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Econometria - i minimi quadrati generalizzati Appunti scolastici Premium

Appunti di Econometria per l'esame del professor Carlucci sui minimi quadrati generalizzati. Gli argomenti trattati sono i seguenti: l'ipotesi di sfericità dei residui, lo stimatore dei minimi quadrati generalizzati, la proprietà dello stimatore OLS in presenza di disturbi non sferici, la derivazione dello stimatore generalizzato,... Vedi di più

Esame di Econometria docente Prof. F. Carlucci

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Modulo II – Minimi quadrati

4.1 L’ipotesi di sfericità dei residui

Nel capitolo precedente abbiamo analizzato la violazione della prima fra le ipotesi

stocastiche alla base del modello lineare, quella di omogeneità del campione. Nel

corso della trattazione siamo stati condotti ad occuparci anche della violazione di

un’altra ipotesi, quella di normalità dei residui, che è connessa alla prima nel caso

in cui si manifestino osservazioni anomale. Ci occupiamo ora di un’altra ipotesi

stocastica, quella relativa ai momenti secondi della distribuzione dei residui

 0 t s (4.1.1)

~ ~

⋅ = ∀

E (

u u ) t,s

σ =

t s 2

 t s

detta di sfericità dei residui, alludendo al fatto che sotto l’ipotesi (4.1.1) le regioni

dello spazio a n dimensioni nei quali il residuo assume valori con una prefissata

α

probabilità sono delle ipersfere.

1

Osservazione 4.1 – Nei modelli specificati su serie storiche, in cui i

residui sono una successione temporale di variabili aleatorie, la (4.1.1)

u t

viene anche detta ipotesi di bianchezza dei residui, poiché nella teoria

dei processi stocastici una successione di variabili aleatorie incorrelate a

media nulla e varianza costante viene definita rumore bianco.

2

Come si è detto nel paragrafo 1.6, l’ipotesi di sfericità (o, a seconda del tipo di

modelli, di bianchezza) è raramente verificata nella realtà, poiché frequentemente i

residui sono correlati tra di loro e posseggono varianze diverse. Sia

l’autocorrelazione che la non costanza delle varianze sono fenomeni connessi in

qualche modo alla crescita economica, che determina la presenza di una forte

componente inerziale nelle serie storiche (da cui l’autocorrelazione) e il fatto che le

loro fluttuazioni attorno alla tendenza aumentino di ampiezza col passare del

tempo (da cui la non costanza delle varianze).

Si noti che la (4.1.1) non prevede alcuna specifica ipotesi distribuzionale. Siamo

quindi nel contesto delle ipotesi deboli (o di Gauss-Markov). La violazione delle

(4.1.1) quindi determinerà sia la perdita delle proprietà BLU dello stimatore OLS,

sia l’impossibilità di effettuare inferenze statistiche valide. Questi punti vengono

affrontati in dettaglio nel paragrafo 4.2, dove si presenta uno stimatore

generalizzato, detto appunto stimatore dei minimi quadrati generalizzati, o di

In particolare, sfere a n dimensioni. Più che di sfericità dei residui bisognerebbe in effetti

1

parlare di sfericità della distribuzione (di forma non specificata) dei residui.

Si veda il paragrafo 1.6.

2 4-2

Modulo II – Minimi quadrati

Aitken, o GLS, che mantiene le proprietà BLU e permette inferenze valide anche

3

in presenza di violazioni della (4.1.1).

In pratica, l’applicazione di questo stimatore è limitata dalla necessità di

conoscere la matrice di covarianze vera dei residui. Sono quindi stati proposti

diversi stimatori cosiddetti “GLS fattibili”, detti anche stimatori di Aitken a due

4

stadi, i quali utilizzano, a fronte di violazioni specifiche della (4.1.1), specifici

stimatori della matrice di covarianze (o specifiche ipotesi sulla sua struttura) per

pervenire alla costruzione delle stime generalizzate. I diversi stimatori fattibili

sono quindi determinati dalla natura della violazione ipotizzata.

