Econometria - l'inferenza statistica

Modulo X – Modelli VAR

2.7. Un esempio di stima di Yule-Walker

Riprendiamo il modello VAR(1) introdotto nel primo capitolo e stimato nel

paragrafo 2.5. Utilizziamo la (2.6.7) per calcolare il valor medio campionario delle

= =

tre serie storiche contenute nel vettore . Essendo in questo esempio e

n 82 p 1

y

t

si ha  

0.77

 

=

y 0.60

 

 

0.49

  * occorre dapprima

Al fine di ottenere la stima dei parametri contenuti in Π

*

costruire la matrice , di dimensione , che raccoglie tutte le osservazioni

(3×82)

Y

delle endogene al tempo , centrate rispetto al rispettivo valor medio (campionario)

t

appena calcolato. Essendo l’ordine dell’autoregressione del vettore pari ad uno, la

y

t

* *1

matrice coincide con , ed ha anch’essa dimensione .

(3×82)

Z Y

−

In base alla relazione (2.6.3) si calcola la matrice

−

 

0.48 0.03 0.07

1  

′

⋅ = −

* *

Z Z 0.03 0.91 0.03

 

82  

0.07 0.03 0.32

 

( ) τ =

come stima campionaria di e, seguendo la (2.6.8), dove , la matrice

0

Γ 1

ξ

 

0.22 0.06 0.08

 

( ) =

Γ 1 0.04 0.02 0.13

 

y  

0.08 0.11 0.02

 

( )

come stima campionaria di .

Γ 1

y

È ora possibile ottenere la matrice dei parametri stimati

 

0.44 0.08 0.15

 

ˆ =

*

Π 0.04 0.01 0.41 (2.7.1)

 

 

0.17 0.13 0.02

 

Si può osservare come i parametri contenuti nella matrice (2.7.1) coincidano

esattamente con gli elementi di contenuti nella (1.8.1).

A

1 Pagina 2-12

Modulo X – Modelli VAR

2.8. La funzione di verosimiglianza

Consideriamo ancora il modello VAR( ) in termini di variabili di scarto (2.6.1) e

p

costruiamo la sua funzione di verosimiglianza sotto l’ipotesi di normalità dei

~

residui. Supponiamo dunque che il vettore dato dalla (2.1.6) abbia distribuzione

u

normale ~ ( )

~ = ∼ ⊗ (2.8.1)

vec N ,

u U 0 I Σ

n u

cioè sia { ( ) }

( ) ( ) −

1 / 2

− ′

kn / 2 −

= π ⊗ − ⊗ 1

f u 2 I Σ exp u I Σ u / 2

n u n u

= a che contempla anche i

e consideriamo la seguente trasformazione da y vec

Y u

−p+1

valori di precedenti al campione (da a )

y 0

t 

 I 0 0 0

... ...

k 

 − A I 0 0

... ... 

 1 k 

 ... ... ... ... ... ... 

 ( )

− − − +

= 00

A A I 0

... ...

u y µ



 −

1

p p k 

 −

0 A ... ... ... ...

p 

 ... ... ... ... ... ... 

 

 (2.8.2)

−

0 0 A I

... ... 

 p k

− − − 

 A A A

...

−

p p 1 1 

 − −

0 A A

... 

 p 2 

 ... ... ... ... ( )

−

+ 0 0

Y µ



 −

0 0 A

... 

 p 

 ... ... ... ... 

 

 0 0 0

... 



