Econometria - i minimi quadrati generalizzati

Proprietà dello stimatore OLS in presenza di disturbi non sferici

L 11 12 1 nσ σ σ2 222 22L  (4.2.1)~ ~ ~ ′= = = = σ 221 nCov ( u ) E (u u ) Ó V M O M σ σ σ 2 2 2L n 1 n 2 nnΣ Σdove e sono matrici simmetriche definite positive. La scelta della notazione oVσdell’altra dipende dal contesto di analisi econometriche in cui ci si trova,2V σessendo la seconda motivata dall’avere conformazione analoga all’ipotesi di2Iresidui sferici. ~ΣOsservazione 4.2 – La matrice di dispersione di un vettore aleatorio yè sempre definita positiva in quanto è:~ ~α ′ α ′ α α ′ Σ α=0 < Var( y ) = Cov( y ) ~α α ′dove è un qualsiasi vettore di costanti non tutte nulle e essendoy ,una variabile aleatoria scalare (non degenere), ha varianzanecessariamente nonnulla.Proprietà dello stimatore OLS in presenza di disturbi non sfericiPrima

Di procedere mostriamo in che modo l'ipotesi (4.2.1) modifica le proprietà dello stimatore OLS. Questa analisi è essenziale allo scopo di farci capire quali sono i rischi che corriamo nell'applicare lo stimatore OLS in contesti nei quali una delle ipotesi alla base di esso, la (4.1.1), non è verificata.

Ricordiamo dal capitolo 1 che sotto le ipotesi standard lo stimatore OLS è nondistorto e BLU. Sotto la (4.2.1) questo stimatore mantiene la prima proprietà, ma non la seconda. La (1.6.17) infatti continuerà a valere β = β + β' = β + β' = β- -1 1E ( ) E [( X X) X u ] ( X X ) X E[ u ] dato che essa coinvolge solo il momento primo del residuo e non il secondo, che è modificato dalla (4.2.1). Lo stimatore OLS continua quindi ad essere non distorto. Viceversa, la sua matrice di varianze e covarianze ora diventa β'

= β - ββ - β = ∆ ∆ ∆ 1 1Cov ( ) E [( )( ) ] E[( X X ) X u u X ( X X ) ] (4.2.2)' ' ' '= σ ≠ σ- ---2 1 1 2 1( X X ) X VX ( X X ) ( X X ) 4-4Modulo II – Minimi quadraticioè diversa dalla (1.6.18) derivata nel caso di validità delle ipotesi classiche. Maquest'ultima matrice di dispersione è quella sulla quale si basa la dimostrazionedel teorema di Gauss-Markov (si veda il paragrafo 1.8). Ne consegue che quando lamatrice di dispersione dei residui è la (4.2.1) lo stimatore OLS non è più ottimo.L'intuizione sottostante a questo risultato è semplice: lo stimatore OLS non è piùefficiente in quanto non sfrutta tutta l'informazione (teoricamente) disponibile. Inparticolare, esso ignora la conformazione della matrice di covarianze (4.2.1), erisulterà quindi più disperso di uno stimatore che

invece ne tenga conto. La (4.2.2) indica anche che lo stimatore campionario della matrice di covarianze (Σ) - σ'² dei residui non è più appropriato, perché non riflette la struttura della matrice di covarianze vera (4.2.2). Come abbiamo visto nel capitolo 2, tutta l'inferenza statistica sui parametri del modello utilizza una stima della loro matrice di dispersione e di conseguenza in presenza di residui non sferici le inferenze effettuate utilizzando la matrice di varianze e covarianze "standard" non sono valide. In altre parole, le t di Student e le F di Fisher fornite dai software econometrici potrebbero fornire risultati fuorvianti (cioè, a seconda delle circostanze, spingerci a non rifiutare un'ipotesi nulla falsa o a rifiutare una nullavera).

Le conseguenze dell'ipotesi (4.2.1) sullo stimatore OLS sono quindi piuttosto gravi. Vediamo ora come costruire uno stimatore generalizzato che, tenendo conto della (4.2.1),

ci consenta di superare questi problemi.

Derivazione dello stimatore generalizzato

Se valgono le ipotesi (4.2.1), le prime due delle (1.6.10) e la (1.4.9) è possibile determinare un nuovo stimatore che segue il criterio dei minimi quadrati, detto stimatore dei minimi quadrati generalizzati.

