Econometria

Econometria

Molte decisioni economiche richiedono stime quantitative di come la variazione di una variabile (X) influenzi un’altra variabile (Y). L'econometria è la scienza e l'arte di usare la teoria economica e le tecniche statistiche per analizzare i dati economici al fine di:

• Quantificare le relazioni causali tra variabili
• Prevedere l’andamento futuro delle variabili economiche

Cosa si intende per causalità?

Causalità significa che un'azione specifica determina una conseguenza specifica e misurabile.

Misurare l'effetto del fertilizzante sulla produzione di pomodori

Qual è il modo migliore per misurare l'effetto sulla produzione di pomodori (in chilogrammi per metro quadrato) di una certa quantità di fertilizzante (100 grammi per metro quadrato)?

Condurre un esperimento controllato casualizzato (randomized controlled experiment)!

• Perché controllato? Perché ci sono appezzamenti che non ricevono il fertilizzante (gruppo di controllo) e appezzamenti che lo ricevono (gruppo di trattamento)
• Perché casualizzato? Perché il trattamento (nel nostro caso il fertilizzante) è assegnato casualmente. L'assegnazione casuale elimina la possibilità di una relazione sistematica tra altre caratteristiche (ad esempio l’esposizione al sole) e l'assegnazione a uno dei due gruppi.

Esempio: L'esposizione al sole può modificare la produzione, poiché una parte è più esposta dell'altra.

Esperimento controllato non casualizzato:

• T C T T C T C C
• L'esposizione al sole non modifica i risultati poiché l'appezzamento è stato diviso in modo causale

Esperimento controllato casualizzato:

• T C C T

Gli esperimenti controllati casualizzati sono difficili da realizzare in un contesto di decisioni economiche, e più in generale in contesti sociali, perché spesso contrari all'etica, impossibili da realizzare in modo soddisfacente o proibitivamente costosi.

Nonostante questo, il concetto di esperimento controllato casualizzato fornisce un riferimento teorico ideale per l’analisi di econometria degli effetti causali tramite dati non sperimentali (osservazionali).

Dati sperimentali e non sperimentali

Dati sperimentali provengono da esperimenti disegnati esplicitamente per valutare effetti causali tra variabili.

Dati non sperimentali (osservazionali) sono ottenuti osservando il comportamento reale al di fuori di un contesto sperimentale (questionari, indagine telefoniche, registri amministrativi, ...).

Relazione tra variabili in un campione

Si supponga di osservare in un campione di distretti scolastici una relazione negativa tra dimensione media delle classi e performance media degli studenti. È sufficiente per inferire che esiste una relazione causale? No, perché potrebbe essere che la dimensione media sia collegata ad un'altra variabile, a sua volta correlata alle performance, ad esempio la qualità dei docenti, poiché i docenti migliori sono assegnati solitamente a classi più piccole.

Si supponga di osservare in un campione di stati nazionali una relazione negativa tra prezzo delle sigarette e consumo delle sigarette. È sufficiente per inferire che esiste una relazione causale? No, perché in altri stati può essere che un maggior consumo si traduca in un maggior prezzo.

Tipologie di dati

• Dati sezionali: consistono di più entità osservate in un solo periodo
• Dati temporali: consistono di una singola entità osservata in più periodi
• Dati panel (dati longitudinali): consistono di più entità, ciascuna delle quali è osservata in due o più periodi.

Nei dati sezionali non vi è un ordinamento, mentre in quelli temporali è presente un ordinamento temporale.

Richiami di probabilità e statistica

Problema: dimensione delle classi e performance degli studenti

Domanda di “policy”: Qual è l’effetto sulla performance degli studenti di una riduzione della dimensione media della classe di uno studente per classe? E di otto studenti per classe?

Dati: Tutti i distretti scolastici in California (n = 420)

Variabili: Media distrettuale dei risultati di un test, rapporto tra numero degli studenti e numero di insegnanti a tempo pieno equivalenti nel distretto (Student-teacher ratio, STR).

