Riassunto esame Econometria, prof. Fiorentini, libro consigliato Introduzione all'Econometria, Stock Watson

Capitolo 4: Regressione lineare con singolo regressore

L’ varia tra 0 e 1 e misura la frazione della varianza di che è spiegata da.

Il modello di regressione lineare postula una relazione lineare tra le variabili x e y, la pendenza e la somma dei quadrati totale.

La pendenza della retta che mette in relazione x e y è l’effetto di una variazione unitaria di x e y, ed è una caratteristica incognita come la media di y.

La pendenza e l’intercetta possono essere stimati attraverso un metodo chiamato Minimi Quadrati Ordinari (OLS, Ordinary Least Squares).

E’ il rapporto tra la somma dei quadrati spiegata e la somma dei quadrati totale.

La somma dei quadrati spiegata (ESS, Explained Sum of Squares) è la somma delle deviazioni quadratiche dei valori predetti dalla loro media.

̂ ̅)∑(

A noi interessa stimare la variazione di y al variare di x (pendenza; y=x0X; dX:dY), al fine di predire una relazione valida in media nella popolazione.

Per fare questo è utile incorporare nella relazione tutti quei fattori che possono influenzare y.

Al momento ci limiteremo ad un modello con singolo regressore:

La somma dei quadrati totale (TSS, Total Sum of Squares) è la somma delle deviazioni quadratiche di Y dalla loro media.

̅∑

Quindi l’ , sarà:

Bisogna usare i dati (raccolti usando un campione casuale) per stimare la pendenza e l’intercetta (coefficienti o parametri della regressione), sfruttando il loro stimatore naturale: la media.

L’ della regressione di Y sul singolo regressore è il quadrato del coefficiente di correlazione tra Y e X.

Lo stimatore OLS sceglie i coefficienti di regressione in modo che la retta di regressione stimata sia il più possibile vicina ai dati osservati, dove la vicinanza è misurata dalla somma dei quadrati degli errori che si commettono nel predire y data x.

Quindi bisogna trovare quei coefficienti che minimizzano:

̂ ̂∑ [ ]

Errore standard della regressione (SER)

L’errore standard della regressione misura la distanza tipica di dal suo valore predetto (SER, Standard Error of the Regression).

E’ uno stimatore della deviazione standard dell’errore di regressione ui, ovvero misura la dispersione delle osservazioni intorno alla retta di regressione ̂ ̂ (stessa unità di misura della variabile dipendente).

Dove e sono stimatori dei minimi quadrati ordinari di B0 e B1, da cui si costruisce la retta di regressione OLS e quindi il valore predetto ̂.

Tali coefficienti sono il risultato dell’operazione di minimizzazione.

Poiché gli errori di regressione non sono osservati, il SER è calcolato usando le loro controparti campionarie, i residui OLS ̂ ̂.

Il residuo sarà ̂.

∑ ̂

Le formule di calcolo degli stimatori OLS della pendenza e dell’intercetta sono:

̅ ̅∑

Le assunzioni dei minimi quadrati

̂ Le assunzioni dei minimi quadrati

̅∑ Assunzioni sotto le quali gli OLS costituiscono uno stimatore appropriato dei coefficienti di regressione ignoti B0 e B1.

̂ ̅ ̂ ̅

L’ e l’errore standard misurano quanto bene si adatta la retta di regressione standard OLS ai dati.

Assunzione 1: la distribuzione condizionata di Ui data Xi ha media nulla.

Assunzione 2: (Xi, Yi) sono indipendentemente e identicamente distribuite. Altrimenti incorrelati.

1 Assunzione 3: gli outlier sono improbabili. Con momenti quarti finiti nulli.

Capitolo 5: Verifica di ipotesi ed intervalli di confidenza

Verifica di ipotesi su un singolo coefficiente di regressione

Verifica di ipotesi circa la pendenza B1.

Verifica dell’ipotesi contro

Per il test unilaterale (coda sinistra):

| | | |

Si rifiuta l’ipotesi a livello di significatività del 5%, se il valore-p è minore di 0,05 (o, equivalentemente, se | |>1,96).

Verifica di ipotesi circa l’intercetta B0

Stesso procedimento. Con erro