00 0

= ′ ′]′ =

µ µ µ è un vettore di dimensione e e

dove nk

[ … Y [y′ … y′ ]′

−p+1

0 ∂

u

0 = ′ ′]′ sono due vettori di dimensione . Lo jacobiano della

pk

µ [ µ … µ ∂

y

trasformazione (2.8.2) ha determinante pari ad uno, come si controlla

immediatamente, per cui

∂

u

( ) ( ) ( ) −

1 / 2

− kn / 2

= ⋅ = π ⊗ ⋅

f f

y u 2 I Σ

n n

∂

y (2.8.3)

{ }

[ ] [ ]

( ) ( ) ( )

′

′ ′

−

⋅ − − − ⊗ ⊗ − − ⊗

00 * * 1 00 * *

exp y µ Z I π I Σ y µ Z I π / 2

k n u k Pagina 2-13

Modulo X – Modelli VAR

dove si è fatto uso dell’uguaglianza

00 * *

− = ′ ⊗ +

µ

y (Z I ) u

π

k

che è l’analoga della (2.1.7) se il modello (2.1.1) viene scritto nella forma (2.6.1), con

* *

= Π

vec

π 0

Se si considerano costanti i valori iniziali contenuti in la log-verosimiglianza del

Y

modello VAR( ) si trae dalla (2.8.3).

p

( ) kn n

∗ = − ⋅ π − ⋅ +

µ Π Σ Σ

ln , , ln 2 ln

L u u

2 2

[ ]( [ ]

( ) ) ( )

1 ′

′ ′

−

− ⋅ − − ⊗ ⊗ − − ⊗ =

00 * * 1 00 * *

y µ Z I π I Σ y µ Z I π

k k u k

2 kn n

= − ⋅ π − ⋅ +

Σ

ln 2 ln u

2 2 ′

 

   

p p

 

n

1 ( ) ( ) ( ) ( )

∑ ∑ ∑

−

− ⋅ − − − − − − =

1

y µ A y µ Σ y µ A y µ

 

   

− −

t i t i u t i t i

2    

 

= = =

i i

t 1 1 1

 

′

 



   

p p



n

1

kn n ∑ ∑ ∑ 



   

−

= − ⋅ π − ⋅ − ⋅ − − +

1

Σ y A y Σ y A y

ln 2 ln     

− − 



u t i t i u t i t i

2 2 2    



= = =

t i i

1 1 1 





′ 



 

 p p 

n

∑ ∑ ∑

′ 

 

 − +

−

+ − 1

µ I A Σ y A y 



 

 −

k i u t i t i 

 

 

= = =

i t i

1 1 1 

′

   

p p

n ∑ ∑

′    

−

− ⋅ − − =

1

µ I A Σ I A µ

   

k i u k i

2    

= =

i i

1 1 ′

( ) ( )

1

kn n  

−

= − ⋅ π − ⋅ − ⋅ − −

* * * 1 * * *

tr

Σ Y Π Z Σ Y Π Z

ln 2 ln  

u u

 

2 2 2 (2.8.4)

dove nell’ultima uguaglianza è stato sfruttato il fatto che l’analoga della (2.1.2) nel

) sia scritta nella forma (2.6.1) è

caso che la rappresentazione del VAR( p

* * *

= + (2.8.5)

Y Π Z U Pagina 2-14

Modulo X – Modelli VAR

2.9. Gli stimatori di massima verosimiglianza e le loro proprietà

Derivando la log-verosimiglianza (2.8.4) ed uguagliando a zero si ottengono le stime

*

(ed i relativi stimatori) dei parametri , e del modello VAR( ) (2.6.1). Le

µ π Σ p

u

derivate sono ′

′ 







 

 

∂ p p p p

n

L

ln ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

− −









 

 

− ⋅ −

− =

= − −

1 1

n

I A Σ y A y I A Σ I A µ









 

 

−

′ k i u t i t i k i u k i

∂ µ 







 

 

= = = = =

i 1 t 1 i 1 i 1 i 1

′  











 p p p

n

∑ ∑ ∑ ∑

− 









 − −

−

= − 1 n

I A Σ y A y I A µ

 











 −

k i u t i t i k i 









  

= = = =

i 1 t 1 i 1 i 1

[ ]

∂ ( )( ) ( )

