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Modulo XIX – Algebra delle matrici

mentre il prodotto scalare è

a′b

= + + =

a′b 1×3 3×2 5×2 19

Se, poi, consideriamo lo scalare , si ha

4

=

4a [4 12 20]′ + +

Infine, la lunghezza del vettore è pari a =

2 2 2

a 1 3 5 35

Dati due vettori e diversi entrambi dal vettore nullo si dimostra che il

a b

θ

coseno dell’angolo da essi formato è dato dall’espressione

a b

θ = (1.1.6)

cos a b

La (1.1.6) si annulla quando il prodotto scalare ’ dei due vettori è nullo, nel

a b

qual caso essi sono detti ortogonali. 1-4

Modulo XIX – Algebra delle matrici

1.2 Matrici

Una tavola a doppia entrata di elementi (ad esempio numeri reali) disposti su n

righe ed colonne, con ed interi positivi, è detta matrice ed è indicata con una

m n m

lettera maiuscola in neretto

 

a a ... a

11 12 1

m

  (1.2.1)

a a ... a

 

= 21 22 2 m

A  

... ... ... ...

 

 

a a ... a

n 1 n 2 nm

Tale matrice è detta avere ordine ed è composta dagli elementi ,

n×m a ij

= = =

, . Se , la matrice è detta quadrata, di ordine . Un

i 1, 2, …, n j 1, 2, …,m n m n

vettore riga ad dimensioni è una particolare matrice di ordine , mentre un

n 1×n

vettore colonna della stessa dimensione è una matrice di ordine . Gli elementi

n×1

=

, , di una matrice quadrata appartengono alla diagonale principale e

a i 1, 2, …, n

ii

sono detti elementi diagonali; l'altra diagonale di una matrice quadrata è detta

secondaria. Una matrice quadrata di ordine è uno scalare.

1

Se tutti gli elementi di una matrice sono nulli, essa è detta matrice nulla ed è

indicata con . Se tutti gli elementi di una matrice quadrata sono nulli salvo quelli

0

dislocati sulla diagonale principale, la matrice è detta diagonale ed è indicata con

 

d 0 ... 0

1

  (1.2.2)

0 d ... 0

 

= 2

D  

... ... ... ...

 

 

0 0 ... d n

dove le sono gli elementi non nulli della matrice, detti elementi diagonali.

d n

j

Se gli elementi diagonali sono tutti pari ad uno, la matrice è detta unitaria o

identica (o unità) ed è indicata con

 

1 0 ... 0

  (1.2.3)

0 1 ... 0

 

=

I  

n ... ... ... ...

 

 

0 0 ... 1

dove l'indice , che rappresenta l'ordine della matrice quadrata, può essere omesso.

n

Per semplicità di notazione, talvolta una matrice diagonale è indicata

D

listando i soli elementi diagonali nel seguente modo

=

D < d d … d >

1 2 n 1-5

Modulo XIX – Algebra delle matrici

Con questa notazione la matrice identica diventa

I

n

=

I < 1 1 … 1 >

n

Una matrice quadrata è detta triangolare superiore (inferiore) se ha tutti zeri al

disotto (al di sopra) della diagonale principale. Una matrice triangolare superiore

di ordine n è quindi del tipo

 

a a ... a

11 12 1 n

  (1.2.4)

0 a ... a

 

= 22 2 n

A  

... ... ... ...

 

 

0 0 ... a nn

Spesso nelle applicazioni conviene far riferimento a singole sottomatrici o

blocchi di una data matrice. Si parla allora di matrice partizionata e la si

rappresenta generalmente indicizzando i singoli blocchi. Ad esempio, per una

matrice partizionata in quattro blocchi si usa una notazione di questo genere

 

A A

= 11 12

  (1.2.5)

A  A A

21 22

Un caso particolare di matrice partizionata è la matrice diagonale a blocchi,

nella quale gli elementi diagonali sono costituiti da matrici quadrate, non

necessariamente dello stesso ordine

 

A 0 ... 0

1

  (1.2.6)

0 A ... 0

 

= 2

A  

... ... ... ...

