Econometria - le variabili di comodo

L'istogramma dei residui del modello (1.10.2) confrontato con la distribuzione normale

Si noti l'asimmetria positiva dei residui. Naturalmente la (3.2.16) non ci indica in quale periodo si verificano le anomalie. Un'analisi attenta del grafico dei residui è pertanto necessaria al fine di individuare i tempi delle anomalie e di neutralizzarne gli effetti. Euristicamente, sotto l'ipotesi nulla di normalità dei residui, è possibile ritenere anomali i dati che producono residui al di fuori dell'intervallo [+2σ, -2σ], poiché questi si verificheranno con probabilità molto piccola, inferiore al 5%. Ovviamente questo intervallo di accettazione di osservazioni non anomale può essere ampliato o ristretto in funzione delle opinioni del ricercatore. Si veda Jarque e Bera [1980].

Un altro utile strumento diagnostico è dato dall'istogramma dei residui.

che approssima la forma della distribuzione di probabilità di questi e quindi, se confrontato con una distribuzione normale di varianza pari a quella dei residui stimati, fornisce una indicazione sintetica delle cause di non normalità (ad esempio, aiuta a stabilire se questa è determinata da asimmetria - poche osservazioni anomale dello stesso segno - o da eccesso di curtosi - molte osservazioni anomale di entrambi i segni).

0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0.00
-0.02
-0.04
-0.06
-0.08
1970Q1 1975Q1 1980Q1 1985Q1
1972Q3 1977Q3 1982Q3 1987Q3
Trimestri

Figura 3.2 - I residui OLS del modello 1.10.2. Il grafico riporta la banda di ampiezza 4σ centrata sullo zero. L'asimmetria positiva di essi è rivelata dalla presenza di tre residui anomali positivi, contro uno solo negativo (cfr. la figura 1.5).

Applichiamo ora questi concetti all'equazione delle importazioni (1.10.1), le cui stime sono riportate nella (1.10.2). Vale la pena di sottolineare che

Utilizziamo il modello non vincolato (1.10.1) perché i test per le ipotesi di uguaglianza delle elasticità e di omogeneità di grado zero nei prezzi, condotti nel paragrafo 2.4, respingono le rispettive ipotesi nulle, suggerendo quindi che le stime vincolate presentate nel paragrafo 1.11 sono inappropriate. Naturalmente se i residui risultassero non normali il risultato di questi test andrebbe revocato in dubbio. Una corretta prassi vorrebbe quindi che essi venissero reiterati dopo aver individuato e corretto la causa della non normalità.

Il test di normalità (3.2.16) sui residui della (1.10.2) dà una statistica pari a 6.92, superiore al valore soglia. Concludiamo che i residui sono non normali. Il loro istogramma è riportato nella figura 3.1 che lo confronta con una distribuzione normale di pari varianza. La distribuzione dei residui è positivamente asimmetrica. L'asimmetria è determinata in particolare da alcune

Residuals and the Normal Density

2015 Frequency

-0.1012 -0.06637 -0.03155 0.003265 0.03808 0.0729 0.1077

LNMFigura 3.3 –L’istogramma dei residui della (3.2.19).

Aumentando la (1.10.1) con la variabile definita dalla (3.2.17) otteniamo il modello: = β β β β β δ+ + + + + (3.2.18)lny lnx lnx lnx lnx d + u73,t1 2 1 3 2 4 3 5 4t t t t t tδ

dove La stima della (3.2.18) fornisce iè il coefficiente della variabile di comodo.

seguenti risultati^ = −ln y -6.08 + 0.570 lnx + 0.908 lnx 0.156 lnx + 0.097 lnxt 1t 2t 3t 4t (3.2.19)(-6.6) (7.1) (23.9) (-8.6) (3.3) 3-14

Modulo II – Minimi quadrati+ 0.096 d 73,t(3.4) = = =2 2n = 80, R 0.986, R = 0.985, RSS 0.054, SEE 0.027, JB = 2.07c

Il coefficiente della variabile di comodo è significativo, con una pari a 3.4, e latstatistica del test di normalità scende ora a 2.07, all’interno della regione di accettazione. La correzione sembra quindi aver avuto successo. Si noti che

Il coefficiente di determinazione corretto è aumentato rispetto alla (1.10.2). L'istogramma dei residui della (3.2.19) è riportato nella figura 3.3 e appare ora più simmetrico. Il grafico dei residui (figura 3.3) mostra il permanere di alcune osservazioni al di fuori della banda di confidenza. Tuttavia esse non sono tali da indurre una significativa asimmetria dei residui (il test non rifiuta) e quindi si può presumere che non influenzino le proprietà del modello.

