Econometria - l'inferenza statistica

F. Carlucci, A. Girardi – Traccia per un corso di econometria

Modulo X – Modelli VAR

Inferenza statistica

Indice del capitolo

• 2.1. La stima dei minimi quadrati ..................................................................................... 2
• 2.2. Lo stimatore dei minimi quadrati e la sua non distorsione ...................................... 4
• 2.3. Consistenza dello stimatore dei minimi quadrati...................................................... 5
• 2.4. Normalità asintotica dello stimatore dei minimi quadrati ....................................... 6
• 2.5. Un esempio ................................................................................................................... 8
• 2.6. La stima di Yule–Walker........................................................................................... 10
• 2.7. Un esempio di stima di Yule-Walker ........................................................................ 12
• 2.8. La funzione di verosimiglianza ................................................................................. 13
• 2.9. Gli stimatori di massima verosimiglianza e le loro proprietà................................. 15
• 2.10. Scelta dell’ordine del modello.................................................................................... 17
• 2.11. Verifica della bianchezza dei residui ........................................................................ 20
• 2.12. Test del Portmanteau ................................................................................................ 23
• 2.13. Test di non normalità ................................................................................................ 25
• 2.14. Bibliografia ................................................................................................................. 28

2.1. La stima dei minimi quadrati

Riprendiamo il modello VAR( ) dato dalla (1.1.5) includendovi il temine noto che nel primo capitolo avevamo supposto nullo per semplicità:

= + + + + + (2.1.1)y c A y A y … A y ut 1 t−1 2 t−2 p t−p t

e risolviamo il problema di effettuare un’inferenza statistica dei suoi parametri, che sono c, le matrici A_i 1, 2, ..., p e la matrice di dispersione a ritardo nullo dei residui Σ_u, nell’ipotesi che questi seguano un rumore bianco vettoriale con le ipotesi stocastiche deboli (1.5.1).

= , del campione a nostra disposizione, secondo la formulazione (1.3.8):

= +Y Π Z U (2.1.2)

che ora è leggermente diversa da quella fornita nel paragrafo 1.3 perché dobbiamo tener conto dell’aggiunta di c.

= (2.1.3)Π [c A₁ A₂ ... A_p]

( ( ) )× +k kp 1 ′ (2.1.4)′ ′ ′=Z [1 Y_-1 Y_-2 ... Y_-p]

( ( ) )+ ×1^kp n è una matrice di ordine formata da elementi tutti pari ad 1 e, dove 1 (k×n)Y_-i = , è data dalla (1.3.6).

Operiamo sulla (2.1.2) con vec ( )′= + = ⊗ + (2.1.5)vecY vecΠ Z vecU Z I vecΠ vecU_k avendo fatto uso della (IV-...).

Se poniamo == = u vecU y vecY ,π vecΠ, (2.1.6) la (2.1.5) può essere scritta nella forma:

( )′= ⊗ + (2.1.7)y Z I π u_k

per la quale la devianza dei residui è:

′[ ] [ ]( ) ( ) ( )′ ′ ′= = − ⊗ − ⊗ =π u u y Z I π y Z I πS _k ^k

( ) ( ) ( )′ ′ ′ ′ ′ ′= − ⊗ + ⊗ ⊗y y π Z I y π Z I Z I π² _k ^k _k

( ) ′ Derivando rispetto a ed uguagliando a zero si ottiene πS π( )∂ ′ ′S π ( ) ( ) ( )′′ ′ ⊗ == − ⊗ + ⊗^{2 2} 0Z I y Z I Z I π′ _k ^k _k∂π

Modulo X – Modelli VAR stima dalla quale, utilizzando le proprietà del prodotto di Kronecker, si ottiene la stima dei minimi quadrati:

[ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )− − − (2.1.8)′ ′ ′1 1 1−= ⊗ ⊗ = ⊗ ⊗ = ⊗¹ˆπ Z Z I Z I y Z Z I Z I y Z Z Z I y_k ^k _k

Che la (2.1.8) sia un punto di minimo è facilmente verificato tramite la matrice hessiana:

( )∂ ² ′S π ( ) ( ) ( )′ ′ ′= ⊗ ⊗ = ⊗² Z I Z I ² Z Z I′ _k ^k _k∂ ∂π π (2.1.9)

che è definita positiva.