 

 

0 0 ... A n 1-6

Modulo XIX – Algebra delle matrici

1.3 Operazioni tra matrici

Due matrici sono uguali se gli elementi corrispondenti (dello stesso posto) sono

=

uguali. La somma di due matrici che hanno lo stesso ordine è una matrice

C A+B = +b

ancora dello stesso ordine che ha per elemento generico . Questa

c a

ij ij ij

definizione è immediatamente generalizzata al caso della differenza ed a quello

della somma di più di due matrici. Si può facilmente verificare che valgono le

proprietà + = +

A B B A

+ + = + + = + +

( A B) C A (B C) A B C

Il prodotto di una matrice per uno scalare è la matrice che ha per elemento

A d

generico . La trasposizione di una matrice di ordine e di elemento

da A n×m

ij

generico è una operazione che trasforma nella matrice di ordine e di

a A A′ m×n

ij

elemento generico ; in altre parole, nella trasposizione si scambiano le righe con

a ji ′

le colonne, ovvero il j-esimo vettore riga di è il trasposto del j-esimo vettore

A

colonna di La matrice è detta trasposta di .

A′ A

A.

Esempio 1.2 - La trasposta di  

2 3

   

2 1 4 ′ =

= è A 1 0

 

A  

 

3 0 1  

 

4 1

Esempio 1.3 - Sia la trasposta della matrice dell'esempio

A′ A

precedente ed inoltre sia

 

1 1

 

= (1.3.1)

B 2 2

 

 

 

3 0

Allora la loro matrice somma è data da

C

 

3 4

 

= + =

C A B 3 2

 

 

 

7 1 =a

Se è quadrata ed uguale alla sua trasposta, è detta simmetrica (è ).

A a ij ji

Se e sono due scalari, valgono le proprietà

d f ( , ( , ( (1.3.2)

A′)′=A dA)′=dA′ dA+fB)′=dA′+fB′ 1-7

Modulo XIX – Algebra delle matrici

Si dice prodotto righe per colonne della matrice , , per la , , la

A⋅B A n×m B m×k

m

= =

matrice di ordine con elemento generico . Il nome di

C A⋅B n×k c a b

ij is sj

=

s 1

questo prodotto deriva dal fatto che ogni elemento di è costituito dalla

C

combinazione lineare degli elementi di una colonna di con pesi dati dagli

B

elementi di una riga di . Si noti che c è il prodotto scalare (1.1.3) dell’i-esima riga

A ij

di per la j-esima colonna di

A B.

Esempio 1.4 - Se e sono le matrici degli esempi precedenti il loro

A B

prodotto righe per colonne è

⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅

    (1.3.3)

2 1 1 2 4 3 2 1 1 2 4 0 16 4

⋅ = =

   

A B ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅

3 1 0 2 1 3 3 1 0 2 1 0 6 3

A meno che non sia il prodotto non esiste; inoltre, per , in

k=n B⋅A k=n

generale è , cioè non vale la proprietà commutativa della

A⋅B B⋅A

moltiplicazione.

Esempio 1.5 - Date le matrici e dell'esempio precedente, si ha

A B

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

   

1 2 1 3 1 1 1 0 1 4 1 1 5 1 5

   

⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = (1.3.4)

B A 2 2 2 3 2 1 2 0 2 4 2 1 10 2 10

   

   

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

   

3 2 0 3 3 1 0 0 3 4 0 1 6 3 12

Allora il prodotto di , , per , , è una matrice di ordine ; il

A 2×3 B 3×2 2×2

prodotto è una matrice di ordine .