In questo capitolo considereremo in particolare quelli proposti per ovviare alla

presenza di eteroschedasticità dei residui. Il più diffuso è lo stimatore dei minimi

quadrati ponderati, o WLS, presentato nel paragrafo 4.3. Gli stimatori GLS

5

fattibili proposti a fronte di violazioni dell’ipotesi di non autocorrelazione dei

residui verranno presentati nel modulo V, dopo aver introdotto i concetti di

dinamica econometrica necessari per rappresentare l’autocorrelazione stessa.

Dall’inglese Generalized Least Squares.

3 In inglese feasible GLS.

4 Dall’inglese Weighted Least Squares.

5 4-3

Modulo II – Minimi quadrati

4.2 Lo stimatore dei minimi quadrati generalizzati

Alla luce di quanto esposto nel precedente paragrafo introduttivo, spesso, per

trattare situazioni più aderenti alla realtà, è necessario indebolire ulteriormente

l’ipotesi stocastica (4.1.1), o, se si vuole, estendere il modello di base, ipotizzando

~

che la matrice di dispersione di sia del tipo più generale

u

 σ σ σ 

2 2 2

L

 

11 12 1 n

σ σ σ

2 222 22

L

  (4.2.1)

~ ~ ~ ′

= = = = σ 2

21 n

Cov ( u ) E (

u u ) Ó V

 

M O M

 

σ σ σ

 

2 2 2

L

 

n 1 n 2 nn

Σ Σ

dove e sono matrici simmetriche definite positive. La scelta della notazione o

V

σ

dell’altra dipende dal contesto di analisi econometriche in cui ci si trova,

2

V σ

essendo la seconda motivata dall’avere conformazione analoga all’ipotesi di

2

I

residui sferici. ~

Σ

Osservazione 4.2 – La matrice di dispersione di un vettore aleatorio y

è sempre definita positiva in quanto è:

~ ~

α ′ α ′ α α ′ Σ α

=

0 < Var( y ) = Cov( y ) ~

α α ′

dove è un qualsiasi vettore di costanti non tutte nulle e essendo

y ,

una variabile aleatoria scalare (non degenere), ha varianza

necessariamente nonnulla.

Proprietà dello stimatore OLS in presenza di disturbi non sferici

Prima di procedere mostriamo in che modo l’ipotesi (4.2.1) modifica le proprietà

dello stimatore OLS. Questa analisi è essenziale allo scopo di farci capire quali sono

i rischi che corriamo nell’applicare lo stimatore OLS in contesti nei quali una delle

ipotesi alla base di esso, la (4.1.1), non è verificata.

Ricordiamo dal capitolo 1 che sotto le ipotesi standard lo stimatore OLS è non

distorto e BLU. Sotto la (4.2.1) questo stimatore mantiene la prima proprietà, ma

non la seconda. La (1.6.17) infatti continuerà a valere

~ ~

β = β + ′ ′ = β + ′ ′ = β

− −

ˆ 1 1

E ( ) E [( X X

) X u ] ( X X ) X E

[ u ]

dato che essa coinvolge solo il momento primo del residuo e non il secondo, che è

modificato dalla (4.2.1). Lo stimatore OLS continua quindi ad essere non distorto.

Viceversa, la sua matrice di varianze e covarianze ora diventa

~ ~

′ ′ ′ ′ ′

− −

β = β − β β − β = =

ˆ ˆ ˆ 1 1

Cov ( ) E [( )( ) ] E

[( X X ) X u u X ( X X ) ] (4.2.2)

′ ′ ′ ′

= σ ≠ σ

− − −

2 1 1 2 1

( X X ) X VX ( X X ) ( X X ) 4-4

Modulo II – Minimi quadrati

cioè diversa dalla (1.6.18) derivata nel caso di validità delle ipotesi classiche. Ma

quest’ultima matrice di dispersione è quella sulla quale si basa la dimostrazione

del teorema di Gauss-Markov (si veda il paragrafo 1.8). Ne consegue che quando la

matrice di dispersione dei residui è la (4.2.1) lo stimatore OLS non è più ottimo.

