Appunti di Econometria

06105

LEZIONE VEN

1 -

INTRODUZIONE Per

Partiamo problema elasticità di

domanda

da

1 bene

dobbiamo di al

economico consumo

misurare proprio

un

un esempio prezzo

,

.

. f- )

(

quantita

di P

)

diretta Q

Domanda '

di tra

( lineare

domanda relazione

è

la Funzione l

' prezzo

ELASTICITA una : = PREZZO

. ← ↳

QUANTITA

da '

I

Eap Eap

dove t

t es

= ◦ <

- '

.

dp q dei

domanda al

della tutta

reattività

riguardo variare

da

'

?

PERCHÈ prezzi la

' NB

ELASTICITA info

da

INTERESSANTE misurare non

:

.

( di

A

domanda beni

di di

benzina tratta

modo

stesso

sensibile si di

allo prezzo

è alla energia

rincaro rincaro

per esempio

o ,

)

tipo

di questo è

domanda elastica

necessita quanto

'

1º una

per poco .

, scegliere modello

2. è economico PROBLEMA

Rappresentare

necessario per

un il :

negativamente

bp

Q inclinata

domanda

b

quanto di

dove ' CURVA

a + poiche

caso < 0

in

= ,

,

P

b

Eap scala

= .

- Q COEFFICIENTE ANGOLARE

di DOMANDA INVERSA

CURVA

GRAFICO :

P 52 perfettamente

p Eap

rigida

curva -0

>

=

elastica

è

dunque

e di

si non a variazioni prezzo

E • e ,

P ° E

, , Q

à È situazione

costante monopolio mercato

di

rimane di

potere

di

i perciò

domanda un pieno

esempio

questo MA LA

ANCHE

PREZZI

OFFERTA VARIA

In caso . , ,

,

monopolista ' Maker

il

quindi e Price .

P limite

domanda perfettamente

'

orizzontale di

di domanda

curva

una e caso

un )

di

elastica Siamo CONCORRENZA ( più aziende

caso PERFETTA

un

in concorrono

. .

domanda

5 Q

modello

di STATISTICO

ELABORAZIONE un

3. b Pt U

Q DISTURBO

di

t Termine

a ERRORE :

= O

FORMA FUNZIONALE

-

"

" variabile OMESSE

VARIABILI

proxy -

: misurata

approssimata di MISURA

ERRORI

-

errore

con . )

economiche

( variabili

sulle

/ OSSERVAZIONI

4. DATI

VARIABILI

le POSSONO ESSERE : T

t

nel

variabili tempo

cambiano 1

che =

→ , . .

..

,

variabili individui i

tra

che cambiano N

1

→ = ..

. ,

.

,

" "

individui intesi

lato persone

come

senso

in non

, "

time

"

considerando series

ES di

sto tempo

PIL

prendo nel

una

Pllz Paese

: un CROSS Seaton

, -

Diversi

tra Paesi

di anno

Pil

Pll

prendo un

; di Pllit quindi tempo

il che

anche

' Paese il

capitare avere varia sia

puo ,

parametri

/

costanti

b Pt

Qt T Ipotizzando

t

Ut una

a + STORICA

SERIE

t t

=

= ,

. .

.

,

VARIABILI nel tempo

CHE A-

non

VARIABIU

Il OSSERVABILI

VARIABILI

tutte OSSERVABILI

sono UGUALI NON

E

: ( )

Pt (

Qt )

Vt MA ESSERE

possono STIMATI

,

I

STIMARE

5. di

PARAMETRI SERVIREMO

OBIETTIVO CI Quindi STIMATORI

: .

STIMATORE STATISTICO A.

V.

STRUMENTO

→ ,

Applicando

STIMA DATI

STIMATORE AI

Ottenuto

VALORE

AFFIDABILITÀ /

delle

6. STIME IPOTESI

delle

PROVA

PREVISIONI

7. Qt-atbp.lt t

modello Ut ,T

al

Torniamo -1

- ..

.

.

- 17

Qt .it

-1=1

DATI SU e , .

.

. È

I 7 t

+ dove

0.5 ,T

t

= = - =

, .

.

.

,

b

STIMATORE a

per e

- statistico

atti faccio il modello

?