B⋅A 3×3

Osservazione 1.1 - Poiché i vettori sono casi particolari di matrici, il

vettore riga di elementi può essere considerato come il trasposto del

a′ n

vettore colonna . Il prodotto scalare tra due vettori che hanno la

a a′b

stessa dimensione è quindi una matrice di dimensione , cioè uno

n 1×1

scalare. Invece il prodotto è una matrice quadrata di ordine .

ab′ n

−1

Esempio 1.6 - Dato il vettore di dimensione cinque, il

a=[0 1 0 0]′

prodotto vale

aa′

   

0 0 0 0 0 0

   

1 0 1 1 0 0

   

′    

= − − = −

a a 1 [ 0 1 1 0 0 ] 0 1 1 0 0

   

0 0 0 0 0 0

   

   

   

0 0 0 0 0 0

matrice quadrata di ordine cinque. 1-8

Modulo XIX – Algebra delle matrici

In virtù dell'osservazione 1.1, se vettore di elementi tutti uguali

i=[1 1 … 1]′ è il

all'unità, la matrice tutti gli elementi uguali ad

ii′ ha 1

 

1 1 ... 1

  (1.3.5)

1 1 ... 1

 

′ =

i i  

... ... ... ...

 

 

1 1 ... 1

Esempio 1.7 - Dato il campione di osservazioni , il valor

y=[y y … y ]′

1 2 n

medio campionario di è esprimibile mediante il prodotto scalare

y i′y

n

1 1

= = (1.3.6)

y y i′

y

t

n n

=

t 1

mentre il vettore degli scarti di dal valor medio campionario è dato da

y

t

1 ′

− = − (1.3.7)

y i

y y i i y

n

Se è di ordine , e sono di ordine e è di ordine , valgono le

A n×m B C m×k D k×v

seguenti proprietà, con , , scalari e con le matrici ed di ordine appropriato,

d f h 0 I

= = = =

0⋅A A⋅0 0, I⋅A A⋅I A

+ = +

(

A fB hC) fAB hAC

= = =

( (

dA)B A dB) d(AB) dAB

= = =

, ( (1.3.8)

(A⋅B)′ B′A′ AB)D A(B⋅D) A⋅B⋅D

come facilmente si verifica.

Se è una matrice quadrata di ordine tale che

A n

= = (1.3.9)

A′A AA′ I

essa è detta ortogonale. Questa definizione scaturisce dal fatto che nella matrice A

della (1.3.9) ogni colonna (o riga) è ortogonale rispetto a tutte le altre colonne (o

righe), cioè il prodotto scalare della colonna per la colonna è nullo se (si veda

i j i j

la (1.1.6)). Osservazione 1.2 - Se è una matrice di ordine n×m, il prodotto è

A A′A

una matrice quadrata di ordine m simmetrica. Infatti essa è uguale alla

sua trasposta per la prima delle (1.3.8)

(A′A)′=A′A

dove abbiamo anche sfruttato la prima delle (1.3.2). 1-9

Modulo XIX – Algebra delle matrici

Se è una matrice di ordine n×m e è un vettore m×1, il prodotto è un

A b Ab

vettore colonna n×1.

Esempio 1.8 - Siano la matrice ed il vettore definiti negli esempi

A b

precedenti; allora  

3

   

 

2 1 4 16

= =

   

Ab 2

 

 3 0 1 11

 

 

2

Se è una matrice di ordine n×m e è un vettore 1×n, il prodotto è un

A b′ b′A

vettore riga 1×m.

Esempio 1.9 - Sia la matrice degli esempi precedenti e ; allora

A b′=[2 3]

 

2 1 4

[ ] [ ]

′ = =

 

b A 2 3 13 2 11

 

3 0 1

Operazioni con matrici partizionate

Le regole di addizione e prodotto riga per colonna si estendono direttamente dagli

elementi di due matrici semplici ai blocchi di due matrici partizionate, purché

questi ultimi siano conformabili per le rispettive operazioni.

