Econometria - l'algebra matriciale

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X′XInfatti, se valgono la (1.8.2) oppure la (1.8.3) la matrice è di rango massimo k<n eXè definita positiva per il teorema 1.7. Se, viceversa, vale la (1.8.4), per ilX′Xteorema 1.6 il determinante di è diverso da zero e vale la (1.8.2) oppure laX′X(1.8.3).

Osservazione 1.7 - L'ipotesi che nella forma quadratica la matricev′Avsia simmetrica non è restrittiva: infatti, se non lo fosse, ci si potrebbeAricondurre al caso simmetrico considerando che= + =v′Av v′Av/2 v′ A′v/2 v′(A+A′)v/2e che è una matrice simmetrica.A+A′

Teorema 1.9 - Se è una matrice quadrata di ordine definita positiva e se è unaA n Bmatrice di ordine , , con , allora la matrice è definita positiva.m×n m≤n r(B)=m BAB′

Teorema 1.10 - Se è una matrice simmetrica e definita positiva, esiste una matriceAnon singolare tale cheP = (1.8.5)A PP′

La (1.8.2) esprime la

fattorizzazione di <em>n nel prodotto di <em>P per la sua trasposta. A Per calcolarla si ricordi che la matrice <em>A, essendo simmetrica, può essere diagonalizzata applicando la (1.7.8), per cui possiamo scrivere Λ<em>X′<em>AX = Λ, dove Λ è la matrice ortogonale contenente gli autovettori normalizzati di <em>A e la <em>X è la matrice diagonale dei suoi autovalori. Per l'ortogonalità di <em>X si ha, dalla (1.3.9) <em>XΛ<em>A = <em>X <em>X′ Λ. Ma per il teorema 1.7 tutti gli elementi diagonali di <em>Λ sono positivi, e quindi questa matrice può essere a sua volta fattorizzata come:

[λ λ λ] [1 1 1] [λ λ λ]

da cui, ponendo <em>P = <em>X <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>O <em>Odi calcolo matriciale che ci permettono di definire il criterio dei minimi quadrati con l'uso della teoria dei massimi e minimi. Iniziamo con la definizione della derivata vettoriale di una funzione degli elementi del vettore β, che può essere rappresentata, ad esempio, dalla devianza β (II-1.4.5); derivando parzialmente rispetto a ciascuno dei elementi di β si ottiene il vettore derivata ∂β ∂β ∂β ∂β S(β) = ∂β ∂β ∂β ∂β Esempio 1.14 - Se S(β) è una funzione reale, il vettore derivata è ∂β ∂β S(β)′ = ∂β ∂β ma poiché è uno scalare, uguale quindi al suo trasposto, si ha anche S(β)′ = ∂β ∂β 1^∂ β^∂ β^′ aS ( ) S ( a ) = = = (1.9.3)² a'
β^∂ β^∂ ...
kLa scelta tra la (1.9.2) e la (1.9.3) dipende dalla sua utilità nel contesto della derivazione.
β β^′Aββ
La forma quadratica, dove è una matrice quadrata simmetrica diS(β) = β Aβordine e è un vettore di dimensione, è una funzione scalare poiché consiste nelk kβ^′ βprodotto scalare tra il vettore riga ed il vettore colonna (oppure del vettoreAββ^′A βriga l vettore colonna) e quindi si può calcolare su di essa il vettorecoderivata come nell'esempio precedente, ottenendosi il risultato'∂ β^∂ β [ ]S ( ) A^′′ = = β = β (1.9.4)² a a ... a 2 A∂ β^∂ β 1 2 k=che è un vettore riga se chiamiamo con , , le colonne della matrice .a i 1, 2, …, k AiAlternativamente,come nell'esempio 1.14, si può avere ^1-27Modulo XIX – Algebra delle matrici ^a₁ ^a₂ ^a₃ ′′∂ β ∂ β β aS ( ) A ^a₁ ^a₂ ^a₃ (1.9.5)= = β = β22 2 A′ ^∂_β ^∂_β ^∂_β ...^{′ a}_k ′che è un vettore colonna se chiamiamo le righe della matrice .a Ai Esempio 1.15 - Nel caso della forma quadratica costruita con la matrice simmetrica di ordine 2 ^a₁₁ ^a₁₂ ^a₂₁ ^a₂₂ si ha che β ^a₁₁ ^a₁₂ ^a₂₁ ^a₂₂ = β β = β + β ^{1 2 2 a}₁₁ ^a₁₂ ^a₂₁ ^a₂₂ ^S( ) ^a₂ ^a₁ ^a₁₁ ^a₁₂ ^{1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 12 22} e le due derivate parziali valgono ^∂_β ^∂_β = β + β = β + β, (1.9.6) ^{2 (a}₁₁ ^a₁₂ ^a₂₁ ^a₂₂) ^{2 (a}₁₁ ^a₁₂ ^a₂₁ ^a₂₂) D'altro canto la (1.9.5) vale β β + β ^∂_β ^∂_β ^∂_β ^∂_β ^∂_β ^∂_β ^a₁₁ ^a₁₂ ^a₂₁ ^a₂₂ ^a₁₁ ^a₁₂ ^a₂₁ ^a₂₂ ^a₁₁ ^a₁₂ ^a₂₁ ^a₂₂^∣_∥ ^∯_∮ ^∣_∥ ^∯_∮ ^∣_∥2 2∂β β β + β^∮_∯ ^∯_∮ ^∥_∣a a a a12 22 2 1 12 2 22vettore colonna equivalente alle (1.9.6).Più in generale si verifica facilmente che, date le funzioni scalari e , sib′Ac c′Abha ′ ′∂ ∂b Ac c Ab ′= =, (1.9.7)Ac c A′∂ ∂b bOsservazione 1.8 - Anche la devianza , del tipo (1.1.4) è una formau′u=quadratica, con .A I 1-28Modulo XIX – Algebra delle matrici1.10 Proprietà della tracciaRiprendiamo ora l'operatore traccia definito dalla (1.7.4) ed indichiamone alcuneutili proprietà.La traccia di dove è una matrice di ordine è uguale alla somma deiBB′ B n×mquadrati di tutti gli elementi di , come immediatamente si verifica. Se è unaB Bmatrice di ordine e di ordine , vale la seguente proprietàm×n C n×mm n n m∑ ∑ ∑ ∑= = = (1.10.1)tr (BC) b c c b tr (CB )ij ji ji ij= = = =i 1 j 1 j 1

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E u m u m , u m u m~ ~1 2 1 11 2 21 1 12 2 22     m m u u21 22 2 2( )~ ~ ~ ~ ~ ~= + + + =2 2

E u m u u m u u m u m1 11 2 1 21 1 2 12 2 22( )= σ + = σ2 2m m trM11 22dove è esemplificato il fatto che una forma quadratica è uno scalare.

Si verifica facilmente che per la traccia vale la proprietà additiva, cioè, con eAmatrici quadrate dello stesso ordine,B = (1.10.3)tr(A+B) trA+trB

Il valor medio della somma degli elementi aleatori diagonali di una matrice quadrata è7uguale alla somma dei valori medi di tali elementi, in virtù della linearità del valor medio. 1-29

Modulo XIX – Algebra delle matrici

Matrici idempotenti e loro proprietà

Data la matrice , la proprietàA = (1.10.4)AA Aè chiamata idempotenza per , che viene detta idempotente. Le matrici idempotentehanno particolare importanza in statistica ed econometria poiché si dimostra cheogni matrice simmetrica e idempotente