Econometria

Spiegazione del termine SER

SER:

• è espresso nella stessa unità di misura di u e quindi di Y
• misura la dispersione della distribuzione di u
• misura la "dimensione" media del residuo OLS (l'errore "medio" della retta di regressione)

Esempio: R2 e SER

La pendenza è statisticamente ed economicamente significativa anche se STR spiega solo una piccola frazione della variabilità osservata nei risultati del test.

2R basso dice che c'è un'alta percentuale della variabilità del test che non è spiegata dal rapporto STR.

Una nota pratica: Eteroschedasticità, omoschedasticità, e la formula per gli errori standard di

4 4b be0 1

Cosa indicano questi due termini?

Se var(u|X=x) è costante, cioè se la varianza della distribuzione condizionata di u dato X non dipende da X, allora si dice che u è omoschedastico. Altrimenti, si dice che u è eteroschedastico.

Omoschedasticità in figura:

19• E(u|X=x) = 0

• La varianza di u non dipende da X ed è costante

Eteroschedasticità in figura:

• E(u|X=x) = 0

• La varianza di u dipende da X

Fino a questo punto abbiamo implicitamente assunto che i termini di errore siano eteroschedastici:

Eteroschedasticità e omoschedasticità riguardano var(u|X=x). Dal momento che non abbiamo esplicitamente assunto errori omoschedastici, abbiamo implicitamente consentito che possano essere eteroschedastici.

Quali sono le conseguenze dell'omoschedasticità?

• Si può provare (Teorema di Gauss-Markov) che lo stimatore OLS è lo stimatore a varianza minima nella classe degli stimatori non distorti che sono funzione lineare di (Y ,...,Y );

La formula per la varianza di e per il corrispondente errore standard si semplificano. Se var(u |X =x) = σ^2, allora:

σ^2 u = σ^2

Formula generale per l'errore standard di σ^2 è la radice quadrata di:

1/n * Σ(u_i - u_barra)^2

Caso speciale con omoschedasticità:

standard così calcolati sono detti errori standard robusti all'eteroschedasticità (o errori standard di White). (esempio beta pag.93)

ESERCIZI (CAP 4-5)

Regressione lineare con regressori multipli -2,28 è una stima credibile dell'effetto di una variazione del rapporto studenti/docenti sul risultato del test?

Non proprio: esiste infatti la possibilità che vi siano altri fattori, noti come "variabili omesse" (reddito delle famiglie, % di studenti non di madrelingua inglese, ecc.), che potrebbero rendere "distorto" lo stimatore OLS.

La distorsione da variabile omessa

La distorsione dello stimatore OLS causata dall'omissione di un fattore è nota come "distorsione da variabile omessa". Affinché si verifichi, il fattore omesso "Z" deve essere:

1. una determinante di Y; e
2. correlato con il regressore X.

Entrambe le condizioni devono essere vere affinché l'omissione di Z renda distorto.

• X, X: le due variabili indipendenti (regressori)
• (Y, X1, X2): indica l'i-esima osservazione per Y, X1 e X2
• b0: intercetta
• b1: effetto su Y di una variazione in X1, X2 costante
• b2: effetto su Y di una variazione in X2, X1 costante
• u: "termine d'errore" (ulteriori fattori omessi)

1. La distribuzione condizionata di u date le X ha media nulla, cioè E(u|X1=x1,...,Xk=xk) = 0.
2. La varianza di u è costante per ogni combinazione di X1, X2, ..., Xk.
3. u è incorrelato con X1, X2, ..., Xk.

1. (X₁,...,X_n,Y), i=1,...,n, sono i.i.d.¹
2. E(X_i)<∞,..., E(X_i) < E(u) <1 k_i4
3. Collinearità non perfetta.
4. Assunzione 1: La media condizionata di u date le X è zero.
5. Stessa interpretazione del modello di regressione con un solo regressore.
6. Se una variabile omessa (1) è rilevante per il fenomeno che analizziamo (e quindi è in u) e (2) è correlata con una variabile inclusa in X, allora questa assunzione non è vera. Se l’assunzione è violata allora lo stimatore è distorto a causa dell’omissione di variabili. La soluzione – se fattibile – è di includere la variabile omessa nella regressione.
7. Assunzione 2: (X₁,...,X_n,Y), i=1,...,n, sono i.i.d.¹ ki
8. Questa condizione è soddisfatta se i dati sono raccolti attraverso un campionamento casuale.
9. Assunzione 3: quattro momenti finiti
10. Questa assunzione tecnica è soddisfatta se

Le variabili hanno un dominio finito.

Assunzione 4: Collinearità non perfetta

Si ha collinearità perfetta se uno dei regressori è una funzione lineare esatta degli altri.

La distribuzione degli stimatori OLS

Date le quattro assunzioni dei minimi quadrati, 23

Verifica di ipotesi congiunte

L'ipotesi nulla che le "risorse scolastiche non contino," e l'ipotesi alternativa che invece "contino" possono essere formalizzate come

H₀: β₁ = 0 e β₂ = 0 vs. H₁: β₁ ≠ 0 o β₂ ≠ 0

Un'ipotesi congiunta è un'ipotesi che impone due o più restrizioni sui coefficienti di regressione.

Il "buon senso" ci suggerisce di rifiutare l'ipotesi nulla se almeno una delle statistiche t è maggiore di 1,96 in valore assoluto. Qualche volta però, e questo è il caso, il buon senso sbaglia.

Calcoliamo la probabilità di rifiutare l'ipotesi nulla quando questa è vera

(livello di significatività) utilizzando l'approccio basato sul "buon senso", cioè su due statistiche t individuali.

Per semplificare i calcoli supponiamo che e siano indipendentemente distribuiti.

Siano t e t le due statistiche t1 2

Il test basato sul "buon senso" è:

Qual è la probabilità di rifiutare la nulla quando la nulla è vera (dovrebbe essere il 5%)?

La dimensione ("size") di un test è il tasso di rifiuto effettivo sotto l'ipotesi nulla

• La dimensione del test basato sul "senso comune" non è il 5%
• Inoltre, la dimensione del test dipende dalla correlazione tra t e t (e quindi dalla correlazione tra1 28 4b be ).1 2 24

Due possibili soluzioni:

• Usare differenti valori critici - non 1,96 (Metodo Bonferroni)
• Usare una differente statistica del test: la statistica F

La statistica F consente di sottoporre a test una

molteplicità di ipotesi simultaneamente.

Formula per il caso particolare = e = in una regressione con due regressori1 1,0 2 2,0

Si rifiuta l’ipotesi nulla quando la statistica F è “grande”.

• La statistica F è grande quando t e/o t è grande1 2
• La statistica F corregge “nel modo giusto” per la correlazione tra t e t .1 2
• La formula in presenza di più di due regressori è molto complicata (ci serve l’algebra delle