Econometria - la proiezione e la causalità

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Q B Q A Σ Q B Q A Σtr tr A   1 1 1 1u u( )′[ ] ˆ ˆˆ+ ⋅ ⋅ ⋅ =2 2tr I A Σ Au4 1 1 1.23 0.22 0.39 = 0.22 1.23 0.37  0.39 0.37 0.51 L’errore quadratico risulta in definitiva − 0.36 0.07 0.03Ω  ( ) ˆ′⋅ = + = −* * 1E e e Σ 0.07 0.94 0.01 83 83 1 82  0.03 0.01 0.33  Pagina 3-17Modulo X – Modelli VAR− 0.43 0.04 0.06Ω  ( ) ˆ′⋅ = + = −* * 2E e e Σ 0.04 0.97 0.02 84 84 2 82  0.06 0.02 0.34 − 0.46 0.03 0.07Ω  ( ) ˆ′⋅ = + = −* * 3E e e Σ 0.03 0.62 0.02 85 85 3 82  0.07 0.02 0.35  Pagina 3-18Modulo X – Modelli VAR3.8. Risposte all’impulso e scomposizione della varianzadell’errore di proiezione per i modelli con parametri stimatiL’analisi delle risposte agli

impulsiL'analisi della dinamica delle risposte agli impulsi viene effettuata, come illustrato nel capitolo 1, esaminando le matrici dei parametri della rappresentazione a somma mobile del VAR(∞∑= + =y ν Ψ u Ψ I (3.8.1)k−t i t i 0= 0) che è l'(1.4.3) al quale abbiamo aggiunto il termine noto vettoriale ν.

Se si desidera che i residui siano incorrelati, e quindi che gli impulsi siano shock strutturali, la (3.8.1) deve essere sostituita, in virtù di quanto costituiti da asserito nel paragrafo 1.6, con la ∞∑= +y ν Θ w (3.8.2)−t i t i= 0i= =, dove Θ, matrice di dispersione dei residui a ritardo zero.

In generale i parametri delle due somme mobili (3.8.1) e (3.8.2) non sono noti e =, , ottenute con uno dei vanno quindi calcolati a partire dalle stime i 1, 2, …, p i criteri illustrati nel capitolo 2. Le condizioni di ricorsività (1.4.5) permettono di determinare le

matrici , , dalle quali si risale poi alle ,i 0, 1, 2, …Ψ̂ Θ̂i i= , mediante le (1.6.5) dove è sostituita dalla matrice calcolataP̂i 0, 1, 2, … Pˆ ˆ ˆ ′=scomponendo la matrice di dispersione stimata con la (2.4.5) o con laΣ P Pu(2.4.6) oppure ancora con la (2.9.3) utilizzando il criterio della massimaverosimiglianza.

Il vettore può essere calcolato mediante la (1.4.6) a partire dalle stime ,ν̂ Â i= , e , determinata quest’ultima con il criterio dei minimi quadratii p1, 2, …, ĉ(2.2.2) oppure tramite con il criterio della massima verosimiglianza (2.9.1) oµ̂quello di Yule-Walker (2.6.7).

La scomposizione della varianza dell’errore di proiezioneIn maniera del tutto analoga si procede per la scomposizione della varianza= −1dell’errore di proiezione. Determinate le matrici , , e , unai h0, 1, …,Ψ̂ Σ̂i u ϑ̂stima dell’MSE matriciale è

Impulso su USA Risposta di ITA ad un impulso su USA.

7 .3 .4.6 .2 .3.5 .1.4 .2.0.3 -.1 .1.2 -.2.1 .0-.3.0-.1 -.4 -.12 4 6 8 10 2 4 6 8 10 2 4 6 8 10−

Figura 3.2 Funzioni di risposta di USA, JAP e ITA ad un impulso prodotto sull’equazione del tasso di crescita USA (linee continue) ed intervalli di confidenza (linee tratteggiate), relativamente ad un orizzonte di dieci trimestri. Valori espressi in termini percentuali.

L’impulso prodotto esercita un aumento immediato del tasso di crescita per gli USA e per l’Italia ed una diminuzione in quello giapponese. Gli effetti appaiono di modesta entità sia in termini di intensità (la risposta massima, in termini assoluti, shockè pari allo 0.6%), sia in termini di persistenza (lo viene assorbito totalmente in sei trimestri nel caso degli USA e del Giappone in sette trimestri per l’Italia).

Risultati simili si ottengono analizzando il contributo esercitato dal tasso di crescita degli USA sulla varianza

dell'errore di proiezione per le tre economie esaminate. I risultati sono riportati nella tavola seguente. Si veda Lütkepohl (1991, p. 98).

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Modulo X - Modelli VAR

Tavola 3.1 Contributo del tasso di crescita degli USA sulla varianza dell'errore di proiezione di USA, JAP e ITA. Standard error in corsivo. Valori percentuali.

Nel caso statunitense essa "spiega" la quasi totalità della varianza dell'errore di proiezione della variabile USA, mentre per le variabili JAP e ITA tale contributo non appare statisticamente diverso da zero.

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3.9. Test di

Σ RuDa questa normalità asintotica, per una usuale proprietà stocastica delle formequadratiche, si trae [ ]( )′( ) ( )′−= − ⊗ − → χd1 2ˆ ˆ (3.9.2)n R π r R Q Σ R R π rξ W u q è dettatramite la quale è possibile verificare l’ipotesi nulla (3.9.1). La statistica ξ Wdi Wald così come il test di non causalità.E’ necessario, tuttavia, aggiungere due precisazioni. In primo luogo,generalmente e non sono noti e quindi devono essere stimati. In secondoQ Σ uluogo, per gli usuali piccoli campioni la (3.9.2) deve essere corretta. Se le stime sonole (2.4.4) e (2.4.6) con i relativi stimatori che sono consistenti, Lütkepohl(1991, p.94) suggerisce di modificare la statistica con l’altra , che si/ qξ ξW W− +1distribuisce approssimativamente come una di Fisher con e gradi diF q n kplibertà.Esempio – Utilizziamo ancora il

modello VAR (1.8.1). Un aspetto particolarmente interessante che può essere esaminato attraverso il test di non shock causalità esposto in questo paragrafo attiene alla trasmissione degli tra idiversi paesi.

Verifichiamo l'ipotesi di non causalità secondo Granger dei tassi di crescita del PIL reale del Giappone e dell'Italia nell'equazione del tasso di crescita del PIL degli USA. I risultati sono riportati nella Tavola 3.2. Pagina 3-22

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Tavola 3.2 Verifica dell'ipotesi di non causalità secondo Granger per la variabile USA. La prima colonna indica la realizzazione della statistica; la seconda colonna indica i gradi di libertà; la terza indica la probabilità associata alla realizzazione della statistica.

Le variabili JAP e ITA, sia singolarmente sia congiuntamente, appaiono non statisticamente significative.