Econometria - i minimi quadrati generalizzati

F. Carlucci – Traccia per un corso di Econometria

Modulo II – Minimi quadrati

4 I MINIMI QUADRATI GENERALIZZATI

Indice del capitolo

4.1 L’ipotesi di sfericità dei residui .............................................................................2

4.2 Lo stimatore dei minimi quadrati generalizzati ....................................................4

Proprietà dello stimatore OLS in presenza di disturbi non sferici ....................4

Derivazione dello stimatore generalizzato........................................................5

4.3 Eteroschedasticità dei residui ...............................................................................7

La stima dei minimi quadrati ponderati (WLS) ..............................................7

Test di omoschedasticità.................................................................................8

Lo stimatore WLS come stimatore dei minimi quadrati generalizzati ............ 12

4.4 Bibliografia ........................................................................................................ 14

17/04/02;22.57 II edizione

Modulo II – Minimi quadrati

4.1 L’ipotesi di sfericità dei residui

Nel capitolo precedente abbiamo analizzato la violazione della prima fra le ipotesi

stocastiche alla base del modello lineare, quella di omogeneità del campione. Nel

corso della trattazione siamo stati condotti ad occuparci anche della violazione di

un’altra ipotesi, quella di normalità dei residui, che è connessa alla prima nel caso

in cui si manifestino osservazioni anomale. Ci occupiamo ora di un’altra ipotesi

stocastica, quella relativa ai momenti secondi della distribuzione dei residui

≠

 0 t s (4.1.1)

~ ~

⋅ = ∀



E (

u u ) t,s

σ =

t s 2

 t s

detta di sfericità dei residui, alludendo al fatto che sotto l’ipotesi (4.1.1) le regioni

dello spazio a n dimensioni nei quali il residuo assume valori con una prefissata

α

probabilità sono delle ipersfere.

1

Osservazione 4.1 – Nei modelli specificati su serie storiche, in cui i

residui sono una successione temporale di variabili aleatorie, la (4.1.1)

u t

viene anche detta ipotesi di bianchezza dei residui, poiché nella teoria

dei processi stocastici una successione di variabili aleatorie incorrelate a

media nulla e varianza costante viene definita rumore bianco.

2

Come si è detto nel paragrafo 1.6, l’ipotesi di sfericità (o, a seconda del tipo di

modelli, di bianchezza) è raramente verificata nella realtà, poiché frequentemente i

residui sono correlati tra di loro e posseggono varianze diverse. Sia

l’autocorrelazione che la non costanza delle varianze sono fenomeni connessi in

qualche modo alla crescita economica, che determina la presenza di una forte

componente inerziale nelle serie storiche (da cui l’autocorrelazione) e il fatto che le

loro fluttuazioni attorno alla tendenza aumentino di ampiezza col passare del

tempo (da cui la non costanza delle varianze).

Si noti che la (4.1.1) non prevede alcuna specifica ipotesi distribuzionale. Siamo

quindi nel contesto delle ipotesi deboli (o di Gauss-Markov). La violazione delle

(4.1.1) quindi determinerà sia la perdita delle proprietà BLU dello stimatore OLS,

sia l’impossibilità di effettuare inferenze statistiche valide. Questi punti vengono

affrontati in dettaglio nel paragrafo 4.2, dove si presenta uno stimatore

generalizzato, detto appunto stimatore dei minimi quadrati generalizzati, o di

In particolare, sfere a n dimensioni. Più che di sfericità dei residui bisognerebbe in effetti

1

parlare di sfericità della distribuzione (di forma non specificata) dei residui.

Si veda il paragrafo 1.6.

2 4-2

Modulo II – Minimi quadrati

Aitken, o GLS, che mantiene le proprietà BLU e permette inferenze valide anche

3

in presenza di violazioni della (4.1.1).

In pratica, l’applicazione di questo stimatore è limitata dalla necessità di

conoscere la matrice di covarianze vera dei residui. Sono quindi stati proposti

diversi stimatori cosiddetti “GLS fattibili”, detti anche stimatori di Aitken a due

4

stadi, i quali utilizzano, a fronte di violazioni specifiche della (4.1.1), specifici

stimatori della matrice di covarianze (o specifiche ipotesi sulla sua struttura) per

pervenire alla costruzione delle stime generalizzate. I diversi stimatori fattibili

sono quindi determinati dalla natura della violazione ipotizzata.

In questo capitolo considereremo in particolare quelli proposti per ovviare alla

presenza di eteroschedasticità dei residui. Il più diffuso è lo stimatore dei minimi

quadrati ponderati, o WLS, presentato nel paragrafo 4.3. Gli stimatori GLS

5

fattibili proposti a fronte di violazioni dell’ipotesi di non autocorrelazione dei

residui verranno presentati nel modulo V, dopo aver introdotto i concetti di

dinamica econometrica necessari per rappresentare l’autocorrelazione stessa.

Dall’inglese Generalized Least Squares.

3 In inglese feasible GLS.

4 Dall’inglese Weighted Least Squares.

5 4-3

Modulo II – Minimi quadrati

4.2 Lo stimatore dei minimi quadrati generalizzati

Alla luce di quanto esposto nel precedente paragrafo introduttivo, spesso, per

trattare situazioni più aderenti alla realtà, è necessario indebolire ulteriormente

l’ipotesi stocastica (4.1.1), o, se si vuole, estendere il modello di base, ipotizzando

~

che la matrice di dispersione di sia del tipo più generale

u

 σ σ σ 

2 2 2

L

 

11 12 1 n

σ σ σ

2 222 22

L

  (4.2.1)

~ ~ ~ ′

= = = = σ 2

21 n

Cov ( u ) E (

u u ) Ó V

 

M O M

 

σ σ σ

 

2 2 2

L

 

n 1 n 2 nn

Σ Σ

dove e sono matrici simmetriche definite positive. La scelta della notazione o

V

σ

dell’altra dipende dal contesto di analisi econometriche in cui ci si trova,

2

V σ

essendo la seconda motivata dall’avere conformazione analoga all’ipotesi di

2

I

residui sferici. ~

Σ

Osservazione 4.2 – La matrice di dispersione di un vettore aleatorio y

è sempre definita positiva in quanto è:

~ ~

α ′ α ′ α α ′ Σ α

=

0 < Var( y ) = Cov( y ) ~

α α ′

dove è un qualsiasi vettore di costanti non tutte nulle e essendo

y ,

una variabile aleatoria scalare (non degenere), ha varianza

necessariamente nonnulla.

Proprietà dello stimatore OLS in presenza di disturbi non sferici

Prima di procedere mostriamo in che modo l’ipotesi (4.2.1) modifica le proprietà

dello stimatore OLS. Questa analisi è essenziale allo scopo di farci capire quali sono

i rischi che corriamo nell’applicare