Ad esempio, date le matrici

   

A A B B

= =

,

11 12 11 12

   

A B

  

A A B B

21 22 21 22

se e sono dello stesso ordine e con le coppie , tutte del medesimo ordine la

A B A B

ij ij

somma è definita come + +

 

A B A B

= 11 11 12 12

  (1.3.10)

A + B + +

A B A B

21 21 22 22

Viceversa, se le colonne di sono tante quante le righe di e se lo stesso

A B

partizionamento è stato applicato alle colonne di e alle righe di , il prodotto è

A B

definito come + +

 

A B A B A B A B

= 11 11 12 21 11 12 12 22

  (1.3.11)

AB + +

A B A B A B A B

21 11 22 21 21 12 22 22 1-10

Modulo XIX – Algebra delle matrici

1.4 La matrice inversa

−1

Si definisce con la matrice inversa sinistra della matrice quadrata , cioè

A A

quella per la quale −1 = (1.4.1)

A A I −1

Analogamente si può definire la matrice inversa destra della matrice quadrata

A

in modo tale che sia

A −1 =

AA I

−1 −1

= =

Poiché , l’inversa destra e l'inversa sinistra di una matrice

AA A A I

quadrata coincidono e sono semplicemente dette inversa.

Data una matrice quadrata di ordine , si dimostra che la sua inversa

A n

consiste nel prodotto dell'inverso del suo determinante, che è uno scalare, per la sua

matrice aggiunta, anche questa di ordine , che passiamo a definire. Segue da

n

questo che anche la matrice inversa è di ordine .

n

Se indichiamo con il determinante e con l'aggiunta, si ha, dunque,

2

det aggA

A 1

=

− (1.4.2)

1

A agg A

det A −1

dalla quale segue che se allora esiste l'inversa ; in questo caso la matrice

detA≠0 A

è detta non singolare. Se , la matrice è chiamata singolare.

A detA=0

Il determinante di una matrice quadrata

Nel caso di una matrice di ordine due

 

a a

= 11 12

 

A 

a a

21 22

il determinante è semplicemente dato dal prodotto degli elementi della diagonale

principale meno il prodotto degli elementi della secondaria

= −

detA a a a a

11 22 12 21

Esempio 1.10 - Il determinante della matrice quadrata (1.3.3) è

= .

48−24 24

Nel caso, invece, di una matrice quadrata di ordine tre è conveniente scrivere

A

di seguito alle tre colonne della matrice nuovamente le prime due 3

|A|

Altra comune notazione per il determinante è , che tuttavia non utilizziamo per evitare

2

confusione con la notazione del modulo. 1-11

Modulo XIX – Algebra delle matrici

 

a a a a a

11 12 13 11 12

  (1.4.3)

a a a a a

 

21 22 23 21 22

 

 

a a a a a

31 32 33 31 32

calcolando il determinante come somma dei tre prodotti che si ottengono dalla

diagonale principale di e dalle due sue parallele nella tabella di tre righe e

A

cinque colonne (1.4.3) + + (1.4.4)

a a a a a a a a a

11 22 33 12 23 31 13 21 32

alla quale vanno sottratti i tre prodotti che si ottengono dalla diagonale secondaria

di e dalle due sue parallele

A + + (1.4.5)

a a a a a a a a a

31 22 13 32 23 11 33 21 12

Dunque, il determinante della matrice quadrata di ordine tre è dato dalla somma

(1.4.4) meno la (1.4.5).

Esempio 1.11 - Il determinante della matrice quadrata (1.3.4) è

calcolabile mediante la tabella

 

5 1 5 5 1

  per cui vale

10 2 10 10 2 120+60+150−60−150−120=0

 

 

 

6 3 12 6 3

da cui si nota che la matrice (1.3.4) è singolare.

In generale chiamiamo determinante della matrice quadrata di ordine data

A n

=

dalla (1.2.1) per l'espressione

m n ∑

= ± (1.4.6)

det A ( ) a a ...

a

h h nh

1 2

1 2 n

h ,..., h

1 n

dove gli sono gli elementi di e la sommatoria è estesa a tutte le permutazioni

a A

ij della ennupla . Il segno più vale se la permutazione è pari e

(h ,h ,…,h ) (1,2,…,n)

1 2 n

quello meno se è dispari .