Per verificare se esiste una correlazione si segnano i dati su un grafico e si procede con un’analisi bivariata per verificare se esiste correlazione. Nell’esempio c’è una correlazione negativa tra le variabili (-0,23).

Ma gli studenti in distretti (in generale) con un basso STR hanno risultati migliori al test?

Strategia per rispondere:

1. Confrontare le medie dei risultati del test nei distretti con un basso STR con quelli con un alto STR (“stima”)
2. Sottoporre a verifica l’ipotesi che le medie nei due gruppi di distretti siano uguali contro l’ipotesi che siano diverse (“verifica di ipotesi”)
3. Costruire un intervallo per la differenza nella media dei risultati tra i due gruppi (“intervalli di confidenza”)

Analisi iniziale dei dati:

Confrontare i distretti con classi “small” (STR < 20) con quelli con classi “large” (STR ≥ 20):

• Stima di D: Differenza tra le medie di gruppo
• Verifica dell’ipotesi che D = 0
• Costruzione di un intervallo di confidenza

Stima - D = 657,4 – 650,0 = 7,4_small - D_large

È questa differenza piccola o grande?

• Differenza tra il 60° e il 75° percentile della distribuzione dei risultati è 667,6 – 659,4 = 8,2
• La differenza sembra essere sufficientemente grande per informare il dibattito sulla riforma della scuola, per guidare le scelte dei genitori, ecc...

Verifica di ipotesi

Test della differenza tra medie: calcolare la statistica t.

|t| > 1.96. Ne consegue il rifiuto (ad un livello di significatività del 5%) dell’ipotesi nulla che le due medie siano uguali.

Intervallo di confidenza

L’intervallo di confidenza (ad un livello di confidenza del 95%) per la differenza tra medie è dato da:

Due conclusioni equivalenti:

1. L’ipotesi D = 0 è rifiutata ad un livello di significatività del 5%
2. L’intervallo di confidenza ad un livello di confidenza del 95% per D non include 0

Schema probabilistico

Popolazione: la collezione degli oggetti d’interesse. Assumiamo per il momento di essere interessati ad una sola caratteristica della popolazione, Y. Si può pensare a Y come ad una variabile casuale e l’obiettivo dell’analisi è di fare inferenza sui parametri che caratterizzano la distribuzione di Y nella popolazione utilizzando un campione finito di n oggetti.

Momenti della distribuzione di Y

• Momento 1: Media = valore atteso (aspettativa) di Y = E(Y) = μ_y = misura del centro di una distribuzione
• Momento 2: Varianza = var(Y) = E(Y – μ)² = s²_Y = misura della dispersione quadratica di una distribuzione
• Momento 3: Deviazione standard = √varianza = s_Y

Asimmetria = 0: la distribuzione è simmetrica; asimmetria > (<) 0: la distribuzione ha una coda lunga a destra (a sinistra)

Curtosi = 3: distribuzione normale; curtosi > (<) 3: la distribuzione ha code spesse (sottili)

Distribuzioni condizionate

La distribuzione di Y, per dato(i) valore(i) di un’altra variabile casuale, X.

Esempio: la distribuzione dei risultati del test, dato che STR < 20

Momenti delle distribuzioni condizionate

• Aspettativa condizionata = media della distribuzione condizionata = E(Y|X = x)
• Varianza condizionata = varianza della distribuzione condizionata var(Y|X= x)

Esempio: E(Risultato del test|STR < 20), la media dei risultati dei test per i distretti con classi di dimensioni piccole. La differenza tra medie è la differenza tra le medie di due distribuzioni condizionate: D = E(Risultato del test|STR < 20) – E(Risultato del test|STR ≥ 20).