Per ottenerlo è sufficiente far ricorso al teorema XIX-1.10, che consente di fattorizzare la matrice secondo la forma V = ' (4.2.3) V P

dove la matrice è un' appropriata matrice quadrata, anch'essa di ordine dalla P n;

Da (4.2.3) si trae, con due inversioni, O di Aitken; in lingua inglese: Generalized Least Squares, GLS. Riportiamo per comodità del lettore le quattro ipotesi alla base dello stimatore GLS:

1. X matrice di costanti
2. E(u) = 0 σ
3. Cov(u) = V2 ≠ 0
4. det(X'X) ≠ 0

Modulo II – Minimi quadrati'

=(-1 -1 P V P In l'invertibilità di essendo assicurata dallo stesso teorema XIX-1.10. Se premoltiplichiamo il modello (1.4.4) per

otteniamo-1P= β ±1 -1 -1P y P X P ucioè = β + (4.2.4)y X u***avendo posto = = =, , (4.2.5)-1 -1 -1P y y P X X P u u***Il vantaggio delle (4.2.5) è che in seguito alla loro applicazione i residui del modello(4.2.4), specificato in termini di variabili trasformate, rispettano le ipotesistandard: ~ ~= =− 1E (u ) E ( P u ) 0* ′ ′ ′~ ~ ~= = σ = σ− − − −1 1 2 1 1 2Cov ( u ) E[ P u u (P ) ] P V ( P ) I* ndove si è fatto uso della (4.2.3). Lo stimatore dei minimi quadrati ordinari deiparametri della (4.2.4) è~ (4.2.6)~ ~ ~β = ′ ′ = ′ ′ ′ ′ = ′ ′− − − − − − − −1 1 1 1 1 1 1 1 1( X X ) X y [ X ( P ) P X ] X ( P ) P y ( X V X) X V y*****per ottenere il quale abbiamo invertito i due membri della (4.2.3). Il vettorealeatorio (4.2.6) è loproblema dell'incognita mediante l'utilizzo del metodo di stima dei minimi quadrati generalizzati iterati.

problema nel caso particolare di eteroschedasticità dei residui.

4-6Modulo II – Minimi quadrati

4.3 Eteroschedasticità dei residui

Nel modello lineare generale

y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βkxk + ut (4.3.1)

sono state fatte sinora le ipotesi deboli standard:

E(ut) = 0 t s (4.3.2)

Var(ut) = σ^2 t s (4.3.2)

Nelle variabili economiche, tuttavia, accade spesso che la variabilità non sia costante nel tempo, ma crescente o più raramente decrescente, oppure ancora crescente e poi decrescente a tratti. Se una tale situazione vale per la (4.3.1) e se la componente sistematica (la combinazione lineare delle x) non rappresenta a sufficienza questa variabilità non costante, tale tipo di variabilità si trasferisce sui residui per cui la seconda ipotesi della (4.3.2) si trasforma in:

E(ut^2) ≠ σ^2 t s (4.3.3)

caratterizzandone la

eteroschedasticità. In tale caso l'analisi svolta nel paragrafo precedente mostra come non possano essere più utilizzati gli stimatori dei minimi quadrati ordinari, per i quali è necessario che valgano le (4.3.2). Nel resto del paragrafo mostriamo come costruire estimatori GLS nel caso di eteroschedasticità e poi richiamiamo alcuni test comunemente utilizzati per verificare l'ipotesi di omoschedasticità.

La stima dei minimi quadrati ponderati (WLS)

Viene naturale ipotizzare che l'eteroschedasticità dei residui sia causata da alcune variabili note che indichiamo con . Queste possono essere, tutte o in parte, anche variabili esplicative del modello (4.3.1). Sotto l'ulteriore ipotesi che σ sia funzione crescente (l'adattamento al caso decrescente è banale) di queste variabili, possiamo porre σ = α ⋅ α ⋅ ⋅ α (4.3.4) exp( z ) exp( z ) ... exp( z )t 1

1t 2 2 t s stdove la crescenza è rappresentata mediante l'esponenziale per comodità di sviluppo analitico. Sempre per comodità è conveniente specializzare ulteriormente la (4.3.4) senza che le ipotesi addizionali condizionino troppo le situazioni reali.

=2 =1 ∀t,Poniamo, dunque, in primo luogo , per cui la (4.3.4) diventas z1tσ = α · α = σ · α (4.3.5)2 2exp( ) exp( z ) w 2t 1 2 2 t tavendo posto 4-7Modulo II – Minimi quadratiσ =exp(α2 )1=lnwz2t tα =2In secondo luogo poniamo , per cui in conclusione si ha2 σ = σ · (4.3.6)2 2 2wt t= ∀tSe , , si ritorna all'ipotesi standard di omoschedasticità.w 1tSotto l'ipotesi (4.3.6), per eliminare l'eteroschedasticità basta dividere il modello(4.3.1) per w t y x x x u= + + + +t 1t 2 t kt tb b ... b (4.3.7)1 2 kw w w w wt t t t t