4

Valgono per i determinanti le seguenti proposizioni:

È la regola detta di Sarrus.

3 La permutazione è pari se il numero delle inversioni del secondo indice rispetto all'ordine

4

naturale è pari; la permutazione è dispari se tale numero è dispari. Ad esempio, nel

prodotto il numero delle inversioni è due e quindi la permutazione è pari, mentre

a a a

12 23 31

nel prodotto il numero delle inversioni è tre e la permutazione è dispari.

a a a

13 22 31 1-12

Modulo XIX – Algebra delle matrici

Teorema 1.1 - Il determinante di una matrice triangolare è uguale al prodotto degli

elementi diagonali.

Teorema 1.2 - Data una matrice quadrata , si ha

A

−1 −1

=(detA)

detA

Osservazione 1.3 - Dal teorema 1.1 segue che il determinante di una

matrice diagonale (che è anche triangolare, sia inferiore che superiore) è

uguale al prodotto degli elementi diagonali.

L’aggiunta di una matrice quadrata

L’aggiunta di una matrice quadrata è la trasposta di un’altra matrice quadrata

A

dello stesso ordine il cui elemento generico di posto si calcola come

(i,j)

determinante della sottomatrice di ottenuta eliminando la -esima riga e la -

A i j

esima colonna, moltiplicato per .

i+j

(−1)

Esempio 1.12 - L’aggiunta della matrice (1.3.3) è

  −

− −  

2 3 3 4

( 1

) 3 ( 1

) 6 =

   

− − 

3 4

  6 16

( 1

) 4 ( 1

) 16

mentre l’aggiunta della matrice (1.3.4) può essere trovata soltanto

calcolando i nove determinanti

     

2 10 10 10 10 2

= − = =

     

det 6 det 60 det 18

  

3 12 6 12 6 3

     

1 5 5 5 5 1

= − = =

     

det 3 det 30 det 9

  

3 12 6 12 6 3

     

1 5 5 5 5 1

= = =

     

det 0 det 0 det 0

   

2 10 10 10 10 2

L’aggiunta è allora ′

 

− − − − −

 

2 3 4

( 1

) ( 6 ) ( 1

) 60 ( 1

) 18 6 3 0

    (1.4.7)

− − − − = −

3 4 5

( 1

) ( 3 ) ( 1

) 30 ( 1

) 9 60 30 0

   

 

− − −  − 

4 5 6  

( 1

) 0 ( 1

) 0 ( 1

) 0 18 9 0

 

Quindi la matrice inversa della (1.3.3) è 1-13

Modulo XIX – Algebra delle matrici

 

1 1

−  

 

3 4

1 = 8 6

 

 

− 1 2

24 6 16  − 

 

4 3

mentre l'inversa della (1.3.4) non può essere calcolata poiché il suo

determinante è nullo.

Osservazione 1.4 - Dalla definizione di aggiunta segue che se una

matrice è simmetrica tale è anche la sua inversa.

L’inversa di una matrice partizionata

Un’utile proprietà dell’inversa riguarda la matrice partizionata in sottomatrici

(1.2.5)  

A A

= 11 12

 

A  A A

21 22

nella quale le e siano quadrate e non singolari. Si dimostra che l’inversa di

A A

11 22

è

A  

− 1

B B A A

− =

1  

11 11 12 22 (1.4.8)

A − +

− − − −

1 1 1 1

 

A A B A A A B A A

22 21 11 22 22 21 11 12 22

dove ( )

= − 1

1

B A A A A (1.4.9)

11 11 12 22 21

La (1.4.8) è la cosiddetta formula dell’inversa partizionata. Dalle (1.4.8) e (1.4.9)

scaturisce che se la matrice ha la struttura diagonale a blocchi della (1.2.6), cioè

A

se i suoi blocchi non diagonali e sono tutti nulli

A A

11 22

 

A 0

= 11

  (1.4.10)

A  0 A 22

allora l’inversa partizionata si semplifica in

 

− 1

A 0

− =

1  

11 (1.4.11)

A − 1

 

0 A 22

(cioè l’inversa di una matrice diagonale a blocchi è la matrice diagonale delle

inverse dei blocchi). =

Applicando la (1.4.11) alla matrice diagonale si vede che la

D < d d … d >,

1 2 n

= − − −

sua inversa sarà anch’essa una matrice diagonale -1 1 1 1

D < d d … d >.

