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Econometria - i residui ricorsivi

Appunti di Econometria per l'esame del professor Carlucci sulla proiezione e i residui ricorsivi. Gli argomenti trattati sono i seguenti: la proiezione dei minimi quadrati, gli intervalli di confidenza per le proiezioni, le variabili esplicative non note nel periodo di proiezione, i residui ricorsivi, la verifica della... Vedi di più

Esame di Econometria docente Prof. F. Carlucci

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ESTRATTO DOCUMENTO

Modulo II – I minimi quadrati ordinari σ̂

Il primo grafico riporta l’indicatore diagnostico più sintetico, dato da . Si vede

t

bene come all’aumentare della numerosità campionaria lo scarto quadratico medio

della regressione non tenda a diminuire, e anzi aumenti in modo marcato in

almeno tre episodi, corrispondenti rispettivamente all’inizio del campione, ai

trimestri da 1975:2 a 1976:1 (in corrispondenza dei quali abbiamo già localizzato

un cambiamento di struttura, che abbiamo datato in 1976:1 sulla base

dell’osservazione del grafico dei residui OLS), e ancora ai trimestri da 1984:2 a

1985:1. Quest’ultimo risultato mostra quindi che i cambiamenti di struttura nel

campione a nostra disposizione sono stati almeno due: oltre a quello individuato

dalla statistica (3.5.12) ne abbiamo un altro verosimilmente a metà degli anni ’80.

Quest’ultimo potrebbe spiegare come mai anche riducendo il campione di stima ai

soli anni ’80 (e quindi passando dalla (5.1.10) alla (5.1.11)) la proiezione ex post

rimanga comunque distorta verso l’alto.

Equazione delle importazioni

Scarto quadratico medio della regressione

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

0.000

1970Q1 1974Q1 1978Q1 1982Q1 1986Q1

Figura 5.5 – Lo scarto quadratico medio della regressione calcolato partendo dalle stime

ricorsive dell’equazione delle importazioni (3.3.29).

I grafici delle stime ricorsive intervallari dei singoli coefficienti possono fornirci

indicazioni circa l’origine di questi cambiamenti di struttura, indicandoci in

particolare se essi siano associati o meno ai coefficienti di specifiche variabili.

Notiamo intanto che tutti i grafici dal 5.6 al 5.13 manifestano una frattura

attorno al 1976, e che generalmente in corrispondenza di essa le stime diventano

molto meno disperse (cioè il loro intervallo di confidenza si restringe). Attorno al

1985 si verifica poi un significativo slittamento verso il basso dell’elasticità delle

importazioni ai consumi (figura 5.7), in sincrono con un opposto e più deciso

5-22

Modulo II – I minimi quadrati ordinari

slittamento verso l’alto dell’elasticità a investimenti e esportazioni (figura 5.8). La

stima ricorsiva mostra che i coefficienti delle variabili di prezzo sono relativamente

più stabili verso la metà degli anni ’80, e inoltre che l’elasticità ai prezzi interni

(figura 5.10) è non significativamente diversa da zero sulla maggior parte del

campione. Intercetta e suo intervallo di confidenza approssimato basato sui RLS

40

20

0

-20

-40

-60

-80

1970Q1 1973Q4 1977Q3 1981Q2 1985Q1 1988Q4

Trimestri

Figura 5.6 – La stima ricorsiva del coefficiente dell’intercetta.

Coefficiente di X1 e suo intervallo di confidenza basato sui RLS

8

6

4

2

0

-2

-4

1970Q1 1973Q4 1977Q3 1981Q2 1985Q1 1988Q4

Trimestri

Figura 5.7 – La stima ricorsiva del coefficiente dell’elasticità delle importazioni ai consumi.

5-23

Modulo II – I minimi quadrati ordinari

Coefficiente di X2 e suo intervallo di confidenza basato sui RLS

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0

1970Q1 1973Q4 1977Q3 1981Q2 1985Q1 1988Q4

Trimestir

Figura 5.8 – La stima ricorsiva del coefficiente dell’elasticità delle importazioni a

investimenti e esportazioni.

Coefficiente di X3 e suo intervallo di confidenza basato sui RLS

2.5

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

-1.5

1970Q1 1973Q4 1977Q3 1981Q2 1985Q1 1988Q4

Trimestri

Figura 5.9 – La stima ricorsiva dell’elasticità delle importazioni ai prezzi import. 5-24

Modulo II – I minimi quadrati ordinari

Coefficiente di X4 e suo intervallo di confidenza basato sui RLS

1.5

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

-1.5

-2.0

-2.5

-3.0

1970Q1 1973Q4 1977Q3 1981Q2 1985Q1 1988Q4

Trimestri

Figura 5.10 – La stima ricorsiva dell’elasticità delle importazioni ai prezzi interni.

Coefficiente di d1 e intervallo di confidenza approssimato basato sui RLS

0.30

0.25

0.20

0.15

0.10

0.05

0.00

-0.05

1970Q1 1972Q3 1975Q1 1977Q3 1980Q1 1982Q3 1985Q1 1987Q3

Trimestri

Figura 5.11 – La stima ricorsiva del coefficiente della prima variabile di comodo stagionale.

5-25

Modulo II – I minimi quadrati ordinari

Coefficiente di d2 e suo intervallo di confidenza basato sui RLS

0.30

0.25

0.20

0.15

0.10

0.05

0.00

-0.05

-0.10

1970Q1 1973Q4 1977Q3 1981Q2 1985Q1 1988Q4

Trimestri

Figura 5.12 – La stima ricorsiva del coefficiente della seconda variabile di comodo

stagionale. Coefficiente di d3 e suo errore standard basato sui RLS

0.20

0.15

0.10

0.05

0.00

-0.05

-0.10

-0.15

-0.20

-0.25

-0.30

1970Q1 1973Q4 1977Q3 1981Q2 1985Q1 1988Q4

Trimestri

Figura 5.13 – La stima ricorsiva del coefficiente della terza variabile di comodo stagionale.