Altri esempi di medie condizionate:

• Salari di tutti gli occupati di genere femminile (Y = salari, X = genere)
• Tasso di mortalità ad un anno dei soggetti sottoposti a terapia (Y = vita/morte; X = trattamento/controllo)

Il nostro oggetto d’interesse è D (differenza nel risultato del test; differenza nel salario; effetto di un trattamento sperimentale), che sfortunatamente non è noto.

È quindi necessario raccogliere dati che consentano di fare inferenza statistica su:

• Dati sperimentali
• Dati non sperimentali (osservazionali) → che in economia e in finanza sono i principali

Campionamento casuale semplice

n oggetti sono scelti a caso da una popolazione e ogni membro della popolazione ha la stessa probabilità di essere incluso nel campione. Prima della selezione, il valore di Y per l’i-esimo individuo è una variabile casuale. Dopo che l’individuo è stato selezionato il valore di Y viene osservato; Y “diventa” un numero.

Il data set è composto da (Y1, Y2,..., Yn), dove Yi = valore di Y per l’i-esimo individuo (distretto, entità) estratto. Dal momento che gli individui #1 e #2 sono estratti casualmente, il valore di Y1 non fornisce informazioni sul valore di Y2. Ne segue che:

• Y1 e Y2 sono indipendentemente distribuite
• Y1 e Y2 sono identicamente distribuite

In altri termini il campionamento casuale semplice implica che Y1 e Y2 sono indipendentemente e identicamente distribuite (i.i.d.).

Stima

Y sembra essere uno stimatore naturale della media. Ma:

• Quali sono le proprietà statistiche di questo stimatore?
• Perché dobbiamo proprio usare Y e non invece qualche altro stimatore?

Per rispondere a queste domande è necessario caratterizzare la distribuzione campionaria di Y:

• Gli individui nel campione sono estratti casualmente.
• I valori di (Y1,..., Yn) sono quindi variabili casuali
• Funzioni di variabili casuali sono a loro volta variabili casuali
• La distribuzione di Y è nota come distribuzione campionaria di Y.

La media e la varianza di Y sono la media e la varianza della sua distribuzione campionaria, E(Y) e var(Y).

Per poter derivare var(Y), è necessario conoscere il concetto di covarianza.

La covarianza tra due variabili casuali X e Z è data da:

cov(X,Z) = E[(X – μ_X)(Z – μ_Z)]

• La covarianza è una misura della associazione lineare X e Z
• cov(X,Z) > (<) 0: se esiste una relazione positiva (negativa) tra X e Z.
• Se X e Z sono indipendentemente distribuite, allora cov(X,Z) = 0 (ma non viceversa!)
• La covarianza tra una variabile casuale e se stessa è la varianza: s² = cov(X,X) = E[(X – μ)²]

Coefficiente di correlazione

Il coefficiente di correlazione è definibile in funzione della covarianza:

• -1 ≤ corr(X,Z) ≤ 1
• corr(X,Z) = 1 indica una perfetta correlazione positiva
• corr(X,Z) = -1 indica una perfetta correlazione negativa
• corr(X,Z) = 0 indica l’assenza di correlazione lineare
• Se E(X|Z) = costante, allora corr(X,Z) = 0 (non necessariamente vale la relazione inversa)

E(Y) = Media: Y

Implicazioni:

• Y è uno stimatore non distorto di μ_Y
• var(Y) è inversamente proporzionale a n
• l’ampiezza della distribuzione campionaria è proporzionale a 1/√n
• segue che l’incertezza campionaria derivante dall’usare Y per fare inferenza su μ_Y è anch’essa proporzionale a 1/√n (grandi campioni, meno incertezza, ma legge con radice quadrata)

Distribuzione campionaria

Qual è la distribuzione campionaria di Y?

In generale la distribuzione campionaria esatta di Y è molto complicata e dipende dalla distribuzione di Y nella popolazione.

Esempio: Si supponga che Y possa assumere solo due valori: 0 e 1 (una variabile casuale di Bernoulli) caratterizzata dalla distribuzione di probabilità.