L

ln ′

−

= ⊗ ⊗ − − ⊗ =

* 1 00 * *

Z I I Σ y µ Z I π

′ k n u k

∂ *

π ( )( ) ( )

′

− −

= ⊗ − − ⊗

* 1 00 * * 1 *

Z Σ y µ Z Z Σ π

u u ′

∂ ( )( )

L n

ln 1

− − −

= − + − − =

1 1 * * * * * * 1

Σ Σ Y Π Z Y Π Z Σ

u u u

∂ Σ 2 2

u ′

( )( )

1  

− −

= − + − −

1 * * * * * * 1

Σ n Y Π Z Y Π Z Σ

 

u u

 

2

Uguagliando a zero le derivate si ottengono le stime (e gli stimatori) di massima

verosimiglianza  

−

1 

 

 p p

n

1 ∑ ∑ ∑ 

 

 −

= ⋅ −

 

ˆ

µ I A y A y (2.9.1)



 

 −

k i t i t i

n  



 



 

= = =

i 1 t 1 i 1

( ) ( )( )

−

1

′ − −

= ⊗ ⊗ − =

* * * 1 * 1 00

ˆ

π Z Z Σ Z Σ y µ

u u

[ ] (2.9.2)

( ) ( )

−

1

′

= ⊗ −

* * * 00

Z Z Z I y µ

k ′

( )( )

1

ˆ = − −

* * * * * *

Σ Y Π Z Y Π Z (2.9.3)

u n * * 00

, data dalla (2.6.4), di , data dalla (2.6.5), e di

dove ora nelle definizioni di Z Y µ

è stata sostituita al posto di .

µ̂ µ Pagina 2-15

Modulo X – Modelli VAR

Tramite le derivate seconde della log-verosimiglianza è possibile trovare le

condizioni sufficienti per la sua massimizzazione. Sotto le condizioni di normalità

(2.8.1) si dimostra che gli stimatori di massima verosimiglianza (2.9.1), (2.9.2) e

(2.9.3) godono delle seguenti proprietà:

i) sono consistenti,

ii) sono asintoticamente normali, *

µ̂ è asintoticamente indipendente da e da ,

π̂ Σ̂

iii) u

* è asintoticamente indipendente da e da .

µ̂

π̂ Σ̂

iv) u Pagina 2-16

Modulo X – Modelli VAR

2.10. Scelta dell’ordine del modello processo

La scelta dell’ordine del modello VAR( ), quando questo è considerato il

p p

generatore dei dati (DGP ), è utilmente effettuata con un criterio che dipende

1

dall’obiettivo che il ricercatore si pone. Ad esempio, se l’obiettivo è la previsione è

conveniente adoperare un criterio basato su di essa, come vedremo nel prossimo

capitolo. Se invece l’obiettivo è quello di effettuare analisi di risposte all’impulso

criteri non basati sulla previsione sono più convenienti, tre dei quali sono esposti di

seguito.

Il metodo di scelta dell’ordine p è tuttavia sempre lo stesso: si costruisce una

=

funzione di , la si valuta per diversi VAR( ), diciamo con , e quindi si

p p p 1, 2, ..., P

sceglie il VAR con l’ordine che ottimizza (minimizza o massimizza a seconda del

p

criterio) la funzione.

Il primo criterio che cronologicamente fu proposto risale ad Akaike (1973, 1974),

che lo sviluppò per modelli AR semplici. Esteso ai modelli VAR, si basa sulla

minimizzazione della funzione 2 2

+ ⋅

AIC(p) = ln Σ̂ pk (2.10.1)

u n

dove è la stima della matrice di dispersione dei residui fornita dalla (2.4.5) e

Σ̂ pk

u

è il numero dei parametri stimati liberamente in ogni equazione del VAR, come

indicato alla fine del paragrafo 2.4. Il nome dato alla funzione obiettivo è

AIC

Automatic Information Criterion

l’acronimo di formulato da Akaike stesso . Come

2

indicato sopra, l’operazione di scelta del VAR( ) è effettuata selezionando l’ordine

p

per il quale la funzione (2.10.1) è minima.