Viceversa, le variabili di comodo stagionali presentano coefficienti instabili su

tutto il campione: in particolare, i coefficienti delle prime due hanno una marcata

tendenza negativa (figure 5.11 e 5.12), mentre il coefficiente della terza risente del

cambiamento di struttura a metà degli anni ’80, in corrispondenza del quale

diventa non significativo.

Questa evidenza conferma che nella (3.3.29) è la rappresentazione della

stagionalità è malspecificata, e inoltre che a metà degli anni ’80 si verifica un

ulteriore cambiamento di struttura riguardante i coefficienti delle due variabili di

scala. 5-26

Modulo II – I minimi quadrati ordinari ≤

5.5 Due test di cambiamento strutturale nel caso n k

2

Nel test (di malaspecificazione) basato sull’ipotesi (3.5.1) si è supposto che ed

n >k

1

poiché la procedura costruita equivale a stimare separatamente con il criterio

n >k

2

dei minimi quadrati ordinari una equazione nella prima parte del campione ed

un’altra nella seconda.

Generalmente la condizione è abbondantemente soddisfatta nelle

n >k

1

applicazioni (se si utilizzano dati temporali è spesso possibile allungare le serie

storiche all’indietro qualora sia troppo piccola), mentre sovente non lo è l’altra

n 1

; è allora necessario ricorrere a test diversi dai precedenti, uno dei quali si

n >k

2

fonda sul fatto che se è valida l’ipotesi nulla (3.5.1) non vi è cambiamento

strutturale tra il primo ed il secondo sottoperiodo e si può calcolare la devianza

′ +

residua considerando tutte le osservazioni. Se l’ipotesi nulla non vale si

ˆ ˆ

u u n n

1 2

0 0

può determinare la devianza residua relativamente al solo primo sottocampione,

′ −k

che indichiamo con ed alla quale sono relativi gradi di libertà.

ˆ ˆ

u u n 1

1 1 ′ ′

Se l’ipotesi nulla è vera, la differenza è piccola, e questa conseguenza

ˆ ˆ ˆ ˆ

u u u u

0 0 1 1

induce a costruire la statistica

′ ′

ˆ ˆ ˆ ˆ

(

u u u u ) / n =

0 0 1 1 2 (5.5.1)

F

′ −

ˆ ˆ

u u /( n k )

1 1 1

sulla quale basare il test di cambiamento strutturale. Questa statistica è simile ma

non identica alla (3.5.5) per cui non possono esser adoperate le argomentazioni del

capitolo 3 per affermare che ha distribuzione della di Fisher. Per questo, è

F

necessario far uso del teorema 5.4 relativo alla devianza residua ricorsiva, secondo

l’impostazione di Harvey [1976]. ′ =

Iterando la formula (5.4.10) ed osservando che poiché un modello

ˆ ˆ

u u 0

k k

lineare con parametri stimato su osservazioni si adatta ad esse perfettamente

k k

così da avere residui tutti nulli, si ha

+

n n

1 2

′ = 2 (5.5.2)

ˆ ˆ

u u v

0 0 t

= +

t k 1

e n

1

′ = 2 (5.5.3)

ˆ ˆ

u u v

1 1 t

= +

t k 1

per cui la variabile aleatoria +

n n

1 2

′ ′ ~

− σ = σ

2 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ

(

u u u u ) / v /

0 0 1 1 t

= +

t n 1

1 5-27

Modulo II – I minimi quadrati ordinari

è formata dalla somma dei quadrati di variabili normali standardizzate ed

n 2

indipendenti per il teorema 5.3, e quindi possiede una distribuzione del chi

′ σ

quadrato con gradi di libertà. D’altro canto la variabile aleatoria per gli

2

n u

ˆ u

ˆ /

2 1 1

−k

χ

stessi motivi è distribuita come un con gradi di libertà e quindi il rapporto

2 n 1

(5.5.1) possiede distribuzione . Numeratore e denominatore della (5.5.1) sono

F −

n , n k

2 1

indipendenti perché formati da residui ricorsivi diversi.

La procedura di esecuzione di questo test di cambiamento strutturale è

composto da quattro passi: +n

i) si stima modello lineare (5.1.1) sul campione costituito da tutte le n 1 2

osservazioni e si calcola la devianza ;

ˆ ˆ

u u

0 0 ′

ii) si stima il modello con le prime osservazioni e si calcola devianza ;

ˆ ˆ

n u u

1 1 1

iii) si calcola la statistica data dalla (5.5.1) e la si confronta con il valore

F

critico determinato per mezzo della distribuzione della di Fisher con

F′ F

−k α

e gradi di libertà al livello di significatività prescelto;

n n

2 1

iv) se si è indotti ad accettare l’ipotesi nulla di assenza di cambiamento

F≤F′

di struttura, altrimenti la si rifiuta, nel qual caso occorrerà procedere a

una rispecificazione del modello.

