Econometria - la proiezione e la causalità

F. Carlucci, A. Girardi – Traccia per un corso di Econometria

Modulo X – Modelli VAR

3. PROIEZIONE E CAUSALITA’

Indice del capitolo

3.1. La proiezione puntuale ................................................................................................ 2

3.2. Il caso del rumore bianco ............................................................................................. 4

3.3. La proiezione lineare ................................................................................................... 6

3.4. Il caso del valor medio nonnullo.................................................................................. 9

3.5. La scomposizione della varianza dell’errore di proiezione ...................................... 10

3.6. La causalità secondo Granger ................................................................................... 12

3.7. La proiezione puntuale per i modelli con parametri stimati .................................. 14

3.8. Risposte all’impulso e scomposizione della varianza dell’errore di proiezione per i

modelli con parametri stimati................................................................................... 19

L’analisi delle risposte agli impulsi.................................................................... 19

La scomposizione della varianza dell’errore di proiezione ............................... 19

3.9. Test di non causalità secondo Granger..................................................................... 22

3.10. La proiezione intervallare ......................................................................................... 25

3.11. Test di cambiamento strutturale .............................................................................. 27

3.12. Bibliografia ................................................................................................................. 31

Pagina 3-1

Modulo X – Modelli VAR

3.1. La proiezione puntuale

Consideriamo ora il problema di prevedere nel futuro il vettore generato dal

y t

modello VAR( ) (2.1.1) che per comodità riportiamo di nuovo nel seguente

p = + + + + + (3.1.1)

y c A y A y … A y u

t 1 t−1 2 t−2 p t−p t

subordinatamente alla conoscenza di un insieme di informazioni che indichiamo

Ω , dove l’indice indica che le informazioni sono quelle disponibili al tempo ,

con t t

t

anche se riguardano, oltre al passato, anche i tempi che seguono .

t

Ω Ω = {y | ≤

Se è costituito dai soli valori passati e presenti di , cioè , non

y s t}

t t t t

prevede proietta

si più ma lo si . Nel prosieguo ci occuperemo soltanto di

y t

proiezioni , effettuate quindi conoscendo i valori di nel campione, per

y t

= , e proiettandolo uno, due, …, tempi in avanti supponendo che valga

t 1, 2, …, n h

ancora il modello (3.1.1)

= + + + + + (3.1.2)

y c A y A y … A y u

n+h 1 n+h−1 2 n+h−2 p n+h−p n+h

con ( )

~ = ∀

E u 0 h

+

n h (3.1.3)

= +

 Σ s n h

( )

~ ~

⋅ = u

E u u 

+

n h s = + + −

0 s 1

, 2

,..., n , n 1

,..., n h 1

 puntuali

queste proiezioni, che sono perché riguardano il

Chiamiamo con ŷ +

n h

punto (vettoriale) ; quando le sono considerate aleatorie, perché sono

y ŷ

n+h n+ h proiettori

aleatori tutti i suoi componenti, le chiamiamo . Proiettori e proiezioni

1

sono indicate con lo stesso simbolo: la differente interpretazione è facilmente

determinabile dal contesto. errore di proiezione

La differenza tra e la sua proiezione costituisce l’ al

y n+h

tempo n+h = − (3.1.4)

e y ŷ

n+h n+h n+ h

è considerato come un proiettore è denotato con una tilde

che quando ŷ +

n h

~

sovrapposta, . L’errore di proiezione è utile per caratterizzare il proiettore ,

e ŷ

n+ h n+ h

che è naturale scegliere come quello che minimizza l’errore quadratico medio

(MSE ) di proiezione

2

Come gli stimatori sono il corrispondente aleatorio delle stime.

1 Mean Square Error

, in inglese.

2 Pagina 3-2

Modulo X – Modelli VAR

( )

~ ~ ′

⋅ (3.1.5)

E e e

+ +

n h n h

corrispondente alla minimizzazione del MSE di proiezione di ogni componente del

vettore . Minimizzando la (3.1.5) si ottiene il proiettore: infatti

y n+h ′

 

( ) ( )( )

~ ~ ~ ~

′ =

⋅ = − −

ˆ ˆ

E E

e e y y y y

 

+ + + + + +

n h n h n h n h n h n h

 [ ]

( ) ( )

~ ~ ~

= − + − ⋅

ˆ

E E E

y y y y

Ω Ω

 + + + +

n h n h n n h n n h

 

[ ]

( ) ( ) ′

~ ~ ~ =

⋅ − + − ˆ

E E

y y y y

Ω Ω 

+ + + +

n h n h n n h n n h  

 [ ] [ ]