Voglio Uso

stimare cosa

,

tb

È Ptt Ttt

il tempo

al T

1- TEMPO

PREVISIONE

→ per

=

+1 ,

¥ LE

_ statistico valido

IPOTESI Il modello altempot è tempo 171

valido

→ al

anche

dell'

il

ipotizziamo esplicativa 17+1

conosciamo valore

0

→

di

Modello REGRESSIONE UNEARE

Il

t it

=P ..

.

,

VERSIONE scalare

(1) =P

Yt ✗ 132 B Ut

✗ BK

+ tzt ✗

✗ +

+

t +

ti ; ;

, tu

+

. .

.

. .

.

È Ut

Br ✗ non OSSERVABILE

VARIABILE

t

= + r

1

✓ = VARIABILI

VARIABILE ESPUOATIVL

dipendente ,

PARAMETRI NOTI

non

COSTANTI

O

( ) ft

IPOTESI intercetta ✗ T

=P

1

: ti = ..

.

,

, ◦ Yt

13 di

PARAMETRI marginale

dei ✗

INTERPRETAZIONE Br effetto Yt

SU

tj

=

: ; 2 Xtlj

11=2

CASO B Ut

Baita

Yt +

+

✗

= t ,

, II

B + ut

+132×+2

Yt = ,

↑ ↑ ↑ ↑

Qt Pt

b

a

MATRICIALE

VERSIONE ✗

(2) 13 tu

Y = TXK txt

TXT text

- ' '

'

Y - ✗

1 ✗

- -

- ✗

13

U 13 1K

12

, .

.

, _

,

D= B

¥ =

=

= ↑ ✗

I I

92 ✗

i ✗

22

132 23 . 2k

.

.

u ,

ex , e

, '

,

× : : ;

' :

:

↳ B ✗

?

Up × ?

÷

-12

; . . .

YT ✓ BK XT XTK

XTZ

1

T } -

. . .

- .

. . .

. .

" " sugli ✗

CLASSICHE

IPOTESI Ue

ERRORI sulla

EIU] ]

[

F- V-t-t.i.it

1 Ut

O 0

- -_ ,

. TXI

TXI variabile casuale

]

[

E-

2 '

UU =

. TXIIXT applicare

dire ciascun

VUOI a

elemento '

di UU Val Atteso

il . -

- 42 Viva UIUT

'

UU matrice

è

. simmetrica

.

.

= una

TXIIXT v2 1- ≠

con

Utus s

.

.

'

2 ;

" u ]

# [ Ut -0

" È

UF ]

/ ≥ ]

questo UÌ

[

)

' (

perche #

varlut E

) ]

E

Ut [ Ut

=

- -

,

- -

- -

. . [

. . ]

E

. 4-

" Us ]

Gluteus

- i

. -

- -

.

]

[

* , [ di

]

uu [ '

UU è varianze

matrice

la e covariante

= Allora

. " "

ECU ]

! " Varlut

)

= .

I .

l .

l \ -

- .

_

TI

- -

0 0

. .

.

{

I

è tti

( ]

E- ft

)

( degli

' Vt OMOSCTIEDASTIUTA

VU var ' ERRORI

☐

=

= -

2 ,

u , " Covllfvg ltt degli

=/

) INCORREUAZIONE

S ERRORI

. =D ,

. " Tft

- _

/

✗ )

random STOCASTICA componente

( deterministica modello

del

non

3 non

. Ì

' fra linearmente

matrice

la

Ed ✗

dire

K

) T colonne

che le

(

( '

✗ ' equivale

' ESISTE

quindi

✗ a

✗

× ✗

✗

✗

✗ singolare

perciò

4 <

rg e

non

= ,

. " " indipendenti )

CLRM (

di

modello ipotesi model

linear regressioni

classica

4

1-

REGRESSIONE /

si

Il dice

UNEARE Soggetto alle =

quadrati

dei

13 minimi

STIMARE

PER CRITERIO

CRITERIO : RICHIAMO :

T ÙU

EUI B)

Ca'

a

Min a

→ =

= ZB

1-

B ' TTX '

=/ ✗ AB)

P'

( Zap

a -

i

Parametri

K dB

"

"

ÈÈÈ;I " "

" °

condizioni ordine

del (

primo

¥9

" "

a → = ,

213 → ve

{ all' U -1¥

riffa a

43 ytplxip

U

XP

D= ' B)

(

U (

ÙU B)

NB XP

Y

+ y' '

yiy p'