1 2 n 1-14

Modulo XIX – Algebra delle matrici

Il determinante di una matrice partizionata

Nelle applicazioni statistiche è anche utile l’espressione del determinante della

matrice partizionata (1.2.5) in termini dei blocchi che la compongono. Si dimostra

che valgono le relazioni (1.4.12)

− −

− −

1 1

det(A) = det(A ) det( ) = det(A ) det( )

A A A A A A A A

11 22

22 21 11 12 11 12 22 21

dalla quale si ricava, in particolare, che se la matrice è diagonale a blocchi come

nella (1.4.10) allora il suo determinante sarà uguale al prodotto dei determinanti

delle matrici poste sulla diagonale principale (1.4.13)

det(A) = det(A ) det(A )

11 22

La (1.4.13) vale anche nel caso di matrice triangolare a blocchi

 

A A

= 11 12

  (1.4.14)

A  0 A 22 1-15

Modulo XIX – Algebra delle matrici

1.5 Indipendenza lineare di vettori, rango di una matrice

e alcune proprietà dei determinanti

Indipendenza lineare di vettori

Una matrice di ordine può essere considerata come vettore colonna delle sue

A n×m

righe a i ′

 

a 1

 

a

 

= 2

A  

...

 

 

a n

oppure come vettore riga delle sue colonne a j

= …

A [ ]

a a a

1 2 m

Le colonne sono linearmente indipendenti se è

a i n

∑ (1.5.1)

c a 0

i i

=

i 1

per ogni ennupla nonnulla; sono linearmente dipendenti nel caso

( c , c , …, c )

1 2 n

contrario. La (1.5.1) può essere letta come segue: vettori sono linearmente

n a i

indipendenti se non esiste una loro combinazione lineare con pesi non tutti nulli

c

i

uguale al vettore nullo. ′

Analogamente si definiscono le righe come linearmente indipendenti o

a j

dipendenti.

Rango di una matrice

Si può dimostrare che il massimo numero di righe linearmente indipendenti che si

possono estrarre da una matrice di ordine qualsiasi è uguale al massimo

A n×m

numero di colonne linearmente indipendenti che da essa si possono anche estrarre:

questo numero è detto rango o caratteristica della matrice ed è indicato con

A

r(A)

Per quanto detto si ha che (1.5.2)

0≤r(A)≤min(m,n)

e nel caso di una matrice quadrata di ordine è

n (1.5.3)

0≤r(A)≤ n

Se la matrice è detta avere rango pieno di riga, mentre se la

r(A) = m r(A) = n

matrice avrà rango pieno di colonna. Dato che il massimo numero di righe

1-16

Modulo XIX – Algebra delle matrici

linearmente indipendenti è uguale al massimo numero di colonne linearmente

indipendenti, generalmente si potrà parlare senza ambiguità di rango pieno senza

specificare se sia di riga o di colonna.

Se il rango è zero è ovviamente la matrice nulla.

A

Se il rango è allora può essere conveniente riordinare la matrice in

r < min(n,m)

modo che le prime colonne e righe siano linearmente indipendenti. Usando la

r

notazione della matrice partizionata (1.2.5) avremo allora

 

A A

11 12

 

( ) (1.5.4)

× × −

= r r r n r

A  

A A

21 22

 

( ) ( ) ( )

− × − × −

m r r m r n r

dove la matrice è di rango pieno.

