Econometria - i residui ricorsivi

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F′ −ˆ ˆu u /( n k )1 1 1sulla quale basare il test di cambiamento strutturale. Questa statistica è simile manon identica alla (3.5.5) per cui non possono esser adoperate le argomentazioni delcapitolo 3 per affermare che ha distribuzione della di Fisher. Per questo, èFnecessario far uso del teorema 5.4 relativo alla devianza residua ricorsiva, secondol’impostazione di Harvey [1976]. ′ =Iterando la formula (5.4.10) ed osservando che poiché un modelloˆ ˆu u 0k klineare con parametri stimato su osservazioni si adatta ad esse perfettamentek kcosì da avere residui tutti nulli, si ha+n n∑1 2′ = 2 (5.5.2)ˆ ˆu u v0 0 t= +t k 1e n∑1′ = 2 (5.5.3)ˆ ˆu u v1 1 t= +t k 1per cui la variabile aleatoria +n n∑1 2′ ′ ~− σ = σ2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ(u u u u ) / v /0 0 1 1 t= +t n 11 5-27Modulo II – I minimi quadrati ordinariè formata dalla

somma dei quadrati di variabili normali standardizzate edn 2indipendenti per il teorema 5.3, e quindi possiede una distribuzione del chi′ σquadrato con gradi di libertà. D’altro canto la variabile aleatoria per gli2n uˆ uˆ /2 1 1−kχstessi motivi è distribuita come un con gradi di libertà e quindi il rapporto2 n 1(5.5.1) possiede distribuzione . Numeratore e denominatore della (5.5.1) sonoF −n , n k2 1indipendenti perché formati da residui ricorsivi diversi.

La procedura di esecuzione di questo test di cambiamento strutturale ècomposto da quattro passi:

1. si stima modello lineare (5.1.1) sul campione costituito da tutte le n 1 2′osservazioni e si calcola la devianza ;ˆ ˆu u0 0 ′
2. si stima il modello con le prime osservazioni e si calcola devianza ;ˆ ˆn u u1 1 1
3. si calcola la statistica data dalla (5.5.1) e la si confronta con il valoreFcritico determinato per mezzo

della distribuzione della di Fisher con F', F'-k α e gradi di libertà al livello di significatività prescelto; n e n' sono i numeri di osservazioni nei due sottoperiodi. (iv) se si è indotti ad accettare l'ipotesi nulla di assenza di cambiamento F ≤ F' di struttura, altrimenti la si rifiuta, nel qual caso occorrerà procedere a una rispecificazione del modello. Il test del Chow basato sulle proiezioni Un secondo test utilizzabile per verificare l'ipotesi di cambiamento strutturale nel caso in cui sia è stato sviluppato dal Chow [1960] sulla base delle proiezioni effettuate nel secondo sottoperiodo campionario mediante il modello stimato nel primo. Il modello lineare nel primo sotto periodo sia (t=1,2,...,n): y = β + u (5.5.4) X1 con stima dei parametri (5.5.5): β = β' + β'' (X'X)^-1 X'y - (X'X)^-1 X'u (5.5.5) mentre nel secondo sottoperiodo sia (t= n+1,n+2,...,n'): y = β + u (5.5.6) X2

viene stimato mediante la (5.5.5), per cui si possono effettuare le proiezioni, raccolte nel vettore y, y,..., y+n-1, secondo la formula β̂ŷ = Xβ, dove X è la matrice dei regressori.

Tramite gli errori di proiezione relativi, contenuti nel vettore ε̂ = y - ŷ, si può calcolare la stima dell'errore standard, σ̂ = √(ε̂'ε̂/(n-k)), dove n è il numero di osservazioni e k è il numero di regressori.

Modulo II – I minimi quadrati ordinari

Si può costruire il test basandolo sul fatto che se essi sono sufficientemente piccoli, β̂ può ritenersi che le stime siano valide anche nel secondo sottoperiodo e che quindi valga l'ipotesi nulla di inesistenza di cambiamento strutturale.

Il valor medio del vettore degli errori di proiezione è E(ε) = 0 e la sua matrice di dispersione è:

[σ̂²I]

− −1 1E ( e e ) E u X ( X X ) X u u u X ( X X ) X2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2[ ]′ ′−= σ + = σ2 1 2I X ( X X ) X Vn 2 1 1 22 ~ ~ ~ ~′ ′ ′~ ~= σ = σ =dove si è sfruttato il fatto che , , ,2 2E (u u ) I E (u u ) I E (u u ) 02 2 n 1 1 n 2 12 1 ~′~ ~ = , e si è definita la matrice . Ma il vettore aleatorio è funzioneE (u u ) 0 V e1 2 ~ β̂βlineare di e che sono vettori normali multivariati ed indipendentiu 2 ~ ~stocasticamente tra di loro poiché è indipendente da , e quindiu u2 1~ ∼ σ (5.5.6)2e N( 0, V )′ −Ora osserviamo che poiché è una matrice definita positiva (e lo è poiché1( X X )1 1′esiste la sua inversa ), per il teorema XIX-1.9 è definita positiva anche la( X X )1 1′ ′−matrice e quindi anche la ; poiché questa è anche simmetrica,1X ( X X ) X V2 1 1 2come facilmente si verifica,