Y

: ✗ ✗

, Y xp

- ✗

-

kcondizioni -

di - - =

STISTEMA - -

I KKXT

IU 1

TXT IXTTXKKXT

TXT

) TXT

✗ KXI Kxttxnkxi

( y

g ' +2×1×13=-2×19+2×413

'

✗ y ✗

0 y

- "

-

=

all' '

U Y' )

( XP

ap

= ☐ I' '

✗ y

213h a-

1×1

all' U ' ordine

condizioni

' di

delle

13

✗ primo

✗

FOC compatta

FORMA

✗ 9=0

: -

= " I

✗

"

" text

, " text

@ }

| - ,

, ×

KXI ' '

13 "

normali

✗

✗

✗ Y di cosiddette "

EQUAZIONI

sistema K

= " '

1-

' y

( ✗

✗

13 ✗

= "

NXT

moltiplicare (

Posso ipotesi

sx

a poiche esiste

per ' 4

per

È "

XÌ '

PERCIÒ ( ' ✗ ORDINARI (

Y QUADRATI )

✗ dei

STIMATORE MINIMI OLS

=

, KXI RANDOM

COMMENTO SONO

NON

13th la

✗

y = ↑

È T'

'

' 1-

_ '

' ' '

' )

( (

)

( 1-

' ( il

✗

(

13 '

Ptu

✗ '

× ✗

✗ y +

✗

✗ ' + ✗

=p ✗

✗ U

✗

✗ ✗

=

= = è VAR

una casuale

↳

XÌX

1^3=13 §

'

(

' '

PERUO U

✗ CASUALE

t una

di VARIABILE U

è c. L

Risulta che .

↓ "

1^3-13 '

-

( ) U

✗

' X

✗ BIAS

SAMPLE

→

=

-

SCARTO è

TRA di

grado

non STIMARE

STIMATORE

lo

QUESTO CHE

SIGNIFICA in

≠ 0 ,

STRUMENTO STATISTICO modo parametri

in Esatto 13

di

vettore

il

devo STIMARE

CHE

E QICS /

MARIO 05

LEZIONE 2- least

ordinario "

"

"

ÒLS "

"

negli

'

PROPRIETA STIMATORI stimatori il

ottenuti metodo

con

quadrati )

(

dei OLS

minimi

1 DISTORSIONE

non

. EIÀ ] B

= stocastica

non ] '

È '

Il -

) '

(

# EIU]

1- '

EC B) '

' ✗

✗ ×

U

✗ ✗ o

✗ =

=

=

- ✓

↓ ipotesi

o per

=

PERCIÒ stocastica classica

È ]

E[ -13 0

=

È È

]

[ [

F- [

] B)

F- E =p

- "

p

EFFICIENZA

2. È "

È MATRICE

1-

/

pi

[ }

Ì

) '

]

( '

E '

( ( (

B)

cov B) v'

'

E (

✗

✗ '

✗ v. ✗ ✗

✗ un

= =

- -

KXK I' ' '

T' XÌ

' ! _

)

1- [ ( (

] Jj (

'

(

UU '

' '

E- ✗

( '

I

' '

✗

' ✗

✗

✗ 0

✗ ✗ ×

✗

× ✗

✗

✗

=

matrice =

= ,

di VARE - ✓

§

di

COVARIANTE T' pi

Ff )

(

[ It ( ' Var j

IPOTESI

→ ✗

CLASSICHE 1

✗ K

È n

= =

' ( ' , ,

..

.

✗ I

✗

✗ ✗ jj

2 E 3 . ,

\

ALTERNATIVO OLS

A

STIMATORE :

È È '

LY IY

( ) _

' ✗

× AY

✗

= = =

, .

" T TX /

✗

tizi A

=

STOCASTICA

MATRICE non

È )

(

=L LXB LU

Ptu

✗ +

=

, È

EI ] ]

[

E LXP [ ] distorto

E- dunque

≠

LU

+ LXB è

13

= =

È È

PERUÒ ]

( ) [

In

DISTORTO

AFFINCHÈ 13

F-

LX modo

IPOTESI

NON QUESTO

in

=) =

= → ,

,

, BIAS

Et sample

È

Carlà È ]

El È È

( '

(

) B) )

B) (

=L LXB LU

Ptu B

LU

✗ Lu

=p

+ +

-

-

= = - -

-

- ,

SAMPLE BIAS

EILU L' )

] (

distorto

tu

EIVV ] 13 lineari

stimatore

=L

V' '

' LL OLS

da

≠

y

L generico non per in

→ e

.