( ) ( ) ′

~ ~ ~ ~ +

= − ⋅ −

E E E

y y y y

Ω Ω 

 + + + +

n h n h n n h n h n 

 (3.1.6)



 [ ] [ ]

( ) ( ) ′

~ ~

− ⋅ −

+ ˆ ˆ

E E E

y y y y

Ω Ω 

 + + + +

n h n n h n h n n h 



dove ( )

~

E y Ω

+

n h n

~ condizionato alla conoscenza delle informazioni contenute

è il valor medio di y n+ h

Ω

in , e dove si è sfruttato il fatto che

n 

 [ ] [ ]

( ) ( ) ′

~ ~ ~ =

− ⋅ − ˆ

E y E y Ω E y Ω y 0



 + + + +

n h n h n n h n n h 



[ ]

( ) ~

~ ~

− è funzione dei residui per , non correlati con

perché u t > n

y E y Ω

+ +

n h n h n t

[ ]

( ) ~

~ ≤

− ˆ , funzione degli con .

y t n

E y Ω y

+ + t

n h n n h

Se si prende come proiettore il valor medio condizionato

( )

~

= (3.1.7)

ˆ

y E y Ω

+ +

n h n h n

si minimizza la (3.1.5), nel senso che si minimizza l’errore quadratico medio di

proiezione di ogni componente del vettore o, in maniera equivalente, che vale la

y

n+h

relazione { }

[ ] [ ]

( ) ( ) ′

( )

~ ~ ~ ~ ~ ~

′

⋅ = − ⋅ −

E e e y E y Ω y E y Ω

+ + + + + +

n h n h n h n h n n h n h n

Si osservi allora che la (3.1.5) può essere considerata come la matrice degli errori

quadratici medi di proiezione di ogni elemento di .

y

n+h Pagina 3-3

Modulo X – Modelli VAR

3.2. Il caso del rumore bianco

{ }

~ ~ ~

Se il processo è un rumore bianco indipendente, cosicché i residui ed

u u u

t t s

≠

sono indipendenti per , si ha che il proiettore ottimale tempi in avanti è

s t h

( )

( ) ( )

~ ~ ~

= + + + (3.2.1)

E y Ω c A E y Ω ... A E y Ω

+ + − + −

n h n n h n p n h p n

1 1

dalla quale si ottiene, ricorsivamente,

( )

~ = + + + +

E y c A y A y A y

Ω ...

+ − − +

n 1 n 1 n 2 n 1 p n p 1

( ) ( )

~ ~

= + + + +

E y c A E y A y A y

Ω Ω ...

+ + − +

n 2 n 1 n 1 n 2 n p n p 2

...

che nel caso del modello VAR(1) diventano

( )

~ = +

Ω

E y c A y

+

n 1 n 1 n

( ) ( ) ( )

~ = + + = + + 2

Ω

E y c A c A y I A c A y

+

n 2 n 1 1 n k 1 1 n

... ( )

( )

~ −

= + + + +

h 1 h

E y Ω I A ... A c A y

+

n h n k 1 1 1 n

Esempio – Utilizziamo due generiche serie storiche, e , relative ad un

y y

1 2

=

orizzonte temporale costituito da osservazioni. L’andamento nel tempo di

n 40

queste due serie è riportato nella Figura 3.1.

y y

−

Figura 3.1 (linea continua) e (linea tratteggiata). Valori percentuali.

1 2 Pagina 3-4

Modulo X – Modelli VAR

vero

Ipotizziamo che il processo generatore dei dati sia rappresentabile

mediante il seguente il modello autoregressivo vettoriale di ordine uno

−  

y

   

   

y u

1.20 1.27 0.65 −

1, t 1

1

t 1

t

= + ⋅ +

 

   

   

− y

y u

1.08 1.93 0.66

   

   

 

−

2, t 2

2 t 2 t

dove il vettore dei residui si suppone un processo del tipo rumore bianco

indipendente. tempi in avanti è necessario partire dalle

Per calcolare il proiettore ottimale h

realizzazioni al tempo degli elementi di . Nel caso in esame si ha

n y t

 

y  

4.07

1,40 =

   

y 4.73

 

 

2,40 =

Limitando l’orizzonte della proiezione a tempi, otteniamo

h 3

−

       

1.20 1.27 0.65 4.07 3.29

( ) = + ⋅ =

       

E Ω

y 41 40        

−

1.08 1.93 0.66 4.73 5.78

       

− −

         

1.27 0.65 1.20 0.36 0.39 4.07 1.62

( ) = ⋅ + ⋅ =

         

E Ω

y 42 40          

−

1.93 0.34 1.08 1.17 0.81 4.73 3.58

         

− −

         

