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GAUSSTEOREMA di -?⃝ Po✗ le✗ +=condizioni disturbichiediamo aiche u( )MIXA) l'OE deviaerrore non= sistematicamente dallamediamedia namanullaVardin OLI)/ varianzalaB) ' costante× e= "OMOSCHEDASTICICORRELATIAUTONONÈ Óu -1)× varianzavar minimidei→ = quadratiDIMOSTRAZIONE =pi AAY= IIIIII.?"1 stimatori?' ?A ←saraquanto n DISTORTIdegli linearistimatori NONClasse ipi =p=p AY(E ) e XP( IX )YE• =( )e 0MN =XP =PA. matricecondizione Asulladala imporre pie 'Ax assicurare' I perchee che= linearidei distorticlassenella nonpi ' )A) ( )AY VANYAvari var• ==so date condizionivale yvanlaquanto leche sulle ndo IPOTESIEh)Vally () IVan n MESSA= = dimostrala✗ .'02AÒUI 'A. AA = 'ma piccolaquesta grandevar oe + +della sogni ?OLSlor -1 ''definisco ( )A ( ×✗allora ✗+=t.K-y.mk.netK h." ''( )× I×✗ ✗• r=I I( ✗ + =OCX matrice di zeri r= CSUHO
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Segue il testo formattato con i tag HTML:Il modello di regressione è dato da:
E(y | x) = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βnxn
dove y è il vettore delle variabili dipendenti (variabili condizionate), x è il vettore delle variabili esplicative (variabili condizionanti) e ε è il vettore dei disturbi.
Se il modello di regressione è lineare o non lineare dipende dalla struttura funzionale di E(y | x). Nel caso in cui la distribuzione congiunta di y e x sia normale, allora il valore atteso condizionato diventa una funzione lineare di x. Questo risultato consegue dalla seguente proposizione detta della normale condizionale o normale multivariata:
Proposizione: N(μ, Σ)
Dato il vettore di ordine k di variabili casuali con distribuzione N(μ, Σ), si può considerare la seguente partizione:
Matrice A:
⎡ y ⎤
⎢ x ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
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⎢ ⎥viceversa.Econometria (D. Sartore) a.a. 2020-21 2N ( , )y2. La distribuzione marginale di è .k y yy1N ( , )xLa distribuzione marginale di è .k x xx2Nessuna delle due distribuzioni marginali contiene rmazione sul legame linearey xtra e , cioè nessuna dipende dai parametri di covarianza (contenuti nella matriceo nella sua simmetrica .xyyx y x3. Nel modello (2) pur essendo descritto il legame lineare tra e , non è esplicitata laydirezione di dipendenza tra i vettori. Mentre in R2 il vettore dipendexcondizionalmente da . u * x4. Il risultato R1 afferma che è non correlato con e quindi linearmentexindipendente da (è indipendente anche stocasticamente essendo la distribuzionexnormale). Nel linguaggio econometrico si dirà che è strettamente esogeno rispettoya . u *5. Il risultato R2 indica che la definizione della variabile casuale data in (3) permette( yy,x | x)di passare dalla distribuzione congiunta di alla distribuzione condizionale
La distribuzione congiunta è multivariata di dimensione k, la distribuzione condizionale è multivariata di dimensione . Il passaggio dalla distribuzione congiunta alla condizionale permette quindi di ridurre lo spazio parametrico di riferimento (si veda il Problema 4). y6. Come si è detto, in un modello di regressione la variabile dipendente è sempre interpretabile come somma della media condizionale dato più una componente di disturbo. Il risultato R2 conferma che detta media condizionale nel caso di distribuzioni normali è una funzione lineare delle variabili condizionanti (si veda anche il Problema y3). Si osservi che nella rappresentazione di attraverso il modello di regressione si perdono tutte le informazioni distributive (media, varianza, ecc.) riguardanti le variabili condizionanti (in questo caso ). Questa perdita di informazione non è rilevante se i parametri delle distribuzioni che caratterizzano le esplicative (loro media,varianza,ecc.) non sono di interesse per il ricercatore.
7. La condizione R1 implica che lo stimatore OLS dei parametri del modello di regressione è consistente, converge in probabilità ai parametri teorici della regressione, quelli che hanno generato i dati. E (u | x ) = 0.
8. Dai risultati del Problema 3 si ottiene . Questa condizione implica che gli estimatori OLS dei parametri del modello di regressione sono non distorti (o corretti).
HO: E ( y | x ) = E ( y ).
9. In base alla legge dei valori attesi iterati [per cui E ( E ( y | x ) ) = E ( y )], si ha: E (u ) = E ( E (u | x ) ) = E ( 0) = 0.
10. Si osservi che mentre E (u*| x ) = 0, invece E (u | x ) ≠ 0.
E ( xu ) = 0.
Cov ( x,u ) = 0.
x,u ) 0 E (u | x ) 0
Inoltre , quindi la condizione è più deboleE (u | x ) 0della condizione .
FARE Econometria (D. Sartore) a.a. 2020-21 4
Problemi µÈµ* [ )IXE #µ- ECMIX )E (u*| x ) 0 =D
1. Si dimostri che ;
2. Utilizzando il risultato R2 si dimostri che il risultato R1 è vero;
3. Si utilizzino le seguenti denominazioni: c E (u*| x ) (5)1yx xxconsiderando (3) e definendo:u u * E (u*| x ) (6)y | xsi dimostri che la variabile casuale condizionale definisce il modello diregressione: y c (7)E (u | x ) 0con .
4. Si indichi quali sono i parametri della distribuzione non condizionale, delladistribuzione condizionale e della regressione (7). Perché il numero dei parametri dellaregressione generalmente non coincide con il numero dei parametri della distribuzionecondizionale? In quale caso vi è coincidenza?
5. Si supponga , quale forma assume la regressione (7)?yx k 1Mantenendo la condizione , si supponga e di aver disponibile un1yx ycampione
casuale di N osservazioni per . Qual è la stima dei parametri del modello ottenuta con il metodo OLS? yciserreelukt-operchfgau.ggvalgak k 1!! 6. Si supponga il caso più semplice in cui e si costruisca un contro esempio1 2 numerico anche molto semplice per cui si ha: condizionale Markonvalore atteso µ E (u ) 0 E (u | x ) 0 PERÒ' IL CONDIZIONALE NON È VICEVERSA ! !(Ad es. si utilizzi una tabella tetracorica d
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