Possiamo ora ripetere i test per le ipotesi di uguaglianza delle elasticità e di omogeneità di grado zero nei prezzi. Ad esempio, la devianza dei residui nel modello con il vincolo e la dummy puntuale è pari a 0.063, per cui H0: β2 = β3.

(2.5.4) otteniamo−0 .063 0 . 054 74 = 12. 30 . 054 1da confrontare con il valore soglia di una che al livello 0.05 è pari a 3.8. DiF 1,74conseguenza l’ipotesi di uguaglianza delle elasticità viene respinta anche dopo avercorretto le osservazioni anomale e ripristinato la normalità dei residui. 3-15Modulo II – Minimi quadrati3.3 Variabili di comodo stagionaliLe variabili di comodo possono essere utilmente adoperate nella cosiddettaPer motivare ed illustrare questa procedura osserviamodepurazione stagionale.che gran parte dei fenomeni economici posseggono un andamento cioèstagionale,una conformazione di diminuzioni ed aumenti di valore che si ripetono in misurasimile ogni anno per cause diverse, ad esempio la preferenza o l’abitudine deilavoratori a concentrare le ferie in uno stesso periodo, il degliwindow dressingistituti di credito che produce un incremento dei depositi nel mese di dicembre, oanche la convenienza che alcuni

Gli operatori della distribuzione sembrano avere un effetto sull'aumento dei prezzi dei prodotti distribuiti in particolari periodi dell'anno. Nel primo esempio si ha una configurazione stagionale nelle serie della produzione, nel secondo una nelle serie dei depositi bancari, nel terzo l'andamento stagionale nei prezzi.

Autocorrelation function of residuals, sample from 1970Q1 to 1989Q4

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4

18 18 2 4 6 8 10 12 14 16

Order of lags

Figura 3.5 - Il correlogramma dei residui del modello (3.2.19).

La presenza delle stagionalità nelle osservazioni campionarie può distorcere notevolmente la significatività delle equazioni che vengono stimate. Se la variabile endogena è stagionale ma questo carattere non è rappresentato dall'insieme delle esogene, accade che la configurazione stagionale venga trasferita sui residui, che quindi presentano una correlazione non nulla a quattro se leal ritardo stagionale: serie storiche adoperate sono trimestrali.

Dodici se le serie sono mensili. In altre parole la ripetizione annuale delle diminuzioni e degli aumenti di valore, che equivale ad una periodicità di quattro o di dodici unità temporali a seconda della cadenza delle serie storiche campionarie, si traduce in una covarianza non nulla dei 3-16Modulo II – Minimi quadrati residui intervallati di quattro o di dodici tempi. La terza delle ipotesi deboli (1.6.10) sui residui viene quindi a cadere.

A titolo di esempio si osservi nella figura 3.5 il correlogramma dei residui dell’equazione (3.2.19), rappresentati a loro volta nella figura 3.4. Il correlogramma 3.5 presenta un picco a tutti i ritardi stagionali (cioè ai ritardi multipli interi della cadenza stagionale, che per dati trimestrali è uguale a quattro) e rende quindi evidente un fenomeno che già l’osservazione diretta del grafico 3.4 lascia intuire, ovvero l’esistenza di cicli stagionali nei residui. Questo fenomeno è prevedibile.

La figura 1.3 infatti mostra che le variabili coinvolte nella stima hanno tutte unamarcata stagionalità, ma il profilo di questa stagionalità differisce dall'una all'altra: ad esempio, la serie dei consumi ha un andamento più livellato di quella delle importazioni e degli investimenti. Queste differenze si scaricano sul residuo dell'equazione, determinandone la stagionalità.

Può, d'altro canto, succedere che la conformazione stagionale dell'endogena sia ben rappresentata da un carattere analogo presentato dalla parte sistemica dell'equazione. In questo caso i residui posseggono covarianze nulle ai ritardi stagionali ma può sussistere il problema che la significatività dell'equazione sia in gran parte (o totalmente) dovuta proprio alle stagionalità simili presenti nella variabile endogena e nell'insieme delle esogene. La bontà della relazione stimata viene quindi, in questa situazione,

A dipendere dalle caratteristiche stagionali e non da una effettiva associazione economica. La depurazione stagionale con il criterio dei minimi quadrati.

Per ovviare a questi problemi è necessario le serie campionarie delle depurare stagionalità prima di utilizzarle nella costruzione di equazioni econometriche. Per eliminare le stagionalità nella serie storica si può aggiungere ai suoi elementi una costante che varia da trimestre a trimestre o da mese a mese a seconda dell'abcadenza: a titolo esempli