2.62 1.04 1.20 0.30 0.03 4.07 0.93

( ) = ⋅ + ⋅ =

         

E Ω

y 43 40          

− − −

3.09 0.47 1.08 0.08 0.22 4.73 1.83

          Pagina 3-5

Modulo X – Modelli VAR

3.3. La proiezione lineare

Nel paragrafo precedente è stato determinato il proiettore ottimale nel caso di

residui indipendenti. In realtà questa ipotesi è abbastanza restrittiva ma può

essere indebolita se il proiettore è ristretto alla classe di quelli lineari. In altre

parole è generalmente più conveniente utilizzare proiettori lineari con residui

semplicemente non correlati (anche se stocasticamente non indipendenti) che non

proiettori generici ma con residui indipendenti.

Mostriamo questa possibilità dapprima per i VAR(1) e poi per modelli VAR( ),

p

=

tutti con .

c 0 = =

e per ; otteniamo il modello VAR(1) scritto

Scriviamo la (1.7.2) per t n+h j h−1

nella forma −

h 1

∑

= +

h i

y A y A u (3.3.1)

+ + −

n h 1 n 1 n h i

=

i 0

Quindi prendiamo un generico proiettore lineare nelle correnti e ritardate

y

t

= + +

ˆ (3.3.2)

y B y B y ...

+ −

n h n n

0 1 1

sono matrici di coefficienti, e costruiamo l’errore di proiezione

dove le B ( ) −

∞ h 1

∑ ∑

= − = − − +

h i

ˆ

e y y A B y B y A u (3.3.3)

+ −

+ + + −

n h n h n h 1 0 n i n i 1 n h i

=

=

i 1 i 0 ≥

per cui, sfruttando il fatto che , per , è non correlato con , per

u > 0 y 0

j i

n+j n−i

′ 



   

− −

1 1

h h

( )

~ ~ ~ ~

∑ ∑ 



′ +

=

⋅    

i i

E A u A u

E e e + − + −

+ + 1 1

n h i n h i

n h n h 



   

= =

0 0

i i 

 (3.3.4)

′

 

   

( ) ( )

∞ ∞

 

~ ~ ~ ~

∑ ∑

+ − − − −

h h

E A B y B y A B y B y

 

   

− −

1 0 1 0

n i n i n i n i

   

 

= =

0 0

i i 

h

= =

che è minimo, nel senso indicato sopra, per , e per ogni . Allora il

B A B 0 i > 0

0 1 i

proiettore (3.3.2) diventa = (3.3.5)

h

ˆ

y A y

+

n h 1 n

l’errore di proiezione (3.3.3) −

h 1

∑

= i

e A u (3.3.6)

+ + −

n h 1 n h i

=

i 0 Pagina 3-6

Modulo X – Modelli VAR

e l’errore quadratico medio (3.3.4) ′

  ′

    ( )

− − −

h h h

1 1 1

( )

~ ~ ~ ~

∑ ∑ ∑

 

′

⋅ = =

   

i i i i

e e A u A u A Σ A

E E (3.3.7)

+ + + − + −

n h n h n h i n h i u

1 1 1 1

 

   

= = =

i i i

0 0 0

 

Per definire gli analoghi valori per il modello VAR( ) possiamo utilizzare la sua

p

trasformazione in VAR(1) operata nel paragrafo 1.9. Il proiettore (3.3.5) diventa

ˆ ˆ (3.3.8)

= =

h h

ξ F ξ F ξ

+ + −

n h n n h 1

dove sulla falsariga della (1.9.2), è

[ ] ′

ˆ = ˆ ˆ ˆ

ξ y y ... y

+ + + − + −

n h n h n h 1 n h p =

dato dalla (3.3.8) per la matrice , come effettuato

e moltiplicando ξ̂ J [I 0 … 0]

k

+

n h

nella (1.9.4), si ottiene

ˆ ˆ (3.3.9)

= = = + + +

ˆ ˆ ˆ ˆ

y J ξ J F ξ A y A y ... A y

+ + + − + − + − + −

n h n h n h 1 1 n h 1 2 n h 2 p n h p

con la quale si possono effettuare ricorsivamente le proiezioni.

D’altro canto, per ottenere l’errore di proiezione basta scrivere il modello (1.9.2)

nella forma (3.3.1) −

h 1

∑

= +

h i

ξ F ξ F v (3.3.10)

+ + −

n h n n h i

=

i 0

e considerare che per le (3.3.8) e (3.3.10)

( )

ˆ

e = − = − =

ˆ

y y J ξ ξ

+

n h + + + +

n h n h n h n h

 

− − −

h 1 h 1 h 1

∑ ∑ ∑

= = =

i i

J F v J F v Ψ u