Pr[Y = 0] = 0.22, Pr(Y =1) = 0.78

Allora E(Y) = 0.78 e s²_Y = 0.78*(1–0.78) = 0.1716

Per campioni piccoli la distribuzione di Y è complicata. Ma non lo è quando n è grande! Al crescere di n, la distribuzione di Y è sempre più centrata intorno a μ; l’incertezza campionaria decresce al crescere di n.

Uno stimatore è consistente se la probabilità che cada entro un intervallo piccolo a piacere intorno al valore vero della popolazione tende a 1 al crescere della dimensione del campione.

La Legge dei Grandi Numeri (LLN): cioè la media campionaria è uno stimatore consistente di μ_Y.

Teorema del Limite Centrale (CLT)

Quali sono quindi i motivi per usare Y come stimatore di μ_Y?

• Y è lo stimatore a minimi quadrati di μ; infatti rappresenta la soluzione di Y
• Y ha una varianza più piccola di ogni altro stimatore lineare non distorto

Verifica di ipotesi

Verifica di ipotesi (per la media): decidere, basandosi sull’evidenza disponibile, se l’ipotesi nulla (H₀) sia vera o se viceversa sia vera una qualche ipotesi alternativa (H₁).

Formule

Valore-p (p-value) = probabilità, nel caso di campionamento ripetuto, di ottenere una statistica del test (ad es. Y) sfavorevole all’ipotesi nulla almeno quanto la statistica effettivamente osservata, assumendo che valga l’ipotesi nulla. Il livello di significatività del test è la probabilità prefissata di rifiutare l’ipotesi nulla quando questa è vera.

Calcolo del valore-p per Y:

Y_act dove Y è il valore di osservato (e quindi non casuale).

Per calcolare il valore-p, è necessario conoscere la distribuzione di Y. Se n è grande, è ragionevole utilizzare l’approssimazione normale:

Si indichi con s la deviazione standard di Y.

• Perché si può applicare la legge dei grandi numeri? Perché Y è una media campionaria.

Il valore-p e il livello di significatività

Dato un livello di significatività (e.g. 5%):

• Rifiutare se |t| ≥ 1,96
• Equivale a rifiutare se p ≤ 0,05.
• Il valore-p è talvolta detto livello marginale di significatività.

La distribuzione t di Student

Se Y segue una N(μ, s²), allora la statistica t segue una distribuzione t di Student.

• Per n > 30, la distribuzione t e la distribuzione N(0,1) sono molto vicine

L’assunzione che Y segua una N(μ, s²) è raramente plausibile nelle applicazioni economiche (reddito? numero di bambini?).

Intervalli di confidenza

Un intervallo di confidenza di livello 95% per μ è un intervallo che contiene il valore vero di μ nel 95% dei casi in campioni ripetuti. Un intervallo di confidenza di livello 95% può sempre essere costruito come l’insieme dei valori di μ non rifiutati da una verifica di ipotesi condotta ad un livello di significatività del 5%.

Domanda originaria di “policy”

Qual è l’effetto sulla performance degli studenti di una riduzione della dimensione media della classe di uno studente per classe? E di otto studenti per classe?

Abbiamo risposto a questa domanda?

• Abbiamo esaminato D = la differenza nella media tra classi piccole e classi grandi
• In realtà l’oggetto di interesse è β, ovvero la pendenza di una retta che mette in relazione il risultato del test con STR

Regressione lineare con un singolo regressore

La retta di regressione della popolazione:

Test Score = β₀ + β₁STR

• β₁ = pendenza della retta di regressione della popolazione
• Test= score/STR= Variazione nel test a fronte di una variazione unitaria nello STR
• β₀ e β₁ sono i “parametri della popolazione”
• L’oggetto d’interesse è il parametro β₁.
• β₁ non è noto e deve essere stimato utilizzando dati campionari.