L’intuizione sottostante a questo risultato è semplice: lo stimatore OLS non è più

efficiente in quanto non sfrutta tutta l’informazione (teoricamente) disponibile. In

particolare, esso ignora la conformazione della matrice di covarianze (4.2.1), e

risulterà quindi più disperso di uno stimatore che invece ne tenga conto.

La (4.2.2) indica anche che lo stimatore campionario della matrice di covarianze

( )

σ ′

dei residui non è più appropriato, perché non riflette la struttura della

1

2 X X

matrice di covarianze vera (4.2.2). Come abbiamo visto nel capitolo 2, tutta

l’inferenza statistica sui parametri del modello utilizza una stima della loro matrice

di dispersione e di conseguenza in presenza di residui non sferici le inferenze

effettuate utilizzando la matrice di varianze e covarianze “standard” non sono

valide. In altre parole, le di Student e le di Fisher fornite dai software

t F

econometrici potrebbero fornire risultati fuorvianti (cioè, a seconda delle

circostanze, spingerci a non rifiutare un’ipotesi nulla falsa o a rifiutare una nulla

vera).

Le conseguenze dell’ipotesi (4.2.1) sullo stimatore OLS sono quindi piuttosto

gravi. Vediamo ora come costruire uno stimatore generalizzato che, tenendo conto

della (4.2.1), ci consenta di superare questi problemi.

Derivazione dello stimatore generalizzato

Se valgono le ipotesi (4.2.1), le prime due delle (1.6.10) e la (1.4.9) è possibile

determinare un nuovo stimatore che segue il criterio dei minimi quadrati, detto

stimatore dei minimi quadrati generalizzati .

6

Per ottenerlo è sufficiente far ricorso al teorema XIX-1.10, che consente di

fattorizzare la matrice secondo la forma

V = ′ (4.2.3)

V PP

dove la matrice è un’appropriata matrice quadrata, anch’essa di ordine dalla

P n;

(4.2.3) si trae, con due inversioni,

O di Aitken; in lingua inglese: Generalized Least Squares, GLS. Riportiamo per comodità

6

del lettore le quattro ipotesi alla base dello stimatore GLS:

1) X matrice di costanti

2) E(u) = 0 σ

3) Cov(u) = V

2

4) det(X’X) 0 4-5

Modulo II – Minimi quadrati

′) =

(

-1 -1

P V P I

n

l’invertibilità di essendo assicurata dallo stesso teorema XIX-1.10. Se

P

premoltiplichiamo il modello (1.4.4) per otteniamo

-1

P

= β +

-1 -1 -1

P y P X P u

cioè = β + (4.2.4)

y X u

∗ ∗ ∗

avendo posto = = =

, , (4.2.5)

-1 -1 -1

P y y P X X P u u

∗ ∗ ∗

Il vantaggio delle (4.2.5) è che in seguito alla loro applicazione i residui del modello

(4.2.4), specificato in termini di variabili trasformate, rispettano le ipotesi

standard: ~ ~

= =

− 1

E (

u ) E ( P u ) 0

* ′ ′ ′

~ ~ ~

= = σ = σ

− − − −

1 1 2 1 1 2

Cov ( u ) E

[ P u u (

P ) ] P V ( P ) I

* n

dove si è fatto uso della (4.2.3). Lo stimatore dei minimi quadrati ordinari dei

parametri della (4.2.4) è

~ (4.2.6)

~ ~ ~

β = ′ ′ = ′ ′ ′ ′ = ′ ′

− − − − − − − − −

1 1 1 1 1 1 1 1 1

( X X ) X y [ X ( P ) P X ] X ( P ) P y ( X V X

) X V y

* * * * *

per ottenere il quale abbiamo invertito i due membri della (4.2.3). Il vettore

aleatorio (4.2.6) è lo stimatore dei minimi quadrati generalizzati; esso è BLU

perché ottenuto tramite il criterio dei minimi quadrati ordinari operando su un

modello, il (4.2.4), che rispetta le ipotesi standard. La matrice di dispersione di tale

stimatore è ~ (4.2.7

β = σ ′ = σ ′

− − −

2 1 2 1 1

Cov ( ) ( X X ) ( X V X )

* * *

σ

mentre la stima non distorta di ha l’espressione

2

ˆ ˆ

u u ′

σ = = − β − β − =

2 * * ( y X ) ( y X ) /( n k )

− * * * * * *

n k

* (4.2.8)

′ ′ ′

= − β − β − = − β −

− − −

1 1 1

( y X ) V ( y X ) /( n k ) ( y V y X V y ) /( n k )

* * *

che si ottiene sfruttando la (4.2.7).