Il test del Chow basato sulle proiezioni

Un secondo test utilizzabile per verificare l’ipotesi di cambiamento strutturale nel

≤k

caso in cui sia è stato sviluppato dal Chow [1960] sulla base delle proiezioni

n 2

effettuate nel secondo sottoperiodo campionario mediante il modello stimato nel

primo. Il modello lineare nel primo sotto periodo sia

(t=1,2,…,n )

1

= β +u (5.5.4)

y X

1 1 1

con stima dei parametri (5.5.5)

β = ′ ′ = β + ′ ′

− −

ˆ 1 1

( X X ) X y ( X X ) X u

1 1 1 1 1 1 1

+1, +2,…,n +

mentre nel secondo sottoperiodo sia

(t= n n n )

1 1 1 2

= β +u

y X

2 2 2

dove viene stimato mediante la (5.5.5), per cui si possono effettuare le proiezioni

b , raccolte nel vettore

ˆ ˆ ˆ

y , y ,..., y

+ + +

n 1 n 2 n n

1 1 1 2 = β̂

β

y

ˆ X

2 2

Tramite gli errori di proiezione relativi, contenuti nel vettore

= − = β + − β = β + − β − ′ ′ = − ′ ′

− −

ˆ 1 1

e y y

ˆ X u X X u X X ( X X ) X u u X ( X X ) X u

2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1

5-28

Modulo II – I minimi quadrati ordinari

si può costruire il test basandolo sul fatto che se essi sono sufficientemente piccoli

β̂

β

si può ritenere che le stime siano valide anche nel secondo sottoperiodo e che

quindi valga l’ipotesi nulla di inesistenza di cambiamento strutturale.

Il valor medio del vettore degli errori di proiezione è

~ =

E ( e ) 0

e la sua matrice di dispersione

[ ][ ]

{ }

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

~ ~ ~ ~ ~ ~

= − − =

− −

1 1

E ( e e ) E u X ( X X ) X u u u X ( X X ) X

2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2

[ ]

′ ′

= σ + = σ

2 1 2

I X ( X X ) X V

n 2 1 1 2

2 ~ ~ ~ ~

′ ′ ′

~ ~

= σ = σ =

dove si è sfruttato il fatto che , , ,

2 2

E (

u u ) I E (

u u ) I E (

u u ) 0

2 2 n 1 1 n 2 1

2 1 ~

~ ~ = , e si è definita la matrice . Ma il vettore aleatorio è funzione

E (

u u ) 0 V e

1 2 ~ β̂

β

lineare di e che sono vettori normali multivariati ed indipendenti

u 2 ~ ~

stocasticamente tra di loro poiché è indipendente da , e quindi

u u

2 1

~ ∼ σ (5.5.6)

2

e N( 0, V )

′ −

Ora osserviamo che poiché è una matrice definita positiva (e lo è poiché

1

( X X )

1 1

esiste la sua inversa ), per il teorema XIX-1.9 è definita positiva anche la

( X X )

1 1

′ ′

matrice e quindi anche la ; poiché questa è anche simmetrica,

1

X ( X X ) X V

2 1 1 2

come facilmente si verifica, l’applicazione del teorema XIX-1.14 mostra che

~ ~ σ ∼ χ

− (5.5.7)

2

1 2

e V e / n 2

per cui ′

~ ~

− 1

e V e / n ~

= (5.5.8)

2 F

′ −

u

ˆ u

ˆ /( n k )

1 1 1

è il rapporto tra due variabili aleatorie distribuite come un chi quadrato con e

n 2

−k) gradi di libertà rispettivamente. Se il rapporto (5.5.8) è piccolo anche gli

(n 1

errori di proiezione sono piccoli e si è indotti ad accettare l’ipotesi nulla di

inesistenza di cambiamento strutturale. Però, per utilizzare la (5.5.8) come una

statistica per il test, occorre trovarne la distribuzione, cosa che non è facile poiché

non è possibile dimostrare in maniera diretta che numeratore e denominatore sono

stocasticamente indipendenti. Il Chow [1960], tuttavia, ha dimostrato che rapporto

(5.5.8) è uguale al (5.5.1), che abbiamo visto essere distribuito come una di Fisher

F

−k

con ed gradi di libertà. Se non vi è cambiamento strutturale gli errori di

n n

2 1

proiezione sono piccoli e le variabili aleatorie (5.5.7) ed (5.5.8) assumono valori

ugualmente piccoli. Viceversa, se con il test della si è portati a ritenere il

F

numeratore del rapporto (5.5.8) non significativamente diverso da zero, si è anche

indotti ad accettare l’ipotesi nulla di inesistenza di cambiamento strutturale. 5-29

Modulo II – I minimi quadrati ordinari

Il test preliminare di uguaglianza delle varianze

Anche in questo caso, come in quello della verifica delle ipotesi (3.5.1), si

σ σ

presuppone che le varianze e dei residui siano uguali nei due sottoperiodi.

2 22

1

Qualora non si fosse certi di questa uguaglianza si dovrebbe verificare

preliminarmente l’ipotesi ulteriore (3.5.6), cosa che tuttavia non si può fare con la

≤k

statistica (3.5.7) poiché in questo caso è e non è possibile costruire uno

n 2

stimatore della varianza dei residui nel secondo sottoperiodo. Al posto di questo

stimatore, tuttavia, si può utilizzare la devianza di proiezione , costruendo la

e′e

statistica ′

~ ~

e e (5.5.9)

′ −

u

ˆ u

ˆ /( n k )

1 1 1

della quale però non si conosce la distribuzione poiché numeratore e denominatore

→∞

non sono indipendenti. Tuttavia, in virtù del fatto che si dimostra che per il

n 1

σ

denominatore tende a sotto l’ipotesi definita dalla (3.5.6), il rapporto (5.5.9) si

2 χ

distribuisce approssimativamente come un con gradi di libertà e quindi tale

2 n 2

statistica può essere usata, per sufficientemente grande, al fine di una verifica

n 1

preliminare dell’uguaglianza delle varianze nei due sottoperiodi. χ

L’ipotesi alternativa è ancora del tipo (3.5.8) per cui il test del è bilaterale,

2

analogo a quello esposto la fine del paragrafo 2.3. Per grande si calcola il

n 1

rapporto (5.5.9) che, sulla falsariga del rapporto (2.3.22), viene confrontato con

σ = σ

l’intervallo di accettazione dell’ipotesi nulla consistente in . Tale

2 22

H

0 1

χ′ ′

χ α/2

intervallo di accettazione è dove i quantili sono di probabilità e

2 2

[ , ) 1−α/2

n n

2 2

rispettivamente.