p̂ in modo tale che sia

Altri due criteri conducono alla scelta dell’ordine p̂

( )

= =

ˆ (2.10.2)

lim Pr p p 1

→ ∞

n

dove è l’ordine vero del DGP. Si noti che se è considerato come uno stimatore

p̂

p consistente

dell’ordine la (2.10.2) indica che tale stimatore è .

p 3

Il primo criterio che comporta una stima consistente si basa sulla seguente

funzione obiettivo

Data Generation Process

, in inglese.

1 Akaike’s Information

Alcuni autori, per motivi non noti, hanno modificato il nome in

2

Criterion

.

In effetti si osserva che la proprietà (2.10.2) è uguale a quella che si definisce

3

normalmente se lo stimatore, come in questo caso, può assumere soltanto valori interi.

Pagina 2-17

Modulo X – Modelli VAR

ln n 2

+ ⋅

Σ̂

BIC(p) = ln pk (2.10.3)

u n Bayesian Information Criterion

dove ancora è data dalla (2.4.5). Il nome,

Σ̂ 4

u

deriva dal fatto che il suo autore, Schwarz (1978), lo sviluppò, per modelli AR

semplici, utilizzando una dimostrazione di carattere bayesiano.

è stato costruito da Hannan e Quinn

Il secondo criterio con la consistenza 5

(1979) e da Quinn (1980) e si basa sulla funzione

2 ln n 2

+ ⋅

Σ̂

HQ(p) = ln pk (2.10.4)

u n

anche questa da minimizzare.

Osservazione 2.1 – E’ bene ricordarsi che la scelta dell’ordine può

p

spesso produrre risultati carenti. Per diversi motivi. Ad esempio perché

il criterio formale utilizzato non è il migliore, dati gli obiettivi che si

pone il ricercatore. Oppure perché l’ordine del VAR è infinito ed invece

lo si cerca finito. Oppure ancora perché l’ordine massimo utilizzato

P

nella procedura di selezione è troppo piccolo.

Esempio – Riprendiamo il modello VAR(1) introdotto nel paragrafo 1.8. La scelta

dell’ordine dell’autoregressione vettoriale fino a questo punto della trattazione è

stata supposta data.

Verifichiamo se il ritardo di ordine uno utilizzato è coerente con i risultati dei

criteri AIC, BIC e HQ esposti in questo paragrafo. P piuttosto

Fissiamo come ritardo massimo del modello VAR un valore di =

elevato, ad esempio 8. Ricordiamo, inoltre, il vettore è composto da variabili

y k 3

t

=

e che il periodo campionario è composto da osservazioni. Come primo passo,

n 82

calcoliamo il determinante della matrice di dispersione dei residui secondo la

(2.4.5) per ciascuno degli otto ritardi

Ritardi 1 2 3 4 5 6 7 8

ˆ 0.07 0.06 0.03 0.03 0.02 0.01 0.01 0.01

Σ u

Tavola 2.1 – Determinante della matrice di dispersione dei residui del VAR(1.8.1) stimato

=

p 1,...,8 .

per i ritardi BIC SC Schwarz’s Criterion

Da cui l’acronimo , che alcuni autori hanno modificato in , .

4 La dimostrazione della consistenza nei due criteri può essere trovata in Quinn (1980) e in

5

Paulsen (1984). Pagina 2-18

Modulo X – Modelli VAR

mediante il quale è immediato ottenere il ritardo ottimale (riportato in grassetto)

secondo i tre criteri esaminati

Ritardi 1 2 3 4 5 6 7 8

AIC -2.48 -2.45 -2.71 -2.77 -2.88 -2.91 -2.94 -3.13

BIC -2.21 -1.92 -1.91 -1.72 -1.56 -1.33 -1.09 -1.02

HQ -1.73 -0.95 -0.46 0.22 0.86 1.57 2.30 2.85

Tavola 2.2 – Indicazione del ritardo ottimale dell’autoregressione vettoriale per il modello

(1.8.1) secondo i criteri AIC, BIC e HQ.

