Appunti econometria

Valore atteso

Il valore di Y è E(Y) = y₁P₁ + y₂P₂ + ... + y_kP_k

Varianza e deviazione standard

Var(x) = σ_x² = E [x - E(x)]² =

= E[x - μ_x]²

= Σ(x_i - μ_x)² • p_i

Varianza di un Bernoulli

σ_x = √p(1-p)

Curtoosi

La curtoosi di una distribuzione è una misura di quanto sistemo nelle due code e pertanto è una misura di quanto delle varianze di valori dei valori estremi, cioè degli out-lier.

Curtoosi = ^{E[(y - μ_y)4]} / σ_y⁴

La curtoosi di una variabile casuale che si distribuisca normalmente è per m = 3. Una distribuzione con curtoosi superiore a 3, e cioè con più masse nella coda, è detta leptocurtica.

Distribuzione congiunta

La distribuzione di probabilità congiunta di due variabili casuali X e Y, fornisce le probabilità che tali variabili assumano simultaneamente certi valori x e y

P_r(X_x, Y_y)

Distribuzione condizionata

La distribuzione condizionata di Y dato X è la distribuzione delle variabili Y condizionatamente al fatto che un'altra variabile casuale X assuma uno specifico valore.

P_r(Y=y | X=x) = ^{P_r(X=x, Y=y)} / P_r(X=x)

Congiunto / marginale

Indipendenza

X e Y sono indipendenti se le distribuzioni condizionate di Y dato X è uguale alla distribuzione marginale di Y

Covarianza

La covarianza tra X e Y è il valore della E[(X-μ_x)(Y-μ_y)]

= ΣΣ(x_i - μ_x)(y_j - μ_y)P_r(X=x_i, Y=y_j)

Essa misura precisamente come e quanta due variabili casuali X e Y fluttuano insieme.

Se X e Y sono indipendenti, la loro covarianza è zero. Se X e Y tendono a muoversi in direzioni opposte, la loro covarianza è negativa.

Correlazione

La correlazione è una misura alternativa di dipendenza tra X e Y che risente il modo uno dalle unità di misura.

Le variabili casuali X e Y sono incorrelate se corr(X,Y) = 0

Distribuzione normale

La distribuzione normale standard è la distribuzione normale con media μ=0 e varianza s²=1, N(0,1). Per determinare le probabilità nel caso di una variabile normale con media e varianza generiche, è necessario standardizzarla →

Teorema del limite centrale

Secondo il teorema del limite centrale, per n grande, la distribuzione (Y_n - μ) / s_n è ben appassim di una normale.

Estrazioni i.i.d.

Nel campionamento casuale semplice, campioni sono estratti assolutamente da una popolazione e ogni campione ha la stessa probabilità di essere estratto, le variabili Y₁, Y_n sono compostamente e identicamente distribuite.

Consistenza

Lo stimatore vera valore del parametro p grande si trova un parametro μ_Y con probabilità, incremento a crescere consistenza

Non distorsione

Quando la media della distribuzione di uno stimatore è uguale a μ_Y, si dice che lo stimatore è non distorto o correto.

Efficienza

Tra due stimatori, entrambi non distorti, il più efficiente quello che presenta una varianza minore.

Infine in secondo luogo, sebbene vediamo le condizioni del teorema, a volte

possono esserci stimatori alternativi che non sono lineari e completamente

meno distorti più efficienti degli OLS.

Distorsione da variabili omesse

Se il regressore X è correlato con una variabile omessa dall’analisi

ma che determina in parte le variabili dipendenti, lo stimatore OLS

subisce una distorsione da variabile omessa. Affinché vi sia distorsione

devono verificarsi due condizioni: X è correlato con la variabile omessa,

e variabile omessa contribuisce a determinare la variabile dipendente Y.

La distorsione da variabile omessa è dovuta al venir meno della prima

ipotesi dei minimi quadrati che dirà E(ux|X)=0.

Se una variabile omessa è un determinante di Y, essa è inclusa nell’

errore u, se è correlata con Y, anche l’errore è correlato con X, e

quindi la media di μ x condizionata e X, e non nulla.

SER

SER =

• ∑m-k-1

R² corretto

Poiché il R² aumenta aggiungendo una nuova variabile, un aumento dell’

R² non significa che aggiungere una variabile migliori realmente l’adatt.

del modello. In questo senso il R² fornisce una stima in eccesso della

bontà della regressione. Un modo per correggere questo effetto è calcolare

l R² corretto.

Reassunzioni dei minimi quadrati per la regressione

1. Le distribuzioni di μ x condizionate a X₁ …X_k è ames nulle.
2. Le (x₁…, x_k) sono come suano casuali indipendentemente identicamente

3) CAUSALITÀ SIMULTANEA

La distorsione da causalità simultanea si verifica in una regressione

quando in aggiunta al legame causale d'interesse da Y_r e X vi è un le-

game causale da Y_i a X. Questa causalità inversa rende X correlato con

l’errore nella regressione d’interesse.

Una soluzione al problema potrebbe essere l’uso della regressione con

variabili strumentali:

Y_r = β₀ + β₁ X_i + u_i

X_i = γ₀ + γ₁ V_i + v_i

Ognuna di queste condizioni rende invalida la prima assunzione dei minimi

quadrati E(u_i | X₁ … X_K) ≠ 0 e ciò a sua volta implica che lo stimatore

OLS è distorto e inconsistente.

✖ Se gli errori sono eteroschedastici allora gli OLS non sono BLUE.

È possibile costruire uno stimatore che ha varianza minore rispetto

allo stimatore OLS, attraverso il metodo dei minimi quadrati

ponderati.

Stimatore TSLS

Quando vi è un solo X_i e un solo strumento Z_i esiste una formula semplice

per lo stimatore TSLS

β₁^TSLS = Cov(Z, Y_i) / Cov(Z, X_i)

Il modello generale di regressione IV

Il modello generale di regressione IV prevede i seguenti tipi di variabili:

• Variabili dipendenti Y
• Regressori endogeni che causano problemi
• Regressori aggiuntivi che non sono correlati con l’errore, chiamati VARIABILI
• ESOGENE INNOCUE W
• Variabili strumentali Z

Poiché sia possibile effettuare una regressione IV, devono essere almeno tante

variabili strumentali quante sono i regressori endogeni.

I coefficienti di regressione sono detti ESATTAMENTE IDENTIFICATI se il numero

di strumenti (m) è uguale al numero di regressori endogeni (k).

I coefficienti sono SOVRAIDENTIFICATI se il numero di strumenti è maggiore del

numero di regressori endogeni.

I coefficienti sono SOTTOIDENTIFICATI se il numero di strumenti è minore

del numero di regressori endogeni.

Minimi quadrati a due stadi (TSLS)

Lo stimatore TSLS per il modello generale di regressione IV con più

variabili strumentali si calcola in due stadi:

1. REGRESSIONE DEL PRIMO STADIO. Si effettua una regressione di X_i sulle

   variabili strumentali (Z) e sulle variabili esogene (W) tramite gli OLS

   si calcolano i valori predetti da questa regressione, indicati da X^{^}.

2. REGRESSIONE DEL SECONDO STADIO. Si effettua una regressione di Y_i

   su valori predetti delle variabili endogene X_i e sulle variabili esogene

   W tramite gli OLS. Gli stimatori TSLS β^TSLS sono gli stimatori

   ottenuti dalla regressione del secondo stadio.