Econometria - l'autocorrelazione dei residui

Trattamento della covarianza non nulla dei residui

L'ipotesi che le covarianze tra i residui fossero nulle è molto restrittiva, che in questo capitolo cerchiamo di rilassare. Vedremo come le procedure di trattamento della covarianza non nulla dei residui, cioè della loro autocorrelazione (correlazione di un residuo con se stesso ritardato di unità temporali), condurranno a modelli di carattere dinamico.

In effetti l'autocorrelazione dei residui deriva dall'esistenza di relazioni che non vengono spiegate dalla parte dinamica nei valori dell'endogena y t sistematica dell'equazione:

{y t = β + β + β + ... + β + x t + x t + ... + x t + u t 1 1t 2 2t k kt t}

Queste relazioni non spiegate portano all'autocorrelazione dei residui ad esempio in seguito a:

• presenza di tendenza nella serie t {y t}
• presenza di autocorrelazione già nella serie t {y t}
• cattiva eliminazione delle stagionalità di t
• specificazione inesatta della (4.1.1)

dovuta o a omissione di variabili o alla scelta di una forma funzionale errata, {y}.- errori di misurazione nei valori della tLe conseguenze dell'autocorrelazione dei residui sugli stimatori possano essere senza rendersi conto che iperniciose. In effetti, se si stima la (4.1.1) con gli OLS residui sono correlati tra di loro, generalmente si sottostimano le varianze degli estimatori, per cui- le statistiche di Student sono sovrastimate, t di Fisher sono sovrastimate,- le statistiche F2 sono sopravvalutati.- gli indicatori RIn conclusione sono considerati significativamente diversi da zero anche parametri β non significativi, e complessivamente buone equazioni (4.1.1) che non lo sono.In sovrappiù, le correlazioni tra gli stimatori dei parametri di regressione sono stimate in modo inesatto.Illustrazione matricialeMostriamo in termini matriciali quanto affermato in precedenza. Se la matrice di dispersione effettiva dei residui è Pagina X-2Modulo...

σ2 21 ... n12 1 σ σ2 221 ... (4.1.2) ~ ~ ′ = σ 2 21 nE u u( )  ... ... ... ... σ σ σ2 2 2 ... 1 2n n nn2σinvece della delle ipotesi stocastiche deboli standard, gli stimatori β̂I OLS~ =continuano ad essere non distorti, se , ma la loro matrice di dispersione èE ( u ) 0 ~ ~ˆ ˆ ˆ ′ ′ ′ ′ ′− −β = − − = =1 1( ) [( )( ) ] [( )Cov E β β β β E X X X u u X X X( ) ]′ ′ ′ ′− − −= σ ≠ σ2 1 1 2 1X X X VX X X X X( ) ( ) ( )che invece si otterrebbe se fosse .V=I nNon soltanto. Trascurando l'ipotesi (4.1.2) e mantenendo l'altra, errata, che~ ~ ′ = , si trascurerebbe il fatto che, poichéE ( u u ) I n ˆ ′ ′ (4.1.3)−= − = + − = + − + =1ˆ ˆu y y Xβ u Xβ Xβ u X[β

( X X ) X u ]′ ′ ′ ′− −= − = − =1 1u ( X X ) X u [ I ( X X ) X ]u Muè simmetrica e idempotente, e poiché alloradove M ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′−1= = = −ˆ ˆu u u M Mu u Mu u u u X ( X X ) X usi avrebbe { }~ ~ ~ ~ ~ ~′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′− −= − = σ − =1 2 1ˆ ˆ( ) ( ) [ ( ) ] [ ( )E u u E u u E u X X X X u n E tr u X X X X u ]{ }~ ~′ ′ ′ ′ ′− −= ⋅ σ − = ⋅ σ − =2 1 2 1 (4.1.4)n E tr X X X X u u n tr X X X X V[ ( ) ] [ ( ) ]{ }′ ′−= σ ⋅ −2 1n tr X X X VX[( ) ] ≠ kLo stimatore ′ˆ ˆu uσ =2ˆ −n knon sarebbe più non distorto perché a seguito della (4.1.4) sarebbe~ ~′( )E u uσ = ≠ σ2 2ˆ( )E −n k Pagina

X-3Modulo…4.2 Test di autocorrelazione dei residui Dovendo stimare un'equazione, è allora necessario dapprima accertarsi dell'esistenza dell'autocorrelazione dei residui e poi procedere alla stima, tenendo in considerazione tale autocorrelazione nel caso che i test di esistenza abbiano dato responso positivo. Illustriamo in questo paragrafo alcuni dei test di autocorrelazione più comunemente utilizzati. Negli anni cinquanta e sessanta i modelli econometrici avevano una struttura dinamica semplice e l'autocorrelazione che veniva ritenuta più rilevante era quella di ritardo uno, tra un residuo ed il suo precedente oppure il suo seguente. Più tardi, con il dettagliarsi della dinamica delle equazioni, è aumentato il numero delle autocorrelazioni dei residui da considerare e da rilevare come eventualmente differenti da zero mediante test. Illustriamo, allora, dapprima i più usuali test che verificano l'esistenza.