Il ritardo scelto appare coerente con i risultati ottenuti mediante il criterio BIC

e HQ, mentre i ritardi ottimali secondo il criterio AIC sono otto. Al fine di utilizzare

un modello parsimonioso (in termini di numero complessivo di parametri stimati) si

=

sceglie di accettare come ritardo ottimale per il modello utilizzato

p 1

nell’esempio. Pagina 2-19

Modulo X – Modelli VAR

2.11. Verifica della bianchezza dei residui

In molti casi rilevanti è utile verificare se le ipotesi deboli (1.5.1) relative ad un

particolare VAR( ) sono soddisfatte. Ad esempio può essere necessario verificarle a

p

seguito di una scelta dell’ordine effettuata con uno dei criteri del paragrafo

p

precedente, oppure derivata da una specifica teoria economica. In particolare è

utile verificare se le correlazioni tra i residui sono nulle oppure no, ai vari ritardi.

~

Queste verifiche, dal processo del tipo rumore bianco vettoriale, prendono il

u

{ }

t

verifiche della bianchezza

nome di .

test di bianchezza riguarda le covarianze incrociate della serie storica

Il primo ~

-esima del vettore nel caso in cui il modello VAR( ) non debba essere stimato

y

i { } p

t ( )

(cioè sia teorico) e si basa sul fatto che se le matrici delle autocovarianze dei

Γ τ

u

~

residui sono calcolate con le

u

{ }

t (2.11.1)

n ′

1

( ) ( ) ( )

∑

= ⋅ − −

Γ u u u u

τ −

u t t τ

n = +

t τ 1

dove (2.11.2)

n

1 ∑

= ⋅

u u t

n =

t 1

e se si pone [ ]

( ) ( ) ( ) ( ) (2.11.3)

=

γ τ vec Γ 1 Γ 2 ... Γ τ

u u u

si dimostra (si veda ad esempio Fuller, 1976) che

[ ]

( ) (2.11.4)

⋅ 

→ ⊗ ⊗

d

γ τ 0 , I Σ Σ .

n N τ u u ( )

( ) τ

è il vettore colonna di tutte le covarianze incrociate tra il residuo e

γ i

γ τ ij

τ

quello con ritardo , per cui

j ( )

τ

γ

( ) = ij

τ

ρ [ ]

ij ( ) ( )

⋅ 1 / 2

γ 0 γ 0 (2.11.5)

ii jj τ

e quello con ritardo , elemento generico

è la correlazione incrociata tra il residuo i j

[ ]

( ) ( ) ( ) ( )

= per il quale dalla (2.11.4) si trae

del vettore ρ τ vec P 1 P 2 ... P τ

[ ]

( ) (2.11.6)

⋅ 

→ ⊗ ⊗

d

ρ τ 0 , I P P

n N τ

dove è la matrice delle correlazioni del vettore al ritardo zero. Infatti

P u Pagina 2-20

Modulo X – Modelli VAR

( ) ( ) ( ) ( )

 

⋅ = ⋅ =

ρ P P ... P

τ vec 1 2 τ

n n  

( ) ( ) ( ) ( )

− −  

= ⋅ ⊗ ⋅ =

1 1

D D Γ Γ ... Γ

vec 1 2 τ

n  

( ) ( )

− −  

= ⋅ ⊗ ⋅ τ 

→ ⊗ ⊗

d

1 1

D D γ 0 I P P

,

n N  

τ

dove è la matrice diagonale delle radici quadrate degli elementi diagonali di

D Σ u

per cui ( ) ( ) =

− −

= (2.11.7)