l'applicazione del teorema XIX-1.14 mostra che′~ ~ σ ∼ χ− (5.5.7)21 2e V e / n 2per cui ′~ ~− 1e V e / n ~= (5.5.8)2 F′ −uˆ uˆ /( n k )1 1 1è il rapporto tra due variabili aleatorie distribuite come un chi quadrato con en 2−k) gradi di libertà rispettivamente. Se il rapporto (5.5.8) è piccolo anche gli(n 1errori di proiezione sono piccoli e si è indotti ad accettare l’ipotesi nulla diinesistenza di cambiamento strutturale. Però, per utilizzare la (5.5.8) come unastatistica per il test, occorre trovarne la distribuzione, cosa che non è facile poichénon è possibile dimostrare in maniera diretta che numeratore e denominatore sonostocasticamente indipendenti. Il Chow [1960], tuttavia, ha dimostrato che rapporto(5.5.8) è uguale al (5.5.1), che abbiamo visto essere distribuito come una di FisherF−kcon ed gradi di libertà. Se non vi

è cambiamento strutturale gli errori din n2 1proiezione sono piccoli e le variabili aleatorie (5.5.7) ed (5.5.8) assumono valoriugualmente piccoli. Viceversa, se con il test della si è portati a ritenere ilFnumeratore del rapporto (5.5.8) non significativamente diverso da zero, si è ancheindotti ad accettare l’ipotesi nulla di inesistenza di cambiamento strutturale. 5-29Modulo II – I minimi quadrati ordinariIl test preliminare di uguaglianza delle varianzeAnche in questo caso, come in quello della verifica delle ipotesi (3.5.1), siσ σpresuppone che le varianze e dei residui siano uguali nei due sottoperiodi.2 221Qualora non si fosse certi di questa uguaglianza si dovrebbe verificarepreliminarmente l’ipotesi ulteriore (3.5.6), cosa che tuttavia non si può fare con la≤kstatistica (3.5.7) poiché in questo caso è e non è possibile costruire unon 2stimatore della varianza dei residui nel secondo sottoperiodo.

Al posto di questostimatore, tuttavia, si può utilizzare la devianza di proiezione, costruendo la statistica ′~ ~e e (5.5.9)′ −uˆ uˆ /( n k )1 1 1della quale però non si conosce la distribuzione poiché numeratore e denominatore→∞non sono indipendenti. Tuttavia, in virtù del fatto che si dimostra che per iln 1σdenominatore tende a sotto l’ipotesi definita dalla (3.5.6), il rapporto (5.5.9) si2 χdistribuisce approssimativamente come un con gradi di libertà e quindi tale2 n 2statistica può essere usata, per sufficientemente grande, al fine di una verifica n 1preliminare dell’uguaglianza delle varianze nei due sottoperiodi. χL’ipotesi alternativa è ancora del tipo (3.5.8) per cui il test del è bilaterale,2analogo a quello esposto la fine del paragrafo 2.3. Per grande si calcola iln 1rapporto (5.5.9) che, sulla falsariga del rapporto (2.3.22), vieneconfrontato con σ = σl'intervallo di accettazione dell'ipotesi nulla consistente in . Tale2 22H0 1χ' ''χ α/2intervallo di accettazione è dove i quantili sono di probabilità e2 2[ , ) 1−α/2n n2 2rispettivamente.Applicazioni alla funzione delle importazioniNel precedente paragrafo 5.4 abbiamo constatato, osservando i grafici delle stimericorsive e in particolare la figura 5.5, che riporta lo scarto quadratico medio dellaregressione, che molto probabilmente l'equazione (3.3.29) è soggetta a più di uncambiamento di struttura, l'ultimo dei quali appare localizzato all'inizio del 1985(data dell'ultima "impennata" nel grafico dello scarto quadratico medio dellaregressione).Se imputiamo il fallimento delle proiezioni alla presenza di cambiamento distruttura, viene quindi spontaneo ristimare l'equazione sull'ultimo sottoperiodo"stabile",

ovvero scartando tutti i dati fino al 1984 compreso. Il campione si riduce quindi alle osservazioni dal 1985 al 1989. Per verificare l'ipotesi di assenza di cambiamento di struttura possiamo suddividere ulteriormente questo campione nelle prime osservazioni dal 1985 al 1988, e utilizzare per la verifica il sottocampione di proiezione ex post comprendente le osservazioni relative al 1989. In questo caso abbiamo (dato che i parametri da stimare sono 8) e5n < k2 quindi possiamo applicare i test di cambiamento di struttura presentati in questo paragrafo.

La stima della (3.3.29) sul sottocampione dal 1985 al 1988 fornisce questi risultati = ln ŷ -8.