Econometria - le variabili di comodo

F. Carlucci – Traccia per un corso di Econometria

Modulo II – Minimi quadrati

3 VARIABILI DI COMODO E CAMBIAMENTI

STRUTTURALI

Indice del capitolo

3.1 Estensioni del modello lineare classico e test di malaspecificazione ......................2

3.2 Le variabili di comodo...........................................................................................5

Variabili di comodo per l’intercetta.................................................................5

Variabili di comodo per i coefficienti angolari .................................................8

Tendenze segmentate ......................................................................................8

Le osservazioni anomale .................................................................................9

Il test di normalità dei residui di Jarque e Bera............................................ 10

3.3 Variabili di comodo stagionali............................................................................. 16

La depurazione stagionale con il criterio dei minimi quadrati....................... 17

Stagionalità variabile ................................................................................... 20

Stagionalità additiva o moltiplicativa........................................................... 22

La conservazione dei volumi ......................................................................... 23

Destagionalizzazione in presenza della tendenza ........................................... 26

La serie destagionalizzata con la correzione della tendenza ........................... 27

La stima del modello con le serie destagionalizzate ....................................... 28

3.4 Un test di cambiamento strutturale per il modello lineare semplice.................... 32

Test di cambiamento di struttura con le variabili di comodo ......................... 34

3.5 Un test di cambiamento strutturale per il modello lineare multiplo .................... 40

Il test preliminare di uguaglianza delle varianze .......................................... 41

Test di invarianza strutturale per un sottoinsieme di parametri.................... 41

Test di cambiamento di struttura con le variabili di comodo ......................... 42

3.6 Bibliografia ........................................................................................................ 46

3-1

Modulo II – Minimi quadrati

3.1 Estensioni del modello lineare classico e test di

malaspecificazione

Possiamo riassumere ancora una volta le ipotesi alla base del modello lineare

esposte all’inizio del capitolo, presentandole per semplicità in forma scalare, cioè

con riferimento al modello di regressione semplice:

1 β β

1) il campione è omogeneo ed i parametri e sono

1 2

invariabili nel tempo;

2) i valori di sono noti, cioè non aleatori;

x t (3.1.1)

− ≠

3) 2

m x 0

xx ≠

 0 t s

~ ~ ~

= ⋅ = ∀

4) , 

E (

u ) 0 E (

u u ) t,s

σ =

t t s 2

 t s

~ σ

∼ ∀

5) 2

u N (

0 , ) t

t

L’ipotesi di non correlazione (4) insieme all’ipotesi di normalità (5) implica che i

residui del modello siano stocasticamente indipendenti. Queste due ipotesi possono

essere condensate nel modo seguente

~ σ (3.1.2)

∼ ∀t

2

u niid ( 0 , )

t

dove l’acronimo sta per

niid normally independently and identically distributed,

cioè identicamente e indipendentemente distribuite in modo normale.

2

Le (3.1.1) sono le cosiddette sul modello, sulle quali si

ipotesi stocastiche forti 3

basa, come abbiamo visto nel capitolo precedente, l’inferenza statistica nel modello

lineare classico. Buona parte dei capitoli successivi, a partire da questo, verrà

dedicata ad approfondire il significato di queste ipotesi. In particolare, ci interessa:

La loro espressione in termini matriciali è stata fornita nel capitolo 2.

1 Talora si impiega l’acronimo più sintetico omettendo la corrispondente a

nid, i identically

2 ∀t).

(che è ridondante, soprattutto se si specifica Dall’ipotesi di identica distribuzione

σ

scaturisce quella di costanza della varianza . Dall’ipotesi di indipendenza segue la non

2

correlazione, e quindi la nullità di tutte le covarianze secondo la (4) delle (3.1.1)

Alcuni autori considerano come “ipotesi stocastiche” solo le (4) e (5), poiché queste si

3

riferiscono direttamente ai residui, che sono l’unica componente esplicitamente stocastica

del modello. In effetti, anche la variabile dipendente è aleatoria (si veda la (1.6.2)), quindi

l’ipotesi di omogeneità del campione può essere ricompresa fra le ipotesi stocastiche.

