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Analisi dei dati

Ydelle endogene al tempo , centrate rispetto al rispettivo valor medio (campionario)tappena calcolato. Essendo l'ordine dell'autoregressione del vettore pari ad uno, layt* *1matrice coincide con , ed ha anch'essa dimensione .(3×82)Z Y−In base alla relazione (2.6.3) si calcola la matrice− 0.48 0.03 0.071  ′⋅ = −* *Z Z 0.03 0.91 0.03 82  0.07 0.03 0.32 ( ) τ =come stima campionaria di e, seguendo la (2.6.8), dove , la matrice0Γ 1ξ 0.22 0.06 0.08 ( ) =Γ 1 0.04 0.02 0.13 y  0.08 0.11 0.02 ( )come stima campionaria di .Γ 1yÈ ora possibile ottenere la matrice dei parametri stimati 0.44 0.08 0.15 ˆ =*Π 0.04 0.01 0.41 (2.7.1)  0.17 0.13 0.02 Si può osservare come i parametri contenuti nella matrice (2.7.1) coincidanoesattamente con gli elementi di contenuti nella (1.8.1).A1 Pagina 2-12Modulo X –

Modelli VAR2.8. La funzione di verosimiglianza

Consideriamo ancora il modello VAR( ) in termini di variabili di scarto (2.6.1) e costruiamo la sua funzione di verosimiglianza sotto l'ipotesi di normalità dei residui. Supponiamo dunque che il vettore dato dalla (2.1.6) abbia distribuzione unormale ~ ( )~ = ∼ × (2.8.1) vec N ,u U 0 I Σn u cioè sia { ( ) }( ) ( ) -1 / 2- 'kn / 2 - = π × - × 1f u 2 I Σ exp u I Σ u / 2n u n u= a che contempla anche ie consideriamo la seguente trasformazione da y vecY u-p+1 valori di precedenti al campione (da a )y 0t [ I 0 0 0... ...k ] - A I 0 0... ... [ 1 k ] ... ... ... ... ... ... ( )- - - += 00A A I 0... ...u y μ [ -1p p k ] -0 A ... ... ... ...p ... ... ... ... ... ... (2.8.2)-0 0 A I... ... p k- - - [ A A A...-p p 1 ]

1  − −0 A A...  p 2  ... ... ... ... ( )−+ 0 0Y µ −0 0 A...  p  ... ... ... ...   0 0 0... 00 0= ′ ′]′ =µ µ µ è un vettore di dimensione e edove nk[ … Y [y′ … y′ ]′−p+10 ∂u0 = ′ ′]′ sono due vettori di dimensione . Lo jacobiano dellapkµ [ µ … µ ∂ytrasformazione (2.8.2) ha determinante pari ad uno, come si controllaimmediatamente, per cui∂u( ) ( ) ( ) −1 / 2− kn / 2= ⋅ = π ⊗ ⋅f fy u 2 I Σn n∂y (2.8.3){ }[ ] [ ]( ) ( ) ( )′′ ′−⋅ − − − ⊗ ⊗ − − ⊗00 * * 1 00 * *exp y µ Z I π I Σ y µ Z I π / 2k n u k Pagina 2-13Modulo X – Modelli VARdove si è fatto uso dell’uguaglianza00 * *− = ′ ⊗

+µy (Z I ) uπkche è l’analoga della (2.1.7) se il modello (2.1.1) viene scritto nella forma (2.6.1), con* *= Πvecπ 0

Se si considerano costanti i valori iniziali contenuti in la log-verosimiglianza delYmodello VAR( ) si trae dalla (2.8.3).

p( ) kn n∗ = − ⋅ π − ⋅ +µ Π Σ Σln , , ln 2 lnL u u2 2[ ]( [ ]( ) ) ( )1 ′′ ′−− ⋅ − − ⊗ ⊗ − − ⊗ =00 * * 1 00 * *y µ Z I π I Σ y µ Z I πk k u k2 kn n= − ⋅ π − ⋅ +Σln 2 ln u2 2 ′

    p p n1 ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑−− ⋅ − − − − − − =1y µ A y µ Σ y µ A y µ    − −t i t i u t i t i2     = = =i it 1 1 1 ′

    p pn1kn n ∑ ∑ ∑ 

─ │ ─= - ⋅ π - ⋅ - ⋅ - - +1Σ y A y Σ y A yln 2 ln ├ │ ─ - - ┞u t i t i u t i t i2 2 2 ┞ │ │ ┞│= = =t i i1 1 1 ┞ ┓′ ├├ p p &9474;n∑ ∑ ∑′ ┞- +-+ - 1µ I A Σ y A y &9500; │ │ ┞│-k i u t i t i ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞┞ ┞ζ

