Econometria - l'autocorrelazione dei residui

Modulo…

4.1 Fonti e conseguenze dell'autocorrelazione

Nel modulo II è stata sviluppata la teoria della stima con il criterio sotto

OLS

l'ipotesi che le covarianze tra i residui fossero nulle. Nella realtà questa è un'ipotesi

molto restrittiva, che in questo capitolo cerchiamo di rilassare.

Vedremo come le procedure di trattamento della covarianza nonnulla dei

residui, cioè della loro autocorrelazione (correlazione di un residuo con se stesso

τ

ritardato di unità temporali), condurranno a modelli di carattere dinamico.

In effetti l'autocorrelazione dei residui deriva dall'esistenza di relazioni

che non vengono spiegate dalla parte

dinamiche nei valori dell'endogena y t

sistematica dell'equazione

= β + β + β + (4.1.1)

y x x …+ x u

t 1 1t 2 2t k kt t

Queste relazioni non spiegate portano all'autocorrelazione dei residui ad esempio in

seguito a: {y } ,

- presenza di tendenza nella serie t {y } ,

- presenza di autocorrelazione già nella t {y } ,

- cattiva eliminazione delle stagionalità di t

- specificazione inesatta della (4.1.1), dovuta o a omissione di variabili o alla

scelta di una forma funzionale errata,

{y } .

- errori di misurazione nei valori della t

Le conseguenze dell'autocorrelazione dei residui sugli stimatori possano essere

senza rendersi conto che i

perniciose. In effetti, se si stima la (4.1.1) con gli OLS

residui sono correlati tra di loro, generalmente si sottostimano le varianze degli

stimatori, per cui

- le statistiche di Student sono sovrastimate,

t di Fisher sono sovrastimate,

- le statistiche F

2 sono sopravvalutati.

- gli indicatori R

In conclusione sono considerati significativamente diversi da zero anche parametri

β non significativi, e complessivamente buone equazioni (4.1.1) che non lo sono.

In sovrappiù, le correlazioni tra gli stimatori dei parametri di regressione sono

stimate in modo inesatto.

Illustrazione matriciale

Mostriamo in termini matriciali quanto affermato in precedenza. Se la matrice di

dispersione effettiva dei residui è Pagina X-2

Modulo…

 

σ σ

2 2

1 ... n

12 1

 

σ σ

2 22

1 ... (4.1.2)

 

~ ~ ′ = σ 2 21 n

E u u

( )  

... ... ... ...

 

σ σ σ

2 2 2

 

...

 

1 2

n n nn

2

σ

invece della delle ipotesi stocastiche deboli standard, gli stimatori β̂

I OLS

~ =

continuano ad essere non distorti, se , ma la loro matrice di dispersione è

E ( u ) 0 ~ ~

ˆ ˆ ˆ ′ ′ ′ ′ ′

− −

β = − − = =

1 1

( ) [( )( ) ] [( )

Cov E β β β β E X X X u u X X X

( ) ]

′ ′ ′ ′

− − −

= σ ≠ σ

2 1 1 2 1

X X X VX X X X X

( ) ( ) ( )

che invece si otterrebbe se fosse .

V=I n

Non soltanto. Trascurando l'ipotesi (4.1.2) e mantenendo l'altra, errata, che

~ ~ ′ = , si trascurerebbe il fatto che, poiché

E ( u u ) I n ˆ ′ ′ (4.1.3)

−

= − = + − = + − + =

1

ˆ ˆ

u y y Xβ u X

β Xβ u X

[

β ( X X ) X u ]

′ ′ ′ ′

− −

= − = − =

1 1

u ( X X ) X u [ I ( X X ) X ]

u Mu

è simmetrica e idempotente, e poiché allora

dove M ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

−1

= = = −

ˆ ˆ

u u u M Mu u Mu u u u X ( X X ) X u

si avrebbe { }

~ ~ ~ ~ ~ ~

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

− −

= − = σ − =

1 2 1

ˆ ˆ

( ) ( ) [ ( ) ] [ ( )

