Econometria - l'autocorrelazione dei residui

Modulo…

 

σ σ

2 2

1 ... n

12 1

 

σ σ

2 22

1 ... (4.1.2)

 

~ ~ ′ = σ 2 21 n

E u u

( )  

... ... ... ...

 

σ σ σ

2 2 2

 

...

 

1 2

n n nn

2

σ

invece della delle ipotesi stocastiche deboli standard, gli stimatori β̂

I OLS

~ =

continuano ad essere non distorti, se , ma la loro matrice di dispersione è

E ( u ) 0 ~ ~

ˆ ˆ ˆ ′ ′ ′ ′ ′

− −

β = − − = =

1 1

( ) [( )( ) ] [( )

Cov E β β β β E X X X u u X X X

( ) ]

′ ′ ′ ′

− − −

= σ ≠ σ

2 1 1 2 1

X X X VX X X X X

( ) ( ) ( )

che invece si otterrebbe se fosse .

V=I n

Non soltanto. Trascurando l'ipotesi (4.1.2) e mantenendo l'altra, errata, che

~ ~ ′ = , si trascurerebbe il fatto che, poiché

E ( u u ) I n ˆ ′ ′ (4.1.3)

−

= − = + − = + − + =

1

ˆ ˆ

u y y Xβ u X

β Xβ u X

[

β ( X X ) X u ]

′ ′ ′ ′

− −

= − = − =

1 1

u ( X X ) X u [ I ( X X ) X ]

u Mu

è simmetrica e idempotente, e poiché allora

dove M ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

−1

= = = −

ˆ ˆ

u u u M Mu u Mu u u u X ( X X ) X u

si avrebbe { }

~ ~ ~ ~ ~ ~

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

− −

= − = σ − =

1 2 1

ˆ ˆ

( ) ( ) [ ( ) ] [ ( )

E u u E u u E u X X X X u n E tr u X X X X u ]

{ }

~ ~

′ ′ ′ ′ ′

− −

= ⋅ σ − = ⋅ σ − =

2 1 2 1 (4.1.4)

n E tr X X X X u u n tr X X X X V

[ ( ) ] [ ( ) ]

{ }

′ ′

−

= σ ⋅ −

2 1

n tr X X X VX

[( ) ]

≠ k

Lo stimatore ′

ˆ ˆ

u u

σ =

2

ˆ −

n k

non sarebbe più non distorto perché a seguito della (4.1.4) sarebbe

~ ~

′

( )

E u u

σ = ≠ σ

2 2

ˆ

( )

E −

n k Pagina X-3

Modulo…

4.2 Test di autocorrelazione dei residui

Dovendo stimare un’equazione, è allora necessario dapprima accertarsi

dell'esistenza dell’autocorrelazione dei residui e poi procedere alla stima, tenendo

in considerazione tale autocorrelazione nel caso che i test di esistenza abbiano dato

responso positivo. Illustriamo in questo paragrafo alcuni dei test di

autocorrelazione più comunemente utilizzati.

Negli anni cinquanta e sessanta i modelli econometrici avevano una struttura

dinamica semplice e l'autocorrelazione che veniva ritenuta più rilevante era quella

di ritardo uno, tra un residuo ed il suo precedente oppure il suo seguente. Più tardi,

con il dettagliarsi della dinamica delle equazioni, è aumentato il numero delle

autocorrelazioni dei residui da considerare e da rilevare come eventualmente

differenti da zero mediante test.

Illustriamo, allora, dapprima i più usuali test che verificano l'esistenza di

autocorrelazione di ritardo uno, detta anche del primo ordine, per poi passare ai

test per l'autocorrelazione di ritardi superiori.

J. Durbin e G.S. Watson (1950 e 1951) costruirono un test per verificare l'ipotesi

di esistenza di autocorrelazione del primo ordine

~ ~ = ρ = (4.2.1)

H : Corr (

u , u ) (

1

) 0

−

0 1

t t

contro l'alternativa ~ ~ = ρ ≠

H : Corr (

u , u ) (

1

) 0

−

1 1

t t

ma si accorsero subito di un problema comune a tutti test di autocorrelazione.