Applicazioni alla funzione delle importazioni

Nel precedente paragrafo 5.4 abbiamo constatato, osservando i grafici delle stime

ricorsive e in particolare la figura 5.5, che riporta lo scarto quadratico medio della

regressione, che molto probabilmente l’equazione (3.3.29) è soggetta a più di un

cambiamento di struttura, l’ultimo dei quali appare localizzato all’inizio del 1985

(data dell’ultima “impennata” nel grafico dello scarto quadratico medio della

regressione).

Se imputiamo il fallimento delle proiezioni alla presenza di cambiamento di

struttura, viene quindi spontaneo ristimare l’equazione sull’ultimo sottoperiodo

“stabile”, ovvero scartando tutti i dati fino al 1984 compreso. Il campione si riduce

quindi alle osservazioni dal 1985 al 1989. Per verificare l’ipotesi di assenza

n = 20

di cambiamento di struttura possiamo suddividere ulteriormente questo campione

nelle prime osservazioni dal 1985 al 1988, e utilizzare per la verifica il

n = 16

1

sottocampione di proiezione ex post comprendente le osservazioni relative al

n = 4

2 5-30

Modulo II – I minimi quadrati ordinari

1989. In questo caso abbiamo (dato che i parametri da stimare sono 8) e

5

n <k

2

quindi possiamo applicare i test di cambiamento di struttura presentati in questo

paragrafo.

La stima della (3.3.29) sul sottocampione dal 1985 al 1988 fornisce questi

risultati

=

ln ŷ -8.45 + 0.72 lnx + 0.96 lnx - 0.01 lnx + 0.03 lnx +

t 1t 2t 3t 4t

(-0.6) (0.5) (3.0) (-0.1) (0.0) (5.5.10)

- 0.003 d - 0.04 d 0.02 d

1t 2t 3t

(-0.7) (-1.3) (-0.6)

= =

2

n = 32, R = 0.976, RSS 0.0019, SEE 0.015, JB = 0.18, BP = 0.0

c

Notiamo che queste stime palesano alcune tendenze emerse dall’analisi dei grafici

dal 5.6 al 5.13. Ad esempio, l’elasticità ai consumi è ora più piccola di quella a

investimenti e esportazioni rispetto a quanto si verifica nelle stime (5.1.11)

condotte su un campione più ampio, e inoltre non è statisticamente significativa

(un risultato che può essere anticipato osservando le figure 5.7 e 5.8), mentre tutte

le variabili di comodo hanno coefficienti più piccoli di quelli riscontrati nelle stime

su campioni più ampi (anche questo risultato è in sintonia con i grafici delle stime

ricorsive 5.11-5.13). Nonostante i test diagnostici non segnalino violazioni delle

ipotesi stocastiche di base, e nonostante le variabili di prezzo abbiano il segno

atteso, tuttavia nella (5.5.10) sussistono problemi di specificazione, evidenziati dal

fatto che sette variabili su otto non sono statisticamente significative.

La statistica costruita con le (5.5.1)-(5.5.8) fornisce un valore pari a 2.30,

F 4,8

che va confrontato con un valore soglia pari a 3.84. L’ipotesi di cambiamento di

struttura viene quindi respinta. Tuttavia in questo caso il risultato non è motivo di

particolare soddisfazione, visto che la struttura che non cambia passando dal primo

al secondo sottoperiodo non è una “buona” struttura, ma anzi, come abbiamo

appena rilevato, una pessima struttura, nella quale la maggior parte dei

coefficienti risultano statisticamente non significativi. Questa osservazione può

sembrare superflua, ma occorre sempre ricordare che il mancato rifiuto dell’ipotesi

nulla in un test di assenza di cambiamento strutturale può indicare sia che

l’equazione è ugualmente buona nei due sottoperiodi, sia che è ugualmente cattiva.

Questo sembra essere appunto il caso della (5.5.10).

La tavola 5.4, analoga alla 5.3, riporta gli scarti quadratici medi dell’errore di

proiezione e le relative misure di dispersione e test di significatività. In questo caso

Naturalmente se il campione di stima parte dal 1985 si omette dal modello la dummy

5

puntuale relativa al primo trimestre del 1973, che invece figura nelle stime (3.3.29). 5-31

Modulo II – I minimi quadrati ordinari

il valore soglia del test (5.2.2) è quello della , che al 5% è pari a 2.3. Nessun errore

t 8

di proiezione risulta statisticamente significativo, ovvero nessun valore storico

giace al di fuori dell’intervallo di confidenza della proiezione, gli errori di proiezione

non hanno tutti lo stesso segno, e inoltre gli errori studentizzati sono relativamente

più piccoli all’inizio rispetto alla fine del campione di proiezione ex post (cioè il

modello prevede meglio il futuro prossimo di quello remoto, in accordo con

l’intuizione e contrariamente a quanto si riscontrava ad esempio per l’equazione

(5.1.11)). Anche in termini di dimensioni gli errori ora sono molto più ridotto,

andando da un minimo dello 0.7% a un massimo del 5%. In questo senso, pur con le

riserve espresse finora, possiamo affermare che, sulla base dei risultati della

proiezione ex post, la (5.5.10) dovrebbe essere considerata, ai fini della proiezione ex

, più affidabile delle altre equazioni presentate nelle pagine precedenti.

ante Plot of Actual and Single Equation Static Forecast(s)

10.6

10.5 LNM

10.4

10.3

10.2

10.1 Forecast

10.0 1989Q4

1987Q1 1987Q3 1988Q1 1988Q3 1989Q1 1989Q3

Quarters

Figura 5.14 – I valori storici del logaritmo delle importazioni e quelli proiettati con la