τ 1

, 2

,..., τ

1 1

P D Γ D

τ τ

u

ed essendo

( ) ( ) ( )

( )

− − − − − − − −

⊗ ⋅ ⊗ ⋅ ⊗ = ⊗ = ⊗

1 1 1 1 1 1 1 1

p lim D D Σ Σ D D p lim D Σ D D Σ D P P

u u u u

con − −

= (2.11.8)

1 1

P D Σ D

u

che è l’analoga matriciale della (2.11.5). ⊗ valgono tutti uno per cui,

Gli elementi diagonali della matrice P P ( )

⋅

asintoticamente, la distribuzione di probabilità di ogni è la normale

ρ τ

n ij

standardizzata [ ]

( ) τ

∀ (2.11.9)

, ,

i j

⋅ 

→

d

ρ τ 0 , 1

n N

ij

per mezzo della quale è semplice verificare l’ipotesi nulla

( ) =

: ρ τ 0

H

0 ij

contro l’alternativa ( ) ≠

:

H ρ τ 0

1 ij

Basta infatti verificare che sia 2 2

( )

− ≤ <

ρ τ (2.11.10)

ij

n n

per accettare al livello di significatività, approssimativo, del , mentre se la

5%

H

0

(2.11.10) non è verificata la si rifiuta.

( ) non sono stimati ma sono quelli che si hanno

Si noti che i residui nella Γ τ

u

con i parametri del modello VAR( ) considerati come veri. Generalmente, tuttavia,

p

i valori di tali parametri non sono noti e devono essere stimati con uno dei criteri

illustrati in precedenza. In questo caso si usa ancora il test (2.11.6), avendo

sostituito la stima al posto di nelle (2.11.1) e (2.11.2), sebbene si dimostri (si

û u

t

t Pagina 2-21

Modulo X – Modelli VAR

veda Lütkepohl (1991)) che la distribuzione dei coefficienti di correlazione sia

τ

leggermente differente dalla (2.11.9). Per piccolo,diciamo , la varianza è

1, 2, 3

minore dell’unità e quindi l’intervallo di confidenza (2.11.10) è un poco più largo di

quello effettivo. Se si usa il (2.11.10) si rifiuta così più spesso del necessario.

H

0

τ τ ≥

più grande, viceversa, diciamo , la varianza nella (2.11.9) è all’incirca

Per 5

uno e l’intervallo (2.11.10) è approssimativamente giusto.

Si ricordi bene, tuttavia, che il test descritto vale asintoticamente; in pratica,

per grande.

n

Esempio – Utilizziamo ancora come esempio il modello VAR(1) esposto nel

paragrafo 1.8. Per lo studio delle autocorrelazioni incrociate il ritardo massimo

τ =

scelto è pari a . Il primo passo dell’indagine consiste nel calcolare l’intervallo

12 ( )

di confidenza per ciascun elemento . Ricordando che le osservazioni

ρ τ

ij

campionarie sono 82, si ha che gli estremi dell’intervallo di confidenza (2.11.10)

±

sono pari a .

0.22

I valori degli elementi non diagonali della matrice delle correlazioni ai tempi

τ = sono riportati di seguito, evidenziando in grassetto quelli che cadono al

1,...,12

di fuori dell’intervallo (2.11.10)

( ) τ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

ρ τ

ij

USA-JAP -0.03 -0.08 0.20 -0.28 0.26 -0.10 -0.09 0.10 0.03 -0.12 0.01 0.03

USA-ITA -0.05 0.07 -0.06 0.00 0.13 -0.02 0.15 -0.04 0.36 0.02 0.04 -0.06

JAP-ITA -0.01 0.06 0.08 -0.01 -0.07 0.23 -0.14 0.01 -0.16 -0.10 -0.07 -0.04

Tavola 2.3 – Coefficienti di correlazione dei residui del modello (1.8.1) relativi ai primi

τ = 1,...,12 ritardi. Valori in grassetto statisticamente diversi da zero al 5% di probabilità.