A

11

Si possono dimostrare i seguenti teoremi:

Teorema 1.3 - Se una matrice di ordine ha rango , anche la matrice ha

A m×n k A′A

rango .

k

Teorema 1.4 - Condizione necessaria e sufficiente affinché una matrice quadrata A

di ordine sia non singolare è che sia di rango (massimo) .

n n

Teorema 1.5 - Se e sono due matrici quadrate dello stesso ordine, allora

A B (1.5.5)

det(AB)=detA⋅detB

Sono utili, inoltre, le seguenti osservazioni sui determinanti di una matrice A

quadrata. Osservazione 1.5 - Una matrice e la sua trasposta posseggono lo

A A′

stesso determinante. Infatti gli elementi della sommatoria (1.4.6) sono

uguali.

Osservazione 1.6 - Nel caso di una matrice triangolare, inferiore o

superiore, tutti i termini della sommatoria (1.4.6) sono nulli poiché

contengono un fattore nullo, tranne il termine formato da tutti e soli gli

elementi diagonali. Il prodotto di questi elementi costituisce allora il

determinante della matrice triangolare. In particolare, come si è anche

detto nell’Oss. 1.3, il determinante di una matrice diagonale è dato dal

prodotto degli elementi diagonali, ed il determinante della matrice

unitaria vale uno. 1-17

Modulo XIX – Algebra delle matrici

1.6 Sistemi di equazioni

Equazioni omogenee

Consideriamo il seguente sistema di equazioni lineari in incognite

m n

+ + + =

 a x a x ... a x 0

11 1 12 2 1 n n

 + + + =

 a x a x ... a x 0 (1.6.1)

 21 1 22 2 2 n n

...

 + + + =

 a x a x ... a x 0

m 1 1 m 2 2 mn n

Le equazioni (1.6.1) sono omogenee perché in esse non compare un termine noto.

m

Le (1.6.1) possono essere scritte in notazione matriciale come segue (1.6.2)

Ax = 0

dove è la matrice dei coefficienti

A m×n

 

L

a a a

11 12 1 n

 

L

a a a [ ]

  (1.6.3)

= =

21 22 2 n L

A a a a

  1 2 n

M M M

 

 

a a a

m 1 m 2 mn

mentre è il vettore delle incognite e un vettore di zeri, oppure anche nel

x n 0 m

modo seguente (1.6.4)

+ + + =

a x a x ... a x 0

1 1 2 2 n n

Supponiamo che la matrice dei coefficienti abbia rango . In tal caso possiamo

r

partizionare il sistema di equazioni utilizzando la (1.5.4) come segue

   

A A x =

11 12 1

    0 (1.6.5)

 A A x

21 22 2

dove il vettore contiene le prime incognite e il vettore le ultime .

x r x n-r

1 2

Per risolvere il sistema eliminiamo le ultime righe, mantenendo solo le

m-r r

equazioni linearmente indipendenti nelle quali figurano incognite.

n > r

+ = (1.6.6)

A x A x 0

11 1 12 2 ×

r 1

Dato che la matrice è non singolare possiamo invertirla ottenendo

A

11 = − − (1.6.7)

1

x A A x

1 11 12 2

Usando la (1.6.7) la soluzione generale del sistema (1.6.2) può essere scritta nel

modo seguente 1-18


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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti di Econometria per l'esame del professor Bagnai sull'algebra matriciale. Gli argomenti trattati sono i seguenti: i vettori, le matrici, le operazioni tra matrici, la matrice inversa, l'indipendenza lineare di vettori, il rango di una matrice e alcune proprietà dei determinanti, i sistemi di equazioni, gli autovalori e gli autovettori, le forme quadratiche e matrici definite positive e negative, la derivazione vettoriale, le proprietà della traccia, la distribuzioni di forme quadratiche aleatorie.


DETTAGLI
Esame: Econometria
Corso di laurea: Corso di laurea in economia
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher valeria0186 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Econometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Bagnai Andrea.

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