(5.5.10). storici proiettati errore s.q.m. dell'errore test t

1989Q1 10.4544 10.4473 0.0071 0.0238 0.2974

1989Q2 10.4840 10.4656 0.0184 0.0272 0.6749

1989Q3 10.3607 10.3450 0.0157 0.0293 0.5372

1989Q4 10.4860 10.5368 -0.0508 0.0261 -1.9482

Tavola 5.4 – Valori storici e proiettati, errori di proiezione e loro test di significatività

relativi alla proiezione del logaritmo delle importazioni con la (5.5.10). 5-32

Modulo II – I minimi quadrati ordinari

5.6 Verifica della stabilità dei parametri

Nei test di cambiamento strutturale esposti nel capitolo precedente e nel paragrafo

+1

5.5 è stato ipotizzato di conoscere il tempo (tra ed ) in cui questo

n n

1 1

cambiamento si verifica. Supponiamo ora di non conoscerlo e di voler controllare

l’ipotesi nulla che in uno o più istanti del campione possano esserci dei

β

cambiamenti di struttura, in modo tale che il vettore di parametri non possa

essere considerato costante in tutto il campione. La verifica di questa costanza

equivale, dunque, alla verifica della stabilità dei parametri nel periodo campionario

e si avvale dei residui ricorsivi esposti in precedenza.

β

Se non è stabile si può supporre che i residui ricorsivi (5.4.6) abbiano valor

µ

medio nonnullo per cui ~ ∼N(µ,σ (5.6.1)

2

v )

t µ

e si può considerare come stimatore di il valor medio campionario

n

1 ~

=

v v (5.6.2)

− t

n k = +

t k 1

σ

che ha distribuzione come facilmente si dimostra partendo dal fatto

2

N[µ, /(n−k)] σ

che esso è dato dalla somma di variabili distribuite come nella (5.6.1). Se per 2

n−k

si considera lo stimatore non distorto n

1 ∑ ~

σ = −

2 2

( v v ) (5.6.3)

− − t

( n k ) 1 = +

t k 1

si ha che − µ σ −

2 1 / 2

(

v ) /[ /( n k )] ∼t n−

k−

1

σ σ

2 2 1 / 2

[ / ]

dalla quale si ottiene la statistica − µ

v

− ∼

1 / 2

( n k ) t (5.6.4)

n−

k−

1

σ

che può essere utilizzata per verificare l’ipotesi nulla di stabilità dei parametri

corrispondente alla µ=0 (5.6.5)

H :

0 − σ

Si tende, dunque, ad accettare questa ipotesi se il valore è compreso

1 / 2

( n k ) v /

nell’intervallo dove e sono gli estremi determinati con l’ausilio delle

[t′, t′′) t′ t′′

tavole statistiche della di Student con gradi di libertà ad un prestabilito

t n−k−1

α

livello di confidenza . 5-33

Modulo II – I minimi quadrati ordinari

Osservazione 5.1 - In effetti, poiché i residui ricorsivi partono da , la

k+1

stabilità dei parametri è verificata non nell’intero periodo campionario

bensì nel sottoperiodo che va da ad .

k+1 n

Harvey e Collier [1977] interpretano questo test in termini più ampi come

strumento diagnostico per la verifica della linearità della funzione di regressione

β

(5.1.1). Infatti se anche il vettore di parametri è stabile ma l’ipotesi di linearità

di rispetto ad una variabile esplicativa non è corretta, accade che la statistica

y x

t it

− σ tende ad essere grande e quindi ad uscire fuori dell’intervallo .

1 / 2

( n k ) v / [t′, t′′)

Osservazione 5.2 - In effetti, poiché

′ ′

= − = β − β +

ˆ

ˆ

a v ( y x b ) x ( ) u

− −

t t t t t 1 t t t 1 t β ≠ β

ˆ

l’ipotesi nulla (5.6.5) è violata sia quando è (parametri

t t 1

instabili) sia quando una o più variabili esplicative nel vettore non

x t

sono specificate appropriatamente in forma lineare anche se la

β ≠ β

ˆ

differenza è piccola. In questo secondo caso, tuttavia, può

t t 1

accadere che le non linearità di più variabili si compensino ed il test non

sia in grado di identificarle. Per questo motivo è opportuno interpretarlo

come test di non linearità soltanto quando si è certi che questa riguardi

una sola variabile esplicativa.

Osservazione 5.3 – Il fatto che alla medesima statistica possano essere

attribuiti significati diversi evidenzia come l’interpretazione dei test

diagnostici di malaspecificazione sia caratterizzata da una

fondamentale asimmetria, nel senso che il rifiuto della nulla non

implica l’accettazione dell’alternativa. Ad esempio, la statistica (5.6.4)

risulterà significativa (portando al rifiuto della nulla) sia in caso di non

costanza dei parametri che in caso di linearità del modello, e il test di

per sé non fornisce indizi circa la fonte più probabile di

malaspecificazione. Da ciò scaturiscono due indicazioni operative di

validità generale: la prima è che è in generale errato interpretare

meccanicisticamente il rifiuto dell’ipotesi nulla di un test come

accettazione di una particolare alternativa (poiché il medesimo test

potrebbe essere sensibile anche rispetto a violazioni di ipotesi di base

non previste nella specifica alternativa considerata); la seconda è che la

diagnostica del modello deve basarsi su un insieme ampio di strumenti

diagnostici, perché solo una considerazione complessiva delle sue

proprietà statistiche può consentire di individuare in modo

sufficientemente affidabile e costruttivo gli eventuali spazi per un

miglioramento del modello stesso. 5-34

Modulo II – I minimi quadrati ordinari

Plot of Cumulative Sum of Recursive Residuals

25

20

15

10

5

0

-5

-10

-15

-20

-25 1989Q4

1970Q1 1973Q4 1977Q3 1981Q2 1985Q1 1988Q4

The straight lines represent critical bounds at 5% significance level

Figura 5.15 – Il test CUSUM per l’equazione (3.3.29). La statistica giace all’interno delle due

rette che delimitano il valore soglia e l’ipotesi di stabilità dei parametri non viene respinta.