2.2. Lo stimatore dei minimi quadrati e la sua non distorsione

~ stimatore π̂ Se la data dalla (2.1.8) è considerata come funzione di fornisce lo stimatore dei minimi quadrati . È utile per il prosieguo determinarlo in due forme diverse.

Per ottenere la prima forma dello stimatore è sufficiente sostituire nella (2.1.8) la y del modello (2.1.7)

( ) ( ) ( )~ ~ ~ ~ ~ ~ ~[ ][ ] [ ]~ ~− − (2.2.1)1 1′ ′ ′= ⊗ ⊗ + = + ⊗ˆπ Z Z Z I Z I π u π Z Z Z I u_k ^k _k avendo sfruttato la proprietà (IV-...).

Per la seconda forma si parte ancora dalla (2.1.8), ma vi si sostituiscono le espressioni date dalle prime due posizioni (2.1.6) e quindi si sfrutta la proprietà (IV-...)

( ) ( ) ( )~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~[ ] [ ] [ ]− − −1 1 1ˆ ′ ′ ′ ′= ⊗ = ⋅ =Π Z Z Z I Y I Y Z Z Z Y Z Z Z

Da questa, utilizzando la (2.1.2), si ottiene infine la seconda forma dello stimatore:

( ) ( ) ( ) ( )~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~− − − (2.2.2)1 1 1ˆ ′ ′ ′ ′ ′ ′= = + = +Π Y Z Z Z Π Z U Z Z Z Π U Z Z Z

Sfruttando la prima delle ipotesi (1.5.1) si ottiene dalla (2.2.2) che:

= ΠE( )Π̂

cioè, dalla (1.3.6), che = = (2.2.3)E( ) A_i 1, 2, ..., p _i i =, .ovverosia la non distorsione degli stimatori i 1, 2, ..., p _i

2.3. Consistenza dello stimatore dei minimi quadrati

La consistenza e la distribuzione asintotica dello stimatore dei minimi quadrati possono essere determinate sotto le seguenti due ipotesi:

~ ~ ′Z Z =_p lim Q_n (2.3.1)

che esiste e non è singolare, e

( ) ( )1 1~ ~ ~ d ( )~′ = ⊗ → ⊗vec U Z vec Z I u N 0, Q Σ_{k u} n → ∞n (2.3.2)

dove l’uguaglianza deriva dal fatto che

( ) ( )~ ~ ~ ~′ = ⊗vec U Z Z I vecU_k in virtù della proprietà (IV-...).

Si può dimostrare che le due ipotesi (2.3.1) e (2.3.2) valgono se sono soddisfatte ~ ~ e se il processo è stazionario. D’altro canto, condizione sufficiente affinché valgano le (2.3.1) e (2.3.2) è che il { }~ ~ standard rumore bianco sia , cioè che i residui costituiscano variabili u_t aleatorie tali che ( )( )~ ~ ~ ′= = non singolare E u 0 E u u Σ_{t t u} ~ ~ ≠ e siano indipendenti per , e che esista una costante finita per la che u_t u_s c t s quale

~ ~ ~ ~ (2.3.3)≤ ∀t =,E u u u u c i, j, k, m 1,..., n

La (2.3.3) implica l’esistenza di tutti i momenti quarti di u_t e la loro limitatezza. Se ( )~ ∼ le condizioni precedenti sono soddisfatte. u 0 Σ_u N, _t ~ p è generato da un modello VAR( ) del tipo (2.1.1)

Si può dimostrare che se y_t standard, allora che sia stabile e nel quale i residui costituiscano un rumore bianco valgono le due ipotesi (2.3.1) e (2.3.2). La seconda di queste implica che sia ~ ~  ′U Z  =_p lim 0 n , nella versione (2.2.2), è dimostrata per cui la consistenza di Π̂ ~ ~ ~ ~ −1( )    ′ ′U Z Z Zˆ    − = = ⋅ =_p lim Π Π _p lim _p lim 0 Q 0    n    