Inoltre, l’ipotesi (2), che specifica la natura non aleatoria delle variabili esplicative, è essa

stessa un’ipotesi stocastica in quanto riferita alla natura del processo stocastico che genera

le .

x t 3-2

Modulo II – Minimi quadrati

1. comprendere se esse si prestano a rappresentare adeguatamente la realtà

economica

2. verificare con test statistici se esse siano o meno rispettate dai dati

3. investigare le proprietà statistiche del modello nel caso in cui esse non siano

verificate

4. studiare delle possibili estensioni o correzioni del modello che tengano conto

della violazione o dell’indebolimento delle ipotesi (3.1.1).

Ricordiamo che sia la nostra analisi delle proprietà della stimatore OLS, sia la

possibilità di effettuare inferenze statistiche su di esso, si basano sulle ipotesi

(3.1.1). Di conseguenza la violazione di una o più di esse ci impedisce di formulare

giudizi attendibili circa la significatività dei parametri del modello o di loro

combinazioni lineari.

Più precisamente, le ipotesi (3.1.1) dalla (1) alla (4) (dette ipotesi “deboli” o

“classiche” o “di Gauss-Markov”) sono alla base della non distorsione dello

stimatore OLS (1.6.17) e del teorema di Gauss-Markov (1.8.2), mentre tutte le

(3.1.1) prese congiuntamente (cioè le ipotesi forti) sono alla base dei teoremi

χ

distribuzionali visti nel capitolo 2, che ci consentono di effettuare test , e sui

2

t F

parametri del modello.

I test statistici con i quali si verifica se le ipotesi stocastiche forti sono o meno

rispettate dai dati vanno sotto il nome collettivo di o

test di malaspecificazione

diagnostici.

4

In questo capitolo ci occupiamo della prima fra le ipotesi elencate, quella che il

campione sia omogeneo e che quindi i parametri strutturali del modello siano

invariabili nel tempo. Ora, viceversa, ipotizziamo che uno o più di questi

5

parametri possano assumere valori diversi nel periodo campionario, in conseguenza

di non omogeneità del campione.

La non omogeneità può dipendere dal verificarsi, all’interno del campione, di

uno o più eventi eccezionali che determinano scostamenti della variabile

dipendente dal proprio valore teorico. Si parlerà in questo caso di osservazioni

In lingua inglese: o anche in quanto intendono

misspecification tests diagnostic tests,

4

diagnosticare eventuali “patologie” del modello, ovvero scostamenti dalle ipotesi stocastiche

sottostanti ad esso.

Più esattamente, in questa sezione concentriamo la nostra attenzion e sui coefficienti di

5 β. σ

regressione Anche la varianza è un parametro del modello, ma l’ipotesi della sua

2

costanza nel tempo verrà analizzata separatamente nel successivo capitolo 4. 3-3

Modulo II – Minimi quadrati

anomale, la cui presenza determina, in genere, asimmetrie e quindi non normalità

nella distribuzione dei residui. Questo argomento è affrontato nel paragrafo 3.2.

Una particolare forma di non costanza dei parametri si presenta nel caso di

andamenti stagionali delle variabili. Le oscillazioni determinate dal ciclo stagionale

si traducono in slittamenti dell’intercetta del modello, che quindi non è più

costante. I problemi legati alla stagionalità vengono introdotti nel paragrafo 3.3.

Una forma particolarmente interessante di non omogeneità è quella del

cambiamento di struttura, che si verifica quando il campione considerato abbraccia

un periodo storico all’interno del quale si sono manifestati due regimi

nell’andamento del fenomeno oggetto di studio, caratterizzati da due distinti

insiemi di parametri strutturali. Ciò può accadere, ad esempio, quando in tale

6

periodo sono presi provvedimenti istituzionali che modificano normativamente le

funzioni di comportamento: un’equazione che voglia spiegare un tasso di cambio

può avere caratteri diversi a seconda che si consideri il regime di cambi fissi oppure

quello di cambi flessibili, per cui occorre inserire nell’equazione stessa un

meccanismo che le permetta di valutare in maniera differenziata i due regimi. Un

altro caso riguarda il deposito previo cui sono costretti gli importatori in periodo di

forte disavanzo della bilancia dei pagamenti commerciale, per cui una equazione

delle importazioni deve discriminare tra dati rilevati in tempi in cui vige il deposito

previo e dati rilevati in tempi senza deposito. Un terzo esempio può concernere il

movimento dei capitali, la cui equazione deve poter tener conto di vincoli posti

dall’autorità monetaria in certi particolari periodi di tempo.