(2.8.5)Y Π Z U Pagina 2-14

Modulo X – Modelli VAR2.9. Gli stimatori di massima verosimiglianza e le loro proprietà

Derivando la log-verosimiglianza (2.8.4) ed uguagliando a zero si ottengono le stime*(ed i relativi stimatori) dei parametri , e del modello VAR( ) (2.6.1). Leµ π Σ puderivate sono ′′   ∂ p p p pnLln ∑ ∑ ∑ ∑ ∑− −  − ⋅ −− == − −1 1nI A Σ y A y I A Σ I A µ  −′ k i u t i t i k i u k i∂ µ   = = = = =i 1 t 1 i 1 i 1 i 1′   p p pn∑ ∑ ∑ ∑−  − −−= − 1 nI A Σ y A y I A µ  −k i u t i t i k i   = = = =i 1 t 1 i 1 i 1[ ]∂ ( )( ) ( )Lln ′−= ⊗ ⊗ −

- ⊗ =* 1 00 * *Z I I Σ y µ Z I π′ k n u k∂ *π ( )( ) ( )′- -= ⊗ - - ⊗* 1 00 * * 1 *Z Σ y µ Z Z Σ πu u ′∂ ( )( )L nln 1- - -= - + - - =1 1 * * * * * * 1Σ Σ Y Π Z Y Π Z Σu u u∂ Σ 2 2u ′( )( )1  - -= - + - -1 * * * * * * 1Σ n Y Π Z Y Π Z Σ u u 2Uguagliando a zero le derivate si ottengono le stime (e gli stimatori) di massimaverosimiglianza  -1   p pn1 ∑ ∑ ∑   -= ⋅ - ˆµ I A y A y (2.9.1)  -k i t i t in    = = =i 1 t 1 i 1( ) ( )( )-1′ - -= ⊗ ⊗ - =* * * 1 * 1 00ˆπ Z Z Σ Z Σ y µu u[ ] (2.9.2)( ) ( )-1′= ⊗ -* * * 00Z Z Z

I y µk ′( )( )1ˆ = − −* * * * * *Σ Y Π Z Y Π Z (2.9.3)u n * * 00, data dalla (2.6.4), di , data dalla (2.6.5), e didove ora nelle definizioni di Z Y µè stata sostituita al posto di .µ̂ µ Pagina 2-15

Modulo X – Modelli VARTramite le derivate seconde della log-verosimiglianza è possibile trovare lecondizioni sufficienti per la sua massimizzazione. Sotto le condizioni di normalità(2.8.1) si dimostra che gli stimatori di massima verosimiglianza (2.9.1), (2.9.2) e(2.9.3) godono delle seguenti proprietà:i) sono consistenti,ii) sono asintoticamente normali, *µ̂ è asintoticamente indipendente da e da ,π̂ Σ̂iii) u* è asintoticamente indipendente da e da .µ̂π̂ Σ̂iv) u Pagina 2-16

Modulo X – Modelli VAR2.10. Scelta dell’ordine del modello processoLa scelta dell’ordine del modello VAR( ), quando questo è considerato ilp pgeneratore

dei dati (DGP), è utilmente effettuata con un criterio che dipende dall'obiettivo che il ricercatore si pone. Ad esempio, se l'obiettivo è la previsione è conveniente adoperare un criterio basato su di essa, come vedremo nel prossimo capitolo. Se invece l'obiettivo è quello di effettuare analisi di risposte all'impulso criteri non basati sulla previsione sono più convenienti, tre dei quali sono esposti di seguito. Il metodo di
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valeria0186
A.A. 2012-2013
28 pagine
SSD Scienze economiche e statistiche SECS-P/05 Econometria
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher valeria0186 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Econometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Roma La Sapienza o del prof Carlucci Francesco.