Econometria - l'autocorrelazione dei residui

F. Carlucci - Traccia per un corso di econometria

Modulo 4 - Autocorrelazione dei residui (versione preliminare)

Fonti e conseguenze dell'autocorrelazione

Nel modulo II è stata sviluppata la teoria della stima con il criterio sotto OLS, l'ipotesi che le covarianze tra i residui fossero nulle. Nella realtà questa è un'ipotesi molto restrittiva, che in questo capitolo cerchiamo di rilassare. Vedremo come le procedure di trattamento della covarianza non nulla dei residui, cioè della loro autocorrelazione (correlazione di un residuo con se stesso ritardato di unità temporali), condurranno a modelli di carattere dinamico.

In effetti, l'autocorrelazione dei residui deriva dall'esistenza di relazioni che non vengono spiegate dalla parte dinamica nei valori dell'endogena y, sistematica dell'equazione:

y_t = β₀ + β₁x_1t + β₂x_2t + ... + β_kx_kt + u_t (4.1.1)

Queste relazioni non spiegate portano all'autocorrelazione dei residui, ad esempio in seguito a:

• Presenza di tendenza nella serie {y_t}
• Presenza di autocorrelazione già nella serie {y_t}
• Cattiva eliminazione delle stagionalità di {y_t}
• Specificazione inesatta della (4.1.1), dovuta o a omissione di variabili o alla scelta di una forma funzionale errata
• Errori di misurazione nei valori della {y_t}

Le conseguenze dell'autocorrelazione dei residui sugli stimatori possono essere perniciose. In effetti, se si stima la (4.1.1) con gli OLS e i residui sono correlati tra di loro, generalmente si sottostimano le varianze degli stimatori, per cui:

• Le statistiche di Student t sono sovrastimate
• Le statistiche di Fisher F sono sovrastimate
• Gli indicatori R sono sopravvalutati

In conclusione, sono considerati significativamente diversi da zero anche parametri β non significativi, e complessivamente buone equazioni (4.1.1) che non lo sono. In sovrappiù, le correlazioni tra gli stimatori dei parametri di regressione sono stimate in modo inesatto.

Illustrazione matriciale

Mostriamo in termini matriciali quanto affermato in precedenza. Se la matrice di dispersione effettiva dei residui è:

 σ₁²  σ₁₂ ... 
 σ₂₁ σ₂² ... 
  ... ... ... 
 σ_n1 σ_n2 ... σ_n²

Invece delle ipotesi stocastiche deboli standard, gli stimatori β̂ OLS continuano ad essere non distorti, se E(u) = 0, ma la loro matrice di dispersione è:

ˆ ˆ ˆ ′ ′ ′ ′ ′− −β = − − = = 1( ) [( )( ) ] [( )Cov E β β β β E X X X u u X X X( ) ]′ ′ ′ ′− − −= σ² (X'X)^-1 X'VX(X'X)^-1 che invece si otterrebbe se V = I_n.

Non soltanto. Trascurando l'ipotesi (4.1.2) e mantenendo l'altra, errata, che E(u'u) = I_n, si trascurerebbe il fatto che, poiché:

ˆ ˆ ˆ ′ ′ ′ ′−= − = + − = + − + = 1ˆu = y - y - Xβ = u - Xβ + Xβ u (X'X)^-1X