La diautocorrelazione di ritardo uno, detta anche del primo ordine, per poi passare ai test per l'autocorrelazione di ritardi superiori.

J. Durbin e G.S. Watson (1950 e 1951) costruirono un test per verificare l'ipotesi di esistenza di autocorrelazione del primo ordine:

H : Corr (u , u ) (1) = ρ (4.2.1)

contro l'alternativa:

H : Corr (u , u ) (1) ≠ ρ (4.2.1)

ma si accorsero subito di un problema comune a tutti i test di autocorrelazione.

L'ipotesi nulla (4.2.1) riguarda il processo ma a disposizione dell'econometrico non c'è tale processo bensì la serie storica dei residui stimati. La relazione tra il processo e la serie storica è data dalla (4.1.3) che evidenzia come tale relazione sia funzione del campione X.

Il test di Durbin e Watson così occorrerebbe costruire un test di autocorrelazione specifico per ogni campione, cosa possibile ma chiaramente inaccettabile.

Vediamo come Durbin e Watson hanno sviluppato un test, basato sulle autocorrelazioni, che supera questo problema. Essi costruiscono la statistica ∑ (u_t - u_t-1)² --------------------------- ∑ u_t² che approssima l'uguaglianza approssimata ≈ 2(1 - ρ)² ------------------- (4.2.2)n dove il simbolo ≈ indica l'uguaglianza approssimata. Inoltre, la stima campionaria del coefficiente di autocorrelazione del primo ordine è data da ρ = ∑ u_tu_t-1 / ∑ u_t² L'approssimazione nella (4.2.2) deriva dal fatto che le due sommatorie ∑ u_t² non sono perfettamente uguali ma differiscono per il primo e l'ultimo u_t-1.2 = ∀è sufficientemente grande e poiché , ,termine. Se però n E (u ) 0 ttl'approssimazione è generalmente buona. Si ha allora cheρ = =se ∆ (1) 0 d 2ρ < + < ≤ +se ∆ (1) 0 2 d 4ρ > ≤ < +se ∆ (1) 0 0 d 2e l'ipotesi nulla (4.2.1) è accettata se la statistica è vicina a . Per sviluppare ild 2 ~test, Durbin e Watson determinarono numericamente la distribuzione di , chednon è standard, e ne tabularono i valori al variare di e di . Se non esistesse iln kproblema della dipendenza di dalle variabili esplicative, esposto sopra, dalledtavole di Durbin e Watson sarebbe possibile trarre gli estremi e dell'intervallod d1 2che conterrebbe il valore con una data probabilità. Così si accetterebbe l'ipotesi2(4.2.1) se la statistica fosse compresa tra e ; la si rifiuterebbe nel casod d d1 2contrario. ~ dipende da e quindi eMalauguratamente, però, la

distribuzione di X d dd 1 2sono funzioni del campione delle variabili esplicative. Ma Durbin e Watson siaccorsero che, al variare di , si muoveva in un intervallo abbastanza ristretto,X d11delimitato da due valori e , e che similmente , suo simmetrico rispetto ald d dL U 2= − −punto , si muoveva nell'intervallo delimitato da e . Costruirono,d 2 4 d 4 dU Lpertanto tavole statistiche in cui porre la coppia di valori e in funzione di , did d nL Ue del livello o di probabilità del test. Questa viene eseguito facilmentek 1% 5%sulla base del grafico seguente:= =L Ulower; upper; in inglese.1 Pagina X-5Modulo… −Se la statistica , indicata spesso con le iniziali , e compresa tra e il testd DW d 4 dU Usuggerisce di accettare l'ipotesi nulla (4.2.1) di assenza di autocorrelazione di primo≤ordine.Se il test suggerisce di rifiutare tale nulla e di accettare l'alternativa0 d<dL − ≤di autocorrelazione positiva. L'autocorrelazione