Nelle applicazioni l’utilità dello stimatore dei minimi quadrati generalizzati è

notevolmente limitata dalla necessità di conoscere . Nel paragrafo successivo

V

vedremo come viene risolto il problema nel caso particolare di eteroschedasticità

dei residui. 4-6

Modulo II – Minimi quadrati

4.3 Eteroschedasticità dei residui

Nel modello lineare generale

= β + β + + β + (4.3.1)

y x x … x u

t 1 1t 2 2t k kt t

sono state fatte sinora le ipotesi deboli standard ≠

 0 t s (4.3.2)

~ ~ ~

= ∀ ⋅ = ∀

, 

E (

u ) 0 t E (

u u ) t, s

σ =

t t s 2

 t s

Nelle variabili economiche, tuttavia, accade spesso che la variabilità non sia

costante nel tempo, ma crescente o più raramente decrescente, oppure ancora

crescente e poi decrescente a tratti. Se una tale situazione vale per la (4.3.1) e se la

componente sistematica (la combinazione lineare delle ) non rappresenta

x

sufficientemente questa variabilità non costante, tale tipo di variabilità si

trasferisce sui residui per cui la seconda della (4.3.2) si trasforma nella

u t ≠

 0 t s (4.3.3)

~ ~

⋅ = 

E (

u u ) σ =

t s 2

 t s

t

caratterizzandone la eteroschedasticità.

In tale caso l’analisi svolta nel paragrafo precedente mostra come non possano

essere più utilizzati gli stimatori dei minimi quadrati ordinari, per i quali è

necessario che valgano le (4.3.2). Nel resto del paragrafo mostriamo come costruire

stimatori GLS nel caso di eteroschedasticità e poi richiamiamo alcuni test

comunemente utilizzati per verificare l’ipotesi di omoschedasticità.

La stima dei minimi quadrati ponderati (WLS)

Viene naturale ipotizzare che l’eteroschedasticità dei residui sia causata da alcune

variabili note che indichiamo con . Queste possono essere, tutte o in

z , z , …, z

1t 2t st

parte, anche variabili esplicative del modello (4.3.1). Sotto l’ulteriore ipotesi che

σ sia funzione crescente (l’adattamento al caso decrescente è banale) di queste

2

t

variabili, possiamo porre

σ = α ⋅ α ⋅ ⋅ α (4.3.4)

2 exp( z ) exp( z ) ... exp( z )

t 1 1

t 2 2 t s st

dove la crescenza è rappresentata mediante l’esponenziale per comodità di sviluppo

analitico. Sempre per comodità è conveniente specializzare ulteriormente la (4.3.4)

senza che le ipotesi addizionali condizionino troppo le situazioni reali.

=2 =1 ∀t,

Poniamo, dunque, in primo luogo , per cui la (4.3.4) diventa

s z

1t

σ = α ⋅ α = σ ⋅ α (4.3.5)

2 2

exp( ) exp( z ) w 2

t 1 2 2 t t

avendo posto 4-7


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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti di Econometria per l'esame del professor Carlucci sui minimi quadrati generalizzati. Gli argomenti trattati sono i seguenti: l'ipotesi di sfericità dei residui, lo stimatore dei minimi quadrati generalizzati, la proprietà dello stimatore OLS in presenza di disturbi non sferici, la derivazione dello stimatore generalizzato, l'eteroschedasticità dei residui, la stima dei minimi quadrati ponderati (WLS), il test di omoschedasticità, lo stimatore WLS come stimatore dei minimi quadrati generalizzati.


DETTAGLI
Esame: Econometria
Corso di laurea: Corso di laurea in economia
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher valeria0186 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Econometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Carlucci Francesco.

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