I test CUSUM e CUSUMSQ

Brown, Durbin ed Evans [1975] hanno suggerito di utilizzare altri due test per

verificare la stabilità dei parametri. Il primo è basato sulla statistica

t

~ ~

= σ (5.6.6)

w v / t=k+1,k+2,...,n

t i

= +

i k 1

σ

dove è lo stimatore non distorto (1.7.2) calcolato sull’intero periodo campionario.

2 ~

All’aumentare di la stessa è detta somma cumulata da cui il nome CUSUM

t w

t

(CUmulative SUM in lingua inglese) dato al test. I tre autori hanno dimostrato che

se vale l’ipotesi nulla di stabilità dei parametri la statistica (5.6.6) ha

approssimativamente distribuzione che la regione di accettazione

N(0, t−k) e

consiste nell’intervallo dove

[−z , z ]

α,t α,t

= +

1/2 1/2 (5.6.7)

z a(n−k) 2a(t−k)(n−k)

α,t α

è una retta in e il fattore dipende dal livello di significatività del test (vedi la

t a

tavola 5.5).

La verifica è eseguita riportando in un grafico le serie di valori insieme alla

w t

due rette definite dalla (5.6.7) e verificando che la serie risulti tutta

[−z , z ] w

α,t α,t t

compresa nella regione definita dalle due rette oppure venga a trovarsi al di fuori

di essa; nel primo caso si accetta l’ipotesi nulla di stabilità dei parametri mentre

nel secondo la si rifiuta. Nel caso dell’equazione (3.3.29) la statistica CUSUM è

riportata, insieme ai valori soglia al 5%, nella figura 5.15. La spezzata giace

w t

all’interno della regione delimitata dalle due rette, e quindi, secondo il test

CUSUM, i coefficienti della (3.3.29) sono costanti. In realtà abbiamo già raccolto

5-35

Modulo II – I minimi quadrati ordinari

numerose e convincenti evidenze statistiche del contrario (a partire dal test F

(3.5.12), fino ad arrivare ai grafici delle stime ricorsive riportate nel paragrafo 4 di

questo capitolo). Il risultato della figura 5.15 vale quindi a evidenziare un limite

del test CUSUM attestato in letteratura, vale a dire la sua scarsa potenza, ovvero

il fatto che ha una probabilità relativamente ridotta di rifiutare l’ipotesi nulla di

costanza dei parametri quando è falsa. Tuttavia il grafico presenta due

“impennate” che, se pure non statisticamente significative, vanno considerate come

un segnale di allarme rispetto alla probabile presenza di cambiamenti di struttura

(e in effetti sono localizzate nei pressi dei due episodi di cambiamento di struttura

individuati in precedenza in corrispondenza del 1976 e del 1985). La consultazione

del grafico del test quindi mantiene una sua efficacia diagnostica.

Plot of Cumulative Sum of Squares of Recursive Residuals

1.5

1.0

0.5

0.0

-0.5 1989Q4

1970Q1 1973Q4 1977Q3 1981Q2 1985Q1 1988Q4

The straight lines represent critical bounds at 5% significance level

Figura 5.16 - Regione di accettazione nel test CUSUMSQ. Se la serie dei valori della

statistica è compresa tra i due segmenti e viene accettata l’ipotesi nulla di stabilità

AB A′B′

dei parametri, altrimenti la si rifiuta.

Tavola 5.5 – Il fattore a del test CUSUM di Brown, Durbin e Evans [1975]

α

livello di significatività

0.01 0.05 0.10

fattore a 1.143 0.948 0.850

Considerazioni analoghe valgono per il secondo test costruito d ai tre autori, che

si basa sulla statistica 5-36

Modulo II – I minimi quadrati ordinari

t

∑ ~ 2

v

i (5.6.8)

~ = = +

i k 1

s t=k+1,k+2,...,n

t n

∑ ~ 2

v

i

= +

i k 1

composta dai residui ricorsivi al quadrato cumulati, da cui il nome CUSUMSQ

(CUmulative SUM of SQuares in lingua inglese), e normalizzati tramite la somma

effettuata su tutto il campione. Tale statistica ha valor medio

t k

~ =

E ( s ) −

t n k

per cui sotto la validità dell’ipotesi nulla non si discosta troppo dalla retta dei

s

t

valori medi che vale zero per ed uno per . Una regione di accettazione

t=k t=n

dell’ipotesi nulla può essere costruita con asse mediano dato da tale retta e con

delimitazione fornita da questa stessa retta aumentata e diminuita di una fascia

larga un valore fornito da apposite tavole statistiche, dipendente dall’ampiezza

c

del campione e dal livello di significatività come illustrato nella figura 5.16.

Anche il test CUSUMSQ non segnala violazioni dell’ipotesi nulla di stabilità dei

parametri della (3.3.29). 5-37

Modulo II – I minimi quadrati ordinari

5.7 L’impiego delle variabili di comodo nella proiezione

Alcuni calcoli esposti nei precedenti paragrafi di questo capitolo possono essere

notevolmente semplificati mediante l’uso delle variabili di comodo, che oltre alla

loro comodità sotto il profilo operativo forniscono anche, in certi casi, utili intuizioni

circa il significato delle statistiche calcolate.