Come si può notare immediatamente, la gran parte dei coefficienti di

correlazione appare statisticamente non diversa da zero, con le eccezioni

rappresentate da tre valori. Due di questi sono relativi a ritardi inferiori o uguali a

5, limite per il quale si tende a rifiutare piuttosto che accettare l’ipotesi nulla.

Inoltre, i valori appaiono molto prossimi al limite (inferiore e superiore,

rispettivamente) dell’intervallo. Possiamo, quindi, concludere che l’unico caso in cui

sembra che si abbia un coefficiente di correlazione incrociata statisticamente

τ =

diverso da zero è quello relativo ai residui di USA ed Italia al ritardo .

9

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Modulo X – Modelli VAR

2.12. Test del Portmanteau

Un secondo tipo di test di bianchezza non riguarda più il singolo coefficiente di

ρ τ τ

correlazione ma contemporaneamente tutte le matrici di correlazione ,

( ) P( )

ij =

ρ τ

formate dai , per , dove è scelto in modo che la bianchezza dei

τ 1

, 2

,..., τ τ

( )

ij

residui sia sufficientemente stabilita considerandoli fino a tale ritardo. Dunque un

del Portmanteau

test di bianchezza globale, detto , verifica l’ipotesi nulla

[ ]

( ) ( ) ( ) ( )

= =

: τ vec 1 2 ... τ

ρ P P P 0

H

0

contro l’alternativa [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

= ≠

ρ τ vec P 1 P 2 ... P τ 0

:

H

1

Si dimostra che la statistica del test (che chiamiamo )

Q

[ ]

τ ( ) ( )

∑ ′ − −

⋅ ⋅ ⋅ =

1 1

n tr τ τ

P P P P

=

τ 1 [ ]

τ ( ) ( )

∑ ′ − − −

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

1 1 1

n tr τ τ

P P P P D D

=

τ 1 [ ]

τ ( ) ( )

∑ ′ − − − − − −

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

1 1 1 1 1 1

n tr D P τ D D P D D P τ D D P D

=

τ 1 [ ]

τ ( ) ( )

∑ − −

= ⋅ ⋅ ⋅

1 1

n tr Γ τ Σ Γ τ Σ

u u (2.12.1)

=

τ 1

dove nel terzo passaggio è stata utilizzata una proprietà fondamentale

( )

χ −

2

con

dell’operatore traccia, si distribuisce asintoticamente come un k τ p

2

gradi di libertà se è sufficientemente grande.

τ

Il test con statistica (2.12.1) si è rivelato possedere scarsa potenza contro

svariate alternative. Come suggerito da Ljung e Box (1979) nel caso univariato, al

posto della statistica (2.12.1) si utilizza l’altra (che chiamiamo )

Q

[ ]

τ 1 ( ) ( )

∑ ′ − −

⋅ ⋅ ⋅

2 1 1

n tr P τ P P τ P (2.12.2)

( )

−

n τ

=

τ 1 e

con potenza maggiore. Si ricordi che i due test del Portmanteau valgono per n τ

grandi.

Esempio – Continuiamo l’indagine sulla struttura correlativa dei residui del

modello VAR (1.8.1) iniziata nel paragrafo precedente. Nell’esempio del paragrafo

τ =

precedente si è mostrato come il ritardo massimo sia sufficientemente

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Appunti di Econometria per l'esame del professor Carlucci sull'inferenza statistica. Gli argomenti trattati sono i seguenti: la stima dei minimi quadrati, lo stimatore dei minimi quadrati e la sua non distorsione, la consistenza dello stimatore dei minimi quadrati, la normalità asintotica dello stimatore dei minimi quadrati, la stima di Yule–Walker, la funzione di verosimiglianza, gli stimatori di massima verosimiglianza e le loro proprietà, la verifica della bianchezza dei residui, il test del Portmanteau, il test di non normalità.