Nel paragrafo 3.2 vediamo come è possibile rappresentare per mezzo di variabili

di comodo la presenza di cambiamenti di struttura, mentre l’analisi effettuata nei

paragrafi 3.4 e 3.5 fornisce un primo insieme di strumenti statistici per valutare la

loro presenza all’interno del campione.

L’analisi può ovviamente estendersi al caso generale di cambiamenti di struttura.

r

6

L’interesse per questo tipo di non omogeneità è stato rafforzato dalla nota critica di Lucas,

secondo la quale i parametri strutturali dei modelli economici sono in effetti una mistura di

parametri “profondi”, rappresentanti le preferenze degli agenti economici, la tecnologia

prevalente nel sistema economico e il processo di formazione delle aspettative, per cui essi

sono soggetti a mutamenti ogni volta che gli agenti economici sono chiamati ad adattare il

proprio comportamento in risposta a mutamenti del quadro macroeconomico indotti, ad

esempio, da misure di politica economica. 3-4

Modulo II – Minimi quadrati

3.2 Le variabili di comodo

I meccanismi che vengono inseriti nelle equazioni affinché queste tengano conto dei

cambiamenti di regime fanno uso delle cosiddette e possono

variabili di comodo

essere anche complessi, in funzione dei tipi di influenza che le diverse strutture

economiche funzionanti nel periodo campionario producono sulla specificazione dei

modelli. In questo paragrafo vediamo come usare le variabili di comodo per

rappresentare cambiamenti di struttura nei parametri del modello (distinguendo

fra intercetta e coefficienti angolari), segmentazioni nella tendenza delle variabili,

e presenza di osservazioni anomale.

I meccanismi presentati in questa sezione possono essere facilmente estesi e

combinati per tener conto di cambiamenti di regime più complessi di quelli

considerati in queste pagine.

Variabili di comodo per l’intercetta

Supponiamo in primo luogo che i regimi diversi possibili siano due e che

influenzino soltanto l’intercetta: valgono allora i due modelli

= β + + β + β +

y x … x u

t 1 1t k−1 k−1t k t

nel regime I (ad esempio nei tempi con tasso di cambio fisso), e

t

= β + + β + β +

y x … x u

t 1 1t k−1 k−1t k+1 t

nel regime II (ad esempio nei tempi con tasso di cambio flessibile), che possono

t

essere riassunti nel seguente

= β + + β + β + β + (3.2.1)

y x … x d d u

t 1 1t k−1 k−1t k 1t k+1 2t t

dove  

1 nel regime I 0 nel regime I

= =

 

d d

1t 2t

 

0 nel regime II 1 nel regime II

{d } {d }

In questo modo le serie storiche e sono composte da zero e da uno a

1t 2t

seconda dei tempi e non valgono mai contemporaneamente uno o zero. La matrice

t

è allora formata nel modo seguente

X =

X [X d d ]

1 1 2

= =

dove è la matrice delle , , , ed i vettori colonna e

X x i 1, 2, …, k−1 t 1, 2,…, n d

1 it 1

sono costituiti da zeri e da uno. L’equazione (3.2.1) può essere stimata con il

d

2 β =1,2,…,k−1

criterio dei minimi quadrati ordinari producendo stime per le , ,

i

i

β̂ β

ˆ

uguali nei due regimi, mentre l’intercetta vale nel regime I e nell’altro.

+

k k 1 3-5

Modulo II – Minimi quadrati

Le variabili e sono chiamate in quanto non derivano

di comodo

7

d d

1t 2t

direttamente da speculazioni teoriche ma vengono aggiunte nella specificazione

delle equazioni semplicemente per trattare periodi campionari con regimi

economici diversi. Nell’e sempio precedente se ne usano soltanto due, ma

evidentemente il loro numero dipende da quanti sono i regimi differenti da

considerare.

Il modello (3.2.1) deve essere stimato l’intercetta, che è sostituita dai due

senza

β β

valori alternativi e ; se si aggiungesse il termine noto, cui corrisponde nella

k k+1

matrice il vettore di uno , si avrebbe

i = +

i d d

1 2

cioè una colonna di sarebbe combinazione lineare delle altre, la matrice

X X

sarebbe singolare per il teorema IV-1.4 e non esisterebbe .