L’errore quadratico medio di proiezione e l’intervallo di confidenza della proiezione

Per calcolare l’errore quadratico medio di proiezione (5.1.6) occorre effettuare dei

calcoli matriciali che coinvolgono la matrice di disegno del modello e il vettore

X

delle variabili esplicative al tempo . Questi calcoli vengono generalmente

n+h

effettuati dai software econometrici. Può capitare, tuttavia, che il software che si

sta utilizzando, pur effettuando le stime OLS, non calcoli l’errore quadratico medio

di proiezione. In questo caso è utile ricorrere a un metodo di calcolo proposto

originariamente da Salkever [1976] e ripreso da Pagan e Nicholls [1984].

Sia il vettore delle proiezioni e sia la matrice

*

* ˆ ˆ

ŷ = [ y , …, y ]′ m X m×k

+ +

n 1 n m

che raccoglie gli vettori delle variabili esplicative relativi agli tempi sui quali

m k m

si effettua la proiezione ′

 

x +

n 1

  (5.7.1)

=

* M

X  

 ′ 

 

x +

n m

Definiamo inoltre le variabili di comodo *

m d h ,t

− = +

 1 t n h (5.7.2)

= 

*,

d h = 1, …, m

≠ +

h t  0 t n h

raccolte in una matrice di ordine così definita

D (n+m)×m

 

0

( ) (5.7.3)

 

= =

D d , d , ..., d  

1 2 m  

I m

dove è una matrice di zeri di ordine .

0 n×m

Consideriamo ora l’equazione costruita in questo modo: si aggiungono alle n

osservazioni campionarie sulla variabile dipendente zeri (uno per ogni data del

m

campione di previsione), alle osservazioni sulla -esima esplicativa le

n i x it

corrispondenti osservazioni sul campione di previsione ), e si

m x (h = 1, …, m

i,n+h

aumenta il modello con le variabili di comodo (5.7.2). In termini matriciali

m

l’equazione risultante è 5-38

Modulo II – I minimi quadrati ordinari

β

   

   

y X 0 u (5.7.4)

   

   

= +

     

 

− δ ε

* *

   

   

0 X I m

δ

Nella (5.7.4) i sono gli i coefficienti delle variabili di comodo . Si verifica

*

m d h ,t

δ

immediatamente che le stime OLS dei coincidono con le proiezioni OLS ai

m

tempi , e che le varianze di queste stime coincidono con gli errori

n+1, …, n+m

quadratici medi delle proiezioni.

Per dimostrarlo, si osservi che per definizione le stime OLS dei parametri della

(5.7.4) minimizzano la devianza dei residui, che in questo caso è

( ) ( ) ( )

( ) ( )

∑ ∑ +

+ ε = − β − β + − β + δ − β + δ

n n m 2 (5.7.5)

2 * * *

u y X y X X X

t t

= = +

t 1 t n 1

Il primo addendo del quale consta la devianza (5.7.5) viene minimizzato, come è

β̂

β

noto, dalla stima OLS , mentre il secondo addendo r aggiunge un minimo assoluto

δ β

pari a zero quando si ponga . Queste due condizioni implicano

*

= X

δ = β δ̂

congiuntamente che sia , per cui il coefficiente della -esima variabile di

ˆ ˆ

*

X h

h

comodo è uguale a

*

d h ,t ′ (5.7.6)

δ = β =

ˆ ˆ ˆ

x y h = 1, …, m

+ +

h n h n h

cioè alla proiezione della variabile dipendente al tempo .

n+h

Se chiamiamo la matrice di disegno della (5.7.4)

Z  

X 0

 

Z =  

*

 

X I m β̂

β δ̂

δ σ

′, ′]′

la matrice di varianze e covarianze delle stime OLS [ è pari a , per

2 -1

(Z′Z)

δ̂

δ

cui, in particolare, la matrice di varianze e covarianze dei soli sarà data dal

σ

blocco diagonale inferiore di ordine della . Per ricavarlo applichiamo

2 -1

m×m (Z′Z)

la formula dell’inversa partizionata XIX-(1.4.8) alla matrice Z′Z

′ ′ ′

   

 

′ ′ + −

X 0

   

* * * *

X X X X X X X

  = (5.7.7)

Z′Z =  

   

*

′ −   −

X I *

   

0 I X I

m

m m

dove, nella notazione del capitolo XIX-1, la matrice corrisponde alla matrice

Z′Z A

′X ′ ′

e i blocchi sono , , e , per cui

* * * *

A = X′X + X A = -X A = X A = I

11 12 21 22 m

l’applicazione delle XIX-(1.4.8) e XIX-(1.4.9) mostra immediatamente che (5.7.8)

δ̂

δ σ ′

2 * -1 *

Var( ) = [ I + X ( X′X) X ]

m δ̂

e in particolare la varianza dell’ -esimo coefficiente è data dall’ -esimo

h h

h

elemento diagonale della (5.7.8), pari a 5-39

Modulo II – I minimi quadrati ordinari

′ ′ (5.7.9)

δ̂ σ + −

2 1

Var( ) = [

1 x ( X X ) x ]

+ +

h n h n h

il quale altro non è che l’errore quadratico medio di proiezione al tempo dato

n+h

dalla (5.1.6).