= . =

. TE modo

seguente

nel

L

allora

RISCRIVIAMO :

' '

_

)

( qualsiasi

1) MATRICE

✗ stocastica

' non

( ✗ t

× →

=

Moltiplico PER

MATRICE

CIASCUNA A SX µ

'

1- '

'

(

LX DX

✗

✗ +

✗

✗

= DÈ DX

In DX

In

In 0

LX +

+ =

= =

In

PCR Ipotesi

CONFRONTO ÌD '

'

D) { ]

' '

LL' [ ' )

(

( -

) _ '

' × ✗

✗

+

✗

✗ ×

= i '

'

' ' _

' ( _

)

- D' (

)

( 1- ' '

)

'

(

' ' ' ✗

✗ ✗ DX

✗ ×

✗ t ✗

×

✗

✗

× + DD

+

= "

" '

Id )

( DX

= =D

'

( ) '

' _ DD

✗ ×

= +

' moltiplico

' }

- '

( ' )

LI membri

entrambi

✗ DD

✗ i

+ T

= per

' '

) }

% DD

_

(

TI definita

' '

LL semi

✗ Ti

✗ +

= POSITIVA

Colpi

colpi ) ¥0

) QUESTO significa che

Covlpi corpi

)

) ≥o

- teorema

importante

Questo di

ci consente enunciare un :

MARKOV

GAUSS

di

TEOREMA - è

OLS PIÙ

STIMATORE ( qualsiasi

" )

di

lo più

EFFICIENTE LINEARE

ALTRO STIMATORE

MATRICE VAR E Pippetto

"

COV non

E

a

piccola

DISTORTO B

per "

"

OLS ' Blue

e

na.nl ? edesTlMAT0RUNl -RACTUAl/Fl TED/RESlDUAlS

{

↓

BEST osservati

ACTUAL Y

valori

:

• TXI È

I ✗

=

previsti

valori

FIITED :

◦ TXI I

TXK In ✗

Ù §

RESIDUAIS y

residui

: = -

• TXI TXI TXI

dal

non spiegata

Modello ↑

Ù

§ È

9+-9^+1

Y

perciò tt

+ .it

1

= =

- , . . .

↓

osservata modello

dal

di y spiegata

parte "

Proiezione

di

Matrice

definita " previsti

valori

dei

Y matrice

di calcolare

consente la

matrice

FIITECL applicata

essa alla

ne

, ,

È PY

D= y

✗ =

= PTXT

RESIDUAIS ANNIGHILATRICE

MATRICE : osservati

applicata matrice

ne Y

alla dei valori

D=

Ù ,

)

Y ( Y

y P

py It ottengo

y residui

i del modello

= - ☐

=

-

=

_

definito

perciò abbiamo :

'

(

P 1- di

'

✗ '

✗ ×

✗ proiezione

matrice

= )

M ( Id P

= annighllatrice

matrice

- Pe

' M

delle MATRICI

PROPRIETA MI

M

1. '

P

SIMMETRIA =P e =

: )

( I P

M = -

' '

D= ( ' )

✗ _

✗ ×

✗ ' '

M'

' P

I

1) P I

'

( M

P' '

' (

) '

( )

' _ =

=p

✗

✗ ✗ ×

✗ - ✗

× - -

✗ = =

=

= ↓

↓

ENTRAMBE

MATRICI SIMMETRICHE

=P

IDEMPOTENZA PXP

2 M

M M

: ✗ =

. , )

( ) (

' ' '

'

l' ftp.I-P-M

I

( MM P

_ I P

I P I

)

( PI

_ P

' P

'

✗ ✗

✗ +

✗ ✗ =p

✗ ✗ × = =

-

- -

= - -

=

- =P per

I potenza

Idem

µ '

ORTOGONALITA

3. MP =D

:

)

( xp

P

It =P PP P

=P 0

- =

- -

M ✗

COROLLARIO 0

: =

( '

)

P

I -

✗ '

( Xix

X-P ) ✗

✗ ✗ ✗ ✗

✗

✗ 0

=

- = =

- =

-

9=5+0

↓ parte