-1

(X′X)

Se si è costretti a stimare l’intercetta (ad esempio a causa di un programma di

calcolo automatico che la considera obbligatoriamente), è conveniente sostituire

all’equazione (3.2.1) la seguente

= β + + β + α + α + (3.2.2)

y x … x d u

t 1 1t k−1 k−1t 1 1t 2 t

che corrisponde alla prima se si pone in essa

α + α = β α = β (3.2.3)

,

1 2 k 2 k+1

α

ma contiene il termine noto .

2

3.1 – La (3.2.2) con le posizioni (3.2.3) è perfettamente

Osservazione

equivalente alla (3.2.1) nonostante contenga un diverso insieme di

parametri. Per questo motivo si dice, in termini tecnici, che la (3.2.3) è

ottenuta la (3.2.1), ovvero che è una

riparametrizzando

riparametrizzazione (o una diversa parametrizzazione) di quest’ultima.

La possibilità di esprimere la medesima equazione con

parametrizzazioni differenti torna molto utile nella teoria della verifica

delle ipotesi. Accade infatti spesso che un test di esecuzione

relativamente complessa diventi molto semplice riparametrizzando il

modello.

Sulle stime dei parametri associati con le variabili di comodo è utile effettuare il

test della di Student per verificare che siano diverse da zero. Se si accetta una

t

sola delle ipotesi nulle β = β = (3.2.4)

H : 0, H : 0

0 k 0 k+1

In lingua inglese: dummy.

7 3-6

Modulo II – Minimi quadrati

si conclude che durante uno dei regimi l’intercetta è nulla e quindi che vi è

differenza dall’altro, nel quale l’intercetta è significativamente diversa da zero.

D’altro canto, le due intercette possono differire l’una dall’altra essendo entrambe

diverse da zero, per cui è utile sottoporre a verifica l’ipotesi lineare

β −β = (3.2.5)

H : 0

0 k k+1

che può essere considerata come un caso particolare della (2.4.1). Si noti che nella

parametrizzazione (3.2.2) questa ipotesi si riduce alla seguente

α = (3.2.6)

H : 0

0 1

Se questa ipotesi è accettata non sussiste differenza tra i due regimi,

subordinatamente alla validità della rappresentazione (3.2.1).

3.2 – Possiamo ora esemplificare concretamente il fatto

Osservazione

che parametrizzazioni diverse rendono più o meno agevole l’esecuzione

di determinati test. Ad esempio, se si utilizza la parametrizzazione

(3.2.1) i due test (3.2.4) sono di immediata esecuzione (le loro statistiche

corrispondono ai rapporti dei rispettivi coefficienti), mentre con la

t

(3.2.2) solo il secondo dei test (3.2.4) non presenta difficoltà. Il primo,

invece, comporta che nella di Student si calcoli l’errore standard dato

t

da

σ α + α = σ α + α + α α =

1 / 2 1 / 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

[

Var ( )] [

Var ( ) Var ( ) 2

Cov ( , )]

1 2 1 2 1 2 (3.2.7)

= σ + +

2 2 2 1 / 2

( a a 2 a )

+ + +

k k k 1 k 1 k k 1 σ

dove le sono gli elementi della matrice e è la radice

-1

2

a (i,j) (X′X)

ij

quadrata aritmetica della stima (1.7.2). Naturalmente, ove possibile il

ricercatore per eseguire la coppia di test (3.2.4) preferirà stimare il

modello (3.2.1).

D’altro canto, nella parametrizzazione (3.2.1) il test di uguaglianza dei

regimi viene espresso come (3.2.5) e quindi richiede l’uso di una

statistica , mentre nella (3.2.2) esso si riduce alla forma (3.2.6) per cui

F α

può essere effettuato semplicemente leggendo la di . In tal caso

t 1

quindi il ricercatore preferirà stimare il modello (3.2.2).

α

Il parametro della (3.2.2) misura lo spostame nto (in lingua inglese:

1 β β α

dell’intercetta nel regime I rispetto al regime II: . Per

shift) - =

k k+1 1

questo motivo la nel modello (3.2.2) viene detta shift dummy

d 1t

variable. 3-7

Modulo II – Minimi quadrati

Variabili di comodo per i coefficienti angolari

In un secondo meccanismo si suppone che due regimi diversi influenzino sia

&beta