~

{ }

L'ipotesi nulla (4.2.1) riguarda il processo ma a disposizione dell'econometrico

u t

{ }

non c'è tale processo bensì la serie storica dei residui stimati. La relazione tra

û t

processo e serie storica è data dalla (4.1.3) che evidenzia come tale relazione sia

delle variabili esplicative.

funzione del campione X

Il test di Durbin e Watson

Così occorrerebbe costruire un test di autocorrelazione specifico per ogni campione

, cosa possibile ma chiaramente inaccettabile. Vediamo come Durbin e Watson

X

abbiano sviluppato un test, basato sulle ma che supera questo problema. Essi

û t

costruiscono la statistica

n n n n n n

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

− + − −

2 2 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

u u u u u u u u u

( ) 2 2 2

− − − −

1

t t t t 1 t t 1 t t t 1

= = = = = =

= = ≈ = − ρ

t 2 t 2 t 2 t 2 t 2 t 2 ˆ

2

[

1 (

1

)]

d (4.2.2)

n n n

∑ ∑ ∑

2 2 2

ˆ ˆ ˆ

u u u

t t t

= = =

t 2 t 2 t 2 Pagina X-4

Modulo…

≈

dove il simbolo indica l'uguaglianza approssimata e

n

1 ∑ ˆ ˆ

u u −

t t 1

−

n 1 =

ρ =

ˆ t 2 (4.2.3)

n

1 ∑ 2

ˆ

u t

−

n 1 =

t 2

è la stima campionaria del coefficiente di autocorrelazione del primo ordine. n

∑ 2

ˆ e

L'approssimazione nella (4.2.2) deriva dal fatto che le due sommatorie u t

=

t 2

n

∑ 2

ˆ non sono perfettamente uguali ma differiscono per il primo e l'ultimo

u −

t 1

=

t 2 = ∀

ˆ

è sufficientemente grande e poiché , ,

termine. Se però n E (

u ) 0 t

t

l'approssimazione è generalmente buona. Si ha allora che

ρ = =

se ˆ (

1

) 0 d 2

ρ < + < ≤ +

se ˆ (

1

) 0 2 d 4

ρ > ≤ < +

se ˆ (

1

) 0 0 d 2

e l'ipotesi nulla (4.2.1) è accettata se la statistica è vicina a . Per sviluppare il

d 2 ~

test, Durbin e Watson determinarono numericamente la distribuzione di , che

d

non è standard, e ne tabularono i valori al variare di e di . Se non esistesse il

n k

problema della dipendenza di dalle variabili esplicative, esposto sopra, dalle

d

tavole di Durbin e Watson sarebbe possibile trarre gli estremi e dell'intervallo

d d

1 2

che conterrebbe il valore con una data probabilità. Così si accetterebbe l'ipotesi

2

(4.2.1) se la statistica fosse compresa tra e ; la si rifiuterebbe nel caso

d d d

1 2

contrario. ~ dipende da e quindi e

Malauguratamente, però, la distribuzione di X d d

d 1 2

sono funzioni del campione delle variabili esplicative. Ma Durbin e Watson si

accorsero che, al variare di , si muoveva in un intervallo abbastanza ristretto,

X d

1

1

delimitato da due valori e , e che similmente , suo simmetrico rispetto al

d d d

L U 2

= − −

punto , si muoveva nell'intervallo delimitato da e . Costruirono,

d 2 4 d 4 d

U L

pertanto tavole statistiche in cui porre la coppia di valori e in funzione di , di

d d n

L U

e del livello o di probabilità del test. Questa viene eseguito facilmente

k 1% 5%

sulla base del grafico seguente:

= =

L U

lower; upper; in inglese.

1 Pagina X-5

Appunti di Econometria per l'esame del professor Carlucci sull'autocorrelazione dei residui. Gli argomenti trattati sono i seguenti: le fonti e le conseguenze dell'autocorrelazione, il test di autocorrelazione dei residui, l'illustrazione matriciale, la dispersione effettiva dei residui, lo stimatore, il test di Durbin e Watson.