E u u E u u E u X X X X u n E tr u X X X X u ]

{ }

~ ~

′ ′ ′ ′ ′

− −

= ⋅ σ − = ⋅ σ − =

2 1 2 1 (4.1.4)

n E tr X X X X u u n tr X X X X V

[ ( ) ] [ ( ) ]

{ }

′ ′

−

= σ ⋅ −

2 1

n tr X X X VX

[( ) ]

≠ k

Lo stimatore ′

ˆ ˆ

u u

σ =

2

ˆ −

n k

non sarebbe più non distorto perché a seguito della (4.1.4) sarebbe

~ ~

′

( )

E u u

σ = ≠ σ

2 2

ˆ

( )

E −

n k Pagina X-3

Modulo…

4.2 Test di autocorrelazione dei residui

Dovendo stimare un’equazione, è allora necessario dapprima accertarsi

dell'esistenza dell’autocorrelazione dei residui e poi procedere alla stima, tenendo

in considerazione tale autocorrelazione nel caso che i test di esistenza abbiano dato

responso positivo. Illustriamo in questo paragrafo alcuni dei test di

autocorrelazione più comunemente utilizzati.

Negli anni cinquanta e sessanta i modelli econometrici avevano una struttura

dinamica semplice e l'autocorrelazione che veniva ritenuta più rilevante era quella

di ritardo uno, tra un residuo ed il suo precedente oppure il suo seguente. Più tardi,

con il dettagliarsi della dinamica delle equazioni, è aumentato il numero delle

autocorrelazioni dei residui da considerare e da rilevare come eventualmente

differenti da zero mediante test.

Illustriamo, allora, dapprima i più usuali test che verificano l'esistenza di

autocorrelazione di ritardo uno, detta anche del primo ordine, per poi passare ai

test per l'autocorrelazione di ritardi superiori.

J. Durbin e G.S. Watson (1950 e 1951) costruirono un test per verificare l'ipotesi

di esistenza di autocorrelazione del primo ordine

~ ~ = ρ = (4.2.1)

H : Corr (

u , u ) (

1

) 0

−

0 1

t t

contro l'alternativa ~ ~ = ρ ≠

H : Corr (

u , u ) (

1

) 0

−

1 1

t t

ma si accorsero subito di un problema comune a tutti test di autocorrelazione.

~

{ }

L'ipotesi nulla (4.2.1) riguarda il processo ma a disposizione dell'econometrico

u t

{ }

non c'è tale processo bensì la serie storica dei residui stimati. La relazione tra

û t

processo e serie storica è data dalla (4.1.3) che evidenzia come tale relazione sia

delle variabili esplicative.

funzione del campione X

Il test di Durbin e Watson

Così occorrerebbe costruire un test di autocorrelazione specifico per ogni campione

, cosa possibile ma chiaramente inaccettabile. Vediamo come Durbin e Watson

X

abbiano sviluppato un test, basato sulle ma che supera questo problema. Essi

û t

costruiscono la statistica

n n n n n n

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

− + − −

2 2 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

u u u u u u u u u

( ) 2 2 2

− − − −

1

t t t t 1 t t 1 t t t 1

= = = = = =

= = ≈ = − ρ

t 2 t 2 t 2 t 2 t 2 t 2 ˆ

2

[

1 (

1

)]

d (4.2.2)

n n n

∑ ∑ ∑

2 2 2

ˆ ˆ ˆ

u u u

t t t

= = =

t 2 t 2 t 2 Pagina X-4

Appunti di Econometria per l'esame del professor Carlucci sull'autocorrelazione dei residui. Gli argomenti trattati sono i seguenti: le fonti e le conseguenze dell'autocorrelazione, il test di autocorrelazione dei residui, l'illustrazione matriciale, la dispersione effettiva dei residui, lo stimatore, il test di Durbin e Watson.