Il test di significatività dell’errore di proiezione

Il ragionamento svolto al punto precedente può essere applicato anche ex post, con

la differenza che in questo caso sono disponibili i valori storici della variabile

dipendente sull’orizzonte di proiezione. La (5.7.4) diventa quindi, riprendendo la

notazione del paragrafo 3.5,

  β

     

X 0

y u (5.7.10)

 

     

= +

1

1 1 1

   

   

− δ ε *

     

X I

 

y 2 n

2 2

per cui le variabili di comodo ora sono in numero di (una per ogni elemento

*

d n 2

h ,t

del sottocampione di proiezione ex post) e sono così costruite

− = +

 1 t n h

= 1

*, (5.7.11)

d h = 1, …, n 2

≠ +

h t  0 t n h

1

La devianza dei residui della (5.7.10) è

( )

∑ ∑ 2

+ ε =

n n

2 *

1 u

= = +

t t

t 1 t n 1 (5.7.12)

1 ′ ′

( ) ( ) ( ) ( )

= − β − β + − β + δ − β + δ

y X y X y X y X

1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1

e applicando il medesimo ragionamento sviluppato in precedenza si vede che il

primo addendo è minimizzato dallo stimatore OLS applicato sul sottocampione di

β

β̂ ′X ′y

stima che consta di osservazioni, cioè da , mentre il secondo

-1

n = (X ) X

1 1 1 1 1

1 δ β

raggiunge il proprio minimo assoluto, pari a zero, ponendo . Queste

= X – y

2 1 2

δ = β −

due condizioni implicano congiuntamente che sia , per cui in questo

ˆ ˆ

X y

2 1 2

δ̂

caso l’ -esimo coefficiente stimato è dato da

h h (5.7.13)

δ = β − = − = −

ˆ ˆ ˆ

x y y y e h = 1, …, n 2

+ + + + +

h n h 1 n h n h n h n h

1 1 1 1 1

cioè dal negativo dell’ -esimo errore di proiezione ex post.

h

Il modello (5.7.10) ha, tenuto conto dei cambiamenti di notazione, la stessa

matrice di disegno del (5.7.4). Dato che la matrice di dispersione delle stime

dipende solo dalla matrice di disegno, e non dal vettore della variabile dipendente,

δ̂

δ

ne consegue che le stime della (5.7.10) avranno matrice di dispersione analoga

alla (5.7.8), ovvero (5.7.14)

δ̂

δ σ ′X ′

2 -1

Var( ) = [ I + X ( X ) X ]

2 1 1 2

n 2 5-40

Modulo II – I minimi quadrati ordinari

δ̂

Di conseguenza, le di Student dei coefficienti nella (5.7.10) coincidono con

t h

le statistiche definite dalla (5.2.2) cambiate di segno. Dato che il test è bilaterale

t t

con distribuzione simmetrica, il cambiamento di segno non ne altera minimamente

δ̂

le conclusioni. Se ne conclude quindi che le dei possono essere impiegate per

t h

verificare l’ipotesi che l’ esimo errore di proiezione ex post ( ) sia

h- h = 1, …, n 2

statisticamente significativo. Operativamente, di Student maggiori di due in

t

valore assoluto indicano un fallimento della proiezione ex post, che potrebbe essere

determinato, in particolare, dalla presenza di un cambiamento di struttura nei

coefficienti (ma si vedano anche le considerazioni svolte nelle osservazioni 5.2 e 5.3

di questo capitolo).

Un’interpretazione alternativa del test del Chow

δ̂

Se le di Student dei singoli coefficienti della (5.7.10) forniscono test di

t h

accuratezza delle singole proiezioni ex post ai tempi , viene naturale definire

n +h

1

un test congiunto di accuratezza della proiezione ex post su tutto il campione da

δ

a considerando il test per la verifica dell’ipotesi che i siano

n +1 n +n = n F

1 1 2 h

congiuntamente nulli. Questo test viene talora definito nei testi in lingua inglese

predictive failure test, cioè test di fallimento della proiezione (anche se forse

sarebbe preferibile anche in questo caso denominare il test facendo riferimento

all’ipotesi nulla, che è appunto quella di accuratezza della proiezione, cioè di nullità

congiunta degli errori di proiezione ex post).

Dufour [1980] dimostra che questo test coincide con il test del Chow

F

presentato nel par. 5.5. Questa interpretazione di per sé non è particolarmente

originale, in quanto, come abbiamo visto, lo stesso Chow interpretava la statistica

(5.5.1)-(5.5.8) come test di accuratezza delle proiezioni. Tuttavia la dimostrazione

di Dufour [1980], basata sull’impiego delle variabili di comodo, è più semplice e

intuitiva di quelle precedentemente fornite da Chow [1960] e Harvey [1976].

δ

In effetti, la statistica per l’ipotesi di nullità dei coefficienti della (5.7.10)

F

può essere costruita utilizzando la consueta formula (2.5.4)

( )

− −

ˆ ˆ

u ' u u ' u n k

0 0 ~ F (5.7.15)

q , n k

ˆ ˆ

u ' u q

′u

dove è la devianza vincolata, cioè quella calcolata subordinatamente

u

0 0 δ ′

all’ipotesi nulla , è la devianza libera, cioè stimata in assenza di

H : = 0 û û

0

vincoli, data dalla (5.7.12), è il numero di vincoli, che nel nostro caso è pari a

q n 2

δ

(perché tanti sono i coefficienti ), e è il numero di gradi di libertà del modello,

n-k

pari nel nostro caso a , dato che il modello (5.7.10) ha parametri.

n - n - k k+n

2 2

′u ′

Tuttavia, nel caso in esame la devianza vincolata coincide con la

u û û

0 0 0 0

δ

del test del Chow, dato che per la (5.7.10) diventa analoga alla (3.5.4)

= 0 5-41


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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti di Econometria per l'esame del professor Carlucci sulla proiezione e i residui ricorsivi. Gli argomenti trattati sono i seguenti: la proiezione dei minimi quadrati, gli intervalli di confidenza per le proiezioni, le variabili esplicative non note nel periodo di proiezione, i residui ricorsivi, la verifica della stabilità dei parametri, le variabili di comodo nella proiezione.


DETTAGLI
Esame: Econometria
Corso di laurea: Corso di laurea in economia
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher valeria0186 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Econometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Carlucci Francesco.

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