2.4. Normalità asintotica dello stimatore dei minimi quadrati

Per ottenere la distribuzione asintotica di partiamo dalla sua prima forma data dalla (2.2.1) [ ] [ ]( ) ( ) ( )n~ ~ ~ ~ ~ ~() − −~ ~1 1′ ′− = ⊗ = ⊗ ⊗ =ˆ n π π n Z Z Z I u Z Z I Z I u_k ^k _k n ~ ~  −1 ′ ( )Z Z 1 ~ (2.4.1)~   ⊗= ⊗ I Z I u  _k ^k n  n   dove si è applicata la proprietà (IV-...) del prodotto di Kronecker. Ora utilizziamo nella (2.4.1) la proprietà della convergenza in distribuzione per la quale ~d~ ~→ =se e px x lim ^{k k} n n → ∞ n ~ d~ ~⋅ → ⋅ segue che ^k x x ^k n n → ∞ n

~ ~ −1 ′Z Z~ ~  ⊗ prendendo come l’espressione e come il vettore aleatorio I x_k   ^k nn n   ( )~ ~− ⊗1 / 2 che per l’ipotesi (2.3.2) tende in distribuzione ad essere Z I u_k( )⊗ . N 0, Q Σ_u ( )d( ) −− → ⊗1ˆ (2.4.2) n π π N 0 , Q Σ_u → ∞n poiché ′( ) ( ) ( )( )( )− − − −= ⊗ ⊗ =⊗ ⊗ ⊗^{1 1 1 1}Q I Q Σ Q I Q Q Σ Q I_{k u} ^k _u k (2.4.3)( ) ( )− −= ⊗ = ⊗^{1 1}I Q Σ Q Σ_{k u} ^u −1 essendo , e quindi , simmetrica. Q Q Per calcolare questa matrice di dispersione è necessario possedere le matrici Q e , che generalmente non sono note e vanno quindi stimate. Per la una stima Σ_uQ naturale è ′ZZˆ =Q (2.4.4)n perché la consistenza dell’associato stimatore è immediatamente determinata in virtù della (2.3.1).

D’altro canto, una stima che anche sorge naturalmente per Σ è _uⁿ1 ∑ˆ ′= ˆ Σ u u (2.4.5) _{u t} tⁿ =1 t oppure la sua versione corretta per i gradi di libertà ⁿ1 ∑ ′= ˆ Σ u u (2.4.6) _{u t} t− ^{n kp} 1 =1 t p) ci sono parametri, che si ottiene osservando che in ogni equazione del VAR( kp+1 e dove ( )( )′n∑ ˆ ˆ ˆ ˆ′ ′ == = − −ˆ ˆu u U U Y Π Z Y Π Z t _t =1 t [ ] [ ] [ ]′( ) ( ) ( )− − −′ ′ ′ ′ ′ ′ ′^{1 1 1}= − − = −Y Y Z Z Z Z Y Y Z Z Z Z Y I Z Z Z Z Yn avendo fatto uso della stima (2.2.2).

2.5. Un esempio

Per esplicitare i concetti esposti finora riprendiamo il modello VAR(1) del paragrafo = 1.8 nel quale le endogene rappresentano le differenze prime dei logaritmi del k 3 PIL reale degli USA, del Giappone e dell’Italia. L’orizzonte temporale è costituito da 82 osservazioni trimestrali che coprono il periodo 1982:1 - 2002:2.

Per la stima dei parametri occorre partire dalla relazione (2.1.2). Le dimensioni delle matrici Π, Y, Z e U sono rispettivamente (3×82), (3×4), (4×82) e (3×82). La matrice delle stime dei minimi quadrati ordinari definita dalla (2.2.2) è

 0 34 0 44 0 08 0 15. . . . ˆ = 0 36 0 04 0 01 0 41. . . .Π (2.5.1)   0 27 0 17 0 13 0 02. . . .  .

che è uguale alla (1.8.1) con l’aggiunta della colonna relativa al vettore c. La stima della matrice di dispersione al tempo zero dei residui (nella versione corretta per i relativi gradi di libertà) è stata anch›