )

tremori

i - investimenti

rispetto al Pil

Figura 4 Figura 5 Figura 9

Figura 9 - Grafico a dispersione in 3D con proiezione sul piano (CONS, INV)

rappresentazione di

investimento

consumo e Pil

"

PARITÀ DI

" A . .

.

. 1 '

la regressione ma

e questo effettuata

.

.

.

algebrica

in forma Figura 8

piano di regressione

CONS PIL INV

Figura 10: Istogramma della variabile CONS

eq01_cons_pil Tabella 1: Regressione di cons su pil

Regressione

BIVARIATA caefticiente

pangolare

* SIGNIFICATO :

Pil

il

1

di

9 *

di 0,48

il

* consumo

e'

il Residuo

resto Figura 11 fitted fitting

“variabilità strutturata” eq02_cons_t_pil_ar1

Tabella 2

Figura 11: Confronto tra curva effettiva (actual)e curva interpolante (fitted)

l' soddisfacente

questa

interpolazione ? \ retta crescente

è

C' un errore

=

interpolante

=

Tabella 2: Regressione di cons su pil e componente autoregressiva nei residui

componente r

auto regressiva Figura 12: Confronto tra curva effettiva (actual)e curva interpolante (fitted)

(modello Tabella 2) la retta

interpolante

→ si sovrappone

perfettamente

curva

ama

effettiva

il disturbo

→ oscilla attorno

amo zero

Tabella 3 Figura 13

Tabella 3: Regressione di cons su pil e inv

Modello

VARIATO

MULTI no .

investimenti

sugli

* SIGNIFICATO :

9 di

Reddito 1 *

0,74

µ di

consumo

disturbo

'

il resto e

di '

piu

'

0,74 e 0,48

di

credibile col

Ottenuto !

variato

bi

modello Figura 13: Confronto tra curva effettiva (actual)e curva interpolante (fitted)

(modello Tabella 3) la curva

☐ Residuo

del UN

NON HA

TREND

"

tutta la

variabilità '

e

spiegata

stata

Figura 11

Tabella 1 Figura 6

generatore

processo

dei Data Generating

dati damoolllro

+

TEORICO Process – DGP

.

lezione 2 (più avanti si esamineranno altri modi di scrivere il modello)

coefficiente angolare

MODEM ^ ÈUNMODEUW

cons pil u t Q Q

> TEORICO STATICO

t t t

a 9

costante (

disturbo componente osservabile )

non NB Qui

quantita

' fisse sto

che lavorando

:

= con

monsirnuavono BIVARIATO

modello

cons pi l u t Q Q

t t t

cons pil u

t t t mnanosserrabn.li

cons pil

t t ]

[

sono dati

hai

cui

quelle per

u t

u t 2 DI

REITA

cons pil t Q Q

componenti REGRESSIONE

t t

9

strutturale modello

del 9 CHE PASSATRAI

serie

Ivan Punti

stocastica

ferie numerica

non =

☐ assegnata

.am armarono

.ee

{ stocastica ossia probabilistica " ep

parametri

insiste ✗

su

se esatta

fosse non stima

sarebbe necessaria alcuna .

. . . Modello probabilistico genera i

che

dati delle variabili

"

00 Il processo generatore dei dati è dato dalla legge di probabilità che descrive il loro realizzarsi.

disturbo

✓

u è inclusa

laureato

non ma

t

ESOGENA

VARIABILE pil

t

HP Cov pil u covarianza

u mera

t t

t

stocastica a

indipendenza trauma q

esplicativa era

variabile componente latente cons

t

IID nullo e

valore atteso

=

u µ

t incognite

costante

varianza

HP u t LY

- ✗

ERRORI )

ELXY :

D

" tnailsuoll

↳ ogni

ainannotvutilastessaaistribuz )

EH ) ELY

-

t s

t s u t

[distribuzione errori NORMALE

degli

u →

s Manmahoohltt numerosità ogni distribuzione

converge aduna ]

normare

KTEMPO

FISSATO nel' Normale

una

→ u N u N

t u s u

9 R piu' '

uavarianzae grande -10mi errori sono

curva grandi

gaussiana commedia teorica zero

u MATRICE covarianza

varianza

NOTAZIONE Eu riferimento

MATRICIALE me

a

☐

-

BIVARIATA

NORMALE varianza dineèurguoueaua

: varianza MS

introduco un ims

- stessa

l' CAMBIA

errore NON

errore =

innn = imprecisione

u

periodo stt t u Che int

N t s

di u

→ s

.in u

errore lei

-

relazionato in

omo

cent' vettore di medie

erroreins u N u N

t u s u

t s

Cov u u MATRICE

zeri COVARIANZA

VARIANZA

gli nella

→

t s !

ESTRAZIONI

immagina INDIPENDENTI DAUNURNA

Bernoulli

( )

ama 2×1

vettore

dinneaie

inventore

u ✗

t N

Scritto

1.5mA

= u scolare

u

in maniera s

)

diversa ( comodo [

+ moltiplicata

che

D)

I ozfa

✗ :

I

→ [

= Io

:]

01

MULTIVARIATA

NORMALE

vettore

✓ 96

data

u 62

IDENTICA

MATRICE ✗

→ =

?

N [ ? OMOSCHEDASTICI

" DISTURBI

:

.gr •

u 0202 stessa vari

la :

hanno

u =

o . . CNONAUTOCORRELATI

. • fuori hatlutizeri !

!

=

IID stessa

hanno la

• stessa

media la nave e

, ,

presi 292 sono L

data la NORMALITÀ

u t

u

u ESISTE

hb NON latornnueea

t

→ : cumulata

analitica della

disturbi

i

devo generare µ

{ innamora indipendente

OOMMANNNDDAA

☒ eravate

/

esistono

paratesto

l' uno dall' altro

*

semplificazione

OORRAALUEEEI p

dcvuatormula u u

immorale u

TRASPOSTO riga

vettore

vettore diventa

colonna

u =

t

t l' NORMALE

una

→ sono

medie

le tutte

→ zero

nttmtestocam.com

→ ente

indipendenti

cons ??

gli errori

→ din

t .

. .

N n

gravare

✓ È :L

"

"" ' DI

DENSITA UNA

vettore giga

;

riga

* o

p → QUAUSIALSI

MULTIVARIATA

NORMALE

n Tifare

^

media q 96×96

quadrata

matrice →

varianza

covarianza e' scalone

El uno

determinante →

pilesoqcnal

'

poiche "

"

"

"

"

"

" )

( / Pile

cause cons pil

t t

u pil

t t mmm

cons

t serial

hola

reddito generare

devo

,

Grierson

)

/